甘肃省定西市、平凉市、酒泉市、庆阳市2021年中考数学真题卷（含答案与解析）

甘肃省2021年初中毕业生学业考试

数学试卷

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号

条形码贴在答题卡指定位置。

2.答题时，选择题答案，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选

择题答案，用0.5毫米黑色墨水签字笔，直接写在答题卡上对应的答题区域内。

答案答在试题卷上无效。

3.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项。

1.3的倒数是（）

A.-3B.3C.-AD.A

33

2.2021年是农历辛丑牛年，习近平总书记勉励全国各族人民在新的一年发扬“为民服务孺

子牛、创新发展拓荒牛、艰苦奋斗老黄牛”精神，某社区也开展了''迎新春牛年剪纸展”,

下面的剪纸作品是轴对称图形的是（）

3.下列运算正确的是（）

A.«+«=3B.4娓-炳=4C.73X72=76D.丘+«=4

4.中国疫苗撑起全球抗疫“生命线”！中国外交部数据显示，截止2021年3月底，我国已

无偿向80个国家和3个国际组织提供疫苗援助.预计2022年中国新冠疫苗产能有望达

到50亿剂，约占全球产能的一半，必将为全球抗疫作出重大贡献.数据“50亿”用科学

记数法表示为（）

A.5X108B.5X109C.5X1O10D.50X108

5.将直线）・=5x向下平移2个单位长度，所得直线的表达式为（)

A.y=5x-2B.y=5x+2C.y=5(x+2)D.y=5(x-2)

6.如图，直线的顶点3在3尸上，若NC5F=20°，则N4£>E=()

A.70°B.60°C.75°D.80°

7.如图，点A,B,C,D,E在O。上，AB=CD,ZAOB=42°,则NCED=()

A.48°B.24°C.22°D.21°

8.我国古代数学著作《孙子算经》有“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共

车，九人步.问：人与车各几何？”其大意如下：有若干人要坐车，如果每3人坐一辆

车，那么有2辆空车；如果每2人坐一辆车，那么有9人需要步行，问人与车各多少？

设共有x人，y辆车，则可列方程组为()

.f3(y-2)=xf3(y+2)=x

[2y-9=x\2y+9=x

p(y-2)=xj3(y+2)=x

12y+9=x12y-9=x

9.对于任意的有理数mb,如果满足包+上=3士且，那么我们称这一对数“，人为“相随数

232+3

对”，记为(a,b).若(m,n)是“相随数对”，则3旭+2[3施+(2n-1)]=()

A.-2B.-1C.2D.3

10.如图1,在△ABC中，AB^BC,8。_£4(?于点。(4。>8。).动点M从A点出发，沿

折线AB-BC方向运动，运动到点C停止.设点用的运动路程为x,△AM。的面积为y,

y与x的函数图象如图2,则AC的长为()

二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分。

11.因式分解：4m-2加2=.

12.关于x的不等式L-的解集是

32

13.关于x的方程/-2x+k=o有两个相等的实数根，则k的值是o

14.开学前，根据学校防疫要求，小芸同学连续14天进行了体温测量，结果统计如表:

体温（°C）36.336.436.536.636.736.8

天数（天）233411

这14天中，小芸体温的众数是℃。

15.如图，在矩形A8CO中，£是8C边上一点，ZAED=90°,ZEAD=30°，尸是AO

边的中点，EF=4an9则3E=cm.

16.若点A（-3,yi）,8（-4,*）在反比例函数y=3——^的图象上，贝ijyi”.（填

X

或或“=”）

17.如图，从一块直径为4而的圆形铁皮上剪出一圆心角为90°的扇形，则此扇形的面积

18.一组按规律排列的代数式：a+2b,a2-2b3,a3+2b5,a4-2b1,则第n个式子

是

三、解答题：本大题共5小题，共26分。解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演

算步骤。

19.（4分）计算：（2021-it）°+（A）'-2cos45°.

2

2

20.（4分）先化简，再求值：（2-2）其中x=4.

x-2x2-4x+4

21.（6分）在《阿基米德全集》中的《引理集》中记录了古希腊数学家阿基米德提出的有

关圆的一个引理.如图，已知第，C是弦AB上一点，请你根据以下步骤完成这个引理

的作图过程.

（1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）；

①作线段AC的垂直平分线。E,分别交源于点£>,AC于点E,连接AQ,CD；

②以点。为圆心，D4长为半径作弧，交源于点F（F,A两点不重合），连接QF,BD,

BF.

（2）直接写出引理的结论：线段BC,8F的数量关系.

22.（6分）如图1是平凉市地标建筑“大明宝塔”，始建于明嘉靖十四年（1535年），是明

代平凉韩王府延恩寺的主体建筑.宝塔建造工艺精湛，与峥耐山的凌空塔遥相呼应，被

誉为平凉古塔“双璧”.某数学兴趣小组开展了测量“大明宝塔的高度”的实践活动，具

体过程如下：

方案设计：如图2,宝塔CQ垂直于地面，在地面上选取A,B两处分别测得NCA。和/

C8。的度数（4,D,B在同一条直线上）.

数据收集：通过实地测量：地面上4,B两点的距离为58加，ZCAD=42°,ZCBD=58°.

问题解决：求宝塔C。的高度（结果保留一位小数）.

参考数据：sin42°-0.67,cos420-0.74,tan420=0.90,sin58°-0.85,cos580-0.53,

tan58°七1.60.

根据上述方案及数据，请你完成求解过程.

图1图2

23.（6分）一个不透明的箱子里装有3个红色小球和若干个白色小球，每个小球除颜色外

其他完全相同，每次把箱子里的小球摇匀后随机摸出一个小球，记下颜色后再放回箱子

里，通过大量重复实验后，发现摸到红色小球的频率稳定于0.75左右.

（1）请你估计箱子里白色小球的个数；

（2）现从该箱子里摸出1个小球，记下颜色后放回箱子里，摇匀后，再摸出1个小球，

求两次摸出的小球颜色恰好不同的概率（用画树状图或列表的方法）.

四、解答题：本大题共5小题，共40分。解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演

算步骤。

24.（7分）为庆祝中国共产党建党100周年，某校开展了以“学习百年党史，汇聚团结伟

力”为主题的知识竞赛，竞赛结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计，按成绩分成4

B,C,D,E五个等级，并绘制了如下不完整的统计图.请结合统计图，解答下列问题:

学生成绩频数分布直方图学生成绩扇形统计图

等级成绩x

A50«60

B60«70

C70«80

D80«90

E90«00

(1)本次调查一共随机抽取了名学生的成绩，频数分布直方图中m

(2)补全学生成绩频数分布直方图；

(3)所抽取学生成绩的中位数落在等级；

(4)若成绩在80分及以上为优秀，全校共有2000名学生，估计成绩优秀的学生有多少

人？

25.(7分)如图1,小刚家、学校、图书馆在同一条直线上，小刚骑自行车匀速从学校到图

书馆，到达图书馆还完书后，再以相同的速度原路返回家中(上、下车时间忽略不计).小

刚离家的距离y(相)与他所用的时间x(min)的函数关系如图2所示.

(1)小刚家与学校的距离为，"，小刚骑自行车的速度为mlrninx

(2)求小刚从图书馆返回家的过程中，y与x的函数表达式；

(3)小刚出发35分钟时，他离家有多远？

26.(8分)如图，/\ABC内接于。0,D是。。的直径AB的延长线上一点，ZDCB=ZOAC.过

圆心O作BC的平行线交DC的延长线于点E.

(1)求证：8是。0的切线；

(2)若C£>=4,CE=6,求00的半径及tan/OCB的值.

BD

27.(8分)问题解决：如图1,在矩形ABCD中，点E,尸分别在AB,BC边上，DE=AF,

DELAF于点G.

图1图2

(1)求证：四边形ABCD是正方形；

(2)延长C8到点H,使得8H=AE,判断尸的形状，并说明理由.

类比迁移：如图2,在菱形ABCD中，点E,尸分别在AB,BC边上，DE与A尸相交于

点G,DE=AF,ZAED=60°,AE=6,BF=2,求的长.

28.(10分)如图，在平面直角坐标系中，抛物线yul?+bx+c与坐标轴交于4(0,-2),

2

B(4,0)两点，直线2C：y=-2%+8交y轴于点C.点0为直线AB下方抛物线上一动

点，过点。作x轴的垂线，垂足为G,OG分别交直线BC,AB于点E,F.

(1)求抛物线)=工2+云+。的表达式；

2

(2)当6尸=工时，连接8D,求△SO尸的面积；

2

(3)①”是)，轴上一点，当四边形BE”F是矩形时，求点H的坐标；

②在①的条件下，第一象限有一动点P,满足PH=PC+2,求△P4B周长的最小值.

参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项。

1.3的倒数是（）

A.-3B.3C.-AD.A

33

【分析】根据倒数的定义进行答题.

【解答】解：设3的倒数是小则3a=1,

解得，a=l.

3

故选：D.

2.2021年是农历辛丑牛年，习近平总书记勉励全国各族人民在新的一年发扬“为民服务孺

子牛、创新发展拓荒牛、艰苦奋斗老黄牛”精神，某社区也开展了“迎新春牛年剪纸展”,

【分析】根据轴对称图形的概念判断求解.

【解答】解：A.不是轴对称图形，故此选项不合题意；

B.是轴对称图形，故此选项符合题意；

C.不是轴对称图形，故此选项不合题意；

D.不是轴对称图形，故此选项不合题意；

故选：B.

3.下列运算正确的是（）

A.«+«=3B.4泥-疵=4C.V3><V2=V6D.圾+&=4

【分析】根据二次根式的加减法对A、8进行判断；根据二次根式的乘法法则对C进行

判断；根据二次根式的除法法则对。进行判断.

【解答】解：A、原式=2«,所以A选项的计算错误；

B、原式=3泥，所以8选项的计算错误；

C、原式=JM=近，所以C选项的计算正确；

D、原式=/32+8=T=2,所以。选项的计算错误.

故选：C.

4.中国疫苗撑起全球抗疫“生命线”！中国外交部数据显示，截止2021年3月底，我国已

无偿向80个国家和3个国际组织提供疫苗援助.预计2022年中国新冠疫苗产能有望达

到50亿剂，约占全球产能的一半，必将为全球抗疫作出重大贡献.数据“50亿”用科学

记数法表示为()

A.5X108B.5X109C.5X1O10D.50X108

【分析】科学记数法的表示形式为aX10"的形式，其中1W间＜10,〃为整数.确定n

的值时，要看把原数变成。时，小数点移动了多少位，”的绝对值与小数点移动的位数相

同.当原数绝对值210时，〃是正数；当原数的绝对值VI时，〃是负数.

【解答】解：将50亿用科学记数法表示为5X109.

故选：B.

5.将直线y=5x向下平移2个单位长度，所得直线的表达式为()

A.y=5x-2B.y=5x+2C.y=5(x+2)D.y=5(x-2)

【分析】根据“上加下减”的原则求解即可.

【解答】解：将直线y=5x向下平移2个单位长度，所得的函数解析式为y=5x-2.

故选：A.

6.如图，直线。RtZWBC的顶点3在3歹上，若NC5F=20°,则NAZ)E=()

A.70°B.60°C.75°D.80°

【分析】根据角的和差得到NABr=70°,再根据两直线平行，同位角相等即可得解.

【解答】解：VZABC=90°,ZCBF=20°,

：.ZABF=ZABC-ZCBF=10°,

•:DE〃BF,

AZADE=ZABF=1Q°,

故选：A.

7.如图，点A,B,C,D,E在OO上，AB=CD,ZAOB=42°,则NCED=()

A.48°B.24°C.22°D.21°

【分析】连接OC、OD,可得NAOB=NCOO=42°,由圆周角定理即可得NCEQ=』N

2

COD=2}°.

【解答】解：连接OC、OD,

AZAOB=ZCOD=42°,

：.ZC£D=AZCOD=21°.

2

故选：D.

8.我国古代数学著作《孙子算经》有“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共

车，九人步.问：人与车各几何？”其大意如下：有若干人要坐车，如果每3人坐一辆

车，那么有2辆空车；如果每2人坐一辆车，那么有9人需要步行，问人与车各多少？

设共有x人，y辆车，则可列方程组为()

Af3(y-2)=xRf3(y+2)=x

\2y-9=x(2y+9=x

/3(y-2)=xf3(y+2)=x

12y+9=x12y-9=x

【分析】设共有x人，y辆车，根据“如果每3人坐一辆车，那么有2辆空车；如果每2

人坐一辆车，那么有9人需要步行”，即可得出关于x,y的二元一次方程组，此题得解.

【解答】解：设共有x人，y辆车，

依题意得：（3®-2）=x.

⑵+9=x

故选：C.

9.对于任意的有理数小b,如果满足包+2=空也，那么我们称这一对数a,6为“相随数

232+3

对“，记为（a,b）.若（〃?，〃）是“相随数对"，则3m+2[3〃?+（2H-1）]=（）

A.-2B.-1C.2D.3

【分析】根据（相，n）是“相随数对”得出9m+4/?=0,再将原式化成9加+4〃-2,最后

整体代入求值即可.

【解答】解：・・・（仙〃）是“相随数对”,

•ni+ri=mjn

一彳2^3，

•••3-m--+-2n--—--m-+n,

65

即9m+4〃=0,

，3m+2[3团+（2/?-1）]

=3m+2[3m+2n-1]

=3团+6加+4〃-2

=9〃计4〃-2

=0-2

=-2,

故选：A.

10.如图1,在△A8C中，AB=BC,BOJ_AC于点。（AO>8O）.动点M从A点出发，沿

折线ABfBC方向运动，运动到点C停止.设点M的运动路程为x,△4〃£）的面积为y,

y与x的函数图象如图2,则AC的长为（）

【分析】先根据AB=8C结合图2得出AB=J石，进而利用勾股定理得，AD+BD=13,

再由运动结合△4£>〃的面积的变化，得出点用和点8重合时，△AOW的面积最大，其

值为3,即」工。”。=3,进而建立二元二次方程组求解，即可得出结论.

2

【解答】解：由图2知，AB+BC=25，

"：AB^BC,

.•.A8=F，

"：AB=BC,BDLBC,

：.AC^2AD,ZADB=90°,

在中，AD^+BD2

设点M到AC的距离为h,

'.S^ADM—^AD'h,

2

:动点M从A点出发，沿折线AB-BC方向运动，

当点M运动到点8时，△AOM的面积最大，即〃=8£>,

由图2知，△AOM的面积最大为3,

:.1AD-BC=3,

2

②，

①+2X②得，AD2+B£>2+2AD.BD=13+2X6=25,

：.(AD+BD)2=25,

：.AD+BD^5(负值舍去)，

：.BD=5-AD@,

将③代入②得，AO(5-AO)=6,

；.4。=3或AQ=2,

"：AD>BD,

：.AD=3,

：.AC=2AD=6,

故选：B.

二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分。

11.因式分解：4成-2川=2m(2-/").

【分析】提取公因式进行因式分解.

【解答】解：4m-2m2=2m(2-ni),

故答案为：2m(2-m).

12.关于x的不等式1>工的解集是x>l.

322—

【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、系数化为1可得.

【解答】解：移项，得：lr>l+X

32

合并同类项，得：工>3,

32

系数化为1,得：x>l,

2

故答案为：尤>9.

2

13.关于x的方程/-2r+k=0有两个相等的实数根，则无的值是1。

【分析】根据根的判别式△=(),即可得出关于k的一元一次方程，解之即可得出左值.

【解答】解：•.•关于x的方程f-2x+k=0有两个相等的实数根，

.，.△=(-2)2-4X1X仁0,

解得:k=l.

故答案为：1.

14.开学前，根据学校防疫要求，小芸同学连续14天进行了体温测量，结果统计如表：

体温(七)36.336.436.536.636.736.8

天数(天)233411

这14天中，小芸体温的众数是36.6

【分析】根据众数的定义就可解决问题.

【解答】解：36.6出现的次数最多有4次，所以众数是36.6.

故答案为：36.6.

15.如图，在矩形ABC3中，E是BC边上一点，ZA£D=90°,ZEAD=30°，尸是4。

边的中点，EF=4cm,则BE=6cm.

【分析】先利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求出AD长，再根据矩形的

性质得出AO〃8C,N8=90°,然后解直角三角形ABE即可.

【解答】解：・・・NAED=90°E是AO边的中点，EF=4,

：.AD=2EF=89

*：ZEAD=3O0,

AAE=AD*cosZ30°=8义退=4百

2

又・・•四边形ABCO是矩形，

：.AD//BC,ZB=9Q°,

：.ZBEA=ZAED=30Q,

在中，

8E=AE・cos/BE4=4«Xcos300=4/义通=6(。机)，

2

故答案为：6.

2口

16.若点A(-3,yi),8(-4,”)在反比例函数y=^——i■的图象上，则yiV(填

x

或“V”或“=”)

2口

【分析】反比例函数y=7L的图象在一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减

X

小，判断出)，的值的大小关系.

【解答】解：・.・左=〃2+]>(),

，反比例函数y=7L的图象在一、三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小，

x

・・,点A(-3,yi),B(-4,")同在第三象限，且-3>-4,

；・yiV)%

故答案为V.

17.如图，从一块直径为4,加的圆形铁皮上剪出一圆心角为90°的扇形，则此扇形的面积

为2ndm2.

【分析】连接AC,根据圆周角定理得出AC为圆的直径，解直角三角形求出A5,根据

扇形面积公式求出即可.

【解答】解：连接AC,

:从一块直径为4痴的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，即/ABC=90°,

；.AC为直径，即AC=4而?，AB=BC（扇形的半径相等），

VAB2+BC2=22,

'.AB=BC=2yp2^m,

••・阴影部分的面积是％"兀"2&）2=2（（端）.

360

故答案为：2n.

18.一组按规律排列的代数式：a+2b,a2-2/,a3+2b5,a4-2b7,,,,）则第n个式子是a"+

（_］）.

【分析】根据已知的式子可以得到每个式子的第一项中。的次数是式子的序号：第二项

的符号：第奇数项是正号，第偶数项是负号；第二项中b的次数是序号的2倍减1,据此

即可写出.

【解答】解:观察代数式,得到第〃个式子是:/+（-1）"%2庐厂】.

故答案为:〃"+（-1严・2庐7.

三、解答题：本大题共5小题，共26分。解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演

算步骤。

19.（4分）计算：（2021-ir）°+（工）1-2cos45°.

2

［分析］根据零指数基，负整数指数事,特殊角的三角函数值计算即可.

【解答】解:原式=1+2-2X返

2

=3-V2.

2

20.（4分）先化简，再求值：（2-①）=4其中》=4.

2

x-2X-4X+4

【分析】首先将分式的分子与分母进行分解因式进而化简，再将x的值代入求出答案.

［解答］解：原式=_&）・，（X?2_士

x-2x-2（x+2）（x-2）x-2x+2x+2

当x=4时，原式=-…4_=-2.

4+23

21.（6分）在《阿基米德全集》中的《引理集》中记录了古希腊数学家阿基米德提出的有

关圆的一个引理.如图，已知第，C是弦AB上一点，请你根据以下步骤完成这个引理

的作图过程.

（1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）；

①作线段AC的垂直平分线OE,分别交定于点。，4c于点E,连接AO,CD；

②以点。为圆心，D4长为半径作弧，交源于点尸（凡A两点不重合），连接ORBD,

BF.

（2）直接写出引理的结论：线段BC,B尸的数量关系.

【分析】（1）①根据要求作出图形即可.

②根据要求作出图形即可.

（2）证明△OF8丝/XCCB可得结论.

【解答】解：（1）①如图，直线。E,线段4力,线段CO即为所求.

②如图，点F,线段即为所求作.

（2）结论：BF=BC.

理由：垂直平分线段AC,

：.DA=DC,

J.ZDAC^ZDCA,

'：AD=DF,

：.DF=DC,^）=DF,

：.ZDBC=ZDBF,

'：ZDFB+ZDAC=\SO°.ZDCB+ZDCA=\SO°,

NDFB=ZDCB,

在△£»«和aocB中，

,ZDFB=ZDCB

>ZDBF=ZDBC,

DF=DC

/\DFB^ADCfi（AA5）,

：.BF=BC.

22.（6分）如图1是平凉市地标建筑“大明宝塔”，始建于明嘉靖十四年（1535年），是明

代平凉韩王府延恩寺的主体建筑.宝塔建造工艺精湛，与蟀响山的凌空塔遥相呼应，被

誉为平凉古塔“双璧”.某数学兴趣小组开展了测量“大明宝塔的高度”的实践活动，具

体过程如下：

方案设计：如图2,宝塔CD垂直于地面，在地面上选取A,B两处分别测得NCAO和N

CBD的度数（A,D,B在同一条直线上）.

数据收集：通过实地测量：地面上A,B两点的距离为58如NC4£>=42°,ZCBD=5SQ.

问题解决：求宝塔C。的高度（结果保留一位小数）.

参考数据：sin42°弋0.67,cos420=0.74,tan42°七0.90,sin58°七0.85,cos580弋0.53,

tan58"«1.60.

根据上述方案及数据，请你完成求解过程.

图1图2

【分析】设设CD=x”"，在RtaACD中，可得出AO=——皿——，在RtZ\ACD中,8。

tanZCAD

=一4一，再由AQ+BO=AB,列式计算即可得出答案.

tanZCBD

【解答】解：设CD=xcvn,

在Rt/XACD中，40=————=————^―,

tan/CADtan4200.9

在RtAACD中,BQ=——"——=————

tan/CBDtan5801.6

"：AD+BD=AB,

•XXuc

"'oT?'T?-58,

解得，x^33.4.

答：宝塔的高度约为33.4〃?.

23.（6分）一个不透明的箱子里装有3个红色小球和若干个白色小球，每个小球除颜色外

其他完全相同，每次把箱子里的小球摇匀后随机摸出一个小球，记下颜色后再放回箱子

里，通过大量重复实验后，发现摸到红色小球的频率稳定于0.75左右.

（1）请你估计箱子里白色小球的个数；

（2）现从该箱子里摸出1个小球，记下颜色后放回箱子里，摇匀后，再摸出1个小球，

求两次摸出的小球颜色恰好不同的概率（用画树状图或列表的方法）.

【分析】（1）设白球有x个，根据多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.75左

右可估计摸到红球的概率为0.75,据此利用概率公式列出关于x的方程，解之即可；

（2）画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解

即可.

【解答】解：（1）••,通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.75左右，

估计摸到红球的概率为0.75,

设白球有x个，

根据题意，得：旦=0.75,

3+x

解得x—1,

经检验x=l是分式方程的解，

...估计箱子里白色小球的个数为1;

（2）画树状图为：

开始

共有16种等可能的结果数，其中两次摸出的球恰好颜色不同的结果数为6,

...两次摸出的小球颜色恰好不同的概率为&=3.

168

四、解答题：本大题共5小题，共40分。解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演

算步骤。

24.（7分）为庆祝中国共产党建党100周年，某校开展了以“学习百年党史，汇聚团结伟

力”为主题的知识竞赛，竞赛结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计，按成绩分成A,

B,C,D,E五个等级，并绘制了如下不完整的统计图.请结合统计图，解答下列问题:

学生成绩频数分布直方图学生成绩扇形统计图

等级成绩X

A50«60

B60«70

C70Wx〈80

D80Wx<90

E90WxW100

（1）本次调查一共随机抽取了200名学生的成绩,频数分布直方图中，〃=16

（2）补全学生成绩频数分布直方图;

（3）所抽取学生成绩的中位数落在C等级:

（4）若成绩在80分及以上为优秀，全校共有2000名学生，估计成绩优秀的学生有多少

人？

【分析】（1）由8等级人数及其所占百分比可得被调查的总人数，总人数乘以4等级对

应百分比可得，”的值；

（2）总人数乘以C等级人数所占百分比求出其人数即可补全图形；

（3）根据中位数的定义求解即可；

（4）总人数乘以样本中。、E等级人数和所占比例即可.

【解答】解：（1）一共调查学生人数为40・20%=200,A等级人数相=200X8%=16,

故答案为:200,16；

（2）/C等级人数为200X25%=50,

补全频数分布直方图如下：

学生成绩频数分布直方图

101个数据的平均数，而第100,101

个数据都落在C等级,

所以所抽取学生成绩的中位数落在C等级;

故答案为：C.

（4）估计成绩优秀的学生有2000义2也=940（人）.

200

25.（7分）如图1,小刚家、学校、图书馆在同一条直线上，小刚骑自行车匀速从学校到图

书馆，到达图书馆还完书后，再以相同的速度原路返回家中（上、下车时间忽略不计）.小

刚离家的距离y（，"）与他所用的时间x（而〃）的函数关系如图2所示.

（1）小刚家与学校的距离为3000〃?，小刚骑自行车的速度为200m/min；

(2)求小刚从图书馆返回家的过程中，)，与x的函数表达式;

(3)小刚出发35分钟时，他离家有多远？

【分析】(1)根据函数图象和题意可以求得小刚家与学校的距离为3000小，小刚骑自行

车的速度为200m/min；

(2)先求出小刚从图书馆返回家的时间，进而得出总时间，再利用待定系数法即可求出

y与x之间的函数关系式；

(3)把x=35代入(2)的结论解答即可.

【解答】解：⑴由题意得，小刚家与学校的距离为3000m,

小刚骑自行车的速度为：(5000-3000)-M0=200(.mimin'),

故答案为：3000；200；

(2)小刚从图书馆返回家的时间：50004-200=25(.min),

总时间：25+20=45(加〃),

设小刚从图书馆返回家的过程中，y与尤的函数表达式为y=kx+b,

把(20,5000),(45,0)代入得：

f20k+b=5000>解得［k=-200

I45k+b=0lb=9000

；.y=-200x+9000(20WxW45)；

(3)小刚出发35分钟时，即当x=35时，

y=-200X35+9000=2000.

答：此时他离家2000〃?.

26.(8分)如图，/XABC内接于O。,D是00的直径AB的延长线上一点，ZDCB^ZOAC.过

圆心O作BC的平行线交DC的延长线于点E.

(1)求证：C£>是OO的切线；

(2)若CD=4,CE=6,求。。的半径及tan/OCB的值.

【分析】(1)由等腰三角形的性质与己知条件得出,NOC4=NOCB,由圆周角定理可得

NACB=90°,进而得到/OC£)=90°,即可得出结论；

(2)根据平行线分线段成比例定理得到四=型=2,设2O=2x,则0B=0C=3x,0£>=

OBCE3

O8+8O=5x,在RtZ\OCD中，根据勾股定理求出x=1,即。0的半径为3,由平行线的性

质得到/OCB=/EOC,在Rtz^OCE中，可求得tan/EOC=2,即tan/OCB=2.

【解答】(1)证明：；。4=OC,

：.ZOAC=ZOCA,

ZDCB^ZOAC,

：.ZOCA^ZDCB,

是。。的直径，

.'.ZACB=90°,

：.ZOCA+ZOCB=90Q,

：.ZDCB+ZOCB=90a,

即NOCD=90°,

.'.OC±DC,

；OC是00的半径，

...(7。是。0的切线；

(2)解：,：OE//AC,

•BD=CD

*'0BCE'

VCD=4,CE=6,

•BD_4=2

OB63

设BO=2x,则0B=0C=3x,0D=OB+BD=5x,

'：OC±DC,

...△OCO是直角三角形，

在RtZXOCZ)中，OCZ+CD2：。。2，

(3X)2+42=(5X)2,

解得，x=],

...OC=3x=3,即。。的半径为3,

,JBC//OE,

：.ZOCB^ZEOC,

在RtZ\OCE中，tanNEOC=12=2=2,

0C3

tanZOCB—tanZEOC—1.

27.(8分)问题解决：如图1,在矩形ABCQ中，点E,F分别在AB,BC边上，DE=AF,

DE_LAF于点G.

图1图2

(1)求证：四边形ABCD是正方形；

(2)延长C8到点使得8H=AE,判断尸的形状，并说明理由.

类比迁移：如图2,在菱形ABCD中，点E,尸分别在AB,BC边上，OE与AF相交于

点G,DE=AF,ZA££>=60°,AE=6,BF=2,求的长.

【分析】(1)根据矩形的性质得/D48=NB=90°,由等角的余角相等可得/AOE=N

BAF,利用A45可得△/!£>£•丝尸(A4S),由全等三角形的性质得AD^AB,即可得

四边形ABCO是正方形；

(2)根据矩形的性质得/D4B=NA8H=90°,AB=D4,利用SAS可得△DABgZXAB”

(SAS),由全等三角形的性质得AH=DE,由已知OE=AF可得AH=AF,即可得△AHF

是等腰三角形；

(3)延长CB到点H,使BH=AE=6,连接AH,利用SAS可得△D4E堂△A8H(SAS),

由全等三角形的性质得A4=£>E,NA/B=/Z)EA=60°,由已知QE=A尸可得A”=AF,

可得△AHF是等边三角形，则AH=HF="B+BF=AE+BF=6+2=8,等量代换可得OE

=AH=S.

【解答】(1)证明：•••四边形ABCQ是矩形，

：.NDAB=/B=90°,

•：DEA.AF,

：.ZDAB=ZAGD=90°,

：.ZBAF+ZDAF=90°,ZADE+ZDAF=9Q°,

：.NADE=NBAF,

"：DE=AF,

：.^ADE^/XBAF(A4S),

：.AD=AB,

•.•四边形A8CO是矩形，

四边形ABC。是正方形；

图1

(2)解：△A/7F是等腰三角形，

理由：•••四边形ABC0是矩形，

...N/MB=NA8H=90°,AB=DA,

•；BH=AE,

:.LDAB9/\ABH(SAS),

：.AH=DE,

'：DE=AF,

：.AH=AF,

...△AH尸是等腰三角形；

(3)解：延长CB到点4,使B"=AE=6,连接47,

AD

图2

•••四边形ABC。是菱形，

：.AD//BC,AB=AD,

：.NABH=ZBAD,

,:BH=AE,

:.△DAE"/\ABH(SAS),

：.AH=DE,NA”B=NDE4=60°,

\"DE=AF,

：.AH=AF,

...△A4尸是等边三角形，

，AH=HF=HB+BF=AE+BF=6+2=8,

：.DE=AH=S.

28.(10分)如图，在平面直角坐标系中，抛物线)，=2/+笈+。与坐标轴交于A(0,-2),

2

B(4,0)两点，直线8C：y=-2x+8交y轴于点C.点O为直线4B下方抛物线上一动

点，过点。作x轴的垂线，垂足为G,OG分别交直线BC,AB于点E,F.

(1)求抛物线yuM+bx+c的表达式；

2

(2)当GF=2时，连接BO,求△8OF的面积；

2

(3)①”是)，轴上一点，当四边形BE”F是矩形时，求点”的坐标；

②在①的条件下，第一象限有一动点P,满足PH=PC+2,求△PHB周长的最小值.

【分析】(1)利用待定系数法求解即可.

(2)求出点。的坐标，可得结论.

(3)①过点H作HMLEF于例,证明△EMHgZkf'GB(AAS),推出加，=68,£70=尸6,由

HM=OG,可得OG=GB=2O8=2,由题意直线AB的解析式为y=L-2,设E(a,-

22

2a+8),F(a,la-2),根据MH=BG,构建方程求解，可得结论.

②因为△PHB的周长=P4+PB+HB=PC+2+PB+5=PC+PB+7,所以要使得的周长

最小，只要PC+PB的值最小，因为PC+P52BC,所以当点尸在BC上时，PC+PB=BC

的值最小.

【解答】解：(1)：抛物线丫=1>+弧+，过A(0,-2),B(4,0)两点，

2

.(c=-2

18+4b+c=0

\_3

解得1b-T,

c=-2

(2)VB(4,0)4(0,-2),

08=4,04=2,

•・・GF_Lx轴，OA_Lx轴，

在RtABOA和RtZ\8G/中，tan/A80=©a=gL,

OBGB

工

即2=上_,

4GB

，GB=l,

：.OG=OB-GB=4-1=3,

当x=3时，yn=Lx9-3x3-2=-2,

22

.\Z)(3,-2),B|JGD=2,

:.FD=GD-GF=2-A=J.,

22

•*.S/\BDF=A,DF*