高数习题册（单元测试题）

函数、极限与连续测试题

一、选择题(每题4分，共20分)

1.设/*)=为(%D,_OO<X<+8,则此函数是().

1+X-

(A)有界函数(B)奇函数(C)偶函数(D)周期函数

2.设函数/(幻在/点的某个邻域内有定义，则/(x)在与点处连

续的充分必要条件是().

(A)lim/(%)存在(B)lim/(x)=0

XT与

(C)/(xo+O)=/(xo-O)(D)在与的某个邻域内，

/(%)=/(%)+a(x)，其中lima(x)=0

3.设匕>a>0,则数列极限lim犷/7等于().

(A)a(B)》(C)l(D)a+b

4.当xf/时，若/(x)有极限，g(x)无极限，则下列正确的是

().

(A)当x->x()时,/(x)g(x)必无极限

(B)当/时,/(x)g(x)必有极限

(C)当x/时,f(x)g(x)可能有极限，也可能无极限

(D)当x->x0时,若/(x)g(x)有极限则极限必为0

5.当xfoo时，变量fsinx是().

(A)无穷小量(B)有界变量，但不是无穷小量

(C)无穷大量(D)无界变量，但不是无穷大量

二、填空题(每题4分，共20分)

1.设函数f(x)=e”,为了使1n0(切=1+/,则e(x)=

已知极限理后则曾T"?

2.

1.ln(l+3x)

3.lim---------

x

lim-2+3r)

4.v

~(2+2/)-

xtsy/l+X—y/\-X

三、解答题(每题10分，共60分)

Yy

1.已知/(sin])=1+cosx,求/(cos：).

l+2x]

2.求极限lim3.求极限lim，e,

2x-1)x-°xsinx

Q.21

3sinx+xcos—

4.求极限lin/anx;smx

5.求极限lim---------------

so(1+cosx)ln(l+x)

6.证明：方程x=asinx+b(a,h>0)至少有一个不超过Q+力的正

根.

导数与微分测试题

一、选择题(每题4分，共20分)

1.设函数y=/(x)在点x0处可导，当自变量x由x0改变到X。+Ar时,

记Ay为/(x)的改变量，6为/(x)的微分，则1由4——=().

&9。Ax

(A)-1(B)l(C)0(D)1

2.设函数/(x)在x。点可微是/(x)在4点处连续的().

(A)必要不充分条件(B)充分不必要条件

(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件

3.曲线y=工尤3+_1/+6%+1在点(0,1)处的切线与x轴交点的坐标

32

是().

(A)(-l,0)(B)(-i,0)(C)(l,0)(D)(l,0)

oo

sinxx/o

4.若函数;则八0)(),

1,x=0,

(A)等于0(B)等于1(C)等于-1(D)不存在

5.若抛物线y=oy2与曲线y=lnx相切，则。=().

2

(A)(B)-(C)2e(D)

]e2x-

二、填空题(每题4分，共20分)

1.设/(x)在x=l处连续，/(1)=0,且lim&=3,则/⑴=____

—1X-1

2.设函数/(Inx)=(In4+Inx2(x>0),则f'(x)=

3.设函数/(x)具有任意阶导数，且/'(x)="(x)]2,〃是正整数,则

尸">(幻______

4.若y=ln上史，则电=_______

1-xdxx=&

5.设y=y(x)由方程xsiny+ye*=0所确定，则y'(0)=.

三、解答题(每题10分，共60分)

y-X<1

1.设/。)=''为了使函数f(x)在X=1点处连续且可

ax+h,x>1,

导，试确定的值.

2.y=arctanA/X2-1-4（尤〉1）,求孚.

Vx2-Idx

x=cost,_p,d2y

3.设y=rcos-sin「求芯.

4.设〃x)=X

0,

5.设丁=y(x)是由方程siny+xe，'=1所确定的隐函数，求函数曲

线y=y(x)在点M(1,0)的切线方程.

,2*Y<()

6.设y=/(x)=,二''"一；’求八江

l+sin2x,x>0,

微分中值定理与导数的应用测试题

一、选择题(每题4分，共20分)

1.方程X=COSX在(-8,+00)().

(A)没有实根(B)有且仅有一个实根

(C)有两个实根(D)有两个以上实根

2.设函数/(x)在x=0某邻域可导，且/'(0)=0,lim/孕=1,则

XTOX

().

(A)/(0)是f(x)的一个极大值(B)是尸(x)的一个极

大值

(C)，(0)是/(x)的一个极小值(D)((0)是/'(x)的一个极

小值

3.设函数/(幻是闭区间&加上的连续函数，则().

(A)/(x)一定是侬,功上的可微函数

(B)/(力一定是口,切上的有界函数

(C)至少存在一点4^名例，使得rC)S-a)=/(b)—/(a)

(D)至少存在一点Je[a,句，使得广0=0

4.下列正确的是().

(A)若f'(x0)=0,则x0必定是f(x)的极值点

(B)极大值一定大于极小值

(C)若/'(题)存在且X。是极值点，则r(x0)=O

(D)若/(x)在而连续但不可导，则与必为/(幻的极值点

5.函数/(x)=sin2x-x在上的最大值为().

(A)0(B)y(C)-y(D)与啖

乙乙NI)

二、填空题(每题4分，共20分)

1.函数f(x)=xe-2，的单调增区间为.

2.函数f(x)=arctanx-e*在［0,1］上的最大值为.

3,曲线y=+的拐点坐标为______.

|4x~-x,x<1

4.曲线y=±的水平渐近线为________.

1+X

5.曲线y=xe2'的凸区间为.

三、解答题(每题10分，共60分)

1.求极限lin/,+ma一幻T.

xf°x-arctanx

求极限lim，'a-21+x+2

2.

3

XT。sinx

3.求极限lim粤q

ioxsinx

2

4.求出函数>='的增减区间、极值、凹凸区间及渐近线，并

1+X

描绘函数图象.

5.设函数/(x)是闭区间［a,。］上连续,在(a力)可导，Kf(a)<a,

f(b)>b,试证：

(1)方程/(x)-x=0,在(a,与内至少有一个实根.

(2)至少存在一点使得.尸⑹>1.

6.为了向宽64m的河修建一垂直的运河航道，以通过长

为125m的船只(船只的宽不计)，问航道须至少开挖多

宽方可使船只通过.

不定积分测试题

一、填空题(每题4分，共20分)

1.若F(x)+C=Jf(x)dx,贝I，e'灯(€一、)dx-.

2.Jf(x)cbc=f+c,贝ijj4(1-xi2)*dx-.

3.设6一“是/(x)的一个原函数，则J4(%)公二

.fdx

4・——.

，Xyt/X+1

5.苗公二.

二、选择题(每题4分，共20分)

(A)x-cosx+C(B)arcsinx-Vl-x2+C

(C)arccosx-Jl-x2+C(D)arcsinx+Vl-x2+C

X

2.已知］7(%2灿=滔+。，则/(x)=()

ijriyfxx近

(A)与3(B)-eT(C)混(D)”

22

3.若/(x)的导函数为sinx,则/(x)的一个原函数是()

(A)1+sinx(B)1-sinx(C)1+cosx(D)1-cosx.

4.已知/(x)是sinx?的一个原函数，则49。2)=()

(A)2xsinx4t£r(B)sin^dx(C)2xsinx2i/x(D)sinx2dx

5.已知/dx/,则下列式子正确的()

X

(A)/(x)=Jx2cZ—=-x+C

(B)/(/)=卜2公='+c,所以〃x)=*+c

(C)r(x)=-U/(x)=[^^=」+c

XJ厂X

(D)/(x)=jx2cbc='+。.

三、计算下列不定积分（每题8分，共48分）

1+X]

2.-----------ax.

%(l+xe")

rlnx-1

4.JIn2xdx.

,rXCOS4(X/2).

5.------——dx・

Jsinx

sinx

6.dx.

x

四、（12分）求函数/（x）=max{l,%2}在（_j+8）上满足"0）=1的

一个原函数.

定积分测试题

一、选择题(每题4分，共24分)：

1.12］炉-4|公=().

Jo

212223

(A)—(B)—(C)y(D)y

33

2.已知自由落体运动的速率v=gr,则落体运动从r=0到f=f0所

走的路程为().

222

(A)咚(B)g%?(C)萼(D)咚

326

3.曲线y=cosx,x£［0，a；r］与坐标周围成的面积()・

(A)4(B)2(C)|(D)3

2

4.定积分-x)4x等于().

(A)一(C)—(D)「

4242

5.已知/(x)为偶函数且£7(x)公=8,则,：/*)必：=().

(A)0(B)4(C)8(D)16

6.设f(上忆式，则J>3().

345

(A)-(B)-(C)-(D)不存在

456

二、填空题(每题4分，共20分)：

1.设函数若，/(x)公=/(x()),OW&Wl,则xo

的值为.

2.一物体以速度v=t2+3t(m/s)做直线运动，则物体在t=0到t=3这

段时间内行进的路程为

3、若，(2x+—)6?X=3+In2,则o的值等于.

♦x

4、若f(x)=x,贝ij[/(%)dx+…

+Lfl00fMdx=----------------------

5、曲线尸JJ(lT)d的上凸区间是；

三、解答题：(共56分)

1.(10分)设y=f(x)是二次函数，方程/(x)=0有两个相等实根,

且/'(x)=2x+2.

(1)求y=/(x)的表达式；

(2)求y=/(x)的图象与两坐标轴所围成的图形面积.

2.(12分)已知经过原点的直线/平分抛物线y=x2-6x与x轴所围封

闭区域的面积.

(1)求抛物线)=P6x与x轴所围封闭区域的面积S.

(2)求直线/的方程.

3.(10分)过原点的直线/与抛物线产『心所围成图形的面积为36,

求直线/的方程.

4.(12分)动点P在x轴与直线/：产3之间的区域(含边界)上运

动，且点P到点口(0,1)和直线/的距离之和为4.

(1)求点P的轨迹。的方程.

(2)过点Q(0,-l)作曲线。的切线，求所作的切线与曲线C所围成

的区域的面积.

5.(12分)设抛物线产如2+法+,通过点(0,0),且当xe[0,1]时，

y>0.试确定a、b、c的值，使得抛物线y=ar?+bx+c与直线ml,

产0所围图形的面积为3,且使该图形绕x轴旋转而成的旋转体

9

的体积最小.

微分方程测试题

选择题(每题4分，共20分)：

1.微分方程孙>〃+*3)3-/7=0的阶数是().

A.3B.4C.5D.2

2.微分方程产'-/了一一=1的通解中应含的独立常数的个数为

().

A.3B.5C.4D.2