高中奥赛题数学

高中奥赛题数学

第36届全国高中学生数学奥林匹克竞赛决赛第一天的试题（共3道题

目，竞赛时间：2020年11月24日上午8：00—12：30）

2020年中国数学奥林匹克（CMO）第一天试题

（n》l）是复数数列，奇数项为实数，偶数项为纯虚数，且|Z*Z"=2*,

记4=ki+z2T---Fz„\

<1）求尾的最小可能值

（2）求八UMI的最小可能值

2.给定正整数m>l,求正整数n的最小值，使得对任意整数由，a?,…，a„,blfa.2…，b„.

存在整数乐的，…，4,满足以下两个条件

（1）Bie<1,2,—,n},使得zjjm互质

（2），2七£三22“北三°（1n0dm）

3.已知正整数n,恰有36个不同的质数整除叫对上=1,2,•••,5.记［鼻弛，容］中互

Du

236

质的整数个数为G，已知G,C?,…，金不完全相同，求证：£（C,-CJ）52

二、第36届全国高中学生数学奥林匹克竞赛决赛第二天的试题(共3

道题目，竞赛时间：2020年11月25日上午8：00—12：30)

第二天

4.锐加：.角形ABC(AB>AC)、Z为其外接园上劣弧灰'中

点.K为A的对径点.过。作OD〃AM交ABTD,交CA

的延长线J-E,直线BM交直线CK1jR直线CM交直线

BKJ-Q.

目五正：£OPB+Z.OEB=Z.OQC+AODC.

5.P是•个凸多面体,满足以卜两个性质:

(i)P的每一个顶点恰属于3个不同的面:

(ii)对任意k23,P'I'k边形面都恰有偶数个.

有一只蛆蚊从某条棱的中点出发、沿棱爬行.走•条闭合路

径L,经过L上每一点恰好一次，最终回到出发点.L将P的

表面分为两部分.使得对任意k23.两部分中k边形向的个

数相等.

求证：蚂蚁在爬行中向左转和向右转的次数相等.

6.设N*表示正整数集.求所有的函数使得对

任意正整数x,y.均有f(/(x)+y)整除x+f(y).

E

O

三、第36届全国高中学生数学奥林匹克竞赛决赛第一天的试题(共3

道题目，竞赛时间：2020年11月24日上午8：00—12：30)参考

答案

(1)第一天第1题参考答案

20204中国霰华奥北匹克

第-夫

1.旧岛履上教教礼存教映为灾豢，倡教随为纯成教,

出戏隹二超正塞叔k,IWKZKJ=2”.忆£=信1+区.1■…+Z/

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（2）米£/工“鱼星工可能值.

做：隔=个（几=12…）,我"，b“£R.

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子工时住为工薨教k,|赞国拜卜费=2,

隈卜I轮卜岁=2.

故，VMN+,|心|二21HlQj,Ikl^/W.

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（2）第一天第2题参考答案:

2.给定王紫嗷矶力，术王i.袁儿留是耕办匕倭春得隹

孟整敢出,2：B.h,ba「：b«.存在£盘%，力,••，”,

满工人下西个球在；

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次念在三堂兀七三OCm）

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若工迷」情制不存札则Cl-V,S（=t（zSaMa,…,Su-lv.

这曲,加杂舞，鲁-二食中友西孑泪》不闰今.不妨

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如果矍，驾，一.，食接入两两凤嫉,可世上三食

三…三贤■三人5*^ft）,则时。5,一入bs,C，=l，，…,N）.

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…，7曲中王夕木（2什|）-2k=14数不能被R,日…小象

临，诙表当交专讯互表.

维h新世，几束1果也被£2已1,其中七是沆命衍次素

因于鱼年数.

（2）第一天第3题参考答案

3,已知正塞缴几，性木■不同依未教塞糅凡，时匕引，

2,…5记［曾＜等］中与几互主丝墓教中教为金，已加G,

心，…,臭不宜鱼雨风.术证：NCO

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证照电羯去可谀几=产*…度'，*",及…，/及3〃

不同#近教,M€N+C1=12….36).

注年创舟在3工亚正复数况，机察］=［去］.

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噫Ml)一…③

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［（K-T堂叼=比十五（U）.底,风长况）也正兼也部称以5命

洛，教，刑龄生jfc仇6川+,左70）=［牛］+7k（f（m））.

再给合③可得••必化夫k£fi,2,…,U,意

金=Ci+7kQF⑺）-多7K（五件））+装小（汽土'））一…

十兀（】（忸"：口））.

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…十人仔（岳瓦））.©

国为济化寿加GN+,左长"）€",1，Z3,4上

鱼队G-GY■染九TKS）十巩心。）十旭五62）十次37⑶

十叫及（4）二孙及Q）十侬石Q）十出口⑶十%诙⑹©

盘里鬼，如,水》,次L加赛.源定留整盘■，杀的和溢_孤。）=0.

*用kCM=［号］-］怦］可队骞也-

（工Cl）,7,C2）,1C3）,工⑷）二（0,0,0,0）；

CBQ）,丁2（2）,~Jz（3）,7a（4））二（0,O,1,1）；

（TiCl）,似2）,73（3）,力⑷）二（。）,0,1）；

CT+CD,—Q）,Tt■⑶,■（4））二（。，o,I,I）；

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QTs。），TsQ）,7sCJ）Z7s（4））CizLLI）.

因此Cz~G=加3十科•,J-C产侬+祝《，Q-C产网十册4,

Cs-Ci=x（+Mx-t^tw4,乎&C3一以二%-九"。-G=。，

Cs-Cx—Hi+^ta,1~Q=THj7Hi,Cs~Cb=仇t+血3,

Cs-a=加十旭.©

为d，由④不知置S’M吐金-G=o,Ql，2,….5.砰C=a

二…=Cs.近目GA….Cs不克金相见加扁!妆52M.

T面好几令两封Mr必讨讫，

Q）当5+几府，闽为2,三2（混5X22X4CW512、33^5）,

2,三卜府S）,渐次花在正薨盘九枚四2合三砧溷5）,反由

RM5"12….36）于如••衣左iX救九伐Q%>s）,

砰七三斗（加A5）.

再体专版®于符:研隹4*fl.）.…回.市

Q-G=及吁川）-乏工（丑2*））+（河皿闻

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现右，埼■=心5/）（|-*）-••ON叼,由份可知：

相儿小）双争禽，的清欢教那4卷。窗欣曲W教区而方知;

鱼灰次卷加4点/依收#4.教之狗为小，向木灰缴混4

£2鱼旗做圣教之痴为祖人音为先奴混44.3的狡畲右

教Z我为次3（运是由2"（*s）依4.表数倒是触R为4的

风才R羲羽，员2°三屋斓刃，2,三2（渥5）,2=4（加以另，

2,三3（*S）金彳龟定鱼）.

S4%♦引.可令7心0力与。-力有）*••（卜］加）二%TMR

十人力+加》®

在⑤中取可将加十Mt九亓%=0.

4孔，由矽可初NCQ-Q）'=20「加）,+4O1祇广

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42（沈a"3尸.⑦

激七，七.…，%中木入中教波从4-iCM。/,2,3）

刚入。十人马入十人3

由⑧可得・•芳X4引.期N』Q-R»C/-Z/'C/-Z^-

3,

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血源入丸，那么漪巩33瓦寸叫7、祖"=04z=i/.

士i都就士..而当》＞沆2,#4,九3不全务袈席,关守九的由本支

加"加二+耽於＞+如少=0王£有三彳根.玄川二加广均n小

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同才命故人。=0.

砰也6{-I,LL-"，为#Cl-R）人OM“Ci-z,/,

二冽一%k十叫R—加X?.里中入苫入a+入3=%.®

右®中天力二T可得2MzM4-M-九3=/0‘J

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才是冽十必三心i■沈3（加42*），区由鬼十小十双十冽产。

可符2叼九十双，2叼加十啊.®

之闻中取片匕夺得（九-叫）+（%-沆3）L

二2"汴Cl-i）儿Q+ip3

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二-淤（1+。人浊一

由比力可知2sol-双），2倍/（泡-泡）①）

结金®®可得附，况2,3.如也胡薇2〃差陷.

若小十加3.由⑥可奏［廿向J72%.孤线哈⑦5

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彳黑NCcv-cy=2（%-桁）'十4（而十加）、2czM内尸

14冈（5

凌（加-为广72刃>2%

有如.二期.由⑦反C,Cz.…/5不定金和网,可加那心，

Mo,而2,71?M%,商队［城］十处］32%

再令令⑨可得：NCQ-G）'=2（%-；X3）'+4QVAi『

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十2C几十次3）”=6C比产加）'36x（2"）'>2"

C2）刍S|几时，由于5”儿.离队S/也不以设徐工5,网

必6二I.记儿j普，则5m.

由⑥可行金-6=、（f（5矽）-之又（于（翎+

蔡附（概））-…+1%点%））

二-兀（物0）+多人（于（普））-…十七6（情而））

而运星5卜儿’，我下床可杀用美似CD窗处理，网致可

证：NCa-Cj）“72%

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循令Q）.（2）可相WCCv-Q『72'

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四、第36届全国高中学生数学奥林匹克竞赛决赛第二天的试题（共3

道题目，竞赛时间：2020年11月25日上午8：00—12：30）参考

答案

（1）第二天第4题参考答案

2。20华寸国数年负林匹克

学二天

4/七龟4ABC(AB>AC),M为其祢技困JL为孤前的

中点，k*A钠K板点.比0傕0D"1A友AB牙D,友CA的延

长伊于E支第BM左史线Ck子P,支脩CM左玄铎BKJQ.去

证4PB+N(O=NO&C+/ODC.

证网■也《OB,OC.

•「NODB=NXAAB=〃BC,

NORD=ZOAB=NkAB=NKCB.

「.△OBDsApCB.

今署暇逢.

又由NCBD=NOBC+/OBD

=ZOCB+PCB=ZPCO.可春

△BCDs^cpo今NOpCNDCB.

同理可由AOCES/QBC今4BCEs』aB0

》/OGB二NEBC.

于旻/OPB十/OEB;NBpC-NOpC+/OEB=ZDOB-

NDCR+NOER=ZQPC+ZOBC+ZOEB=/ODC+/OCB+

N0EBN0DC+ZCOE-ZCBE=ZOPC+NBQC-/B&O

=ZODC+zoac.

(2)第二天第5题参考答案

5.P是-4凸多面心，满员K下两个他队

Ci)F案等-4丁良点佑届于3个不同曲面，

(ii)启隹态k73,P中k正书面寿帕方得去土

本-R蝇蚁余核曲上也也殳，舟棱爬行，更-祭闭

令路在L兹比£JL4一支怡妗一次,录会回到出发点工

超P的表面为为两割匀，住狷附隹条k/3,两耕切中k比用

面幽4数棚筝£言♦端奴友更有中白左莪俞右右垃珈久

亲相象

iL钢设L幡P附表面会底曲

两耕令为M.A/.\__^-/

先观雇阳台的堀:乙可人/也二、

蚂奴左-4■路口左转国如过倒及

点竹府孑羊个君奇Q不挞设知2t

掰两偌也书面.

茗下一彳路口无黄，财此火的住址的孜点精尾子小中的

两个名也齐面；若下-4■路口右鞋，购此舟断经生鱼了灾点.怡

扇于M中掰-43瓦而面.

舟子蜗奴在一中路口力引，不一步留住沉5前也■关似.

由此可知，蚂蚁在您在中自左转加向右辕的次数与

鱼及点.堵关.

记闭哈洛在心工商关预点构曲朵々s.

被s中渣£孑支竹属于加中-7专业用面，97r点怕属于

M中的西4名也用面.网由杀俘5）可加：S中看久力点借属子

N中储两中学正轮面/个点传属于N中金-4名也晶面.

守是,蜗奴在悠若中向左转拓向右鹿幽灰薮为五，K

下面证明Z=工

就隹忠匕》3，小、A）中匕也用面鱼不数相争.图跖，Z4、/V

中商发面的狡女数之俞粕等.说&役m例中不届于s依孜

右左u<N偷伸不愿4S成1文也有"仁由粢音。）可MM视

巾脩T淆面依丁文点教区和为3从十7+2小川例1中四堵面内顶点

数Z用为37+2X刊.次而编3儿十X+2g=3/+2»if.0

由瓠太可知，M，N自面急加争，设面教无土

谀M伊I窗梭米为e.囹%一小核武两个狡々，背入2喈

才从侧上禽衣面依顶点救£痴再加工人工商旅改点教.理

2。=。3“十7+2，）十又十J.故。=4（3区十2*十39）.

国理■可得：N撷饿核教为士（川+奴+刈）.

对孑M饱，上面教也£及去薮当LUN十九棱数治

《⑶I十2X+3Q,板据欧技定很可存：

（"AJ）-4（3从+2之十3幻+Cf+1）=2.®

同样附内侧.根据欧瓦定也可得：

C1HN+9）-4C3》+3X+2勺）十（J+l）=2.③

由3,。③可存tl=",抬入①可4?%=y.

即蚂蚁右愈在中向左轻白右转南次数植空

(3)第二天第六题参考答案

6,极N+是五蓑教夕.水四发幽曲电F/V+7储,使得

对住高五塞教N，9,色力f(foo+8)b+f⑼.供)

解常在在〃,b£N+,"b,傥得;fg=f®2取应样的

a,b,让b玉小.

在(X冲取十亿可獴VKN+,f(f®)+⑼"也).CD

在田中*x=b可得VX6N+,fGa)+g)|b+f⑼.@

由R②季得・HKN+,Rf®+9)H-b.③运一明一

淆果.由a-b的■聂J也可也于0@十|)吁吁@+2),…，

+(fca)+a-b)两两不同，结吉③可加至少友a-b<不同的

困子.评1,2,….”升新菱感。b,故a4€〃».

刍亿-b=ist由③可彳宗y，eN+，:f(fa)*H)=L肝附在

森工曼敦N》fca)H.\于⑺引.

右Ge)中分别取f。)+1,jca)+i,可得得在丞册N+,

fCHH)|-fC<t)+l+fCH)④，fCH9)]f⑷+2+于⑶⑨

由④,®可得于(叶切1今:fo+y)=i.肝再化福正莫教

X>2,,f0)=1.

固丸yx/€仙仔(动十”阳=2,一-，(f(M+y)=|.

故此身:f(M=[C'川用松枝诙函数缚合棘烝！

II,X?2

/e-b=2跣由③可翱得化玄木

正结若a-b依*a也可和：在右儿6N+,住察长儿尸f5+2)

=••,=f(几十2K)=…=|,f(儿+D=f(八+3)=…=/(九+22+1);…

:2.在田中今制双％=4，几+2,可律附隹也心如，

R+W4+f⑼⑥，fQ+y)|Mt+f⑼⑦.

由©由可存白出32今于a+y)efi,2j.

砰站隹洗工£数五72,友fcx)6{1,2}.

故f(