专题07 双曲线离心率归类 （解析版）2023-2024学年高二数学上学期期中期末复习讲练测（人教A版2019选择性必修第一册）

第第页专题07双曲线离心率归类一、核心考点题型归纳【题型一】方程与离心率【题型二】渐近线求离心率【题型三】中点型求离心率【题型四】第三定义型点差法求离心率【题型五】渐近线型中点求离心率【题型六】第一定义型中点求离心率【题型七】共焦点椭圆双曲线型求离心率【题型八】求离心率范围最值型【题型九】共焦点椭圆与双曲线型离心率最值【题型十】离心率求参【题型十一】焦点三角形内心型求离心率二、期中期末好题培优练热点好题归纳知识点与技巧：双曲线结论：(1)如图3：①动点P到同侧焦点F2的距离最小值为：|PF2|最小＝|A2F2|＝c－a；②焦点到渐近线的距离为：|F2M|＝b；(2)渐近线求法结论：可直接令方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ(λ≠0)等号右边的常数为0，化简解得；（3）已知直线：与双曲线相交于，两点，为的中点，为坐标原点，则.（4）已知F1,F2是双曲线C:eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的两焦点，P为C上一点，（5）根据条件求得，利用或（6)性质：过圆锥曲线的焦点F的弦AB与对称轴（椭圆是长轴，双曲线是实轴）的夹角为(7)椭圆（双曲线）在其上一点的切线方程为，再应用此方程时，首先应证明直线与椭圆（双曲线）相切.(8)椭圆（双曲线）在其上一点的切线方程为，再应用此方程时，首先应证明直线与椭圆（双曲线）相切.(9)椭圆与双曲线共焦点、，它们的交点对两公共焦点、的张角为，椭圆与双曲线的离心率分别为、，则．【题型一】方程与离心率1.（2021秋·山西晋城·高二晋城市第一中学校校考阶段练习）双曲线的离心率用来表示，则（

）A．在上是增函数 B．在上是减函数C．在上是增函数，在上是减函数 D．是常数【答案】D【分析】根据双曲线的渐近线为坐标轴，结合等轴双曲线的离心率为定值，即可求解.【详解】由题意，双曲线的渐近线为轴和轴，即坐标轴，其中坐标轴互相垂直，即该双曲线为等轴双曲线，所以双曲线的离心率为，即（常数）.故选：D.2.（2023·陕西宝鸡·校联考模拟预测）已知双曲线的焦距为4，则该双曲线的离心率为（

）A．2 B． C． D．【答案】C【分析】利用题意可得到，，的值，即可求解【详解】由双曲线的焦距为4可得，，则，所以．故选：C3.（2023·全国·高二专题练习）已知双曲线，下列结论正确的是（

）A．C的实轴长为 B．C的渐近线方程为C．C的离心率为 D．C的一个焦点的坐标为【答案】C【分析】求出实半轴、虚半轴、半焦距，即可按定义逐个判断.【详解】对A，C的实轴长为，A错；对B，C的渐近线方程为，B错；对C，C的离心率为，C对；对D，C的焦点的坐标为，D错.故选：C4.（2022秋·广东江门·高二江门市第一中学校考阶段练习）设双曲线的半焦距为，直线过，两点.已知原点到直线的距离为，则双曲线的离心率为（

）A． B． C．或2 D．2【答案】D【分析】写出直线方程，利用点到直线距离公式，以及之间的关系列方程求出双曲线的离心率，再根据分类讨论，确定双曲线的离心率.【详解】解：由题意在双曲线中，，半焦距为，直线过，两点∴在中，原点到直线的距离为，∴解得：∵∴当时，解得：，舍去，当时，解得：，符合题意，综上，，故选：D.5.（2023·辽宁·校联考模拟预测）已知双曲线C的顶点为，，虚轴的一个端点为B，且是一个等边三角形，则双曲线C的离心率为（

）A．2 B． C．3 D．【答案】A【分析】利用题给条件得到关于的关系式，即可求得双曲线C的离心率【详解】由是一个等边三角形，可得即，则有，即则双曲线C的离心率。故选：A【题型二】渐近线求离心率1.（2023·陕西咸阳·陕西咸阳中学校考模拟预测）若双曲线的一条渐近线的倾斜角是另一条渐近线倾斜角的3倍，则该双曲线的离心率为（

）A．2 B． C． D．【答案】B【分析】求出两渐近线的倾斜角，得到渐近线方程，得到，求出离心率.【详解】因为一条渐近线的倾斜角是另一条渐近线倾斜角的3倍，且这两条渐近线倾斜角的和等于，所以渐近线的倾斜角分别为，故渐近线方程为，故，，故离心率为.故选：B.2.（2023春·黑龙江大庆·高二大庆中学校考开学考试）已知点在双曲线的渐近线上，则双曲线的离心率为（

）A． B．2 C． D．【答案】D【分析】将P点坐标代入渐近线方程，求出a与b的关系，再根据求出离心率.【详解】渐近线方程为：，由于P点坐标在第二象限，选用，将P点坐标代入得：，又；故选：D.3.（2022·全国高二专题练习）已知双曲线（，）与直线无公共点，则双曲线的离心率的最大值是（

）A． B．2 C． D．【答案】D【分析】根据双曲线的几何性质可知：双曲线与没有公共点，则，即可求解.【详解】双曲线的渐近线方程为：，若双曲线（，）与直线无公共点，则应有，所以离心率，故选：D4.（2022春·新疆博尔塔拉高二阶段练习）若双曲线的两条渐近线与直线y＝2围成了一个等边三角形，则C的离心率为（

）A． B． C． D．2【答案】D【分析】根据题意得到渐近线方程的斜率，从而得到，求出离心率.【详解】由题意得：渐近线方程的斜率为，又渐近线方程为，所以，所以C的离心率为故选：D5.（2022春·河南濮阳高二统考开学考试）已知双曲线，若直线与C的两条渐近线分别交于点A，B，O为坐标原点，且，的夹角为，则C的离心率为(

)A．2 B． C． D．【答案】A【分析】求出双曲线的渐近线方程，由对称性求出渐近线斜率，求解，解得c，即可求离心率．【详解】双曲线的渐近线方程为，直线与双曲线的两条渐近线交于，两点，为坐标原点，则OA＝OB，由，的夹角为知为等边三角形，∴渐近线的斜率为：，∴，又，∴，则．故选：A．【题型三】中点型求离心率1.（2023·河北保定·统考二模）已知双曲线的右焦点为为虚轴上端点，是中点，为坐标原点，交双曲线右支于，若垂直于轴，则双曲线的离心率为（

）A． B．2 C． D．【答案】A【分析】作出图象，根据几何性质可得点的坐标，结合∥可得，进而求出离心率.【详解】由题意，在双曲线C:中，右焦点为，FN垂直于轴，

由题意可知：，因为是BF中点，则，可得，且三点共线，则∥，可得，即,所以.故选：A.2.．（2023秋·四川成都高二统考期中）已知双曲线的左､右焦点分别为，过斜率为的直线与的右支交于点，若线段与轴的交点恰为的中点，则的离心率为（

）A． B． C．2 D．3【答案】D【分析】求得点坐标，根据直线的斜率列方程，化简求得双曲线的离心率.【详解】由于线段与轴的交点恰为的中点，且是的中点，所以，由解得，则，而，所以，，两边除以得，解得或（舍去）.故选：D

3.．（2023·全国高二专题练习）设双曲线的右焦点为F，过点F的直线l平行于双曲线C的一条渐近线，与另一条渐近线交于点P，与双曲线C交于点Q，若Q为线段的中点，则双曲线C的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先根据题意得到直线，与另一条渐近线联立得到，根据为线段的中点得到，再代入双曲线方程求解即可.【详解】由题知：，平行的一条渐近线为，则直线，，即.因为为线段的中点，所以.把代入得：，化简得，即，则.故选：C4.（2022春·重庆沙坪坝·高二重庆八中校考期中）已知双曲线的左､右焦点分别为､，点M在y轴上，且，若线段的中点恰好在双曲线的渐近线上，则E的离心率为（

）A． B． C．2 D．【答案】A【分析】不妨设在轴的正半轴，设，，依题意可得，从而表示出的中点为的坐标，再代入渐近线方程，即可得到，从而求出离心率；【详解】解：不妨设在轴的正半轴，设，，显然为等腰三角形，由，所以，故，设的中点为，由于，所以，又在渐近线上，所以，所以，所以．故选：A．5.（2023·全国高二专题练习）已知双曲线：的左右焦点分别为，，点在轴上，为等边三角形，且线段的中点恰在双曲线上，则双曲线的离心率为（

）A． B．2 C． D．【答案】C【分析】设线段的中点为，根据双曲线的定义，可得，再根据等边三角形的特点可知，由此可得，即可求出离心率.【详解】如图所示，设，，设线段的中点为，则在双曲线的右支上，又为等边三角形，所以，所以，所以连接，则在等边三角形中，且，所以，所以，即双曲线的离心率为.故选：C.【题型四】第三定义型点差法求离心率1.（2023·江西南昌·统考三模）不与x轴重合的直线l经过点，双曲线上存在两点关于l对称，中点M的横坐标为，若，则C的离心率为（

）A． B． C．2 D．【答案】C【分析】由点差法得，结合得，代入斜率公式化简并利用可求得离心率.【详解】设，则，两式相减得，即，即，所以，因为是AB垂直平分线，有，所以，即，化简得，故.故选：C.2.．（2022秋·河南郑州高二统考期末）已知双曲线，过点的直线与相交于两点，且的中点为，则双曲线的离心率为（

）A．2 B． C． D．【答案】B【分析】由点差法得出，进而由离心率公式求解即可.【详解】设，，由的中点为，则，由，两式相减得：=，则==，由直线的斜率，∴，则，双曲线的离心率，∴双曲线的离心率为，故选：B．3.（2022秋·甘肃兰州高二兰化一中校考阶段练习）已知双曲线与斜率为1的直线交于A，B两点，若线段AB的中点为，则C的离心率（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】中点弦问题利用点差法处理.【详解】法一：设，则，所以，又AB的中点为，所以，所以，由题意知，所以，即，则C的离心率.故A，B，D错误.故选：C.法二：直线AB过点，斜率为1，所以其方程为，即，代入并整理得，因为为线段AB的中点，所以，整理得，所以C的离心率.故A，B，D错误.故选：C.4.（2022秋·高二课时练习）已知双曲线的离心率为，直线与交于两点，为线段的中点，为坐标原点，则与的斜率的乘积为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】设出，，的坐标，利用点差法，结合为线段的中点，以及两点之间的斜率公式，通过恒等变换，得到与的斜率的乘积与的关系，根据化简可得答案.【详解】设，，，则，两式作差，并化简得，，所以，因为为线段的中点，即所以，即，由，得.故选：B.5.（2023·全国高二专题练习）过双曲线：（，）的焦点且斜率不为0的直线交于A，两点，为中点，若，则的离心率为（

）A． B．2 C． D．【答案】D【分析】先设出直线AB的方程，并与双曲线的方程联立，利用设而不求的方法及条件得到关于的关系，进而求得双曲线的离心率【详解】不妨设过双曲线的焦点且斜率不为0的直线为，令由，整理得则，则，由，可得则有，即，则双曲线的离心率故选：D【题型五】渐近线型中点求离心率1.（2023春·四川德阳·高二德阳五中校考阶段练习）已知直线与圆相切于点E，直线l与双曲线的两条渐近线分别相交于A，B两点，且E为AB的中点，则双曲线的离心率为（

）A．2 B． C． D．【答案】B【分析】联立直线与双曲线的渐近线求出两点的坐标，即可用表示出中点的坐标，由直线与圆相切可得，再联立直线与圆，即可用表示出的坐标，再消即可得出的值，再利用求出答案.【详解】双曲线的两条渐近线为，联立直线与渐近线，解得，所以的中点坐标，所以，又，所以，即点在第一象限，即，又直线与圆相切，即，解得（负值舍去），则直线，联立直线与圆，解得，即，即，解得，所以双曲线的离心率.

故选：B2.（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）已知双曲线C的方程为，斜率为的直线与圆相切于M，与双曲线C的两条渐近线分别相交于A，B，且M为AB中点，则双曲线C的离心率为（

）A．2 B． C． D．【答案】B【分析】.设出直线的方程，求出A，B的坐标，从而可得点M的坐标，代入圆方程中即可求离心率【详解】依题意，设直线的方程为，圆的方程可化为，即圆心坐标为，半径为，因为直线与圆相切于M，所以，由可化简得，则直线的方程为，双曲线C的两条渐近线分别为，，由得，同理可得，因为M为AB中点，由中点坐标公式可得，M在圆上，将M的坐标代入圆方程可得，化简整理得，从而可得，则双曲线C的离心率.故选：B3.（2023·全国高二专题练习）以双曲线C：的实轴与虚轴端点为顶点的四边形各边中点恰在双曲线的渐近线上，则双曲线C的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据中点公式可得在直线上，即可代入求解.【详解】由题意可得实轴的顶点为虚轴的顶点为，故4个中点为，双曲线的渐近线为，因此不妨考虑点在直线上，所以，，双曲线C的离心率，故选：A.4.．（2023秋·浙江杭州·高二杭十四中校考期末）双曲线的左焦点为F，离心率为e，过点F且斜率为1的直线与双曲线的两条渐近线分别交于点A，B，若AB的中点为M，若等于半焦距，则（

）A．1 B． C． D．2【答案】B【分析】设直线方程，然后与渐近线方程联立即可得出两点坐标，最后通过两点坐标得出中点坐标并运用两点间的距离公式得出算式，化简整理，即可得出结果．【详解】双曲线的渐近线方程为，设双曲线的半焦距为，则双曲线的左焦点，过点且斜率为1的直线方程为，联立，可得，联立，可得，不妨设，，故中点坐标为，则有，所以，因为，所以，所以（矛盾舍去）或，所以所以，所以，故，故选：B．5.（2022秋·河南洛阳高二校联考阶段练习）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，点B在直线上，且位于第一象限，直线与直线交于点A，且A是线段的中点，，则C的离心率为（

）A． B．2 C． D．【答案】B【分析】根据双曲线渐近线方程可设出点坐标，根据和O是的中点，得出，建立等量关系得，即可求得离心率.【详解】方法一：由题知直线是双曲线的两条渐近线，如图，因为O是的中点，且，所以，设，则解得即．因为A是的中点，所以，又点A在直线上，所以，解得c＝2a，所以，故选：B．方法二：因为O是的中点，，所以，因为A是的中点，所以，又，所以，所以，所以，则c＝2a，所以．故选：B．【题型六】第一定义型中点求离心率1.（2023春·山西高二校联考阶段练习）在平面直角坐标系中，已知双曲线的左､右焦点分别为，，过的直线与双曲线的右支相交于点，过点作，垂足分别为，且为线段的中点，，则双曲线的离心率为（

）A．2 B． C． D．【答案】D【分析】由条件证明为线段的中点，由此可得，结合双曲线的定义可得，由勾股定理可得的关系，由此可求曲线的离心率.【详解】因为，为双曲线的左､右焦点，所以，因为所以，又为线段的中点，所以为线段的中点，且，又为线段的中点，所以，在中，，，所以，所以，因为点在双曲线的右支上，所以，故，在中，，，，由勾股定理可得：，所以，即，所以，又，故，所以，故选：D.2.（2023·全国·校联考模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线交的左、右半支分别于点．若为线段的中点，且是等腰三角形，则的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据给定条件，结合双曲线定义确定等腰的腰，再利用勾股定理列式计算作答.【详解】依题意，令，由双曲线的定义知，，显然，否则，有，，，，矛盾，若，即，则，，满足条件，过作，垂足为，则为线段的中点，于是，，设双曲线的焦距为，在中，，即，解得，所以的离心率．故选：B3.．（2023春·陕西西安高二校考阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与的左支分别交于两点，且，若点为的中点，，则的离心率为（

）A． B． C．2 D．3【答案】A【分析】由条件结合双曲线定义列出关于的齐次方程，由此可求的离心率.【详解】设双曲线的半焦距为，则，因为，所以，由双曲线定义可得，所以因为点为的中点，，所以，即所以，所以，所以离心率，故选：A.4.（2022秋·天津河东高二天津市第七中学校考阶段练习）设为双曲线T：（a＞0，b＞0）的右焦点，P是双曲线T右支上一点，且满足，线段的垂直平分线经过坐标原点，设M是线段的中点，若，则双曲线T的离心率为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由条件可得OM是的中位线，由此求出，并证明，结合双曲线定义可求，再根据勾股定理求，由此可得离心率.【详解】如图，设F1为双曲线T：的左焦点，依题意可得OM是的中位线，又，所以且，所以，又，故．，，则双曲线T的离心率为．故选：C.5.（2022·山西临汾·统考三模）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，点A，B分别在其左、右两支上，，M为线段AB的中点，且，则双曲线C的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由条件结合双曲线的定义求，结合勾股定理求出的关系，由此可得离心率.【详解】因为，所以，又M为线段AB的中点，所以，设，因为，M为线段AB的中点，所以，，由双曲线定义可得，，所以，，又，所以，故，所以，由，可得，由已知，所以，即，所以，所以离心率，C正确；故选：C【题型七】共焦点椭圆双曲线型求离心率1.（2022·全国高二专题练习）椭圆与双曲线共焦点，，它们在第一象限的交点为，设，椭圆与双曲线的离心率分别为，，则（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】设椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，交点到两焦点的距离分别为，焦距为，利用余弦定理得到，再根据椭圆和双曲线的定义，得到，代入求解.【详解】设椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，交点到两焦点的距离分别为，焦距为，则，又，，故，，所以，化简得，即.故选：B2.（2023秋·江苏南京·高二南京外国语学校校考阶段练习）已知椭圆与双曲线有相同的焦点、，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点为椭圆与双曲线的交点，且，则的值为（

）

A． B． C． D．4【答案】D【分析】根据椭圆和双曲线的定义，结合余弦定理即可求解.【详解】不妨设在第一象限，由椭圆和双曲线的定义可得：，所以，在中，由余弦定理可得，化简得，所以，即，故选：D3.（2022·全国高二专题练习）已知椭圆和双曲线有相同的左、右焦点，，若，在第一象限内的交点为P，且满足，设，分别是，的离心率，则，的关系是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由结合外角定理可得，然后可得，再结合椭圆和双曲线定义、勾股定理列式整理可得.【详解】因为，所以，所以所以，记椭圆长半轴长为，双曲线实半轴长为，则由椭圆和双曲线定义可得：…①…②①2+②2可得由勾股定理知，，代入上式可得整理得，即所以故选：D4.（2023·河北保定·河北省唐县第一中学校考二模）在平面直角坐标系中，已知椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率为，双曲线：的离心率为，且椭圆与双曲线的焦点相同.过的直线与椭圆交于两点（点在第一象限），与双曲线的右支交于点，且点在线段上.若与的周长之比为，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据已知条件及椭圆和双曲线的离心率公式，利用椭圆和双曲线的定义及三角形周长公式即可求解.【详解】设焦距为，则，，，由椭圆的定义知，,,所以的周长为，由双曲线的定义知，，所以的周长，又因为若与的周长之比为所以，整理得，所以.故选：A.5.（2022秋·福建漳州·高二统考期末）椭圆的左、右焦点也是双曲线的焦点，分别是在第二、四象限的公共点，若，且，则与的离心率之积是（

）A．1 B． C．2 D．【答案】C【分析】根据题意和椭圆、双曲线的对称性可得，结合椭圆、双曲线的定义和离心率即可求解.【详解】连接，由对称性可知四边形是平行四边形，又，∴四边形是矩形.在中，，对于椭圆，其离心率为；而对于双曲线，其离心率为，故，故选：C.【题型八】求离心率范围最值型1.（2023秋·湖南株洲·高二株洲二中校考阶段练习）已知双曲线右支上非顶点的一点A关于原点的对称点为为双曲线的右焦点，若，设，且，则该双曲线的离心率的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】作出对应的图象，设双曲线的左焦点为，连接，，则四边形为矩形．因此．，．可得，结合余弦函数运算求解．【详解】如图所示，设双曲线的左焦点为，连接，，因为，则四边形为矩形，所以，则，．．．即，则，因为，则，可得，即，所以，即双曲线离心率的取值范围是，故选：C．2.（2023秋·陕西咸阳·高二咸阳彩虹学校校考阶段练习）过双曲线的左焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点，为虚轴上的一个端点，且为钝角，则此双曲线离心率的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据双曲线的性质求出的坐标，写出向量，根据∠ADB为钝角，结合向量的数量积公式化简求解即可.【详解】设双曲线的左焦点为，令，得，可设由对称性，不妨设，可得，，由题意知三点不共线，所以∠ADB为钝角，即为，将代入化简得，由，可得，又，解得，则，综上，离心率的取值范围为．故选：D.3.．（2023秋·四川成都高二校考阶段练习）已知，是双曲线的左、右焦点，若双曲线上存在点P满足，则双曲线离心率的最小值为（

）A． B． C．2 D．【答案】D【分析】设P的坐标，代入双曲线的方程，利用数量积的坐标表示，结合双曲线离心率的计算公式求解即得.【详解】设，双曲线的半焦距为c，则有，，，于是，因此，当且仅当时取等号，则，即，离心率，所以双曲线离心率的最小值为.故选：D4.（2024·全国高二专题练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，，若在上存在点不是顶点，使得，则的离心率的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由题意判断P点在双曲线右支上，推出，可得，从而利用在中求出，再结合三角形内角和推出，继而推出，由此可得答案.【详解】设与y轴交于Q点，连接，则，

因为，故P点在双曲线右支上，且，故，而，故，在中，，即，故，由，且三角形内角和为，故，则，即，即，所以的离心率的取值范围为，故选：A5.（2023·全国·高二专题练习）已知双曲线的上下焦点分别为，点在的下支上，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，若恒成立，则的离心率的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】过点作渐近线的垂线，垂足为，则，再根据双曲线的定义得，进而转化为恒成立，再根据齐次式求解即可.【详解】如图，过点作渐近线的垂线，垂足为，设，则点到渐近线的距离.由双曲线的定义可得，故，所以，即的最小值为，因为恒成立，所以恒成立，即恒成立，所以，，即，即，所以，，即，解得.故选：A.

【题型九】共焦点椭圆与双曲线型离心率最值1.（2031山西太原高二阶段性联考）已知点，分别是椭圆和双曲线的公共焦点，，分别是和的离心率，点为和的一个公共点，且，若，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】设椭圆的长半轴长为,双曲线的实半轴长为,焦点坐标为,由椭圆与双曲线的定义和余弦定理,可得,再由求的取值范围.【详解】设椭圆的长半轴长为,双曲线的实半轴长为,焦点坐标为,不妨设为第一象限的点,由椭圆与双曲线的定义得,①,,②,由余弦定理得,③联立①②③得,由,,得,,,,则,,,,,,又,,.故选:D.2.（2022秋·河北张家口·高二统考阶段练习）已知椭圆与双曲线有相同的左右焦点，，若点是与在第一象限内的交点，且，设与的离心率分别为，则的取值范围是（

）A． B． C． D．以上答案都不对【答案】B【分析】由椭圆与双曲线的定义可得,由,则,两边同除可得,即,则,进而利用单调性求解即可.【详解】由椭圆定义可得,由双曲线定义可得,则,因为,所以,两边同除,则,则,所以,因为,所以,易得单调递增,所以,故选:B3.（2021·高二单元测试）已知椭圆：（）与双曲线：（，）有相同的焦点，，点P是两曲线的一个公共点，且，若，分别是两曲线，的离心率，则的最小值是（

）A．2 B． C． D．4【答案】B【分析】根据焦点三角形面积相等，即可求得之间的等量关系，再用均值不等式即可求得结果.【详解】因为椭圆和双曲线有相同的交点，且，则可得，解得，则，整理得，则，故可得，当且仅当且时，即时取得最小值.故选：B.4，（2020春·湖北·高二校联考期中）已知离心率为的椭圆：（）和离心率为的双曲线：（，）有公共的焦点，，P是它们在第一象限的交点，且，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据椭圆和双曲线的定义，结合余弦定理得出，最后由离心率公式以及基本不等式求解即可.【详解】由题意设焦距为，椭圆的长轴为，双曲线的实轴为在双曲线的右支上，且在椭圆上则由椭圆的定义知由双曲线的定义知由余弦定理可得整理得当且仅当时等号成立故选：C5.（2021·高二单元测试）已知椭圆与双曲线有相同的焦点，，点是两曲线在第一象限的交点，且在上的投影等于，，分别是椭圆和双曲线的离心率，则的最小值是（

）A． B．6 C．8 D．【答案】C【解析】由在上的投影等于可知PF1⊥PF2，利用椭圆与双曲线的焦距相同找到和的关系，最后构建函数利用导数求出的最小值.【详解】如图，设半焦距为．∵点是两曲线在第一象限的交点，且在上的投影等于，∴PF1⊥PF2．设，，则，．∴＝﹣．在中，由勾股定理可得：.∴．两边同除以c2，得2＝，所以，当即时取等号，因此9e12+e22的最小值是8．故选：C.【题型十】离心率求参1.（2023·全国·高二专题练习）已知，是双曲线的两个焦点，为上一点，且，，若的离心率为，则的值为（

）A．3 B． C．2 D．【答案】A【分析】根据双曲线的定义及条件，表示出，结合余弦定理可得答案.【详解】因为，由双曲线的定义可得，所以，；因为,由余弦定理可得，整理可得，所以，即,解得或,又因为,即.故选：A2.（2022秋·高二课时练习）已知双曲线及双曲线，且的离心率为，若直线与双曲线、都无交点，则的值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用双曲线的离心率可求得的值，分析可知两双曲线的渐近线重合，再结合两双曲线的焦点位置可得出的值.【详解】由题意可知，双曲线的离心率为，可得，因为双曲线的渐近线方程为，双曲线的渐近线方程为，所以，双曲线、的渐近线重合，且双曲线的焦点在轴上，双曲线的焦点在轴上，因为直线与双曲线、都无交点，则.故选：B.3.（2022秋·四川泸州·高二泸县五中校考阶段练习）设双曲线的上、下焦点分别为，离心率为．是上一点，且．若的面积为4，则（

）A．8 B．4 C．2 D．1【答案】D【分析】由双曲线的离心率为可得①，又因为．若的面积为4，设在双曲线的上半支，，则有，整理化简得，结合①，即可求得的值.【详解】解：因为双曲线的离心率为，所以，即有①，又因为，的面积为4，由对称性，设在双曲线的上半支，，则有，所以，即由①可得，所以，解得.故选：D.4.（2022秋·重庆北碚·高二西南大学附中校考期中）已知椭圆与双曲线的焦点相同，右焦点为.若与的离心率分别为和，点为的右支与的一个交点，且，则的值为A．0 B．4 C．8 D．12【答案】C【解析】因为两曲线的焦点相同，所以再根据已知得到，再利用椭圆和双曲线的定义得到即得解.【详解】因为两曲线的焦点相同，所以因为与的离心率分别为和，所以，，设，则，设它们的左焦点为,所以，所以，所以.故选：C5.．（2022·内蒙古包头·期中）已知双曲线的右焦点为F，P是右支上任意一点，以P为圆心，PF长为半径的圆在右准线上截得的弦长恰好等于，则的值为A． B． C． D．【答案】C【分析】由，，，知，，，，再由双曲线第二定义知，结合，由此能够得出的值．【详解】，，，，，，，由双曲线第二定义，知，由于以P为圆心，PF长为半径的圆在右准线上截得的弦长恰好等于，故，，，，，故选：．【题型十一】焦点三角形内心型求离心率1．（2023春·四川甘孜·高二校考阶段练习）已知点P为双曲线右支上一点，点分别为双曲线的左、右焦点，点I是的内心（三角形内切圆的圆心），若恒有成立，则离心率的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据条件和面积公式得出，的关系，从而得出离心率的范围.【详解】设的内切圆的半径为r，则，因为，所以，由双曲线的定义可知，所以，即，又由，所以双曲线的离心率的取值范围是.故选：D2.（2022·全国高二专题练习）点P是双曲线C：右支上一点，，分别是双曲线C的左，右焦点，M为的内心，若双曲线C的离心率，且，则（

）A． B． C．1 D．【答案】D【分析】设出内切圆的半径，表示出，由得，结合双曲线的定义及离心率即可求解.【详解】设内切圆的半径为，则，由可得，化简得，又，故.故选：D.3.（2021秋·江西宜春·高二高安中学校考期末）已知，分别为双曲线的左，右焦点，过点的直线与双曲线的右支交于，两点，设点，分别为，的内心，若，则双曲线离心率的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】结合图形，由双曲线的定义及内切圆的性质可得，即，同理可得，从而可得，再由，可得，设直线的倾斜角为，在和中，分别将,用表示代入即可求出直线的斜率，再结合直线与双曲线右支交于两点，即可求出，进而可求出离心率的取值范围.【详解】不妨设直线的斜率大于0．如图:连接．，，设的内切圆与三边分别切于点，，，则，所以，即，同理可得，所以，设直线的倾斜角为，在中，，在中，，又，所以，即，解得，所以，即直线的斜率为，由题意，直线与双曲线右支交于两点，故，所以.故选:D4.（2023·全国高二专题练习）已知双曲线的左，右焦点分别为，，点在双曲线的右支上，为的内心，记，，的面积分别为，，，且满足，则双曲线的离心率是（

）A． B． C．2 D．3【答案】D【分析】利用三角形的内切圆圆心到各边距离都等于半径，从而得到，，，再由找到的等量关系，进而求得离心率的值.【详解】设的内切圆半径为，则，，，所以，又,，所以，即，所以，故选：D.5.．（2023·甘肃兰州·兰化一中校考模拟预测）已知双曲线：的左、右焦点分别是，，是双曲线右支上一点，且，和分别是的内心和重心，若与轴平行，则双曲线的离心率为（

）A． B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】由重心坐标求得I的坐标，再利用圆的切线长定理和双曲线的定义得到G的坐标，再根据与轴平行，由求解.【详解】解：如图所示：由题意得：，则，由圆的切线长定理和双曲线的定义得，所以，则，因为与轴平行，所以，即，则，即，解得，故选：B培优练1.（2022·全国·高二假期作业）设双曲线的焦点为，则该双曲线的离心率等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由题意可知，由解得，再由离心率公式求解即可.【详解】因为双曲线的焦点为，所以，又因为，所以，所以离心率.故选：C.2.（2022·全国高二专题练习）已知双曲线的两条渐近线形成的对顶角中有一对对顶角均为60°，则该双曲线的离心率为（

）A． B．2 C．或2 D．4或【答案】C【分析】先根据双曲线方程求得渐近线的斜率进而根据夹角是，求得的值，进而根据求得，进而离心率可得．【详解】解：双曲线的渐近线方程为，渐近线斜率是，而夹角是，因为两直线关于轴对称，所以和轴夹角是或，即或，若，即，，，（负的舍去）；若，，，，即．所以，或．故选：．3.（2022春·全国高二校联考阶段练习）已知双曲线的左焦点为，右顶点为，点在的一条渐近线上，且（点为坐标原点），直线与轴交于点．若直线过线段的中点，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据直线方程可求得点坐标；将直线方程与渐近线方程联立可得点坐标，由此可得直线方程，进而得到点坐标；根据为中点可构造关于的齐次方程，进而得到双曲线离心率.【详解】设中点为，即直线交轴于，由双曲线方程知：一条渐近线方程为，，，则直线方程为：，令，则，即；由得：，即，，直线方程为：，令，则，又为中点，，则，即，，解得：（舍）或.故选：C.4.（2022·全国·高一专题练习）已知双曲线C的中心在坐标原点，其中一个焦点为，过F的直线l与双曲线C交于A、B两点，且AB的中点为，则C的离心率为(

)A． B． C． D．【答案】B【分析】利用点差法即可．【详解】由F、N两点的坐标得直线l的斜率．∵双曲线一个焦点为(-2，0)，∴c=2．设双曲线C的方程为，则．设，，则，，．由，得，即，∴，易得，，，∴双曲线C的离心率．故选：B．5.（2023·黑龙江大庆·大庆中学校考模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，若A为线段的中点，且，则C的离心率为（

）A． B．2 C． D．3【答案】B【分析】由题意可得为直角三角形，再结合A为线段的中点，可得AO垂直平分，可表示出直线，再联立渐近线方程可以得到，，的关系，进而得到双曲线离心率【详解】由题意可知，过的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，当两