【备战2021-专项突破】专题15.3-锐角三角函数和解直角三角形（3）（解析版）

专题15.3锐角三角函数和解直角三角形备战2021年中考数学精选考点专项突破卷（3）一、单选题1．在中，∠C=90°，如果，那么的值是()A． B． C． D．【答案】A【解析】分析：根据特殊角的三角函数值得到A=30°，则求得B=60°，然后求sinB的值．详解：∵Rt△ABC中,∴∴∴故选：A.点睛：考查特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键.2．如图，已知∠α的一边在x轴上，另一边经过点A(2，4)，顶点为B(－1，0)，则sinα的值是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】如图：过点A作垂线AC⊥x轴于点C.则AC=4，BC=3，故由勾股定理得AB=5.sinB==.故选D.3．计算sin245°+tan60°•cos30°值为（）A．2B．32C．1D．【答案】A【解析】试题解析：原式=（22）2+3×=12+32故选A．考点：特殊角的三角函数值．4．如图，在中，，则的长为（）A．4 B． C． D．【答案】A【分析】根据锐角三角函数的定义即可得解.【详解】在中，．因为，所以．故选A5．计算tan30°的值等于（）A．3B．33C．33D【答案】C【解析】tan30°=33．故选C6．如图，在矩形ABCD中，BC＝2，AE⊥BD，垂足为E，∠BAE＝30°，则tan∠DEC的值是（）A．1 B． C． D．【答案】C【解析】【分析】先根据题意过点C作CF⊥BD与点F可求得△AEB≌△CFD（AAS），得到AE＝CF＝1，EF＝，即可求出答案【详解】过点C作CF⊥BD与点F．∵∠BAE＝30°，∴∠DBC＝30°，∵BC＝2，∴CF＝1，BF＝，易证△AEB≌△CFD（AAS）∴AE＝CF＝1，∵∠BAE＝∠DBC＝30°，∴BE＝AE＝，∴EF＝BF﹣BE＝﹣＝，在Rt△CFE中，tan∠DEC＝，故选C．【点睛】此题考查了含30°的直角三角形，三角形全等的性质，解题关键是证明所进行的全等7．如图，小山岗的斜坡AC的坡度是tanα＝，在与山脚C距离200米的D处，测得山顶A的仰角为26.6°，则小山岗的高AB是（）（结果取整数，参考数据：sin26.6°＝0.45，cos26.6°＝0.89，tan26.6°＝0.50）A．300米 B．250米 C．400米 D．100米【答案】A【解析】【分析】设AB＝3x米，根据坡度分概念用x表示出BC，根据正切的定义表示出BD，结合图形列式计算即可．【详解】设AB＝3x米，∵斜坡AC的坡度是tanα＝，∴BC＝4x，在Rt△ADB中，tan∠ADB＝，∴BD＝≈6x，由题意得，6x﹣4x＝200，解得，x＝100，则AB＝3x＝300，故选A．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题、坡度坡角问题，掌握仰角俯角的概念、坡度的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．8．二次函数y＝ax2﹣4ax+2（a≠0）的图象与y轴交于点A，且过点B（3，6）若点B关于二次函数对称轴的对称点为点C，那么tan∠CBA的值是（）A． B． C．2 D．【答案】B【分析】求出A的坐标和抛物线的对称轴，根据对称性得出C点坐标，求出BC∥x轴，则AD=6-2=4，BD=3，tan∠CBA=．【详解】解：∵y＝ax2﹣4ax+2，∴对称轴为直线x＝﹣＝2，A（0，2），∵点B（3，6）关于二次函数对称轴的对称点为点C，∴C（1，6），∴BC∥x轴，∴∠ADB＝90°，∴tan∠CBA＝＝＝，故选：B．【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，轴对称变化，以及锐角三角函数的知识，证得∠ADB=90°是关键．9．在中，若,则的面积是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据锐角三角形的定义可求出AC的长度，然后根据三角形的面积公式即可求出答案．【详解】解：∵tan∠B＝，∴，∴AC＝=，∴Rt△ABC的面积为：×1×（）＝，故选：D．【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义．10．如图，为直径，弦，垂足为，连接、，若，则的值为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由AE=4BE，可求AB=5BE，AO=BO=BE，OE=BE，由勾股定理可求CE的长，由圆周角的定理可求∠COB=2∠BAC=∠CAD，可求tan∠CAD的值．【详解】如图，连接CO，∵AE=4BE，∴AB=5BE，AO=BO=BE，∴OE=BE，∴CE==2OE，∵AB⊥CD，∴＝，∴∠BAC=∠BAD，∵∠COB=2∠BAC=∠CAD，∴tan∠CAD=tan∠COB=＝.故选：B．【点睛】本题考查了圆周角的定理，圆的有关知识，勾股定理，利用参数求CO，OE，CE的长度是本题的关键．二、填空题11．已知点A、B分别在反比例函数y=（x＞0），y=﹣（x＞0）的图象上，且OA⊥OB，则tanB为_____．【答案】【详解】解：过A作AC⊥y轴，过B作BD⊥y轴，可得∠ACO=∠BDO=90°，∴∠AOC+∠OAC=90°，∵OA⊥OB，∴∠AOC+∠BOD=90°，∴∠OAC=∠BOD，∴△AOC∽△OBD，∵点A、B分别在反比例函数y=（x＞0），y=﹣（x＞0）的图象上，∴S△AOC=1，S△OBD=4，∴S△AOC：S△OBD=1：4，即OA：OB=1：2，则在Rt△AOB中，tan∠ABO=．【点睛】本题考查反比例函数及锐角三角函数综合题，正确添加辅助线，数形结合解题是关键．12．在等腰直角△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，D为AC上一点，若，则AD＝______。【答案】6【解析】根据等腰直角三角形的性质得到BC=AC=6，再在Rt△BDC中，利用正切的定义计算出CD，然后利用AD=AC-CD进行计算即可.解：∵△ABC为等腰三角形，∴BC=AC=8，在Rt△BDC中，∵tan∠DBC==，∴CD=BC=2，∴AD=AC-CD=8-2=6.故答案为：6.“点睛”本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形.13．如图，防水堤坝的轴截面是等腰梯形，，，，，，则斜坡的坡角为_____度．【答案】60【解析】过点D和点C作DE⊥AB于点E，CF⊥AB于点F，根据等腰梯形的性质可求得AE和BF的长度，继而在Rt△ADE中，求出DA的坡角度数．解：过点D和点C作DE⊥AB于点E，CF⊥AB于点F，

∵DC=4，AB=9，

∴AE=BF=2.5，

在Rt△AED中，

cos∠DAE=，

∴∠DAE=60°．

故答案为：60．“点睛”本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据等腰梯形的性质求得AE的长度，构造直角三角形，利用三角函数求解．14．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则sinA=．【答案】【解析】解：∵∠C=90°，AB=5，BC=3，∴sinA==，故答案为．15．在直角坐标系中，O为原点，点A（a，3）在第一象限，OA与X轴所夹的锐角为α，tanα=1.5，则a=_______.【答案】2【解析】∵点A(a，3)在第一象限，∴AB=3，OB=a，又∵tanα==1.5，∴a=2.故答案为2.16．如图，小明为了测量小河对岸大树BC的高度，他在点A测得大树顶端B的仰角是45°，沿斜坡走米到达斜坡上点D，在此处测得树顶端点B的仰角为30°，且斜坡AF的坡比为1︰2．则小明从点A走到点D的过程中，他上升的高度为____米；大树BC的高度为____米（结果保留根号）．【答案】；5+3.【分析】根据矩形性质得出DG=CH，CG=DH，再利用坡比及锐角三角函数的定义解直角三角形即可得答案．【详解】过点D作DG⊥BC于G，DH⊥CE于H，设上升的高度DH=x，∴四边形DHCG是矩形，∴DH=CG，DG=CH，∵斜坡AF的坡比为1︰2，∴AH=2DH=2x，∴AH2+DH2=AD2，即(2x)2+x2=(2)2，解得：x1=2，x2=-2(舍去)，∴他上升的高度为2米.∴AH=4，∵∠BAC=45°，∠ACB=90°，∴AC=BC，在Rt△BDG中，tan30°===，即：=，解得：BC=5+3.∴树BC高为5+3米.故答案为2；5+3【点睛】本题考查了仰角、坡比的定义，解直角三角形的应用，能借助仰角构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形是解题的关键．17．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，tanC＝，∠BAC＝105°，AC＝2，那么BC的长度为_____．【答案】1+【解析】【分析】根据已知条件得到∠C＝30°，根据三角形的内角和得到∠CAD＝60°，解直角三角形即可得到结论．【详解】解：∵tanC＝，∴∠C＝30°，∵AD是BC边上的高，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∴∠CAD＝60°，∵AC＝2，∴AD＝AC＝1，CD＝AD＝，∵∠BAC＝105°，∴∠BAD＝∠ABD＝45°．在Rt△ADB中，BD＝AD＝1，∴BC＝1+．故答案为1+．【点睛】本题考查了解直角三角形，特殊角的三角函数，及含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握解直角三角形的方法是解题的关键．18．如图，正方体的棱长为3，点M，N分别在CD，HE上，，，HC与NM的延长线交于点P，则的值为________．【答案】【分析】根据已知首先求出，，再利用平行线分线段成比例定理得出，进而得出，即可得出的值.【详解】正方形的棱长为，点，分别在，上，，，，，，，，，，.故答案为：.【点睛】此题主要考查了锐角三角函数的定义以及平行线分线段成比例定理等知识，根据已知得出的长再利用锐角三角函数的定义求出是解决问题的关键.19．如图，一个钢结构支柱AB被钢缆CD固定于地面．已知米，米，，钢结构的顶端E距离A处2.6米，且，则钢结构的顶端E距离地面________米．【答案】6.3【分析】在中，利用三角函数的定义与勾股定理可求得，过点作于点.由，得，再根据三角函数求得，从而得出答案.【详解】在中，，设，则，由勾股定理，得，，，，如图，过点作于点，，，（米），（米），钢结构的顶端距离地面米.故答案为：.【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，运用三角函数可得出答案，难度适中.20．△ABC中，∠A、∠B都是锐角，若sinA＝，cosB＝，则∠C＝_____．【答案】60°．【分析】先根据特殊角的三角函数值求出∠A、∠B的度数，再根据三角形内角和定理求出∠C即可作出判断．【详解】∵△ABC中，∠A、∠B都是锐角，sinA＝，cosB＝，∴∠A＝∠B＝60°．∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣60°﹣60°＝60°．故答案为：60°．【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数值及三角形内角和定理，比较简单．三、解答题21．计算：.【答案】2【分析】分别进行绝对值的运算、特殊角的三角函数值、乘方等运算，然后合并即可．【详解】解：【点睛】本题考查了实数的运算，涉及了绝对值的运算、特殊角的三角函数值、乘方等知识，记住特殊角的三角函数值是关键．22．如图，某数学兴趣小组利用一棵古树BH测量教学楼CG的高，先在A处用高1.5米的测角仪测得古树顶端H的仰角∠HDE为45°，此时教学楼顶端G恰好在视线DH上，再向前走7米到达B处，又测得教学楼顶端G的仰角∠GEF为60°，点A、B、C三点在同一水平线上．计算教学楼CG的高．（结果精确到0.1，参考数据：≈1.4，≈1.7）【答案】CG≈18.0米．【分析】过点H作HJ⊥CG于J，则是等腰直角三角形，则有，四边形BCJH是矩形，则有，设HJ＝GJ＝BC＝x米，利用求出x的值，进而可求GF的值，则答案可求．【详解】解：在Rt△DEH中，∵∠EDH＝45°，∴HE＝DE＝7米．过点H作HJ⊥CG于J．，，，．，∴四边形BCJH是矩形，∴．设HJ＝GJ＝BC＝x米，在Rt△EFG中，tan60°＝，∴＝，∴x＝（+1），∴GF＝x≈16.45∴CG＝CF+FG＝1.5+16.45≈18.0米．【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数是解题的关键．23．如图，、是两座现代化城市，是一个古城遗址，城在城的北偏东，在城的北偏西，城在城的正东方向，且城与城相距120千米，现在、两城市修建一条笔直的高速公路．（1）请你计算公路的长度（结果保留根号）；（2）若以为圆心，以60千米为半径的圆形区域内为古迹和地下文物保护区，请你分析公路会不会穿越这个保护区，并说明理由．【答案】（1）60+km；（2）不可能，理由见解析【分析】（1）作CD⊥AB于D点．在Rt△ACD中，求出CD、AD；在Rt△BCD中，求出BD，问题得解；（2）比较CD与60km，即可得出结论．【详解】解：作CD⊥AB于D点．（1）在Rt△ACD中，CD＝AC•sin60°＝120×＝千米，AD＝AC•cos60°＝120×＝60千米，在Rt△BCD中，BD＝CD•tan45°＝×1＝千米，所以AB＝AD+DB＝60+（km）；（2）不可能．因为CD＝＞60，所以不可能对文物古迹造成损毁．【点睛】“化斜为直”是解三角形的常规思路，一般利用特殊角（30°，45°，60°）构造直角三角形，解决问题．24．如图，学校教学楼附近有一个斜坡，王老师发现教学楼在水平地面与斜坡处形成的投影中，在斜坡上的影子，坡角点到楼房的距离，在点处观察点的仰角为，已知坡角为，请帮王老师求出楼房的高度．【答案】楼房AB的高度为．【解析】分析：作DH⊥AB，根据Rt△CDE和Rt△ADH中三角函数值得出BH和AH的长度，从而得出答案．详解：作于H，在中，，，，在中，，，答：楼房AB的高度为．点睛：本题主要考查的是解直角三角形的性质，属于基础题型．作出辅助线构造出直角三角形是解决这个问题的关键．25．如图，在教室前面墙壁处安装了一个摄像头，当恰好观测到后面墙壁与底面交接处点时，摄像头俯角约为，受安装支架限制，摄像头观测的俯角最大约为，已知摄像头安装点高度约为米，摄像头与安装的墙壁之间距离忽略不计，求教室的长(教室前后墙壁之间的距离的值)；若第一排桌子前边缘与前面墙壁的距离为米，桌子的高度为米，那么第一排桌子是否在监控范围内?如果不在，应该怎样移动?(，精确到米)【答案】（1）教室的长约为9.0米；（2）不在监控范围，第一排桌子向后移动0.3米．【分析】（1）根据锐角三角函数即可求出BC；（2）作DG⊥AB于G，延长AF交直线DG于H，根据锐角三角函数求出HG，然后比较BE和HG的大小即可得出结论．【详解】解：（1）在Rt△ABC中，∠C=17°，，∴∴BC≈米答：教室的长约为9.0米．（2）作DG⊥AB于G，延长AF交直线DG于H，在Rt△AGH中，∠AHG=54°，∵，∴HG=＞，∴不在监控范围内，-=≈米，答：第一排桌子向后移动米．【点睛】此题考查的是解直角三角形的应用，掌握利用锐角三角函数解直角三角形是解决此题的关键．26．如图，要测量某山的高度，小明先在山脚点测得山顶的仰角为，然后沿坡度为的斜坡走100米到达点，在点测得山顶的仰角为，求这座山的高度．（结果保留整数）（参考数据：，）【答案】237米．【分析】过点作于，作于，设米．由坡度为得，可求出，，进而可得．在中，，则，在中，可得，即，解出x即可.【详解】如图2，过点作于，作于，设米．在中，，∴，∴，，∴．在中，，∴，∴．在中，，∴，即，∴（米）．答：这座山的高度约为237米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，通过作垂直构造直角三角形进行解答是解题的关键.27．如图，已知、、、、是上五点，的直径，．为的中点，延长到点．使，连接．(1)求线段的长；(2)求证：直线是的切线．(3)如图，连交于点，延长交PO交于另一点，连、，求的值．【答案】（1）3；（2）见解析；（3）【分析】（1）连接DE，如图，利用圆周角