二次函数全章分节练习知识点

二次函数(1)

【知识要点】

1.形如y=ax?+bx+c(a,b,c是常数,否笫)的函数,叫二次函数.

2.在函数y=ax?+bx+c中，a,b,c分别是二次项系数、一次项系数及常数项.

一,基础练习

1.某工厂第一年的利润为20(万元)，第三年的利润y(万元)，与平均年增长率x

之间的函数关系式是.

2.在下列函数关系式中，哪些是二次函数(是二次函数的在括号内打上，不是

的打“x").(1)y=-2x2()(2)y=x-x2()(3)y=2(x-l)2+3()

(4)y=-3x-3()(5)s=a(8-b)()

3.说出下列二次函数的二次项系数a,一次项系数b和常数项c.

(1)y=x2中a=,b=_,c=;(2)y=5x2+2x中a=,b=,c=;

(3)y=(2x-l)2中a=,b=,c=;

4.已知二次函数y=x2+bx-c,当x=-l时,y=0；当x=3时,y=0,贝！Ib=；c=.

★5.函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数)问当a,b,c满足什么条件时：

(1)它是二次函数；(2)它是一次函数；(3)它是正比例函

数;

二、提高训练

6.已知正方形边长为3,若边长增加X,那么面积增加y,则y与x的函数关系式

是.

7.在半径为4cm的圆面上，从中挖去一个半径为x的同心圆面，剩下一个圆环的面积

为ycm?,则y与x的函数关系式为.

8.已知二次函数y=ax2+bx+c(a^O),若x=0时y=l；x=l时y=l；x=2时y=-l.求这个二

次函数关系式.

9.已知二次函数y=ax2+bx+c(aN0),若x=l时y=3；x=T时y=4；x=-2时y=3.求这个

二次函数关系式.

二次函数的图象(1)

【知识要点】

1.函数y=ax2的图象是一条抛物线，它的对称轴是y轴，图像的顶点是(0,0)

2.函数y=ax；当a>0时，抛物线的开口向上；当a<0时，抛物线开口向下.

3.函数y=ax2,当a>0时，对称轴的左侧y随x的增大而减小，对称轴的右侧y随x的

增大而增大；当x=0时函数y有最小值0.

一、基础练习

1.函数尸ax2(a00)的图象叫做,它关于轴对称，它的顶点

是.

2.当a>0时，y=ax2在x轴上的—(其中顶点在轴上)，它的开口—并且向上无

限.

3.函数y=-gv的对称轴是,顶点坐标是,对称轴的右侧y随x的增

大而,当*=_时，函数y有最值，是.

4.函数y=3x?与函数尸-3好的图象的形状,但不同.

5.抛物线y=ax?与y=2x?形状相同，则a=.

6.已知函数y=ax?当x=l时y=3,则a=,对称轴是,顶点是.抛物线

的开口―，在对称轴的左侧,y随x增大而,当x=时,函数y有最—值,

是.

7.若抛物线y=ax2经过点P(l,-2),则它也经过()

A.Pi(-l,-2)B.P2(-l,2)C.P3(1,2)D.P4(2,1)

二、提高训练

8.一个函数的图象是一条以y轴为对称轴，以原点为顶点的抛物线,且经过点A(-2,8).

(1)求这个函数的解析式；(2)写出抛物线上与点A关于y轴对称的点B的坐标，

并计算△OAB的面积.

9.有一桥孔形状是一条开口向下的抛物线丁=-工必

4

(1)利用图象，当水面与抛物线顶点的距离为4m时，求水面的宽；

(2)当水面宽为6m时，水面与抛物线顶点的距离是多少？

二次函数的图像(2)

【知识要点】

函数y=a(x+m)2+k(a,m,k是常数，a#0).

①当a>0时，图像开口,对称轴是,顶点坐标是,在对称轴的

左侧，y随x的增大而,右侧y随x的增大而,当*=时，

y有最_值，是.

②当a<0时，图像开口,对称轴是,顶点坐标是,在对称轴的

左侧，y随x的增大而,右侧y随x的增大而,当乂=时，

y有最―值，是.

一、基础练习

1.函数y=2(x+l>是由y=2x2向平移单位得到的.

2.函数y=-3(x-l)2+l是由y=-3x2向平移单位，再向平移

单位得到的.

3.函数y=3(x-2)2的对称轴是,顶点坐标是,图像开口向,

当x时,y随x的增大而减小，当x时，函数y有最______值，是.

4.函数y=-(x+5)2+7的对称轴是,顶点坐标是,图象开口向,

当x时，y随x的增大而减小，当x―时，函数y有最____值，是.

5.二次函数y=(x-l)2-2的顶点坐标是()A.(」,-2)B.(-l,2)C.(l,-2)D.(l,2)

6.把y=-x2-4x+2化成y=a(x+m)2+n的形式是()

A.y=-(x-2)2-2B.y=-(x-2)2+6C.y=-(x+2)2-2D.y=-(x+2)2+6

二、提高训练

7.图象的顶点为(-2,-2),且经过原点的二次函数的关系式是()

A.y=-(x+2)2-2B.y=-(x-2)2-2C.y=2(x+2)2-2D.y=2(x-2)2-2

8.经过配方，二次函数y=-3x2+6x-4的图象，它的对称轴为；顶点坐标,

当x时，y随x的增大而减小，当x时，函数y有最____值，

是.

二次函数的图像(3)

【知识要点】

函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数aWO).

①当a>0时，函数y有最小值，是.②当a<0时，函数y有最大值，是.

一、基础练习

1.函数y=2x?-8x+l,当x=_____时，函数有最______值，是________.

2.函数y=_3d-5&x-g,当*=时，函数有最___值，是.

3.函数y=x2-3x-4的图象开口,对称轴是,顶点坐标是,在对称

轴的左侧，y随x的增大而,当x时，函数y有最―值，是.

4.把二次函数y=Lf+3x+*的图象向右平移2个单位，再向上平移3个单位，所得

,22

到图象的函数解析式是()

A.y=—(x-5)2+1B.y=—(x+1)2-5C.y=—x2+x+—D.y=—x2+x~—

-2-2-2222

5.抛物线y=2x2-5x+3与坐标轴的交点共有()A.1个B.2个C.3个D.4个

6.二次函数y=(x-3)(x+2)的图象的对称轴是()A.x=3B.x=-2C.x=——D.x=—

22

7.二次函数V=-2X2+4X-9的最大值是()A.7B.-7C.9D.-9

二、提高训练

8.己知直角三角形的两直角边的和为2,求斜边长的最小值，以及当斜边长达到最小

值时的两条直角边的长.

9.如图，用长20m的篱笆，一面靠墙围成一个长方形的园子，怎么围才能使园子的面

积最大？最大面积是多少？

二次函数的性质

【知识要点】

1.若已知抛物线的顶点为(0,0),则二次函数的关系式可设为y=ax2(a#0).

2.若已知抛物线的顶点在y轴上，则二次函数的关系式可设为y=ax2+k(aW0).

3.若已知抛物线的顶点在x轴上，则二次函数的关系式可设为y=a(x+m)2(aW0).

4.若已知抛物线的顶点坐标为(-m,k)则二次函数的关系式可设为y=a(x+m)

2+k

(a#0).

一.基础练习

1.已知函数y=(m-l)x2+2x+m,当m=时，图象是一条直线；当m时，图象

是抛物线；当m—时，抛物线过坐标原点.

2.函数y=2x2的图象向平移5个单位，得到y=2(x+5)2的图象，再向平

移个单位.得到y=2x2+20x+56的图象.

3.二次函数y=2x2-4x-3,当x=时，有最_____值，是.

4.已知抛物线y=x2-kx-8经过点P(2,-8),贝!|k=,这条抛物线的顶点坐标

是.

5.用配方法把二次函数y=-2x2+8x-5化成y=a(x+m)2+n的形式，即y=，它的

对称轴是,顶点坐标是•

6.一个二次函数，当x=0时，y=-5；当x=l时，y=-4；当x=-2时，y=5,则这个二

次函数的关系式是()A.y=2x2-x-5B.y=2x2+x+5C.y=2x2-x+5D.

y=2x2+x-5

7.已知二次函数y=ax2+bx+c（a^O）的顶点坐标为M（2,-4）,且其图象经过点A（0,

0）,则a,b,c的值是（）

A.a=l,b=4,c=0B.a=l,b=-4,c=0C.a=-l,b=-l,c=OD.a=l,b=-4,c=8

8.已知二次函数y=ax2-4x-13a有最小值-17,则a=.

9.已知抛物线与x轴交点的横坐标分别为3,1；与y轴交点的纵坐标为6,则二次函数

的关系式是.

10.抛物线y=-x2+4x-l的顶点坐标是,在对称轴x=2的一侧y随x的增大而减

小.

11.二次函数y=ax2+bx+c的图象的形状（）

A.只与a有关B.只与b有关C.只与a,b有关D.与a,b,c都有关

12.二次函数y=ax2+bx+c的图象的对称轴位置（）

A.只与a有关B.只与b有关C.只与a,b有关D.与a,b,c都有关

二、提高训练

13.己知二次函数y=-x2+bx+c的顶点坐标为（-1,—3）,求b,c的值.

14.已知二次函数y=ax?+bx—1的图象经过点（2,—1）,且这个函数有最小值一3,

求这个函数的关系式.

15.已知关于x的二次函数的图象的顶点坐标为（一1,2）,且图象过点（1,一3）.

（1）求这个二次函数的关系式；

（2）写出它的开口方向、对称轴；

二次函数的应用（1）

【知识要点】

运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值，首先用应当求出函数解析式和自

变量的取值范围，求得的最大值或最小值对用的字变量的值必须在自变量的取值范围

内.

一、基础练习

1.二次函数y=x2-3x-4的顶点坐标是,对称轴是直线,与x轴的交点

是,当x=时，y有最__值，是.『

2.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则a的符号是—，b的符号「

是—，。的符号是.当x取时，y>0,当x时，。/

y=0,当x取时，y<0.

3.若二次函数y=mx2-3x+2m-m2的图象经过原点，则m的值是（）

A.1B.OC.2D.0或2

4.下列各图中有可能是函数y=ax2+c,y=@（a声0,c>0）的图象是（）

X

5.抛物线y=ax2+bx,当a>0,b<0时，它的图象象经过第象限.

6.抛物线y=2x2+4x与x轴的交点坐标分别是A（）,B（______!.

Q

7.已知二次函数y=-x2+mx+2的最大值为-，则m=_____.

4

8.正方形边长为2,若边长增加x,那么面积增加y,则y与x的函数关系式.

9.二次函数y=4x2-x+l的图象与x轴的交点个数是（）

A.1个B.2个C.0个D.无法确定

10.已知二次函数y=x2-4x-5,若y>0,贝！|（）

A.x>5B.-l<x<5C.x>5或x<-lD.x>l或2x<-5

二、提高训练

★11.心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x（单位：分）

之间满足函数关系y=-0.1x2+2.6x+43（0Wx<30）.y值越大，表示接受能力越强.

⑴x在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？x在什么范围内，学生的接受能力

逐步降低？

（2）某同学思考10分钟后提出概念，他的接受能力是多少？

（3）学生思考多少时间后再提出概念，其接受能力最强？

★12.如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小都相同.正常水位时，大孔

水面宽度AB=20米，顶点M距水面6米（即MO=6米），小孔顶点N距水面4.5米（即

NC=4.5米）.当水位上涨刚好淹没小孔时，借助图中的直角坐标系，求此时大孔的水面宽

度EF.

二次函数的应用（2）

【知识要点】M

利.二装函数来解实际问题，体会实际不

正常水位

一、基础练习

1.有一座抛物线型拱桥（如图），正常水位时桥下河面宽20m,河面距拱顶4m.

（1）在如图所示的平面直角坐标系中，求出抛物线解析式；

（2）为了保证过往船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小于18m.求水面在正常

水位基础上涨多少m时，就会影响过往船只？

2.一高尔夫球的飞行路线为如图抛物线.

①请用解析法表示球飞行过程中y关于x的函数关系式；

(2)高尔夫球飞行的最大距离为多少m?最大高度为多少m?

(3)当高尔夫球的高度到达5m时，它飞行的水平距离为多少m?

二、提高训练

3.如图，这是某市一处十字路口立交桥的横断面在平面直角坐标系中的示意图，横断

面的地平线为x轴，横断面的对称轴为y轴.桥拱的DGD，部分为一段抛物线，顶

点G的高度为8m,AD和AD，是两根高为5.5m的支柱.OA和OA，为两个方向

的汽车通行区，宽都为15m,线段CD和CO为两段对称的上桥斜坡，其坡度为1：

4.

(1)求桥拱DGD，所在抛物线的解析式及线段CG的长；

(2)BE和B宏，为支撑斜坡的立柱，其高都为4m,相应的AB和A，为两个方向的

行人及非机动车通行区.试求AB和A，B，的宽；

(3)按规定，汽车通过该桥下时，载货最高处和桥拱之间的距离不得小于0.4m,今有

一大型运货汽车，装载某大型设备后，其宽为4m,车载大型设备的顶部与地面的距

离均为7m.它能否从OA(或04八)区域安全通过？请说明理由.

二次函数的应用(3)

【知识要点】

二发函矗是刻划现实生活中某些情境的数学模型.

一、基础练习

1.某瓜果基地市场部为指导该基地某种蔬菜的生产和销售，在对历年市场行情和生产

的情况进行调查的基础上.对今年这种蔬菜上市后的市场售价和生产成本进行了预测，

得到了以下图象：

请你根据图象提供的信息说明：

(1)在3月份出售这种蔬菜，每千克的收益是多少？(收益=售价-成本)

(2)哪个月出售这种蔬菜，每克的收益最大？请说明理由.

2.某高科技发展公司投资500万元，成功研制出一种市场需求量较大的高科技替代

产品，并投入资金1500万元进行批量生产.已知生产每件产品的成本为40元.在

销售过程中发现，当销售单价定为100元时，年销售量为20万件，销瞥单价每增

加10元，年销售量将减少1万件.设销售单价为x(元)，年销售量为y(万件)，

年获利(年获利=年销售额一生产成本一投资)为z(万元)

⑴试写出y与x之间的函数关系式(不必写出x的取值范围)；]z(万元)

(2)试写出z与x之间的函数关系式(不必写出x的取值范围)；

(3)公司计划：在第一年按年获利最大确定的销售单价进行销售，

第二年年获利不低于1130万元.请你借助函数的大致图象——--------

说明，第二年的销售单价x(元)应确定在什么范围？°武元)

3.已知二次函数y=-x2+4x-3,其图象与y轴交于点B,与x轴交于A,C

两点.求4ABC的周长和面积.

2

4.如图，已知抛物线y=-x+bx+c与x轴的两个交点分别为A(XI,0),B(X2,0),且XI+X2=4,

五=」.(1)求抛物线的代数表达式；

x23

(2)设抛物线与y轴交于C点,求直线BC的表达式;

(3)求4ABC的面积.

L解:令x=0,得y=-3,故B点坐标为(0,-3).

xi+x2=4

.解解方程组'，得

2.(1)X}_1X1=1,X2=3.解方程-x2+4x・3=0,得XI=1,X2=3.

x23

故A、C两点的坐标为(1,0),(3,0).

—1~+6+c=0

故・,，解这个方程组，得b=4,c=-3.所以AC=3-1=2,AB=x/12+32=VlO,

-32+3/J+C=0

力？+

所以，该抛物线的代数表达式为y=-x2+4x-3.BC=32=3x/2,OB=|-3|=3.

⑵设直线BC的表达式为y=kx+m.CAABC=AB+BC+AC=2+710+3夜.

由⑴得，当x=0时,y=-3,故C点坐标为(0,-3).

SAABC=-AC•OB=-X2X3=3.

22

所以匕7解得卜।

[3k+m=0[〃2=-3

二直线BC的代数表达式为y=x-3

轴的交点个数为(一)个；

(3)由于AB=3-1=2,OC=|-3|=3.

示，根据图像解答下列问题：

(1)写出方程ax2+bx+c=0的两个根；

(2)写出不等式ax2+bx+c>0的解集；

(3)写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范值；

(4)若方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根，求k的取什范围。

3、韦达定理在二次函数y=ax?+bx+c(aWO)中的应用(工1

①已知其中一个交点，求另一个交点:

例5：若抛物线y=X2-2%+m与X轴的一个交点是(一2,0)则另一个交点是()；

2

②求两交点A,B线段的长度A8

例6:若抛物线y=x~+QC—3与X轴的交点为A,B,且AB的长度为10,求a

③利用韦达定理求面积:

例7：抛物线)，=_%2+2》+/〃与*轴的一个交点是人(3,0),另一个交点是B,且与y轴交于点C,

(1)求m的值；(2)求点B的坐标;

(3)该二次函数图象上有一点D(x,y)(其中x>0,y>0),使SMBC，求点D的坐标。

2_

例8：已知如图，二次函数y=—1+2(〃Z+2)X+〃2+2与x轴于A,B两点，若OA:OB=3:1,求m

2y八

例9：已知二次函数y=%—-(m+l)x+机的图像交X轴于A(X1,0)、B(%,0)两点，交y轴正

X

22

半轴于点C,且X]+彳2=1°。

⑴求此二次函数的解析式；

（2）是否存在过点D（0,--）的直线与抛物线交于点M、N,与x轴交于E点，使得M、N关于点E对称？

2

若存在，求直线MN的解析式；若不存在，请说明理由。

4、抛物线ax2+bx+c=0与x轴交点及对称轴之间的关系；

设抛物线与x轴的交点为A（x,0）和B（，°）则对称轴为直线X=&，抛物线任纵坐标

相等的两点关于对称轴对称，即若有M（七，k）,N（尤2,2）,则则对称轴为直线

_X）+X

Xv-2O

2

例10：已知二次函数丫=一/+2%+机的部分图像如图所示，

则关于X的一元二次方程—1-+2x+〃2=0的解是

二次函数与一元二次方程的关系

二次函数与一元二次方程之间的联系

1.二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与X轴交点情况）：

22

一元二次方程ax+hx+c=o是二次函数y=ax+Zzx+c当函数值y=o时的特殊情况.

图象与，,轴的交点个数：

①当A=〃-4ac>0时，图象与x轴交于两点AQ,0）,8（々，0）（%/%），其中的

与，三是一元二次方程0^+法+。=0（”片0）的两根.这两点间的距离

AB=\x2-Xl\=^^.

-1«1

②当△=（）时，图象与x轴只有一个交点；

③当A<0时，图象与x轴没有交点.

r当a>0时，图象落在X轴的上方，无论X为任何实数，都有y>0;

21当“<0时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有y<0.

2.抛物线y-cue+bx+c的图象与V轴一定相交，交点坐标为（0,c）；

3.二次函数常用解题方法总结:

⑴求二次函数的图象与x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；

例：二次函数y=x?-3x+2与x轴有无交点?若有，请说出交点坐标；若没有,

请说明理由：

⑵根据图象的位置判断二次函数中4,b,C的符号，或由二次函数中4,3c•的

符号判断图象的位置，要数形结合；

⑶二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐

标，或已知与X轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.

1^7

⑴一元二次方程ax2+bx+c=O的实数根就是对应的二次函数y=a?+"+。与

x轴交点的.

⑵二次函数与一元二次方程的关系如下：（一元二次方程的实数根记为补马）

二次函数y-ax2+bx+c与一元二次方程分2+〃％+c=0

b2-4ac—0,方程有________的实

与X轴有一个交点

数根是______________.

与X轴有一个交点b2-4ac—0,方程有________的实

这个交点是___点数根是______________.

与X轴有一个交点b2-4ac_0,方程_____实数根.

⑶二次函数y=ax2++c与），轴交点坐标是.

经典例题讲解

【例1】

已知：关于x的方程zn?-3（"?-1）x+2,”-3=0.

⑴求证：〃，取任何实数时，方程总有实数根；

⑵若二次函数弘=mx2-3（〃?-l）x+2祖-1的图象关于轴对称.

①求二次函数必的解析式；

②已知一次函数”=2尤-2,证明：在实数范围内，对于*的同一个值，这两个函数

所对应的函数值X二内均成立；

⑶在⑵条件下，若二次函数户=以2+区+。的图象经过点（-5,0）,且在实数范围内，

对于x的同一个值，这三个函数所对应的函数值乂》为云为，均成立，求二次函数

2

y3=ax+bx+c的解析式.

【思路分析】本题是一道典型的从方程转函数的问题，这是比较常见的关于一元二次方程与二次函

数的考查方式。由于并未说明该方程是否是一元二次方程，所以需要讨论M=0和MW0两种情况，然

后利用根的判别式去判断。第二问的第一小问考关于Y轴对称的二次函数的性质，即一次项系数为0,

然后求得解析式。第二问加入了一个一次函数，证明因变量的大小关系，直接相减即可。事实上这个一

次函数力恰好是抛物线,的一条切线，只有一个公共点（1,0）.根据这个信息，第三问的函数如果要

取不等式等号，也必须过该点。于是通过代点，将为用只含a的表达式表示出来,再利用乂五丹2丫2,

构建两个不等式，最终分析出a为何值时不等式取等号,于是可以得出结果.

【解析】

解：（1）分两种情况：

当机=0时，原方程化为3x—3=0,解得x=l,（不要遗漏）

二当根=0,原方程有实数根.

当加H0时，原方程为关于x的一元二次方程，

'**△=[-3（w-1）]2-4/n（2w-3）=/n2-6/?;+9=（w-3）~\0.

...原方程有两个实数根.（如果上面的方程不是完全平方式该怎样办？再来一次根的判定，让判别

式小于0就可以了，不过中考如果不是压轴题基本判别式都会是完全平方式，大家注意就是了）

综上所述，加取任何实数时，方程总有实数根.

（2）①..•关于X的二次函数必=/加2一3（m一l）x+2m—3的图象关于｝'轴对称，

3（加-1）=0.（关于丫轴对称的二次函数一次项系数一定为0）

，机=1.

...抛物线的解析式为必=x2-1.

②-1—(2x—2)=(x—1)220,(判断大小直接做差)

(当且仅当x=l时，等号成立).

(3)由②知，当x=l时，乂=%=。.

.•.)1、丫2的图象都经过(1，°).(很重要，要对那个等号有敏锐的感觉)

\•对于》的同一个值，?!'丫3〉，

2

:.y3=ax+bx+c的图象必经过(1,0).

2

又•:y3=ar+bx+c经过(-5,0),

2

Ay3=a(x-l)(x+5)=ar+4ar-5a.(巧妙的将表达式化成两点式，避免繁琐计算)

设y=―为=ax~+4«x-5a-(2x-2)=ax2+(4tz-2)x+(2-5a).

•.•对于x的同一个值，这三个函数所对应的函数值M2y3,%均成立，

:.%-为,°，

:.y=ax2+(4a-2)x+(2-5a)》0.

又根据X、丫2的图象可得«>O,

...>/a"--"—'。.(a>0时，顶点纵坐标就是函数的最小值)

4。

：•(4a-2)2-4〃(2—5。)W0.

，(3〃-1)2W0.

而(3〃-1心20.

只有3a—1=0,解得”=

1,45

二抛物线的解析式为为=-X2+-X--.

【例2】关于X的一元二次方程(苏-1)丁-2(利-2)x+l=0.

(1)当〃，为何值时，方程有两个不相等的实数根；

(2)点A(T，7)是抛物线>=(/_1»2一2(,"-2口+1上的点，求抛物线的解析式；

(3)在(2)的条件下，若点3与点A关于抛物线的对称轴对称，是否存在与抛物

线只交于点3的直线，若存在，请求出直线的解析式；若不存在，请说明理由.

【思路分析】第一问判别式依然要注意二次项系数不为零这一条件。第二问给点求解析式，比

较简单。值得关注的是第三问，要注意如果有一次函数和二次函数只有一个交点，则需要设直线y=kx+b

以后联立，新得到的一元二次方程的根的判别式是否为零，但是这样还不够，因为y=kx+b的形式并未

包括斜率不存在即垂直于X轴的直线，恰恰这种直线也是和抛物线仅有一个交点,所以需要分情况讨论，不

要遗漏任何一种可能.

【解析】：

(1)由题意得4=[-2(机-2)『-4(〃/-1)>0

解得，

4

解得mw±1

当〃且加力士1时，方程有两个不相等的实数根.

4

(2)由题意得“-1+2(力-2)+1=-1

解得，〃=-3,机=1(舍)(始终牢记二次项系数不为0)

(3)抛物线的对称轴是

O

由题意得(关于对称轴对称的点的性质要掌握)

与抛物线有且只有一个交点B(这种情况考试中容易遗漏)

另设过点8的直线>="+〃(女工0)

把从-：,-1]代入y=++=h=-k-\

<4)44

整理得+(10-%)x-L+2=0

4

有且只有一个交点，A=(10—幻2_4X8X(—L+2)=0

4

解得左=6

综上，与抛物线有且只有一个交点B的直线的解析式有X=-；,y=6x+1

【例3】已知PQ(1,in)是抛物线y=2丁+Zu+1上的两点.

(1)求人的值;

（2）判断关于x的一元二次方程2丁+法+1=0是否有实数根，若有，求出它的实

数根；若没有，请说明理由；

（3）将抛物线y=2f+法+1的图象向上平移女（人是正整数）个单位，使平移后

的图象与x轴无交点，求k的最小值.

【例4】

已知关于x的一元二次方程2d+4x+左-1=0有实数根，女为正整数.

（1）求攵的值；

（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x的二次函数y=2f+4无+k-1的

图象向下平移8个单位，求平移后的图象的解析式；

（3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折,

图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象.请你结合这个新的图象回答：当直线

y=仅＜%）与此图象有两个公共点时，）的取值范围.

【思路分析】去年中考原题，相信有些同学已经做过了.第一问自不必说，判别式大于0加上k为正

整数的条件求k很简单.第二问要分情况讨论当k取何值时方程有整数根，一个个代进去看就是了,平移倒

是不难，向下平移就是整个表达式减去8.但是注意第三问，函数关于对称轴的翻折，旋转问题也是比较容易

在中考中出现的问题，一定要熟练掌握关于对称轴翻折之后函数哪些地方发生了变化，哪些地方没有变.然

后利用画图解决问题.

解：（1）由题意得，△=16—8/-1）'0.

•••k为正整数，

k-1,2,3.

（2）当攵=1时，方程2d+4x+&-l=0有一个根为零；

当％=2时，方程2/+4彳+上一1=0无整数根；

当左=3时，方程2d+4X+A—1=0有两个非零的整数根.

综上所述，％=1和左=2不合题意，舍去；％=3符合题意.

当左=3时，二次函数为y=21+4x+2,把它的图象向下平移8个单位得到的图象的解析式为

y=2x2+4x-6.

(3)设二次函数y=2f+4x—6的图象与x轴交于

A、B两点,则A(—3,0),3(1,0).

依题意翻折后的图象如图所示.

13

当直线y=-x+b经过A点时，可得b=-；

22

当直线y=经过8点时，可得8=-3.

13

由图象可知，符合题意的伙〃〈3)的取值范围为一—<〃<二.

22

单元过关测试

一、选择题

1.二次函数y=(x-l)2-2的顶点坐标是()A.(-l,-2)B.(-l,2)C.(l,-2)D.(l,2)

1

2.二次函数y=(x-3)(x+2)的图象的对称轴是()A.x=3B.x=-2C.x=—D.x=—

22

3.把y=-x2-4x+2化成y=a(x+m)2+n的形式是()

A.y=-(x-2)2-2B.y=-(x-2)2+6C.y=-(x+2)2-2D.y=-(x+2)2+6

4.把二次函数丁='/+3%+》的图象向右平移2个单位，再向上平移3个单位，所得到图象的函数

22

解析式是()

1.八21I/八2uI23I7

A.y=一(x—5)+lB.y=—(x+l)—5C.y=—x+xH—D.y=—x+x—2

222222

5.抛物线y=2x2-5x+3与坐标轴的交点共有()A.1个B.2个C.3个D.4个

6.图象的顶点为(・2,・2),且经过原点的二次函数的关系式是()

A.y=—(x+2)2-2B.v=—(x-2)2-2C.y=2(x+2)2-2D.y=2(x-2)2-2

22

7.二次函数y=ax?+bx+c的图象的形状()

A.只与a有关B.只与b有关C.只与a,b有关D,与a,b,c都有关

8.二次函数y=ax2+bx+c的图象的对称轴位置()

A.只与a有关B.只与b有关C.只与a,b有关D.与a,b,c都有关

9.若二次函数y=mx2・3x+2m・m2的图象经过原点，则m的值是()A.lB.OC.2D.0或2

10、二次函数y=a(x+m)2-m(aWO)无论m为什么实数，图象的顶点必在()

A.直线y=-x上B.直线y=x上C.y轴上D.x轴上

11、抛物线y=x?+x+2上三点(-2,a)>(-1,b),(3,c),则a、b、c的大小关系是()

A、a>b>cBb>a>cCc>a>bD无法比较大小

12、已知二次函数y=x2-4x-5,若y>0,则()

A,x>5B.-Kx<5C.x>5或x<-lD.x>l或x<-5

13、下列各图中有可能是函数y=ax2+c,y=@(a70,c>0)的图象是()

x

二、填空题

14.抛物线y=-2(x+l)2+l的顶点坐标是.

15.将y=2x2的函数图象向左平移3个单位，再向上平移2个单位，得到二次函数解析式为,

16.抛物线y=(l-k)x2-2x-l与x轴有两个交点，则k的取值范围是.

17.已知二次函数y=x2+kx-12的图象向右平移4个单位后，经过原点，则k的值是

18.写出一个二次函数的解析式，使它的顶点恰好在直线y=x+2上，且开口向下，则这个二次函数解析

式可写为.

19.二次函数y=ax?+c(a,c为已知常数)，当x取Xi,x2时(xiWx?),函数值相等，则当x取xi+x2时，

函数值为.

三、解答题

20.根据下列不同条件，求二次函数的解析式：

(1)二次函数的图象经过A(-1,1),B(1,7),C⑵4)三点；(2)已知当x=2时，y有最小值3,且

经过点(1,5);(3)图象经过(-3,0),(1,0),(-1,4)三点.

21.已知二次函数y=-2x?,怎样平移这个函数图象，才能使它经过(0,0)和(1,6)两点？

22.某广告公司设计一幅周长为12m的矩形广告牌，广告设计费为每平方米1000元，设矩形一边长为

x(m),面积为SGi?).

(1)求出S与t之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围；

(2)请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求出这个费用.

23.某跳水运动员进行10m跳台跳水的训练时，身体(看成一点)在空中的运动路线是如图所示坐标系

下经过原点0的一条抛物线(图中标出的数据为己知条件).在跳某个规定动作时，正确情况下，该运

2

动员在空中的最高处距水面10—m,入水处与池边的距离为4m,同时，运动员在

3

距水面高度为5m以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会

出现失误.

⑴求这条抛物线的解析式；

(2)在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是(1)中的抛物线，且运动

3

员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离为3j，问：此次跳水会不

会失误？通过计算说明理由.

二次函数的应用

【例题经典】

用二次函数解决最值问题

例1已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE(如图)，其中AF=2,BF=1.试在AB上求

一点P,使矩形PNDM有最大面积.

【评析】本题是一道代数几何综合题，把相似三角形与二次函数的知识有机的结合在一起，能很好

考查学生的综合应用能力.同时，也给学生探索解题思路留下了思维空间.

例2某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x(元)与产品的日销售量y(件)之间的关

系如下表：X(元)152030•・・

若日销售量y是销售价x的一次函数.y(件)252010•••

(1)求出日销售量y(件)与销售价x(元)的函数关系式；

(2)要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元?

15攵+8=25,

【解析】(1)设此一次函数表达式为丫=1«+13.贝N解得k=-Lb=40,即一次函数

2k+b=20

表达式为y=-x+40.

（2）设每件产品的销售价应定为x元，所获销售利润为w元

w=（x-10）（40-x）=-x2+50x-400=-（x-25）2+225.

产品的销售价应定为25元，此时每日获得最大销售利润为225元.

【点评】解决最值问题应用题的思路与一般应用题类似，也有区别，主要有两点：（1）设未知数

在“当某某为何值时，什么最大（或最小、最省）”的设问中，“某某”要设为自变量，“什么”要

设为函数；（2）问的求解依靠配方法或最值公式，而不是解方程.

【考点精练】

1.二次函数y='x2+x-l,当x=____时，y有最_____值，这个值是_______.

2

2.在距离地面2m高的某处把一物体以初速度V。（m/s）竖直向上抛出，在不计空气阻力的情况下，其

上升高度s（m）与抛出时间t（s）满足：S=Vot-』gt2（其中g是常数，通常取10m/s2）＞若Vo=10m/s,

2

则该物体在运动过程中最高点距离地面_______m.

3.影响刹车距离的最主要因素是汽车行驶的速度及路面的摩擦系