对数函数知识点

对数函数

1.函数的图象与图象的变换

【函数图象的作法】函数图象的作法：通过如下3个步骤(1)列表；(2)描点；(3)

连线.

解题方法点拨：一般情况下，函数需要同解变形后，结合函数的定义域，通过函数的对应法

则，列出表格，然后在直角坐标系中，准确描点，然后连线(平滑曲线).

命题方向：一般考试是以小题形式出现，或大题中的一问，常见考题是，常见函数的图象,

有时结合函数的奇偶性、对称性、单调性知识结合命题.

【图象的变换】

1.利用描点法作函数图象

其基本步骤是列表、描点、连线.

首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周

期性、对称性等).

其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，

连线.

2.利用图象变换法作函数的图象

(1)平移变换：

y=f(x)。>0,右移。个单位(a<0,左移⑷个单位)=^y=f(x-a)；

y^f(x)6>0,上移匕个单位下移|b|个单位)(x)+b.

(2)伸缩变换：

伸长为原来对倍

-------------------r~~>

y=f(x)如，缩短法来叫旧(3»

y=f(x)A>\,伸为原来的A倍(O<A<1,缩为原来的A倍)=y=Af(x).

(3)对称变换：

y=f(x)关于/轴对称=y=-f(x)；

y=f(x)关于y轴对称=y=/(-x)；

y=f(x)关于原点对称=.y=-f(-x).

(4)翻折变换：

y=/Cv）去掉y轴左边图，保留y轴右边图，将y轴右边的图象翻折到左边=y=f（况）;

y=f（x）留下x轴上方图将x轴下方图翻折上去y=|/Xx）I.

解题方法点拨

1、画函数图象的一般方法

（1）直接法：当函数表达式（或变形后的表达式）是熟悉的基本函数或解析几何中熟悉的

曲线时，可根据这些函数或曲线的特征直接作1.11.

（2）图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利

用图象变换作出，但要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉函数的要先变形，并应注意平移

变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响.

（3）描点法：当上面两种方法都失效时，则可采用描点法.为了通过描少量点，就能得到

比较准确的图象，常常需要结合函数的单调性、奇偶性等性质讨论.

2、寻找图象与函数解析式之间的对应关系的方法

（1）知图选式：

①从图象的左右、上下分布，观察函数的定义域、值域；

②从图象的变化趋势，观察函数的单调性；

③从图象的对称性方面，观察函数的奇偶性；

④从图象的循环往复，观察函数的周期性.

利用上述方法，排除错误选项，筛选正确的选项.

（2）知式选图：

①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置：

②从函数的单调性，判断图象的变化趋势；

③从函数的奇偶性，判断图象的对称性.

④从函数的周期性，判断图象的循环往复.

利用上述方法，排除错误选项，筛选正确选项.

注意联系基本函数图象和模型，当选项无法排除时，代特殊值，或从某些量上寻找突破口.

3、（1）利有函数的图象研究函数的性质

从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性;

从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等.

（2）利用函数的图象研究方程根的个数

有关方程解的个数问题常常转化为两个熟悉的函数的交点个数:利用此法也可山解的个数求

参数值.

4、方法归纳:

(1)1个易错点--图象变换中的易错点

在解决函数图象的变换问题时，耍遵循“只能对函数关系式中的x,y变换”的原则，写出

每一次的变换所得图象对应的解析式，这样才能避免出错.

(2)3个关键点--正确作出函数图象的三个关键点

为了正确地作出函数图象，必须做到以下三点：

①正确求出函数的定义域；

②熟练掌握几种基本函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、基函数、

形如y=x+的函数；

③掌握平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换、周期变换等常用的方法技巧，来帮助我

们简化作图过程.

(3)3种方法--识图的方法

对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面来

获取图中所提供的信息，解决这类问题的常用方法有：

①定性分析法，也就是通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，

利用这一特征来分析解决问题；

②定量计算法，也就是通过定量的计算来分析解决问题；

③函数模型法，也就是由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析

解决问题.

2.函数的最值及其几何意义

【知识点的认识】

函数最大值或最小值是函数的整体性质，从图象上看，函数的最大值或最小值是图

象最高点或最低点的纵坐标，求函数的最值一般是先求出极值在求出端点的值，然后进行比

较可得.

【解题方法点拨】

①基本不等式法：如当天＞0时，求2%+旦的最小值，有2x+&22

XX

②转化法：如求-5I+W-3|的最小值，那么可以看成是数轴上的点到x=5和x=3的距离

之和，易知最小值为2；

③求导法：通过求导判断函数的单调性进而求出极值，再结合端点的值最后进行比较.

【命题方向】

本知识点是常考点，重要性不言而喻，而且通常是以大题的形式出现，所以务必引起重

视.本知识点未来将仍然以复合函数为基础，添加若干个参数，然后求函数的定义域、参

数范围或者满足一些特定要求的自变量或者参数的范围.常用方法有分离参变量法、多次求

导法等.

3.对数的运算性质

【知识点的认识】

对数的性质：①a1°g菖="②/%小'=8(。＞0且。W1).

log。(MN)=log〃M+logJV；log”丛=log〃M-log/；

N

logaA/—nlog«M；logan^=—log«M.

4.对数值大小的比较

【知识点归纳】

1、若两对数的底数相同，真数不同，则利用对数函数的单调性来比较.

2、若两对数的底数和真数均不相同，通常引入中间变量(1,-I,0)进行比较

3、若两对数的底数不同，真数也不同，则利用函数图象或利用换底公式化为同底的再进行

比较.(画图的方法：在第一象限内，函数图象的底数由左到右逐渐增大)

5.对数函数的图象与性质

【知识点归纳】

对数函数的性质

10gaX（a>l）logaX（0<a<l）

图

象

/X=1

定义域：（0,内）定义域：（0,内）

观

察

图像必经过点：（1,0）图像必经过点：（1,0）

图

像

在（0,也讷是增函数在（0,例讷是减函数

（填