经济数学（第三版） 教案 10. 概率基础

长沙民政职业技术学院教案长沙民政职业技术学院教案经济数学课题概率基础授课课时2课型新授课教案编号教学目标（知识、技能、素质）：1、知识目标：掌握加法公式、乘法公式，概率的定义与性质及条件概率的计算2、技能目标：分析解决问题的能力和严谨的逻辑思维能力3、素质目标：培养学生理性的思维方式和数学应用意识教学重点：加法公式、乘法公式，概率的定义与性质及条件概率的计算教学难点：条件概率的计算；在次贝努利试验中，事件恰好发生次的概率主要教学方法：启发引导式、讲授法教学环节与内容一、问题引入随着人们生活水平的提高，某城市家庭汽车拥有量迅速增长，汽车牌照号码需要扩容。交通管理部门出台了一种汽车牌照号码组成办法，每一副汽车牌照都必须有3个不重复的英文字母和3个不重复的阿拉伯数字，并且3个字母必须组成一组出现，3个数字也必须组成一组出现。那么按照这种办法共能给多少辆汽车上牌照？二、新课讲授（1）加法原理与乘法原理随着人们生活水平的提高，某城市家庭汽车拥有量迅速增长，汽车牌照号码需要扩容。交通管理部门出台了一种汽车牌照号码组成办法，每一副汽车牌照都必须有3个不重复的英文字母和3个不重复的阿拉伯数字，并且3个字母必须组成一组出现，3个数字也必须组成一组出现。那么按照这种办法共能给多少辆汽车上牌照？这就需要用我们将要学习的计数原理来解决。加法原理：做一件事，完成它可以有类办法，在第一类办法中有种不同的方法，在第二类办法中有种不同的方法，，在第类办法中有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法，且每种方法都能够直接达到目的。案例1从甲地到乙地，有3条公路，2条铁路，某人要从甲地到乙地，共有多少种不同的走法？解因为每一种走法都能完成从甲地到乙地这件事，有3条公路、2条铁路，所以全部的走法共有(种).乘法原理：做一件事，完成它需要分成个步骤，做第一步有种不同的方法，做第二步有种不同的方法，，做第步有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法。案例2某大学公共课部有12名大学人文教师、8名数学教师、15名大学英语教师，省教育厅拟组织一次公共课课程研讨会，需要学校派教师参会。（1）若需要选派1名教师参会，有多少种不同的派法？（2）若需要3门学科各派1名教师参会，有多少种不同的派法？（3）若需要选派2名不同学科的教师参会，有多少种不同的派法？解(1)分三类：第一类，派大学人文教师，有12种不同的派法；第二类，派数学教师，有8种不同的派法；第三类，派大学英语教师，有15种不同的派法。所以，共有种不同的派法。(2)分三步：第一步，派大学人文教师，有12种不同的派法；第二步，派数学教师，有8种不同的派法；第三步，派大学英语教师，有15种不同的派法。所以，共有种不同的派法。(3)分三类：第一类，派1名大学人文教师和1名数学教师，有种不同的派法；第二类，派1名数学教师和1名大学英语教师，有种不同的派法；第三类，派1名大学人文教师和1名英语教师，有种不同的派法。所以，共有种不同的派法。（2）组合定义1：一般地，从个不同元素中取出()个元素组成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合。定义2：从个不同元素中取出()个元素的所有不同组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数，用符号表示。组合数的计算可由下面的公式(证明略)给出，，，组合数有以下三条简单性质（1），（2）；（3）.（3）概率的定义与性质明天的天气、被分到的牌、你是否会被染上禽流感、出现在彩票大奖中的数字等都是随机现象，为了讨论上述现象发生的可能性大小，我们首先介绍概率中的一些基本概念。定义3：随机现象是指在一定条件下，重复进行某种试验或观察，可能出现这种结果，也可能出现另一种结果，到底出现哪个结果，事先不能确定的现象。定义4：针对随机现象进行试验或观察称为随机试验。定义5：样本点是在一定条件下对随机现象进行试验的每一个可能的结果。定义6：样本空间是所有样本点组成的集合。定义7：随机试验的每一个可能结果或其中一些结果的集合称为随机事件，简称事件，通常用大写字母表示。定义8：在一定条件下，必然会发生的事件称为必然事件,记为。定义9：在一定条件下，必然不会发生的事件称为不可能事件，记为。定义10：在不变的条件下，重复进行次试验,事件发生了次，则称为事件发生的频率。如果随着试验次数的增加，事件发生的频率稳定在某一个常数上，则称该常数为事件的概率，记作，即.显然，概率具有下面三条性质。性质1：对于任意的事件，有。性质2：必然事件的概率等于1，即。性质3：不可能事件的概率等于零，即。注意：概率的定义，刻画了事件发生可能性的大小，当试验次数足够大时，可以把频率作为概率的近似值。（4）加分公式与乘法公式定义11：事件与事件中至少有一个发生而构成的事件称为事件与事件的和（或并），记作(或)。定义12：事件与事件同时发生而构成的事件称为事件与事件的积（或交），记作(或)。例如，掷一枚骰子，={出现的点数是2的倍数}，={出现的点数是3的倍数}，则={出现的点数既是2的倍数，又是3的倍数}={出现6点}。进一步，如果，则事件与事件不能同时发生，此时，称事件与事件互不相容(互斥)。在概率的计算过程中，往往需要用到下面的加法公式。如果是随机事件，。如果是随机事件，且，则。如果是样本空间的事件，则的补事件的概率为。案例4某设备由甲、乙两个部件组成，超负荷时，甲出故障的概率为0.90，乙出故障的概率分0.85，甲、乙两部件同时出故障的概率为0.80，求超负荷时至少有一个部件出故障的概率。解设={甲部件出故障},={乙部件出故障}，则于是即超负荷时，至少有一个部件出故障的概率是0.95。定义13：是两个随机事件，,称在事件已经发生的条件下事件发生的概率为条件概率，记作。如果是两个随机事件，，则。案例5表2-1为某企业男职工与女职工在过去5年的升职情况，试说明该企业在职工升职过程中是否存在性别歧视。表2-1某企业职工升职情况表男女小计升职人数801595未升职人数22085305小计300100400解设={男职工},={女职工}，={升职},={未升职}，考虑升职过程中是否存在性别歧视，即考虑给定是女职工、男职工时升职的概率,即需要求出从表2-1中可知，，，，所以.显然，在该企业中男职工的升职机会比女职工多一些。如果事件是样本空间中的事件，将条件概率公式变形后，可得到乘法公式，即或.注意：乘法公式还可以推广到多个事件相交的情况。案例6袋中有一个白球与一个黑球，现每次从中取出一球，若取出白球，则除把白球放回外再加进一个白球，直至取出黑球为止，求取了次都未取出黑球的概率。解设={取了次都未取出黑球}，={第次取到白球}()，则，由乘法公式，我们有（5）事件的独立性与贝努利试验设是两个随机事件，，一般来说，，即A的发生对B的发生有影响。如果，则乘法公式就可以表示为，这时称随机事件A和事件B是相互独立的。定义14：设为两个随机事件，若，则称事件与事件相互独立。关于事件的独立性，有如下性质：性质4若两个事件相互独立，则与；与；与也相互独立。性质5若事件（）相互独立，则有性质6若事件（）相互独立，则有在实际应用中，一般不借助定义来判断事件间的独立性，而是根据问题的具体情况，按照独立性的直观定义或经验来判断事件的独立性。案例7甲、乙两人考大学，甲考上本科的概率是0.5，乙考上本科的概率是0.4，问（1）甲、乙两人都考上本科的概率是多少？（2）甲、乙两人至少一人考上本科的概率是多少？解设={甲考上本科},={乙考上本科},则（1）甲、乙两人考上本科的事件是相互独立的，所以两人都考上本科的概率是.（2）甲、乙两人至少一人考上本科的概率是.定义15：贝努利试验是指满足下面2个条件的随机试验：(1)每次试验的条件相同，每次试验的结果只有两个和，且的概率；(2)各次试验都是相互独立的。贝努力试验又称为n次独立重复试验，其对应的概率模型，称为贝努利概型。在次贝努利试验中，事件恰好发生次的概率为,().案例8某射手每次击中目标的概率是0.6，如果射击5次，试求至少击中2次的概率。解设A={至少击中2次},B={击中0次},C={击中1次}，则正态分布在自然界、经济、社会等领域内，如：人的身高、体重、学生的成绩、人的智商、海浪的高度、农作物的产量、测量的误差等随机变量都服从一类确定的分布规律，这个分布规律叫做正态分布。定义：一般地，对于随机变量X，如果存在一条正态曲线，使得任取的，概率的大小恰好等于由正态曲线、过点和点的两条垂直于x的直线、以及x轴所围成的平面图形的面积，则称X服从参数为和的正态分布，记作。显然，正态分布完全由参数和确定，其中，参数是反映随机变量取值的平均水平的特征量，可以用样本均值去估计；参数是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本标准差去估计。正态曲线有以下性质：(1)曲线位于轴上方，与轴不相交；(2)曲线关于直线对称；(3)曲线在处达到峰值；(4)曲线与轴围成的面积等于1；(5)当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿轴平移，如图2-9；(6)当一定时，曲线的形状由确定，越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图2-10.图2-9图2-10若，则X对应的概率问题一般可借助EXCEL的NORM.DIST函数求解，基本使用格式为：；；.案例6某凶杀案有两个嫌疑人，从各自住处到凶杀现场所需时间(min)服从正态分布。A所用的时间X满足，B所用的时间Y满足。如果仅有65min可以被利用，问谁的作案嫌疑较大？解A在65min内从住处到凶杀现场的概率为.B在65min内从住处到凶杀现场的概率为.从计算结果分析，A的作案嫌疑相对较大.案例7某人被控告是一个新生儿的父亲。此案鉴定人作证时指出，母亲怀孕期的天数近似服从参数为，的正态分布。被告提供的供词表明，他在孩子出生时的前300天出国，在孩子出生前240天才回来。请问被告能否根据这些证词为自己辩护？解设X为母亲怀孕期的天数，。由题意可知，如果