第5章：生活中的轴对称 单元综合练习 2020- 2021学年北师大版七年级数学下册

2021学年北师大版七年级数学下册《第5章生活中的轴对称》单元综合自主提升（附答案）

1.一个等腰三角形的周长为16cm,其中有一边的长为4cm,则该等腰三角形的腰长为（）

A.4cmB.6cmC.4c7"或6cvnD.4cvn或

2.如图，在△ABC中，AC=4cm,线段AB的垂直平分线交AC于点N,△BCN的周长是

7cm,WiJBC的长为（）

A.3B.4C.7D.11

3.等腰三角形的一个内角为50°,它的顶角的度数是（）

A.65°B.80°C.65°或80°D.50°或80°

4.如图，A。为△ABC的中线，将△ABO沿着AD翻折得到△人££）,点B的对应点为E,

AE与BC相交于点凡连接CE,则下列结论一定正确的是（）

A.DF=FCB.AE±BCC.ZDEC=ZDCED.NBAD=NCAE

5.如图，/XABC中，AB=AC,NBAC=100°,A£>是BC边上的中线，CE平分/8CA交

AB于点E,AD,CE相交于点P,则NC用的度数是（）

A.100B.105C.110°D.120

6.如图所示，在△ABC中，ZC=90°,A。平分N8AC交BC于点。，OE_LAB于点E,

若AC=4BE,则下面结论正确的是()

c.SMBC=8S&BDED.S&ABC=9SABDE

7.如图，已知NB=20°,ZC=30°,若MP和QN分别垂直平分AB和AC,则N%。等

于（）

8.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角等于30°,则这个等腰三角形的顶角等于()

A.30°B.60°C.30°或150°D.60°或120°

9.如图，在△ABC中，点。在边BC上，且满足AB=A£>=OC,过点。作。E_LAD交

AC于点E.设N8AO=a,ZCAD=p,ZCDE^y,则()

A.2a+30=18O°B.3a+20=18O°C.0+2丫=90。D.20+丫=90。

10.如图，阴影部分是由3个小正方形组成的一个图形，若在图中剩余的方格中涂黑一个正

方形，使整个阴影部分成为轴对称图形，涂法有()

A.2种B.3种C.4种D.5种

11.如图，△A08与△C08关于边08所在的直线成轴对称，AO的延长线交BC于点£>.若

ZBOD=46°,ZC=22°，则NAOC=

12.如图，点P为△ABC三边垂直平分线的交点，若/%C=20°,ZPCB=3Q°,则

的度数为.

13.如图，在△A8D中，BA=BD.在BQ的延长线上取点E,C,作△4EC,使E4=EC.若

/BAE=90°,ZB=45°,则/D4c的度数为.

14.如图，在△ABC中，A。平分NA4C,点尸为线段A。上的一个动点，PELAD交BC

的延长线于点E.若NACB=84°,且8O=D4,则/E=0.（补充知识：等腰

三角形两底角相等.）

15.已知等腰三角形的底边长为6,一条腰上的中线把三角形的周长分为两部分，其中一部

分比另外一部分长2,则三角形的腰长是

16.如图，等腰△ABC的底边8C长为4,面积是16,腰AB的垂直平分线EF分别交AB、

AC于点尸、E,若点。为BC边上的中点，M为线段EF上一动点，则的周长的

最小值是.

17.已知一个等腰三角形，其中一条腰上的高与另一条腰的夹角为25°,则该等腰三角形

的顶角为.

18.如图，AE是NCAM的角平分线，点B在射线AM上，QE是线段BC的中垂线交AE于

E,过点E作AM的垂线交AM于点F.若/ACB=28°,ZEBD=25Q,WJZAED

19.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点。，交BC于点E,连接4E.若BC

=6,AC=5,则△ACE的周长为.

20.如图，在AABC中，AB=AC,BC=4,SAASC=16,点。，E分别是AB,8c的中点，

点厂在4c上，且尸。J_A艮若点P为线段OF上一动点，连接BP,EP,则aBPE周长

的最小值是.

B

21.如图，在aABC中，AB=AC,点。是AB上一点，过点。作。E_LBC交BC于点E,

交CA的延长线于点F.

(1)试判断的形状，并说明理由；

(2)若AF=BE=2,ZF=30°,求AABC的周长.

22.如图，在△A8C中，NC=90°,点P在4c上运动，点。在A8上，PD始终保持与

山相等，8£＞的垂直平分线交BC于点E,连接。E.

(1)判断。E与。尸的位置关系，并说明理由.

(2)若AC=5,BC=1,以=2,求线段OE的长.

23.如图，在△A8C中，AB=AC,A8的垂直平分线交A8于点N,交8c的延长线于点M,

若NBAC=40°.

(1)则NNM8=；

(2)如果将题中N8AC的度数改为70°,其余条件不变，那么NMWB=；

(3)你发现有什么样的规律性？试证明；

(4)若将题中的/BAC改为钝角，你对这个规律性的认识是否需要加以修改？

BC

24.如图，已知△ABC中，AB=AC,BD,CD分别平分NABE,ZACE,8。交AC于F,

连接AD.

(1)当/B4C=40。时，求NBDC的度数：

(2)请直接写出N8AC与N8OC的数量关系;

(3)求证：ADUBE.

25.已知，在△ABC中，NA8C=/ACB,点D为射线CB上一点，过点D作DELAC于

点、E.

(1)如图1,当点D在线段BC上时，请直接写出NR4C与NEDC的数量关

系：.

(2)如图2,当点。在CB的延长线上时，画出图形，探究/BAC与NECC的数量关系,

并说明理由.

(3)在(2)的条件下，点尸为线段BC上一点，过点尸作FGLAC于点G,连接AF,

且/4FG=NCFG,NBAF=NBFA,延长矶)、AB交于点K,求/EK4的度数.

图1图2

参考答案

1.解：40机是腰长时，底边为16-4X2=8(cm),

74+4=8,

.\4cmy4cm、8c机不能组成三角形；

4c次是底边时，腰长为工X(16-4)=6(cm),

2

4cm、6cm、6c〃?能够组成三角形；

综上所述，它的腰长为6cm.

故选：B.

2.解：〈MN是线段AB的垂直平分线，

:・NA=NB,

9：ABCN的周长是7。小

:.BC+CN+BN=7(an),

:.BC+CN+NA=7(cvn),即8C+4C=7(CM),

,.,AC=4C〃2,

：.BC=3(cm),

故选：A.

3.解：如图所示，△ABC中，AB=AC.

有两种情况：

①顶角NA=50°；

②当底角是50°时，

u

：AB=ACf

・・.N5=NC=50°,

VZA+ZB+ZC=180°,

AZA=180°-50°-50°=80°,

・・・这个等腰三角形的顶角为50°或80°♦

故选：D.

R

4.解：•・•AZ)为△ABC的中线，

:・BD=CD,

•・•将△48。沿着AD翻折得到△人£1£),点B的对应点为E,

:・BD=ED,

:.CD=ED,

：./DEC=NDCE,

故选：C.

5.解：在△A8C中，AB=AC,ZBAC=\OO°,

AZACB=(180°-100°)+2=40°,

,・"平分N3CA,

AZBC£=20°,

・・・AD是8C边上的中线，

AZADC=90°,

：.ZCFA=900+20°=110°.

故选：C.

6.解：TAO平分NA4C,

JZDAC=ZDAE,

VZC=90°,DE工AB,

・・.NC=NO£4=90°,

9

：AD=ADf

在△AC。与△4EO中，

<ZCAD=ZEAD

<ZC=ZAED，

AD=AD

：./\DAC^^DAE(AAS),

：.AC=AEf

U：AC=4BE

：.AE=4BEf

S^ADC=S"DE=—X4BE・DE=4S^BDE

22

:$ABC=9S>BDE，

7.解：在△ABC中，NB=20°,ZC=30°,

：.ZBAC=]S0°-20°-30°=130°,

*：MP和QN分别垂直平分AB和AC,

：.PA=PB,QA=QCf

：.ZPAB=ZB=20°,NQAC=NC=30°,

：.ZPAQ=130°-20°-30°=80°,

故选：C.

8.解：当高在三角形内部时，如图1,

VZABD=30°,BDA.AC,

：.ZA=60°；

・・・顶角是60。；

当高在三角形外部时，如图2,

•；NABD=30°,8O_L4C于。，

；・NBAD=60°,

AZBAC=180°-60°=120°

・・・顶角是120。.

9

9.解：：AB=AD=DCfZBAD=a,

AZB=ZADB,ZC=ZCAD=P，

'：DE±AD,

：.ZADE=90°,

AZCAD+ZAED=90a,

♦；ZCDE=y,NAED=NC+NCDE,

：.NAEO=Y+B，

.•.20+y=9O°,

故选：D.

10.解：如图所示：在图中剩余的方格中涂黑一个正方形，使整个阴影部分成为轴对称图形,

只要将1,2,3,4处涂黑，都是符合题意的图形.

11.解：:△AOB与ACOB关于边08所在的直线成轴对称，

，AAOB刍△COB,

ZA=ZC=22°,ZABO=ZCBO,

,：ZBOD^ZA+ZABO,

，/A8O=46°-22°=24°,

二N4BD=2NABO=48°,

AZADC=ZA+ZABD=22°+48°=70°,

故答案为：70.

12.解：I•点P为△ABC三边垂直平分线的交点，

：.PA=PB=PC,

：.ZPCA=ZPAC=20°,NPBC=NPCB=30°,ZPAB=ZPBA,

必8=.(180°-2X200-2X30°)=40°,

2

故答案为：40°.

13.解:•:EA=EC,

：.ZEAC=ZC,

•；BA=BD,

：.ZBAD^ZBDA,

.,.ZADB=ZBAD=1.(180°-45°)=67.5°,

2

VZBAE=90°,NB=45°,

AZAEB=ZB=45°,

AZDAE=ZADB-ZA£B=67.5°-45°=22.5°,

故答案为：22.5°.

14.解：'：BD=AD,

：.NB=ABAD,

'：AD平分/BAC,

NBAC=2/BAZ)=2NB,

ZB+ZBAC+ZACB=180°,/ACB=84°,

AZB+2ZB+840=180°,

解得NB=32°,

；NADC=NB+NBAD=2NB,

：.ZADC=M0,

'.'PELAD交BC的延长线于点E.

，NE+NA£>C=90°,

解得/E=26°.

故答案为26.

15.解：等腰三角形一条腰上的中线把三角形的周长分为两部分，这两部分的差即是腰与底

的差的绝对值，

•.•其中一部分比另外一部分长2,

二腰比底大2或底比腰大2,

二腰为8或4.

故答案为：8或4.

16.解：如图，连接AD.

：△ABC是等腰三角形，点。是BC边的中点，

".ADLBC,

'SA^BC=2・BUAZ)="1X4X4。=16.

22

."£>=8.

•••EF是线段AB的垂直平分线，

二点B关于直线EF的对称点为点A,

：.AD的长为BM+MD的最小值，

的周长最短=(BM+MD)+BD=AD+1BC^6+1.X8=10.

22

故答案为：10.

17.解：①如图，等腰三角形为锐角三角形，

"BDLAC,NABO=25°,

AZA=65°,

即顶角的度数为65°.

:.NBAD=65°,

/.ZBAC=115°.

故答案为65°或115°.

18.解：连接CE,过E作ER_LAC于R,CD交ER于Q,AE交BC于。,

VDE是线段BC的中垂线，

；・NEDC=90°,CE=BE,

:./ECB=NEBD,

VZEBD=25°,

AZECB=25°,

：.ZDEB=ZCED=90°-25°=65°,

9：ERLAC,ED上BC,

:・/QRC=NQDE=90°,

・・・NACB+NCQR=90°,ZEQD+^QED=90°,

♦：NCQR=NEQD,

：.NACB=/QED,

VZACB=28°,

：.ZQED=2SQ,

TAE平分/CAM,ERLAC,EFLAM,

:・ER=EF,

在RtA£/?C和RtAEFB中，

[CE=BE,

lER=EF，

ARtAE/?C^RtAEFB(HL),

：.ZEBF=ZACE=ZACB+Z£CD=28°+25°=53°,

VZEFB=90°,

AZBEF=900-ZEBF=90°-53°=37°,

:・NREF=NRED+/BED+/BEF=28°+65°+37°=130°,

•；NARE=NAEE=90°,

・・・NCAM=360°-90°-90°-130°=50°,

平分/CAM,

.•./CAE=//CAM=25°,

：.ZDOE=ZCAE+ZACB=250+28°=53°,

'：ED±BC,

:.NEDB=90°,

，ZAED=90°-ZDOE=90°-53°=37°,

故答案为：37.

19.解：是线段A8的垂直平分线，

:.EA=EB,

：.AACE的周长=EA+EC+AC=E8+EC+4c=8C+AC=11,

故答案为：11.

20.解：如图所示,

连接AE交OF于点P,

"：AB=AC,E是BC的中点，

：.AELBC,

S/\ABC=16>BC=4,

；.AE=8,BE=2,

•.,。是AB的中点，FDLAB,

.••■OF是A3的垂直平分线，

：.PB=PA,

：.LBPE周长的最小值是AE+BE=8+2=10.

故答案为10.

21.解：⑴'：AB=AC,

：.NB=NC,

'：FE±BC,

：.ZF+ZC=90°,ZfiD£+ZB=90°,

：.ZF=ZBDE,

而/BDE=NFDA,

ZF=ZFDA9

：.AF=AD,

•••△A。/是等腰三角形；

(2)9：AF=AD=2,N/=30°,

AZADF=ZF=30°,

■:DELBC,

:・/DEB=9G°,

；・DB=2BE=4,

：.AB=AD+DB=6f

VZF=30°,

AZC=60°,

\9AB=AC,

・・・△ABC是等边三角形，

•••△ABC的周长为18.

22.解：(1)DE工DP,

9

理由如下：：PD=PAf

JZA=ZPDA,

・・•砂是BO的垂直平分线，

:・EB=ED,

：./B=NEDB,

VZC=90°,

・・・NA+N8=90°,

・・・NPD4+NED8=90°,

AZPDE=180°-90°=90°,

：.DELDP；

(2)连接PE,

c

♦.•NC=NPOE=90°,

PC2+CE2=PEr=PD^+DE1,

A32+(7-x)2=22+/,

解得：则

x=27,D£=27

77

23.解：(1)'：AB=AC,/BAC=40°,

/18QZA

-ZACB=02-=70°，

・・./CDM=NAON=900-ZA=50°,

4NMB=ZACB-ZCDM=20°.

故答案为：20°.

(2)9：AB=AC,ZBAC=10°,

A18QZAO

ZACB=02~=55，

：.ZCDM=ZADN=90°-ZA=20°,

I.4NMB=4ACB-ZCDM=35°.

故答案为：35°.

(3)上述规律为：等腰三角形一腰的垂直平分线与底边相交所成的锐角等于顶角的一半.

证明：设乙4=a,

t：AB=AC,

：.ZB=ZC,

.,.ZB=A(1800-ZA)=A(180°-a),

22

'：ZBNM=90°,

:.NNMB=90°-ZB=90°-A(180°-a)=Aa；

22

（4）将（1）中的NA改为钝角，（3）中猜想的结论仍然成立.

证明：设/A=a,

9：AB=AC.

・・・N5=NC,

.,.ZB=A(1800-ZA)=A(180°-a),

22

'：ZBNM=90°,

:.NNMB=90°-ZB=90°-A(180°-a)=2a.

22

24.(1)解：'：AB=AC,/BAC=40°,

二/ABC=/A"=工(18