高等数学作业(高升专)答案

《大学数学》

（高起专）

学习中心：_______________

专业：_______________

学号：_______________

姓名：_______________

完成时间：

第一章函数作业(练习一)

一、填空题

1.函数/(X)=------+y/5-X的定义域是___________。

ln(x-2)

解：对函数的第一项，要求％-2>0月.In(x-2)WO,即x>2且x，3；对函数的第

二项，要求5-xNO,UPx<5o取公共部分，得函数定义域为(2,3)U(3,5]。

ylx2-9

2.函数y=♦J的定义域为。

解：要使y=3二2有意义,必须满足/一920且*一3>0,即J'成立，解

x-3[%>3

x>3或x<-3

不等式方程组，得出1一一一,故得出函数的定义域为(_8,-3]2(3,+8)。

x>3

3.已知/(e*—1)=丁+1,则/*)的定义域为

解.令e*-l="，贝ijx=ln(l+〃)，.,./(〃)=In?(1+〃)+1,即二/(x)=In?(1+x)+1,.

故/(x)的定义域为(—1,+8)

4.函数y=J/-4+，■r的定义域是.

解.(—8,-2]U[2,+8)。

5.若函数/(3+1)=/+2》-5,则/(x)=.

解.X2-6

二、单项选择题

1.若函数y=/(x)的定义域是[0,1],则/(Inx)的定义域是().

A.(0,+oo)B.[1,+8)C.[1,e]D.[0,1]

解：C

2.函数y=lHsinm；|的值域是().

A.[-1,1]B.[0,1]C.(-oo,0)D.(-oo,0]

解：D_

3.设函数/(x)的定义域是全体实数，则函数/(x)-/(—》)是().

A.单调减函数；B.有界函数；

C.偶函数；D.周期函数

解：A,B,D三个选项都不一定满足。

设尸(x)=/(x)-/(一X),则对任意x有

F(-x)=/(-%)-/(-(-x))=/(-x)-/W=fM-/(-x)=F(x)

即E(x)是偶函数，故选项C正确。

ax-1

4.函数/(x)=x---(a>0,aHl)()

ax+1

A.是奇函数；B.是偶函数：

C.既奇函数又是偶函数；D.是非奇非偶函数。

解：利用奇偶函数的定义进行验证。

a'(1—Q')a'—1

-x---------=x----=-fM

「(1+/)ax+1

所以B正确。

11

5.若函数/(x+—)=0、2+二，则/(x)=()

XX

A.；B.x~—2；C.(x-1)~；D.x*--1o

)1)11011o

解：因为厂-l——=x~4-24—--2=(xH—)~-2,所以—)=(xH—)~—2

XXXX

则/(x)=——2,故选项B正确。

6.设〃x)=x+i，则r(/a)+i)=().

A.xB.x+1C.x+2D.x+3

解由于/(x)=x+l,得f(f(x)+1)=(f(x)+1)+1=f(x)+2

将fM=x+1代入,得/(/(%)+1)=(x+1)+2=x+3

正确答案：D

7.下列函数中，()不是基本初等函数.

A.y=(—)'Bc.y=ln1x2-C-.y=--s-i-n--x-D.y=V?

ecosx

解因为y=ln/是由）,=in〃，〃=/复合组成的，所以它不是基本初等函数.

正确答案：B

cosx,x<04

8.设函数/(1)=<，则/(一一)=().

0,x>04

兀兀

A./(--)=/(-)B./(0)=/(24)

44

C.以0)=于(-2兀)D.咛=夸

解因为—2〃<0,故/(—2乃)=cos(—2万)=1

且/(0)=1,所以/(0)=/(-2万)

正确答案：C

9.若函数/(e')=x+l,则/(x)=().

A.ex4-1B・x+1C.lnx+1D.In(x+1)

解：C

10.下列函数中y=()是偶函数.

A.|/(x)|B./(|x|)C./2(x)D./(x)-/(-x)

解：B

三、解答题

x0<x<1

1.设/(%)=<|，求：(1)/(X)的定义域；(2)/(0),/(I),/(2)o

Inx1<x<e

解(1)分段函数的定义域是各区间段之和，故的定义域为

[0,1]U(1,e)=[0,e)

(2)・・・0<xWl时，/(x)=x.・./(())=0,/(1)=1

・・・l<x<e时，/(x)=Inx/./(2)=ln2

-x-1,x<0fx,x<0一

2.设/(x)=<，g(x)=12n求复合函数/(g(x)),g(/(x))。

xx>()[-X,X>()

.—x—1,—1WxW0

解：/(g(x))=[2g(/(x))=，(l+x『，x<-l

x-l,x>0i

1[-x2,x>0

3.(1)f(x)^a'+a'x(o>0)；

解：•••/(-x)=a*+a~x=/(x).\f[x)=ax+“-*为偶函数.

1—X

(2)/(x)=ln-一；

1+x

解：f(-x)-In=-In---=-/(x),/./(x)=ln-~^为奇函数.

1—x1+x1+x

(3)/(x)=ln(x+71+x2)

解：*.•/(-x)=ln(-x+A/1+x2)=In----:,=-ln(x+71+x2)=-/(x),

f(x)=In0+Jl+x?)为奇函数.

4.已知/(x)=sinx,/(^9(x))=1-x2,求夕(工)的定义域

解.v=sin(p[x)=1-x2,(p[x)=arcsin(l-x2),故(p[x｝的定义域为

—V2WxW5/2

第二章极限与连续作业（练习二）

一、填空题

18X

答案：1

十班"八+>-x—sinxsinx.,,,sinx,八,

正确解法：lim-------=lim(Z1l------)=liml-hm----=1-0=1

X->8XXT8XX->8%—>8X

x2+ax+b与„.,

2.已知hm—；------=2,则ra=_____,b=____。

7x-x-2

由所给极限存在知，4+2a+h=0,得b=-2a-4,又由

x~+ax+bx+a+2a+4-,八，门

hm-.......=hm--------=-----=2,知a=2,6=—8

12x2-x-212X+13

3.已知lim---------=oo,贝ij〃=____,b-

io(x-a)(x-l)

ex-h(x-tz)(x-1)a„」1

vhm------------=8,即nnhvm^-----------=----=0,:.a=0,bW1

io(x_q)(x-1)3ex-b1-b

4.函数/(》)=<心血嚏”<°的间断点是％=

x+1x>0

解：由/(x)是分段函数，8=0是/(幻的分段点，考虑函数在x=0处的连续性。

因为limxsin—=0lim(x+1)=1/(O)-1

XT。-Xx->0+

所以函数/(x)在x=0处是间断的，

又/(x)在(-8,0)和(0,+8)都是连续的，故函数/(x)的间断点是x=0。

5.极限limxsin'=.

X

解因为当x~0时，x是无穷小量，sin，是有界变量.

X

故当X—»0时，xsin—仍然是无穷小量.所以limxsin—=0.

X3X

x+1x>0

6.当A时，/(%)=<在x=0处仅仅是左连续.

------[x2+k尤<0

解因为函数是左连续的，即

/(0-)=lim(x+1)=1=/(0)

XT(F

若/((T)=lim(x2+6=k=l

x-»0+

即当女=1时，/(x)在x=0不仅是左连续，而且是连续的.

所以，只有当时，/(X)在X=0仅仅是左连续的.

7.要使=t在x=0处连续，应该补充定义/(。)=

X

解：2.lim±*^=lim吧4=0,补充定义/(())=0

X—>0*X—»0]

二、单项选择题

X

1.已知lim(-----ax-b)=0,其中。力是常数，则()

f°尤+1

(A)a=l,b=l,(B)a=-\.b=1

(C)(2=1,Z?=-1(D)a=-l.b=-1

痴i•/厂1\v—-(。+。卜一。

解.vlim(------ax-b)=lim--------------------=0n,

18X+1I+X+1

/.1—«=0,(24-/?=0,/.a=1,Z?=—1答案：C

2.下列函数在指定的变化过程中，()是无穷小量。

/、sinx、

A.ex,(x78)；B.----,(x—>oo)；

x

C.ln(l+x),(x―>1)；(xT0)

解：无穷小量乘以有界变量仍为无穷小量，所以

*T8X

而A,C,D三个选项中的极限都不为0,故选项B正确。

3.下列函数中，在给定趋势下是无界变量且为无穷大的函数是()

(A)y=xsin—(x—>oo)；(B)y=〃(一,—8);

x

(C)y=\nx(x4-0)；(D)y=—cos—(x0)

xx

解.vlimXsin-=limsin-/-=1，故不选(A).取m=2k+\

则

•38xXT8x!X

lim〃(T)'=lim」一=0,故不选(B).取x“=--—,则lim」-cos」-=0,故不选

“T8ATOO2女+1兀XX

〃刀•十—nn

2

(D).答案：C

1

\—0PX

4./(x)=---.

1+e；

3)可去间断点(8)跳跃间断点

(C)无穷间断点(〃)振荡间断点

1-2/1-0

解：/(0-0)=lim-----arctanx=----0=0,

XT0-11+0

l+ex

1-2exex-20-2

/(04-0)=lim----—•arctanx=lim—：----arctanx=-----0=0,

XT。-1XT。--10+1

1+e'ev4-1

W(0-0)=/(0+0),X=0为可去间断点，应选(A).

p-a

5.若/(x)=----------,x=0为无穷间断点，x=l为可去间断点，则a=().

x(x-1)

(/)1(8)0(C)e(〃)e'

解：由于为无穷间断点，所以故若则尤=也是无穷

x=0lx=0H0,aHl.a=0,1

间断点.由x=1为可去间断点得a=e.故选(。.

三、计算应用题

1.计算下列极限：

二；八、sin(x-l),、j9+sin3x-3

(1)lim(W(2)lim—------(3)lim------------------

XTO

・38X+3-six+x-2X

x~_5x+4(1-2X)5(3X2+X+2)

(4)hm—：--------(-5-)——);(6)hm-------------------------

6

34x--x-12x-1f(x-l)(2x-3)

解：(1)lim(-)A+2

XT8x+3

x-1x+34

..x+31•尤一1(x+3)~.

hm—=hm------~~—=-4

X—>81X—>8-1

x+2(x+2>

lim(—)f+2=eT

x—8x+3

/.、..sin(x-l)..sin(x-1)

(2)lim—------=lim-------.......-

一厂+x_2I(x-l)(x+2)

..sin(x-l)1

=lim-----------lvim-------

xTX-1—x+2

(3)解对分子进行有理化，即分子、分母同乘j9+sin3x+3,然后利用第一重要

极限和四则运算法则进行计算.即

79+sin3x-3(79+sin3x-3)(j9+sin3x+3)

lim------------------=lim--------------/--------------

・2。X1。x(J9+sin3x+3)

..sin3x..1~11

=lim-------x1101-1=——=3x-二—

XTOxj9+sin3x+362

(4)解将分子、分母中的二次多项式分解因式，然后消去零因子，再四则运算法则

和连续函数定义进行计算.即

..x~—5x+4.(x-4)(x-1)

lim-...............=lim------------------

—厂―工_12I(x-4)(x-3)

=.3=乂=3

14(x-3)4-3

(5)解先通分，然后消去零因子，再四则运算法则和连续函数定义进行计算.即

3-x1

x~-1x—I

=lim—=-l

—X+1

：-2)"3+；+福)_(»x3=3

(6)lim。二纣给口”2,)=.

61a)小o

(x-1)(2%-3)(1——)(2——)622

XX

2.设函数

・1,

xsin—+/?x<0

x

fM=<ax=0

sinx

x>0

x

问(1)a,b为何值时，/(x)在x=0处有极限存在？

(2)〃力为何值时，/(x)在x=0处连续？

解：(1)要了(X)在x=0处有极限存在，即要lim/(x)=lim/(x)成立。

X—(FXTO*

因为lim/(x)=lim(xsin—+/?)=h

XT。-X->0-X

,./»/、i•sinx.

limj(x)=lim------=1

x->0*XTO+x

所以，当b=l时，有lim/(x)=lim/(x)成立，即6=1时，函数在x=O处有极限

.20-XT0+

存在，又因为函数在某点处有极限与在该点处是否有定义无关，所以此时。可以取任意值。

(2)依函数连续的定义知，函数在某点处连续的充要条件是

lim/(x)=lim/(x)=f(x0)

x-»xoXTXo

于是有b=1=/(O)=a,即a=/?=1时函数在x=0处连续。

X+(IX-4-/?

3.已知lim=8,试确定。和b的值

X—2

解.vlimx+ax+b=8,lim(x3+ax2+百=8+4。+/?=0,即6=—8—4。

12X—2s2

x3+ax2+b/+〃/_4^_gr(八.1

lim-----------=lim----------------=hmx2+(a+2)x+2oa+4=4Aa+1t2=o8,

x->2X—2x—2X—212

a=-1,故b=—4

e*+11

4.求lim—；-arctan—

x->01Y

ex-I

II

解.•••lime*=+8,limex=0,

\__\_

ex+\11+CX17T

lim-...arctan—=lim------limarctan—,

XTO+xx7°+—x7o+x2

ex-11-ex

_LJ.1

ex+11「e'+1「1n-e*+11n

lim-arctan—=lim—limarctan—=—,/.lim-arctan—=—

.r—o--x1。--io-x21。-x2

ex-1ex-1ex-1

5.设/(x)=«p'T,x>0,求/(x)的间断点，并说明间断点的所属类型

ln(l+%),-1<x<0

ii

解./(x)在(一l,O),(O』),(l,+8)内连续，limekngJimeHnO,/(0)=0,因此,

Xf+

X=1是/(X)的第二类无穷间断点；lim/(x)=lim内=e-1,

lim/(x)=limln(l+x)=O,因此x=0是/(x)的第一类跳跃间断点.

XT。-XT(r

x+x~etix

6.讨论/(x)=lim的连续性。

281+*

2人

x,x>0

解./(x)=lim正立1

0,x=0,因此/(x)在(—8,0),(0,+8)内连续，又

nx

"T001+e

x,x<0

lim/(x)=/(0)=0,.\/(犬)在(-8,+8)上连续.

x-»0

第三章微分学基本理论作业(练习三)

一、填空题

1.设/(九)=(14-cosx)A+1sin(x2一3x),则/'(0)=.

解：因为/(0)=0,sin(x2-3x)-x2-3x(x—>0),则

(0)=lim1(x)T⑼=lim-严sin(/-3x)=21im%2"3x

r=-6.

ktOx

XT°X-010X

//⑴一加玉))

2.lim---------------------=

XT/X-Xo

解.原式=lim/[/⑺二/Go"一〃x。)(x一/)=x0/M。)-/(x。)

XTX。X-XQ

3.已知f[/口3)]=,，贝丫'(x)=。

axx

解•••K^3)]=f^3)-3x2=-,/./z(x3)=-L,即/(x)=，

axx3x3x

4.设y=x(x—l)(x—2).(x—”)，则y("+"=(〃+l)!

5.fM=x2,则/(/'(x)+l)=

答案：(2x+1)~或4x~+4x+1

Q4x-y?

6.函数Z=的定义域为

ln(l-x2-y2)

解：函数z的定义域为满足卜.列不等式的点集。

4x-y2>0y2<4xy2<4x

1-x2-y2>0=><x2+y2<1=><0<x2+y2<1

I—x2—y2#]x2+y2^0

nz的定义域为：卜,y)IO<x2+y2<1且y2«4x}

7已知/(x+y,x->)=/)，+盯2,则/*,〉，)=

解令x+y=〃，x-y=n,则x="；,y=彳,f(x+y)(x-y)=xy(x+y)

、u+vu-vUU2八X7

/r(zw,v)=-........--=-(wz-一「)，/(x,y)=-(x2-/)7

8・设于(x,y)=xy+•=；厕fx(0,1)=-----------。f(0,1)=----------------

x2+y2

;”0,1)=0+0=0

.Ax

广(0,1)=加/心/)-/(。,1)=即一=2

AVTOA,AX-»OAr

/；(o/)=]im3止3=Hm空=。。

Ay->()勺]Ay-»O

9.由方程xyz+Jx?+)二+Z?=后确定的函数z=z(x,y)，在点(1,0,-1)处的全微分

dz=o

解F(X9y,z)=xyz+旧+[+z?-V2=0

x

yz+i=t--------------

dz__£_y/x2+y2+z2_yzG+V+z2+x_1

dxF；孙+z盯J/+y2+z2+z

“qX?+y2

dz__乜_双正+/+z2+y__近

力Fzxyylx2+y2+z2+z

dz=dx-y[ldy

10.设z=，+siny,x=cosf,y=/，则生=o

dr

a7

解空=-2xsinf+3/cosy

dt-

二、选择题

1.下列命题正确的是(D)

，,

(A)/(x0)=[/(x0)];

(B)£(x())=limf\x);

XT%

(C)lhn生巫®r(x)

机T°Ax

(D)/(/)=0表示曲线〉=/(x)在点(与"(/))处的切线与x轴平行

解y(x)=x忖，八1)=1//⑴]'=0,故不选(A)

八叫,门0时，/，(x)=.

/(x)=<2xsin--cos-,x^0；《⑼二。，但

0,x=00,x=0

/(x-Ax)一—(X)

lim/'（x）不存在，故不选（B）；而lim-f\x),故不选(C)o

XT0+Ar—0Ar

.1八

xsin—,x>0

2.设/(x)=,x，则/（x）在x=0处（）

x,x<0

A.连续且可导B.连续但不可导

C.不连续但可导D.既不连续又不可导

解：（B）

lim/(x)=limxsinl=O,/(0)=0

lim/(x)=limx=0,A

x->(TXT。-

因此/（x）在x=0处连续

1八

«x_rZQXxsin—0]

/；(0)=limZJ匕二=iim----i-=limsin此极限不存在

2。+X—02O+X—0XT°+X

从而£（o）不存在，故/'（0）不存在

3.曲线＞=/一元在点（1,0）处的切线是（）.

A.y=2x-2B.y=-2x4-2

C.y=2x+2D.y=-2x-2

解由导数的定义和它的几何意义可知，

y'⑴=(--切=(3x2-1)|=2

x=\x=\

是曲线y=/—x在点(i,0)处的切线斜率，故切线方程是

y-0=2(x-1),即y=2x—2

正确答案：A

4.已知y=则y〃=().

A.%3B.3x2C.6xD.6

解直接利用导数的公式计算:

y-(—x4)z=x3,y"=(x3y=3x2

4

正确答案：B

5.若/(一)=%,则/'(1)=()。

x

11「11

A.-B.——C.------D.-

xxxx

答案：D先求出/(x),再求其导数。

6.Z=lnJ/-y2的定义域为().

A./…1B.-220c.一2〉］D,x2-/>0

解Z的定义域为｛:*,〉)卜2-丫2>0｝个，选D。

7.下列极限存在的是()

(A)lim—-—(B)所!(C).x-(D)limxsin—!—

W+y;*+)，的+y*+y

解A.当P沿x=0时，lim/(0,y)=0,当P沿直线y=0时，lim/(x,0)=1,故lim

yTOXTOXTO

y—0

।2

—不存在；B.lim-------=8,不存在；C.如判断题中1题可知lim—二不存在；D.

x+yiox+yXT。x+y

y—»0y->0

因为limxsin-------<Iimx=0,所以limxsin---=0,选D

•sox+y.r->0'1iox+y

)TOVTOv->0

8./（x,y）在（xo,yo）处理，变均存在是/（x,y）在（/，孔）处连续的（）条件。

dxdy

（A）充分（B）必要（C）充分必要（D）既不充分也不必要

解因为学，学存在，〃x,y）在（％,先）处不一定连续，所以非充分条件。

oxdv

J工2+2H0

例如：/（x,y）=/+丁’，由偏导数的定义知道。

0,x2+y2=0

mv.o)-/(o,o)o-o

尔0,0)=lim=|im=o,同理可得力（0,0）=0,但1所）口不存在,

Ax->0ArAs。Ax+y

所以在（0,0）不连续，若〃x,y）在（%,%）处连续，雪冬在（面,％）也不一定

X'+yoxdy

存在，所以非必要。

例如f（x,y）=lxl+lyl。它在点（0,0）点处连续，但更，且不存在。选D。

Hxdy

9.设“=xyf(X+)J”)可微，且满足/半_y22=〃G(X,y)则G(x,y)=().

孙dxdy

(A)x+y(B)x-y(C)x2-y2(D)(x+y)2

m、x23uy2du

解G(x,y)=—-------—

Moxudy

x2//、xy-(x+y)y、y2..xy-(x+y)jc

=­(xf+xyf)---(xf+xyf•「

ux'yMx'y

22

uxuy

=型士当=x-y

u

选B

10.肯定不是某个二元函数的全微分的为（）

（A）ydx+xdy（B）ydx-xdy（C）xdx+ydx（D）xdx-ydx

2222

解A（孙），C（三上），D（二二二）都是某个二元函数的全微方，只有B不是，选

-22

B。

三、求解下列各题

1.求下列函数的导数：

（1）/（x）=lgx

解：/'（x）=Jge

xlnlOx

(2)y=ln(x4-Vl+x2)

解：/=—J,(X+Vi+%2y

(X+Jl+尤2)

=----r——ra+。+**)’)

(x+Jl+x~)2\1+x~

1/12x、

=-----------(1+.I------0

U+Vl1+x2)2V1+X2

_1X+J1+Y_1

(%+Ji+Y)7i+x271+%2

(3)u=xy

解：半=亦

—=xyInx-zyz"[=zxy'yz'[Inx

oy

—=xy'Inx-yz=xyyzIny

次

(4)F(x,y)=p/(s)ds+，e*dx

解蓝="孙)>

^-=xf(xy)-f(y)

oy

2.求曲线y=lnx在(1,0)点处的切线方程。

k=/'(l)=!=1,于是,

解：fXx)=~,曲线y=InX在(1,0)点处的切线方程为:

X

,一0=4.。-1),即y=x-l。

3.下列各方程中y是x的隐函数的导数

(1)xy-ex4-ey=1,求y'

解：方程两边对自变量x求导，视y为中间变量，即

(孙)-ey+d

y+盯'—e"+evy,=0

(x+e)')y，=e'-y

re”-y

整理得y=

x+ev

(2)设丁=5山。+))),求生，

dxdx

解：y'=cos(x+y)•(1+y'))■，=cos(：+))

l-cos(x+y)

y"=-sin(x+y)-(l+/)2+cos(x+y)•y”,

»sin(x+y)-y

y=-----------------=----------------

[l-cos(x+y)]3[l-cos(x+y)]3

、92z

(3)设z=z(x,y)由方程z+x=e-r所确定，求〈丁.

oyox

解：设尸(x,y,z)=eZ7-z-x,

z

工=-1,Fy=-e-\£=ec-l,

dz_1dz_e。’_1

加―e。,-]，石―――l-ei

d2z丹/1、-e>rdze"

dydxdxl-ev-z(l-ey-J)2dx(l-ey-z)3

4.求下列极限

..1-xy1-0

解lim—~个=----

x2+y21+0

(7)..l-COsJ/+y2

Dlim----------召；-------

ry->0x+Jy

-久,次+/2

1-cosJx2+y22(sin---------)

解lim-----、———-lim------~-----

通/+y,x+y2

(3)lim--X--

解lim—不存在。

iox+y

)TO

•.•当P沿着直线x=O时，lim--=O

y->0X+y

当P沿着直线y=H(%为任意数)，lim」>=lim>^=」一w0

iox+ysox+kx1+k

y—»O)TO

5.讨论f(x,y)在(0,0)

(1).偏导数是否存在。(2).是否可微。

(1)解：取。,。)=lim32kg=.­=。

Ar->0AxAXTOAX

同理可得力(0,0)=0,偏导数存在。

(2)若函数/在原点可微，则

Az-Jz=/(O+Ax,0+Ay)-/(0,0)-fx(O,O)^x-力'(O,O)Ay=

■JAx2+Ay2

应是较P高阶的无穷小量，为此，考察极限四三二班。。)亲箸,由前面

所知，此极限不存在，因而函数/在原点不可微。

_1_1

6.设2=6”‘。求证：/电■+/生=2z

dxdy

11ii)、_1_1

证：—=exyo—,—=e>o—,所以X—+y—=2e)=2z

oxxoyydxdy

第四章微分学应用作业(练习四)

一、填空题

1.函数y=3(x-l)2的驻点是，单调增加区间是,单调减少区间

是,极值点是,它是极—值点.

解：X=1,(1,+8),(-8,1),X=1,小

2.函数y=卜|在x=处达到最小值，y的驻点.

解：0,不存在

3.若/(x)在(a,。)内满足/'(x)<0,则/(x)在(a,与内是.

解：单调减少的

4.函数/(x,y)=xy-xy2-x2y的可能极值点为和。

1

2x=—

fx=y-y-2xy=y(\-2x-y)=0[x=0x=0x=1

解3

f=x-2xy—x2=x(l—x-2y)=0y=0y=1y=01

yy=-

3

-2yl-2y-2xX

九=-2y，fxy=\-2y-2x,fyy=-2x,H=

1—2y—2x—2x7

0-2-1

(0,0)H=不是，(0,1)H=不是

-10

0

(1,0)H=不是

-2/3-1/3

负定，极大值

-1/3-2/3

22

5.设f(x,y)=xsiny+(x-1)JlxyI则f'y(1,0)=

解：因为/(l,y)=siny,故f：O,O)=cosM、=0=1

二、选择题

1.设/(x)在[0,+8)内可导，尸(x)>0,/(0)<0,则/(x)在(0,+8)内().

(A)只有一点X1,使/(匹)=0；(8)至少一点X1,使/(尤])=0：

(C)没有一点无],使/(匹)=0；(0不能确定是否有X],使/(X])=0.

解：选⑶.

2.当x>0时，曲线y=xsin，().

x

(A)有且仅有水平渐近线；(8)有且仅有铅直渐近线；

(O既有水平渐近线也有铅直渐近线；(£>)既无水平渐近线也无铅直渐近线.

解:选(/).

3.设/(x)在x=0的某个邻域内连续,且"0)=0,lim=1,则在点x=0处

2sin2—

2

/U)().

(4)不可导(6)可导，且/'(0)H0(O取得极大值(〃)取得极小