概率论课后习题答案

各章基本题详解

习题一

一、选择题

1.(A)AdB------>AUB=B；

(B)B(ZA----->AuB------>AUB=8；

(C)AB=</>————>AU8=B;

(D)AB=</>——>8uA不一定能推出4UB=B(除非4=B)

所以选(D)

2.P(A—B)=P(AB)=P(AB)-P(A)-P(分)+P(A)+P(B)

=P(A)+P(B)-P(A\JB)

所以选(C)

P⑷〉P(A)

—⑷小常>P(A)

~RB)~P(B)

所以选(B)

4.P(A)=P(AB)=P(A)P(B)——>P(A)=。或P(5)=1

所以选(B)

5.(人)若4=后，则A5=°,且彳力=瓦4=°,即M，力不相容

(B)若且AHQ,则A3且即A,5相容

(C)若A=@,B大</>,则=且=即A,3相容

(D)若A3。。，不一定能推出A3=。

所以选(D)

6.(A)若不一定能推出P(A3)=尸(A)尸(5)

(B)若P(A)=1,且A=)3。。，511]P(AB)=P(B)=P(A)P(B),即A,B独立

(C)若43=。，O<P(A)<1,O</>(B)<1,则P(AB)HP(A)P(3)

(D)若P(A)=1,则A与任何事件都相互独立

所以选(B)

7.射击〃次才命中k次，即前〃一1次射击恰好命中4—1次，且第〃次射击时命中目标,

所以选(C)

二、填空题

8.(AUC)(AUC)UAUCUAUC=(AnA)UCUAUCUAUC

=cu(Anc)u(Anc)=cu((AUA)nc)=cuc=c

所以c=B

9.共有4x4种基本事件，向后两个邮筒投信有2x2种基本事件，故所求概率为2氾=-

4x4<

10.设事件A表示两数之和大于工，则

2

样本空间Q={(x,j)10<x<1,0<j<1},

A={(x,j)Ix+j>—,0<x<1,0<j<1}

2

ps1117

Sn2228

11.illP(A)=0.8,P(A-B)=0.1,得P(A3)=0.7,故尸(而)=0.3

12.由尸(A)=0.2,P(3)=0.3,尸(AUS)=0.4,得P(A8)=0.1,

故P(Rl)=P(B)-P(AB)=0.2

13.P(AB)=P(A)P(BIA)=0.2,故P(B)=f^)=。.8

14.P(AUB\JC)=P(A)+P(B)+P(C)~P(AB)~P(BC)~P(CA)+P(ABC)

=P(A)+P(B)+P(C)-P(A)P(B)-P(B)P(C)-P(C)P(A)+P(A)P(B)P(C)

19

=27

15.由于A.B相互独立，可得P(彳豆)=尸(不)尸出)=",P(AB)=P(AB),于是

--12

尸(4)=尸(8)=—，故尸(3)=§

三、计算题

,、Q=HH,H,H),(H,H,T,H),(H,T,T),

16.(1)；

(T,H,H),(T,H,T),(T,T,H),(T,T,T)}

(2)Q={0,l,2,3)；

(3)Q={(x,y)I/+<1}；

(4)Q={5:0,5:1,5:2,5:3,5:4,4:5,3:5,2:5,1:5,0:5)

17.(1)A\JB\JC；(2)A(BUC)；

(3)ABCUABCUABC；(4)A8UBCU4C;

(5)ABC；(6)XUSUC；

(7)ABC

f4.916

18.法一，由古典概率可知，所求概率为：2。

1O20

法二，由伯努利定理可知，所求概率为：C；o-O.l-O.9i6

19.只有唯一的一个六位数号码开能打开锁。因此由古典概率可知，试开一次就能打开锁的

概率是二V；如果要求这6个数字全不相同，试开一次就能打开锁的概率是上

106%

20.一枚均匀硬币抛掷三次，共有23=8种不同情况

(1)至少连续两次出现正面有：(正，正，正)，(正，正，反)，(反，正，正)3种情况，故

其概率为、3

(2)恰好出现两次正面有：(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)3种情况，故其

3

概率为~

8

3

(3)正面与反面都出现的概率为1-P(仅出现反面或仅出现正面)=-

4

1/6丫1

21.⑴¥；⑵R；⑶1-¥

22.设事件A表示两数之积小于2,则

9

样本空间n={(x,j)।o<x<i,o<j<1},

2

A={(x,j)Ixj<—,0<x<1,0<j<1}

23.设事件A表示方程有实根，则

样本空间。={(w,v)I0<W<1,0<V<1},

A={(w,v)Iw<v2,0<w<1,0<v<1}

24.P(A-B)=P(A)-P(AB)=P(A)-1+P(AB)=P(A)-1+P(AU豆)=0.7

25.(l)F(XU后)=P(而)=1-P(AB)=l-c

⑵口府)=P(XL®=1-PG4U8)=l-a-b+c

(3)P(AB)=P(B-AB)=P(B)-P(AB)=b-c

(4)P(A\jB)=P(A)+P(B)-P(AB)=l-a+b-b+c=l-a+c

”,P(B)P(A)+P(B)-1P(A)+P(B)-P(AUB)P(AB)_

P(A)P(A)P(A)P(A)

27.设A,：第，次调试能调试好，i=l,2,3,B：调3次能调试好

I_3___9____

则P(4)=—,尸(42I4)=—，尸(A31AA2)=—，8=4UAA2UAA2A3

3810

P(B)=尸(A)+P(AlA2)+P(AA2A3)

=p(A)+P(A)p(a1A)+p(A)尸(421A)P(41A4)

12325923

=+X+XX=0.958

338381024

28.设4：10个球中有i个红球，i=0,l,…,10,B：任取一球是红球

则P(A)=1，P(3IA,)=等,i=0,l,,10,

106

P(B)=^P(Ai)P(B\Ai)=—

i=0I1

29.设4邻居记得浇水，B：树已死去

则P(A)=0.9,尸(6IA)=0.15,P(A)=0.1,P(BIA)=0.8

P(B)=1-P(B)=1-[P(A)P(BIA)+P(A)P(BIA)]=1-0.215=0.785

P(AB)P(A)P(B\A)

P(A\B)==0.372

P(B)1-W)

30.设4某人患肺癌，B：某人吸烟

则尸(A)=0.001,P(B\A)=0.9,P(3)=0.999,P(B11)=0.2

P(AB)P(A)P(8IA)0.001x0.9

P(AIB)==0.00448

P(B)P(A)P(BIA)+P(A)P(BIA)0.001x0.9+0.999x0.2

P(AB)P(A)P(B\A)_0.001x0.1

P(A\B)=

P⑥l-P(B)--1-0.001x0.9-0.999x0.2

71

31.设每次击中目标的概率为p,则由1-(1—p)3=—,可得p=一

82

32.设应选出〃件产品，则由1一(1一0.01)〃N0.95,可得〃之299

33.(l)p；⑵(1一「)》”；

(3)即前4-1次射击恰好命中r—l次，且第A次射击时命中目标，故所求概率为

C*(>P产；

(4)即共射击A+r次，前A+r-l次射击恰好命中左一1,且最后一次射击时命中目标,

故所求概率为C；+iP,l—

习题二

一.选择题

1.因为P(XN1)=1—P(X=0)=1-(1—.)3=19/27,故p=l/3,选择(A)

2.由正态分布密度关于x=〃对称知，P(X<0)=[1-1(0<X<4)]/2=0.35,选择(C)

3.因为密度为偶函数，所以尸(―a)=l/2-£/(x)dx=l/2—['/(x)dx,选择(B)

4.因为P(IX—〃l<cr)=P(Xl—-LI匕1<1)=2①(1)—1,所以选择(D)

a

1-v1

5.由严格单调条件下的定理2.4.1可知A(y)=/x(-y-)l--l,选择(A)

二.填空题

6.代入泊松分布律可解得力，填：2

7.P(a/2<X<b)=F(b-0)-F(a/2)=0.4,填:0.4

n—24

8.P(X>2)=——=0.6或者尸(X42)=——=0.4,填：8

〃+2。+2

9.由，(依+2)dx=l得出女=一2的值，然后计算P(X<0.5)=f、(2—2x)dx=3/4,

填：3/4

10.P(120<X<200)=P(l^^l〈竺)=2①(竺)=0.8,查表，填：31.25

(7aer

11.P(y=1)=尸(X=1)+尸(X=2),填：0.72

三.计算题

12.1颗骰子掷2次总共有36种可能，将这些可能排除二维表格形式，

123456

1234567

2345678

3456789

45678910

567891011

6789101112

易得分布津

X23456789101112

P1/362/363/364/365/366/365/364/363/362/361/36

c'11C^(26-2)9393

13.P(X=1)=―-r=----,尸(X=2)=

4645102446落1024

《纱-C；(2‘-2)-3)_540_540339()

P(X=3)=,P(X=4)=1->P(X=k)=--

46~~^~~UY24tr1024

所以X的分布列为

X1234

P193540390

1024102410241024

0,x<lF(x)f

---,1<x<2

1024

X的分布函数尸(x)=<---,24x<3317/512

512

317

—,3<x<447/512■o

5121/1024

,R।>

1234x

l,x>4

14.一次打开P(X=1)=±P(X=2)=』」一=1，以此类推得

nnn-\n

P(X=k)=—,k=1,2,•••,/?

n

15.因为/(〃/2)</(0)不满足单调不减性，或者?(—&%)=Z+,f+00,所以不是

某个变量的分布函数

N(N+1)N(N+1)

16.(1)1得C,=

k=ia2G2

27

⑵G|得C=—

238

+8

⑶EC3

k=l

17.易知产(x)的间断点为T,1,3,再由离散分布函数的性质可得

P(X=—1)=尸(一1)一户(一1—0)=04,P(X=l)=F(l)-F(l-0)=0.8-0.4=0.4

P(X=3)=歹(3)—尸(3—0)=1—0.8=0.2

X・113

P0.40.40.2

46

18.已知X~P(4),则⑴P(XMGXeT—M/GHFOXO.KMZ查表得

6!

(2)P(X>8)=1-P(X48)=1-尸(8)=0.0214查表得

19.设患者中病的人数为X,则由题意得X~6(5000,0.001),由于〃较大，p较小,

所以取几=〃〃=5

65k

所求概率为P(X<6)«Ye-5—=0.7622(泊松近似，查表得)

Mk!

20.设发生故障的设备数为X,维修人员数为〃?，则由题意可构建概率方程：

尸(X>用)<0.01

mq*

因为X~5(300,0.01),P(X>/”)=l—P(X《机房1—一<0.01

t=ok!

查表可得即至少配备8个维修人员才能满足题目要求。

flc1

21.(1),dx=Carcsin(x)=万。=1nC=—

LJ12-7t

O,x<-1

11

(2)F(x)=5)r——.-------dx=-+--arcsin(x),-l<x<1

r

l,x>1

0,x<0

产X2

1xdx=一,0<x<1

22.F(x)=<)"

x2

[xdx+j(2-x)dx=2x-------1,1Wx<2

2

l,x>2

23.(1)[(Cx2+x)dx-+—^=8。…「3

-----F2=1=>C=—

小32038

25

(2)P(X>l)=l-<[(x-|x)Jx=-

8

A

24.(1)F(-HX>)=—=1=>A=1

⑵/(x)=F'(x)=-一~—,-oo<x<+oo

(1+e)

(3)P(XW0)=尸(0)=l/2

25.已知X~E(0.2),指数分布具有无记忆特性，所以

(1)P(X>15IX>5)=尸(X>10)=e42*i°=e-2

(2)因为P(X>10)=e42M。=e-2

假设Y表示三次等待不到服务而离开窗口的次数，由题意得Y~B(3,e-)

p(y>i)=i-p(r=o)=i-(i-e-2)3

26.已知X~£(1/1000),3个元件的使用相互独立，故所求概率为

[P(X>1000)]3=[^'000x1/100013

27.已知X~E(l/2),贝ij(1)P(X〉2)==e-

(2)由指数分布的无记忆特性得，P(X>10IX>9)=P(X>l)=e-"2

5-32-311

28.(1)P(2<XW5)=①—①(一^)=①(1)—<D(——)=①⑴+1—①(一)=0.5328

2222

(2)P(-4<X<10)=0(1-0^--3)-0(-——4-3^)=2①(3.5)-1=0.9996

22

(3)F{IXI>2}=1-/J(-2<X<2)

2―3—2—3]

=1-0(--)-0(-——-)=0(-)+1-0(2.5)=0.6977

222

(4)-{IXI<3}=①(0)-0(-3)=0(3)-0.5=0.4987

(5)有正态分布的特性，知C等于〃的时候正好满足题目要求，所以C=3

29.由题意得次品率为1—P(IX-10.05K0.12)=2—2①(2)=0.0456

30.由尸(X>96)=1—①(丝二卫)=0.023得cr=12

a

12

则P(60<X<84)=20(—)-1=0.6826

31.(1)因为丁=/为严格单调函数，且y>0,所以

11ln-y

fx(lny)—,y>0

y

o,其他

P(~y<X<y^F(y)-F(-y\y>0

(2)4(y)=P(IXKy)=xx

0,其他

2上

£(y)+/x(—y)=keJ?>。

=<

A(y)yj27T

0,其他

1-y11

A(^r)-=-^5<y<2

32.(1)y=l-2x严格单调，所以4(y)=<ZZo

0,其他

p(-6<X<V7)=F(V7)-(-6),y>0

⑵F(y)=P(X2<y)=XFX

Y10,其他

/x（6凉+打（-屈乐=加0<”1

小而苏二加1。“9

川）=

0,其他

Xxli

33.圆片面积丫=万（彳）2=一7r1，函数-7在rx区间［5,6］上严格单调，所以

fx(£)-7=~/-——，ye[25万/4,9万]

加）'）=7兀2个兀丫y]7ry

0淇他

习题三

选择题

i.p(x=Y)=P(X=-i,y=-i)+p(x=i,y=i)=lxl+-Lx-!-=l,故选(A)

22222

2.££f(x,y)dxdy=cxdxdy=4c=1,则c=l/4故选(A)

3.选(D)

4.由题意可得X+Y~N（1,2）,所以尸（X+y4l）=,故选（B）

2

5.（X,Y）服从区域6=｛（羽）'）104》41,04），41｝上的均匀分布,

P(X+Y>1)=fdx(dy=0.125,故选(A)

J0.5

二、填空题

6.尸(X=l)=:+：+==]所以P(X=2)=:+a+£=],

oVlo333

且由X与Y独立可得尸(X=l,y=2)=P(X=l)P(y=2),因此P(Y=2)=；

22121

所以a=P(X=2,丫=2)=尸(X=2)•尸(丫=2)=§,/3=-----=-

7.P(max(X,F)>0)=P({X>0}u{K>0})=P(X>0)+P(Y>0)-P(X>0,K>0)

_44_3_5

~77~7-7

1—e0,x>0

8.&(x)=F(x,+oo)=《

0,x<0

故当x>0时，(X,K)关于X的边缘概率密度fx(x)=F1(x)=31，

■i11

9./x(x)=「/(x，y)dy=」r4"‘-

’0,其他

fY(y)=匚f(x,y)dx=<L4"x-2,1

“0,其他

册(X”等9在

My)0,其他

工2

e4

10.由正态分布的性质可得X-Y~N(0,2),所以Z=X—y的概率分布F(z)=1=

2〃

三、计算题

11.

3

1

12

±

6

0

12.

P(X=i,Y=j)=CcL.05030.25-T=—~—~~-05030.25-1

，!j!(5—i—j)!

("=(M,…,5;i+j<5)

13.

Pi-

11001

33

1

3

1

3

1151

Pj18189

14.(1)[Jf(x,y)dxdy=公,4,67办，=?=1,故得人=2.

⑵尸(X<1)=fdxf2ye-xdy=\-e''

s2x

[ds^2te-dt=y(\-e-\x>0,0<y<l

x

(3)F(x,y)=[_ds]f(s,t)dt=<£ds2te~'dt=\-e~,x>0,y>1

0,其它

15.(1)区域G的面积=f》一》2公=，，故/(x,y)=<6'S'!*。

#6[0,其匕

2

,,、产、，f2=6(x-x),0<x<1

(2)fx(x)=f/(x,y)dy=\,

[0,其它

网)=£>,汕=阴心=6(57—

"[o,其它

16.(1)/(x,y)dxdy=fdxfCxy'dy=*=1,故得C=8.

(2)P(y>X)==|

fSxy3dy=2x,

/x(x)=L"(x,y)dy=<0<x<1

(3))

0,其它

18盯3dX=4y3,0<y<l

fY(y)=£/(x,y)dx=<

0,具已

因为/(x,y)=/x(x)4(y)，故x与Y相互独立。

I：J：/(X，y)dxdy=fch「XC

17.(1)fCy(1-x)dy=—=l，故得C=24.

①24

[24y(l-x)dy=12x?(l-x),0<x<1

(2)fxM=£'f(x,y)dy=<

0,其它

f24y(l-x)dx=12y(l-y)2,0<y<)

/r(y)=f(x,y)dx=

[0,其它

故X与Y不独立。

rV2

一，U,y)eG

区域G的面积=20,

18.(1)故f(x,y)=,4

0,其它

⑵P(xr<i)=^4

++也

+

2V22v

⑶%。)=匚"(内)力=£4办'=10""1

0,其它

,­172,x/2八

力(>)=r"(X,y)dx=」7A_彳，-y-1

^0,其它

因为/(x,y)=/x(x)"(y)，故X与Y相互独立。

■KO

19.P(X=tn)=Z/尸=〃尸，m=i,2,…

〃=〃1+1

n

P(Y=〃)=£p2/T={n-\)p-q-,〃=2,3,…

m=l

20.(1)因为X与Y相互独立，则(X,Y)的联合分布律为

z-2-1012

Z1-2-101232

Pz0.150.150.40.150.15

Pz0.060.080.150.270.290.15

21.(1)由题意

尸(U=0,V=O)=P(max{X,y}=O,min{X,y}=O)=P(X=0,y=0)=gx；=；

尸(U=l,y=1)=尸(max{X,Y}=l,min{X,y}=l)=P(X=l,y=1)=Lx，=!

224

P(U=0,V=1)=尸(max{X,y}=0,min{X,Y}=l)=0

(2)由于尸(U=0,V=1)=0YP(U=0)•P(V=1),所以U与V不独立。

22.(1)Z=X+Y,由连续型卷积公式可得

)Idx=z,0<z<1

ldx=2-z,1<z<2

0,其它

(2)Z=min{XJ}的分布函数为

尸z(z)=/(Z<z)=l-P(Z>z)=l-P(min{X,y}>z)

=1—p(x>z,v>z)=i—P(X>z)p(y>z)

=1-(1-Fx(2))(1-Fy(z))

0,z<0

=<1—(1—z)2,O<z<l

1,Z>1

2(l-z),0<z<l

所以Z=min{X,y}的概率密度函数为/z(z)=,

0,其他

1

x2+j2<R~

23.(X,Y)的联合密度函数为/(x,y)=《，

0,其他

z的分布函数

z2

dy=^,0<z<R

PZ22

Fz(z)=(wz)=p(Vx+y<z)=<0,z<0

l,z>R

2Z//?2,0<Z<??

所以Z的概率密度函数心(Z)='

0,其它

24.当z<0时F(z)=P{z<z}=P{x-Y<z}=0

当时

313

F(z)=P[Z<z}=P[X-Y<z}=["x13xdy-z—z

笈一z22

当z>l时/(z)=l

故/(Z)=，5Z_5Z3,0WZK1

0,其它

25.

/H-00

/x(x)=£f(x,y)dy/y(y)=[f(x,y)dx

1

“xe-Mw%)，=eT,x>0'xe'^dx,y>0

(1+y)2

0,其它o,其它

x>0

在Y=y(y>0)条件下，/xi/xly)=<(1+y)2

0,其他

在X=x(x>0)条件下，万田(田犬)=坐电xe?y>0

人0)0,其他

X与Y不独立。

26.已知随机变量X与丫独立同分布，且P(X=A)=p(l—p)"T,A=l,2,...

证明P(X^k\X+Y=—1.

n-1

证：当当〃=2,3,…时，

.一!.一1

p(x+y=〃)=ZP(X=A,Y=〃一左)=£?(^=无)尸(丫=〃一女)

k=lk=l

，一!.-!

=ZP(1-P)I•P(1-P)i=ZP?(1-P)"T=(〃-l)p2(1-P)"T

4=1i=l

/(x=A,x+y=〃)P(X=k,Y=n-k)

:.P(X=k\X+Y=n)=

-(x+y=〃)-(x+y=〃)

p(l-p)fp(l-p)…—5—,k=—1.

(〃一1)。2(1-。严n-1

习题四

一、选择题

i.由E(xy)—E(x)E(y)=o知x,y不相关，所以。(x+y)=ox+oy,故选择(B)

2.独立难以判断，所以考虑相关与否，因为Cov(U,V)=OX-OY=0,故选择(D)

3.由方差性质可选择(D)

4.因为E(X—C)2=O(X—C)+[E(X—C)f=OX+[E(X—C)]2,OX=E(X—〃)2,

故选择(D)

5.试用钥匙次数设为X,则P(X=幻=，«=1,2,…,〃，故选择(C)

n

6.因为EX=1,DX=2,6丫=2,。丫=4,题目没有讲X,Y相互独立，故选择（C）

二、填空题

7.由期望和方差定义知，期望和方差分别，填：0.6,0.84

ABk

I

k=°k',,„两式相除，可得8=2,

8.由,,，填：ef,2

A=e-2

孕警4篇遽祭2

或者直接套用泊松分布可容易解得A,B

9.X~P(l/2),EX=l/2,E(2X+3)=2*l/2+3=4,填：4

10.由EX2=OX+(EX)2=7,则E(2X2—6)=3破2—6=15,填：15

ii.由题可得丫的分布律为

y|-1o1一

PP(X<0)=1/30P(X>0)=2/3

所以。y=Ey2—(EY)2=8/9,填：8/9

12.由同分布及期望性质，E(X)=-YEXi=^i,由独立同分布及方差性质,

几i=i

in22

D(x)=—yz)x,.=—,所以填：〃，—

〃/=1nn

7fIO2QQ

13.P(5200<X<9400)=F(lX-73001<2100)>1—-竺了=?,填：-

2100299

14.由方差性质可知，D(X±y)=DX+DY±2PXY4DX4DY,所以，填：85,37

15.因为Z=X—y~N(0,l),所以

严1卫产1上I——1-----

E\Z\=「2dz=21z-r=e2dz=yRhv,填：>l2/lr

LJikA)

三、计算题

16.由期望定义知，EX=-1x0.2+1x0.34-2x0.2=0.5,

EX?=1XO.2+1XO.3+4XO.2=1.3

17.

X金额6912

C：7C；C；7C；C：1

PC3-15C3-15C3-15

JoJo2Jo

771117

所以EX=6X,+9X'+12X-!-=4=7.8

15151515

18.设候车时间为X（单位：分钟），则其分布律为

X1030507090

P3/62/61/363/362/36

245

则平均候车时间为EX=——

9

19.设X,表示第i个车站停车与否，i=1,2,…,10,由于每个人在每个车站下车等可能,

其分布律为

X.0不停1停车

p(I--)201-(1--)20

1010

101010Q

则停车次数为XXi，平均停车次数为E(£Xj)=ZEXj=10x(1—(—)2。)

i=ii=ii=i