第5讲 数列与不等式（2021-2022年高考真题）（解析版）

第5讲数列与不等式

一、单选题

1.（2022•全国•高考真题）图1是中国古代建筑中的举架结构，AA,88',CC',O。是桁，相邻桁的水平距离称为步,

垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图.其中0A，CG，B综例是举，OR,OG，CB1,即是相等的

步，相邻桁的举步之比分别为票=05*=匕，萼=附普=%.已知尢，&入成公差为0.1的等差数列，且直

L/C]CO]D/i1

线。4的斜率为0.725,则%=（）

【答案】D

【解析】

【分析】

设OR=OG=C4=8A=1,则可得关于%的方程，求出其解后可得正确的选项.

【详解】

设OD、=DC1=CB、=B\—1,则CCj=k、,BBX=k?、A4,=k3,

DDi+CC\+BB、+AA

依题意，有七-0.2=匕,&-0.1=融，且=0.725,

OD、+DC、+CB]+BA]

…0.5+3七—0.3八……八八

所以-------------=0.725,故%=0.9,

4

故选：D

2.（2022・全国•高考真题（理））嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞

行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列｛〃｝：4=1+1，2-+/+_L，

11

a2

a=[+--------—

%+——p，…，依此类推，其中&eN*（A=l,2,…）.则（）

Ct-y+---

A.B.b3VbsC.b6<b2D.々<4【答案】D

【解析】

【分析】

根据4eN>(R=l,2,…)，再利用数列出｝与4的关系判断出｝中各项的大小，即可求解.

【详解】

解:因为%eN*(%=1,2,…)，

11

-->-----i-

所以％<%+一,%a：，得到4>b?,

a,%T

%

11

Ct.H—>aH-----：-

同理«,〃+1,可得用<么，仇>&

%

1111

--->—j—,%+•----「</+——j—

又因为心a,+——--a、4—a?+———

Q-%-%+_L

%%

故4,4>4;

以此类推,可得。>么>么>&>…,可>4,故A错误;

故B错误;

1

—>-----

%%+——[，得h<4,故C错误;

a3+…——

4

11

%+------j—>/+---------j-

%+-----j-%+…-----「，得白，故口正确.

。3+--+--

a4a7

故选：D.

3.(2022,全国•高考真题(文))已知等比数列｛4｝的前3项和为168,a2-a｝=42,则6=()

A.14B.12C.6D.3

【答案】D

【解析】

【分析】

设等比数列｛q｝的公比为夕国力0，易得q*l,根据题意求出首项与公比，再根据等比数列的通项即可得解.

【详解】

解：设等比数列｛q｝的公比为4国工0,若g=i,则%-%=o,与题意矛盾,

所以4工1,

%(1-叫4=96

4+凡+%=---.--6-8,解得.

则1一夕1

4q=3

a2-a5=a]q-a}q=42

所以％=4/=3.

故选:D.

4.(2021・北京•高考真题)《中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定》指出，中国共产党党旗为旗面缀有金黄色

党徽图案的红旗，通用规格有五种.这五种规格党旗的长4,。3M4，%(单位:cm)成等差数列，对应的宽为

〃也也也,4(单位:cm),且长与宽之比都相等，已知4=288,a,=96,。=192,则4=

A.64B.96C.128D.160

【答案】C

【解析】

【分

设等差数列｛4｝公差为d,求得d=T8,得到%=192,结合党旗长与宽之比都相等和4=192,列出方程，即可求

解.

【详解】

由题意，五种规格党旗的长4,(单位:cm)成等差数列，设公差为d,

因为4=288,%=96,可得~:=963?80=—48,

可得。3=288+0-1)x(-48)=192,

又由长与宽之比都相等，且伪=192,可得，=誉，所以好殳色」黑：92=]28

仄by4288

故选：C.

5.(2021•北京•高考真题)已知｛可｝是各项均为整数的递增数列，且％23,若“,+%+…+%=100,则〃的最大值为

()

A.9B.10C.11D.12

【答案】C

【解析】

【分析】

使数列首项、递增幅度均最小，结合等差数列的通项及求和公式求得”可能的最大值，然后构造数列满足条件，即

得到〃的最大值.

【详解】若要使“尽可能的大，则里，递增幅度要尽可能小，

不妨设数列｛%｝是首项为3,公差为1的等差数列，其前〃项和为

3+14

则.=i»+2,电=^^12=102>100.

所以"W11.

对于.=抑+2,A=qixU=88<100,

取数列｛4｝各项为4=J»+2(〃=L2,...1O),4=25,

贝ij%+w+…+q]=1(X),

所以”的最大值为11.

故选：C.

6.(2021•全国•高考真题(文))记S,,为等比数列｛%｝的前〃项和.若$2=4,S4=6,则$6=()

A.7B.8C.9D.10

【答案】A

【解析】

【分析】

根据题目条件可得邑，S4~S2,4-S4成等比数列，从而求出品-$4=1，进一步求出答案.

【详解】

回S.为等比数列｛q｝的前，7项和，

回邑，S4-S2,S6-S4成等比数列

0S,=4,S4-S2=6-4=2

0S6-S4=1,

SS6=l+S4=l+6=7.

故选：A.

7.（2021•全国•高考真题（理））等比数列｛q｝的公比为q,前〃项和为S“，设甲：4>0,乙：｛S,,｝是递增数列，

则（）

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件

B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件

D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】当4>。时，通过举反例说明甲不是乙的充分条件；当｛S,,｝是递增数列时，必有。“>0成立即可说明4>0成

立，则甲是乙的必要条件，即可选出答案.

【详解】

由题，当数列为-2,-4,-8,…时，满足4>0,

但是｛Sj不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件.

若｛S,｝是递增数列，则必有为>0成立，若4>0不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则。>0成立，所

以甲是乙的必要条件.

故选：B.

【点睛】

在不成立的情况下，我们可以通过举反例说明，但是在成立的情况下，我们必须要给予其证明过程.

8.（2022・上海•高考真题）已知a>b>c>4,下列选项中正确的是（）

A.a+d>b+cB.a+c>b+d

C.ad>beD.aobd

【答案】B

【解析】

【分析】

用不等式的基本性质得解.

【详解】

Q3>2>l>0,（□.3+0=24-1,3x0<2xl,A、C错

（2a>h>c>d,>ci>c,h>d,所以a+c>Z?+d.B正确.

Q30>2>—l>—2,但30X（-1）<2X（—2）,D错.

故选B

9.（2021•全国•高考真题（文））下列函数中最小值为4的是（）

A.y=x2+2x+4B.丫=卜也小|^|

4

C.y=2'+22TD.y=lnx+——

Inx

【答案】c

【解析】

【分析】

根据二次函数的性质可判断A选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等”，即可得出仇。不符合题意，

C符合题意.

【详解】对于A,y=x2+2x+4=（x+l）2+3>3,当且仅当x=-l时取等号，所以其最小值为3,A不符合题意；

对于B,因为0<同11X41,），=卜inx|+岛224=4,当且仅当卜inx|=2时取等号，等号取不到，所以其最小值

不为4,B不符合题意；

对于C,因为函数定义域为R,而2、>0，产2'+22-'=2'+924=4,当且仅当2，=2,即x=l时取等号，所

以其最小值为4,C符合题意；

对于D,y=lnx+——,函数定义域为（0,l）U（L+°°），而InxwR且InxHO,如当lnx=-l,v=-5,D不符合题意.

Inx

故选：C.

【点睛】

本题解题关键是理解基本不等式的使用条件，明确"一正二定三相等"的意义，再结合有关函数的性质即可解出.

二、多选题

10.（2021•全国•高考真题）设正整数”=旬・2°+4/2+...+4_「21+%",其中4To,1},记

矶〃）=4+4+…贝I］（）

A.69（2/?）=&>（«）B.6y（2”+3）=0（”）+1

C.0（8〃+5）=<w（4〃+3）D.0（2"-1）=〃

【答案】ACD

【解析】

【分析】

利用。（〃）的定义可判断ACD选项的正误，利用特殊值法可判断B选项的正误.

【详解】

X']J'A选项，=4+。]+•••+,2H=&,2,+4,2~+…+怎_1•2"+a*,2*+l,

所以,6y（2〃）=%+O]+…+%=0（〃）,A选项正确;

对于B选项，取〃=2,2〃+3=7=卜2°+1"+1",，⑼7）=3,

而2=0・2°+12,则。（2）=1,即。（7）/。（2）+1,B选项错误;

}4M234k+3

对于C选项，Sn+5=a0-2+at-2+---+ak-2+5=]-2°+\-2+a0-2+ac2+---+ak-2,

所以，3（8"+5）=2+4+qH----i-ak,

23+20l23+2

4/7+3=a0-2+iZ]-2+-..+ar2*+3=l-2+l-2+a0-2+«l-2+...+6zr2*,

所以，3（4〃+3）=2+/+q+…+4,因此，3（8〃+5）=3（4〃+3）,C选项正确；对于D选项，2"-1=20+2'+---+2"~'>

故。（2"-1）=〃，D选项正确.

故选：ACD.

1L（2022•全国•高考真题）若x,y满足Y+丁-盯=1,则（）

A.x+y41B.x+y>-2

C.x2+y2<2D.x2+y2>l

【答案】BC

【解析】

【分析】

根据基本不等式或者取特值即可判断各选项的真假.

【详解】

因为"审）<^^L（a,htR）,由/+/_孙=1可变形为，a+y『_]=3孙，解得-24x+y42,

当且仅当x=y=T时，x+y=-2,当且仅当x=y=l时，x+y=2,所以A错误，B正确；

由x、y2-肛=i可变形为卜2+）,2）_]=盯《=£,解得/+丁42,当且仅当x=y=±l时取等号，所以C正确；

、24rr]2

因为―+丁-孙=1变形可得x--|-1+~y2=1J设x—g=cose，Ty=sing,所以x=cos6+耳sin6,y=耳$皿8,

521

因此/+y2=cos2+-sin2O+-j=s\n0cos0=\+-j=sin20--cos20+-

33

=l+|sin（20-^6r1,2L所以当x=3,y=-3时满足等式，但是/+不成立，所以D错误.

33I6八3」33

故选：BC.

三、双空题

12.（2021・全国•高考真题）某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格

为20dmx12dm的长方形纸，对折1次共可以得到lOdmxl2dm,20dmx6dm两种规格的图形，它们的面积之和

Sl=240dm-,对折2次共可以得到5dmxl2dm,10dmx6dm,20dmx3dm三种规格的图形，它们的面积之和

2

52=180dm,以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为；如果对折〃次，那么£$«=

k=\

dm2.

【答案】5720」§粤）

【解析】

【分析】（1）按对折列举即可；（2）根据规律可得5,,再根据错位相减法得结果.

【详解】

（1）由对折2次共可以得到5dmxl2dm,10dmx6dm,20dmx3dm三种规格的图形，所以对着三次的结果有：

-xl2,5x6,10x3：20x-,共4种不同规格（单位dn?）；

故对折4次可得到如下规格：j5xl2,|5x6,5x3,10x3p20x（3,共5种不同规格；

（2）由于每次对着后的图形的面积都减小为原来的一半，故各次对着后的图形，不论规格如何，其面积成公比为g

的等比数列，首项为120（5叫,第〃次对折后的图形面积为120x（；，，对于第n此对折后的图形的规格形状种数，

根据（1）的过程和结论，猜想为〃+1种（证明从略），故得猜想=

J120x2120x3120x4T120（H+1）

120x2120x3l20n1205+1)

5=----：----1----------F…H----：—F

呜2'222'i2“

两式作差得:

120(〃+1)

l5=240+120[l+±+...U120(〃+1)

-T-~T-

=36。导出第为3

闺叶c-790240（〃+3）15（〃+3）

I人IIrL,3-72。-72（）•

2"2"4

故答案为：5；720」5（：：3）

0“一4

【点睛】

方法点睛：数列求和的常用方法：

（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解;

（2）对于｛凡d｝结构，其中｛4｝是等差数列，也｝是等比数列，用错位相减法求和；

（3）对于｛%+%｝结构，利用分组求和法；

⑷对■于［结构，其中仇｝是等差数列，公差为d（dxo）,则一!一=:'—-匚，利用裂项相消法求和.

dya„«„+1）

四、填空题

13.（2022・全国•高考真题（文））记S“为等差数列｛q｝的前〃项和.若2s3=35+6,则公差d=

【答案】2

【解析】

【分析】

转化条件为2（4+加）=羽+d+6,即可得解.

【详解】

由2s3=3S2+6uj■得2（4+%+4）=3（4+0,）+6,化简得2%=q+%+6,

即2（4+%）=24+d+6,解得"=2.

故答案为：2.

14.（2022•上海•高考真题）不等式上」<0的解集为.

x

【答案】e0。<1｝

【解析】

【分析】

根据分式的运算性质分类讨论求出不等式的解集.

【详解】

x-\fx-l<0fx-l>0

:—<0=八或八，解第一个不等式组，得0<xvl,第二个不等式组的解集为

x[x>0[x<0

故答案为：｛%|0<%<1｝

【点睛】

本题考查了分式不等式的解集，考查了数学运算能力，属于基础题.

15.（2021・天津•高考真题）若a>0,b>0,则十+*+6的最小值为.

【答案】2及

【解析】

【分析】

两次利用基本不等式即可求出.

【详解】

,:a>0,b>0,

6+黄+通行\方=触22商=26当且仅当十哈且£=也即〃=/2=正时等号成立，

所以+的最小值为2&.

故答案为：2夜.

五、解答题

16.（2022•全国•高考真题）已知｛4｝为等差数列，也｝是公比为2的等比数列，且%-%=%-仇=用-

⑴证明：%="；

（2）求集合卜期=4+4，14加4500｝中元素个数.

【答案】⑴证明见解析；

(2)9.

【解析】

【分析】

(1)设数列｛/｝的公差为d，根据题意列出方程组即可证出：

(2)根据题意化简可得加=21，即可解出.

⑴

,、fa+d-2b.=a,+2J-4/7.j

设数列｛%｝的公差为d，所以，ja+1_24=8：_(”+3])’即可解得，4=0=]，所以原命题得证.

(2)

由(1)知，b1=a、=g,所以4=a,“+4X2®T=4+(加一1)4+4,即2"'=2相，亦即加=2*々w[l,500],解得

24&410,所以满足等式的解％=2,3,4,…,10,故集合的。=。,“+%14,公500川」的元素个数为10-2+1=9.

17.(2022•全国•高考真题)记S“为数列｛4｝的前〃项和，已知4=1,|肃|是公差为;的等差数列.

⑴求｛4｝的通项公式；

111c

(2)证明：一+—+…+•—<2.

q%

【答案】(1)4=岑D

(2)见解析

【解析】

【分析】(1)利用等差数列的通项公式求得显=1+：(”-1)=手，得到$“=(〃+2)%,利用和与项的关系得到当

433"3

“22时，4=S,—S,-=,进而得:B=善’利用累乘法求得叫詈，检验对于相=1也

成立，得到｛4｝的通项公式a“=*D；

(2)由(1)的结论，利用裂项求和法得到,+'+…+,=2(1二)，进而证得.

%a2an\n+1)

(1)

S

L

团4=1,团S]=4=1,0—=l/

%

又回[1]是公差为:的等差数列，

3

S“..1/i\〃+2+

OU=§("_)二亍'回'

J

回当”22时.，S“_1,

〃+2”“+

图q=S—S.=

nnn-l-33

整理得：(/7-l)a„=(n+l)a„_,

a„〃+1

即亡E

a,a.a.an

团〃〃=axx上x-x...x———

4a2an-2an-\

,34nn+\H(«+1)

=lx—x—x...x---x----=-----

23ft—2n—12

显然对于〃=1也成立，

帆％｝的通项公式%=当W;

(2)

1扃=2小・尾+".'=2L+D+.f]]=2(「舟<2

18.（2022・全国•高考真题（理））记S,,为数列｛叫的前〃项和.已知3+〃=2a“+l.

n

⑴证明：｛%｝是等差数列；（2）若包,%,%成等比数列，求S,,的最小值.

【答案】⑴证明见解析；

⑵-78.

【解析】

【分析】

（1）依题意可得2s"+"2=2也"+",根据为=二、，，作差即可得到4-4“=1,从而得证;

S-S,,«>2

（2）山（1）及等比中项的性质求出6,即可得到｛4｝的通项公式与前”项和，再根据二次函数的性质计算可得.

（1）

2V

解：因为一+〃=2a“+l,B[J2S„+n2=2nG„+M（l）,

n

当“N2时，2s,T+（〃-l）2=2（“_l）/T+（〃-l）②，

①—②得，2S"+”2_2S,I—1)2=2也“+”—2(N-1)4T-(”一1)，

即2an+2n-\-2nan-2（/i-l）a/i_l+1,

即2（〃-1）氏一2（〃-=2（〃-1）,所以“22且〃eN*,

所以｛%｝是以1为公差的等差数列.

⑵

解：由（1）可得%=4+3,%=4+6,%=4+8,

又知,«7,“9成等比数列，所以％2=%.%，

即（4+6）2=（4+3）«+8）,解得4=-12,

2、1_iog、i。，〜«(n-l)12251(25?625

川T以〃“一〃-13,川］以S“=—12〃H-----------=—n~---n=—\n--------，

“2222(2J8

所以，当〃=12或〃=13时(S.)1nhi=-78.

19.(2021•全国•高考真题)记S,,是公差不为。的等差数列｛4｝的前〃项和，若43=55，%%=54.

(1)求数列｛4｝的通项公式凡；

(2)求使S“>%成立的〃的最小值.

【答案】(1)““=2〃-6；(2)7.

【解析】

【分析】

⑴由题意首先求得4的值，然后结合题意求得数列的公差即可确定数列的通项公式；

⑵首先求得前n项和的表达式，然后求解二次不等式即可确定n的最小值.【详解】

(1)由等差数列的性质可得:$5=5%,则:(h=5a3,:.a3=0,

设等差数列的公差为d，从而有：02a4=(4—d)(4+d)=-筋，

$4=4+%+%+%=(%一24)+3-”)+%+(4-d)=-2d,

从而：—屋=-2d,由于公差不为零，故：<7=2,

数列的通项公式为：q=%+(〃-3)△=2〃-6.

⑵由数列的通项公式可得：0=2-6=-4,则：S,=WX(-4)+W"X2=〃2-5〃，

则不等式即:n2-5M>2/7-6,整理可得:(n-l)(n-6)>0,

解得：或〃>6,又"为正整数，故〃的最小值为7.

【点睛】

等差数列基本量的求解是等差数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等差数列的有关公式并能

灵活运用.

20.(2021•全国•高考真题(文))记S.为数列｛叫的前〃项和，已知4>0,%=3%且数列｛四｝是等差数列，证明：

｛%｝是等差数列.

【答案】证明见解析.

【解析】

【分

先根据百-网求出数列｛疯｝的公差d，进一步写出｛四｝的通项，从而求出｛可｝的通项公式，最终得证.

【详解】

回数列｛£｝是等差数列，设公差为&=至一苏=不%+%_弧=如

回£=施+(〃-1)底="底，(〃eN,)

2

团5“=a｝n,(?7eN")

团当〃22时，an=Sn-5„_,=卬/一4(九一=2a｛n-q

当”=1时，2qxl-q=4,满足a.=2w，

帆。“｝的通项公式为a“=2w-4，（”eN*）

回a“-%=（2%〃-4）-[2%（〃-1）一4]=24

回｛4｝是等差数列.

【点睛】

在利用4,=S,-S,i求通项公式时一定要讨论n=1的特殊情况.

21

21.（2021•全国•高考真题（理））记S”为数列｛4｝的前〃项和，"为数列｛S,,｝的前〃项积，已知丁+百=2.

（1）证明：数列｛以｝是等差数列；

（2）求｛%｝的通项公式.

3,

—,n=1

2

【答案】（1）证明见解析；（2）1.

--7~

【解析】

【分析】

2]2b2b2b2b

（1）由已知不+=2得=—^-,£L2#。，取〃=1,得々=<,山题意得病七'京七京七=%，消枳得到项

，肛一12物-122T22T

2bJ）

的递推关系Lh=》，进而证明数列也｝是等差数列；

[31

—,71=1

（2）由（1）可得。的友达式，由此得到Sn的表达式/然后利用和与项的关系求得见=；

--12

n[n+\）

【详解】

（1）[方法一]:

21cc2aI

由已知不+祀=2得5〃=不鼻，且〃尸0,b产3,

7

取“=1,由E=4得4=全

由于"为数列⑸｝的前〃项积,

2b,2b.

所以西二T诟工

2b,2b、

所以布・布2%7向'

所以2%=媪

「2%-1b„1

山丁也+i*0

211

所以五二二7二初，即如一"二Q，其中

所以数列｛"｝是以4=3a为首项，以d=］1为公差等差数列；

【方法二］【最优解】：由已知条件知〃=S「S「S3……S„.,-S„①

于是%=5「邑$…-S„.,（n>2）.②

由①②得9=5.③

Un-\

21c八

又不+厂2,④

nit

1

由③④得〃，-"l=2-

令〃=1,由S1=4，得仇=1.

所以数列｛〃｝是以I为首项，g为公差的等差数列.

［方法三］:

21S

由丁+7=2,得"=行"W，且S产0,…,S“#l.

又因为4=SJS,T……•耳=5”也1，所以〃1=?=万二5，所以2-",1=芨々-瓦二5=戒三0=5（”*2）.

21c3

隹丁+7=2中，当”=1时，=5,=-.

故数列也｝是以|■为首项，g为公差的等差数列.

［方法四］:数学归纳法

由己知尹卷=2,得S“=浣7优=|,d=2,4=|,猜想数歹式包｝是以|为首项，g为公差的等差数列，

且4=］+1.

下面用数学归纳法证明.

当〃=1时显然成立.

假设当〃=0寸成立，即4=>+l,S*=*.

那么当〃=K+1时，++D+

）攵+222

综上，猜想对任意的"eN都成立.

即数列｛〃｝是以|•为首项，g为公差的等差数列.

（2）由（1）可得，数列｛〃｝是以々=：a为首项，以为公1差的等差数列，

二2b〃=2+〃

z

〃2hn-[\+n

3

当n-1时，q=S[=/,

cc2+〃1+〃1

当n>2时,4=S〃-S〃_1="了一：一二一而用，显然对于n=l不成立，

[31

2

0«„=11

1—〃（7~〃+1）

【整体点评】

（1）方法一从卷+看=2得5“=券p然后利用仇的定义，得到数列也｝的递推关系，进而替换相除消项得到

相邻两项的关系，从而证得结论；

方法二先从"的定义，替换相除得到m一S,,再结合京+；=2得到从而证得结论，为最优解；

方法三由号+《=2,得"=不三，由"的定义得〃1=去=/二，进而作差证得结论；方法四利用归纳猜想

b"2，,一2与3,一2

得到数列2=；〃+1,然后利用数学（H纳法证得结论.

（2）由（1）的结论得到2=g〃+l,求得S”的表达武然后利用和与项的关系求得｛6,｝的通项公式；

22.（2021•全国•高考真题（理））已知数列｛4｝的各项均为正数，记S,为｛%｝的前〃项和，从下面①②③中选取两

个作为条件，证明另外一个成立.

①数列｛%｝是等差数列：②数列｛后｝是等差数列；③“2=34.

注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.

【答案】证明过程见解析

【解析】

【分析】

选①②作条件证明③时，可设出底，结合见，S”的关系求出《,，利用｛%｝是等差数列可证的=3q；也可分别设

出公差，写出各自的通项公式后利用两者的关系，对照系数，得到等量关系，进行证明.选①③作条件证明②时，

根据等差数列的求和公式表示出£,结合等差数列定义可证；

选②③作条件证明①时，设出疯=曲+6,结合。“，S,的关系求出%，根据%=3%可求6,然后可证｛4｝是等差

数列；也可利用前两项的差求出公差，然后求出通项公式，进而证明出结论.

【详解】

选①②作条件证明③：

[方法一]:待定系数法+。.与5”关系式

=an+b(a>0),则S“=(a"+0)2,

当"=1时，，4=S［=(a+b)~；

2

当“22时，an=S“-S“_1-(an+b)-(^an-a+by=a(2an-a+2b)；

因为｛%｝也是等差数列，所以(a+b)2=a(2a-a+»),解得〃=0：

所以%=/(2〃_1),a,=a2,故"2=3a2=3q.

［方法二］:待定系数法

设等差数列｛4｝的公差为4,等差数列｛£｝的公差为4,

则疯=弧+(〃-1)4，将5"="4+代入底=6+("T)4，

化简得g〃2+1%-〃=d；/+卜荷4-2d：)〃+-dJ对于V〃eN+恒成立.

d=2d：,

则有<2q-3=4苑4-4小，解得4=百,"=2%.所以a2=3q.

、口=0,

选①③作条件证明②：

因为“2=34，｛《,｝是等差数列，

所以公差〃=的一4=24，

所以S〃=na+d=rra,即=屈n,

1"："x

因为67-底=相"+1)_%=用，

所以｛四｝是等差数列.

选②③作条件证明①：

［方法一］:定义法

设6^=。〃+。(。>0)，则s“=(an+h^2,

当〃=］时，a,=S,=(a+b)~；当“22时，an=Sn-S,,,.=^an+b\-(an-a+b^=a(2an-a+2h)；

因为%=3<2］,所以a(3a+»)=3(a+A)2,解得方=0或b=—与；

当人=0时，4=/,%=/(2〃—1),当〃22时，%-可」=2〃2满足等差数列的定义，此时｛4｝为等差数列；

当6=-弓•时，&=an+b=an-*i,6=-六。不合题意，舍去.

综上可知｛4｝为等差数列.

【方法二］【最优解】：求解通项公式

因为%=3q,所以&=亚,底=.+%=2苑,因为｛£｝也为等差数列，所以公差4=疯一同=>/］，所

22

以=施+("-1)4=〃施，故S"="Z，当"22时，an=Slt-Sn_t=na］-(«-1)a,=(2«-1)a,,当〃=1时，满

足上式，故｛叫的通项公式为为=(2〃-1)4,所以a,1=(2〃-3儿，2a,,符合题意.

【整体点评】

这类题型在解答题中较为罕见，求解的关键是牢牢抓住已知条件，结合相关公式，逐步推演，选①②时，法一:

利用等差数列的通项公式是关于〃的一次函数，直接设出疯=加+优。＞0),平方后得到5“的关系式，利用

S"二］

'''得到｛%｝的通项公式，进而得到％=3q,是选择①②证明③的通式通法；法二：分别设出｛%｝

七一，1，〃之2

4｛5,,｝的公差，写出各自的通项公式后利用两者的关系，对照系数,得到等量关系4=用，4=2q,进而得到外=3《；

选①③时，按照正常的思维求出公差，表示出凡及S，进而由等差数列定义进行证明；选②③时，法一：利

用等差数列的通项公式是关于"的一次函数，直接设出点=曲+伙。＞0),结合4,S,,的关系求出根据%=3q

可求匕，然后可证｛4｝是等差数列；法二：利用底是等差数列即前两项的差4=病-衣=飘■求出公差，然后

S,,/?=1,、

求出后的通项公式，利用q=J、.，求出｛%｝的通项公式，进而证明出结论.

3“c，〃—2

23.(2021•全国•高考真题(文))设｛叫是首项为1的等比数列，数列他,｝满足么=瞥.己知外,3%，9%成等

差数列.

(1)求｛%｝和也｝的通项公式;

c

(2)记S〃和7；分别为｛4｝和也｝的前〃项和.证明：T〃＜=.

【答案】⑴4=(*',1=，；(2)证明见解析.

【解析】【分析】

(1)利用等差数列的性质及可得到9/-6q+l=0,解方程即可；

(2)利用公式法、错位相减法分别求出S”，，再作差比较即可.

【详解】

(1)因为｛5｝是首项为1的等比数列且G，3/,9%成等差数列,

所以6a2=4+9%,所以6。闷=4+9a/,

即9/_6q+l=0,解得＜?=：,所以《,=(：)”',

所以么=拳=/・

(2)［方法一］:作差后利用错位相减法求和

T12n-1n

1.=3+3+…+产+三，

f4l7+7+7+••・+*),

123n111I10--1--2--n—\——

区=|二+q+q+…+^^+-^=222n

2(33233y?+++・・・+2H--

3"13"

0-11-12-1〃-1-I

设r=」■+」+」，⑧

+・・・+___，__2

"303'323z

0-1i,1

n-\—

则*于十?+常⑨

+•,■+_____2.

3〃

由⑧-⑨得/

_3

所以「-1"

“—4x3"-2x3'i_2x3"-'

qnnn

因此(一寸<0.

三-2X3”T2x3”

故看带q.

［方法二］【最优解】：公式法和错位相减求和法

1x(1——)411n_1

证明：由(1)可得s“=--------j^—=-(1-^7)><?+…+-^+谦，①

1----

3

1.12〃一1n小

■=*+于+…+丁+产，②

GG，”2T1111n”一牙)n11n

①一②得手=鼻+至+予■+,,,+*-*?=-----1-----*?=不(1一至)一/，

Jj乙33

-3

31〃

所以(=小-菊)-K，

4JZ-J

山1“丁S”3八1、n3..1.n八

所以T-----=—(1------)--------------(1-----)=--------<0,

〃n243“2・3”43“2・3"

所以《吟.

［方法三］:构造裂项法

由(S)知”=“(g),

令cn=(cm+£)(；)，且bn=c„-c,即咽=(即+陪)一[a(〃+l)+叫),

"+1，

通过等式左右两边系数比对•易得aq夕=］,所以%=序+胃］扪

则7；=4+4+…+2=q-*=,-((+］)&),下同方法二

［方法四］:导函数法

'几工(一)

设/(x)=x+x92+Ja+…+炉=_\1---X”/,

1-X

r_i+"+l-（〃+1）