福建省中考数学真题变式题库

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【原卷20题】知识点由样本所占百分比估计总体的数量，条形统计图和扇形统计图信息关联，求中位数

20.学校开展以“劳动创造美好生活”为主题的系列活动，同学们积极参与主题活动的规划'实

施、组织和管理，组成调查组、采购组、规划组等多个研究小组.

调查组设计了一份问卷，并实施两次调查.活动前，调查组随机抽取50名同学，调查他们一周

的课外劳动时间t（单位：h）,并分组整理，制成如下条形统计图.活动结束一个月后，调查组

再次随机抽取50名同学，调查他们一周的课外劳动时间r（单位：h），按同样的分组方法制成如

下扇形统计图，其中月组为B组为14r<2,C组为24r<3,。组为3M，<4,E组为

4<r<5,尸组为725.

A组11组C组0组ESIF组组别

（1）判断活动前、后两次调查数据的中位数分别落在哪一组；

（2）该校共有2000名学生，请根据活动后的调查结果，估计该校学生一周的课外劳动时间不小

于3h的人数.

【正确答案】（1）活动前调查数据的中位数落在C组；活动后调查数据的中位数落在。组（2）1400

人

【试题解析】【分析】（1）根据中位数的定义求解即可；

（2）该校学生一周的课外劳动时间不小于3h为。、E、尸组，用该校总人数乘以所占百分比即可.

【小问1详解】活动前，一共调查了50名同学，中位数是第25和26个数据的平均数，

•••活动前调查数据的中位数落在C组；

活动后，4、B、C三组的人数为50X（6%+8%+16%）=15（名），

D组人数为：5Ox3O%=15（名），15+15=30（名）

活动后一共调查了50名同学，中位数是第25和26个数据的平均数，

二活动后调查数据的中位数落在。组；

【小问2详解】一周的课外劳动时间不小于3h的比例为30%+24%+16%=70%,

2000x70%=1400（人。

答：根据活动后的调查结果，估计该校学生一周的课外劳动时间不小于3h的人数为1400A.

【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图，用样本估计总体，中位数的定义等，解题的关键

是理解题意，从图中找到解题的信息.

〃精准训练〃

20-1（基础）2022年北京成功举办了第24届冬季奥林匹克运动会.为了调查同学们对冬奥知识的了解情况,

某学校组织了“冬奥知识知多少”竞赛活动，随机抽取了部分学生的竞赛成绩进行分析，共分为四个等级：4

B,C,D,并绘制了如下不完擎的统计图.请结合统计图表，回答下列问题：

对冬奥知识了解情况的条形统计图对冬奥知识了解情况的扇形统计图

人数£

80个

70-

60-

50-

40-

30-

20-

10-

0L

1、本次抽样的学生人数为多少人?

2、扇形统计图中“C等级”所在扇形的圆心角是多少度？

3、若该校共有学生3000人，请估计该校学生对冬奥知识了解情况的程度为“A和8等级”的学生约有多少人？

【正确答案】1、200人2、108。

3、1920人

20-2（基础）随着移动计算技术和无线网络的快速发展，移动学习方式越来越引起人们的关注.某校计划将

这种学习方式应用到教育教学中，从各年级共1500名学生中随机抽取了部分学生，对其家庭中拥有的移动设备

数量情况进行了调查，并绘制出如下的统计图1和图2.

根据相关信息，解答下列问题：

1、本次接受随机抽样调查的学生人数为,图1中〃?=\

2、求本次调查获取的样本数据的平均数：

【正确答案】1、50,32；2、3.2台.

20-3（巩固）2022年3月23日“天宫课堂”第二课在中国空间站正式开讲,“太空教师”翟志刚、王亚平、

叶光富再次给大家带来一堂精彩的太空科普课.某校组织全校学生同步观看，直播结束后，教务处随机抽取了〃

名学生，将他们最喜欢的太空实验分成四组，A组：太空“冰雪”实验；B组：液桥演示实验；C组：水油分

离实验；。组：太空抛物实验，并得到如下不完整的统计图表.请利用统计图表提供的信息回答下列问题:

学生最喜欢的太空实验人数统计表

分组A组B组C组。组

人数a1520b

«<2

学生最喜欢的太空实验人数条形统计图学生最喜欢的太空实验人数扇形统计图

1、n=a=，b=

2、补全条形统计图;

3、若全校同步观看直播的学生共有800人，请估计该校最喜欢太空抛物实验的人数.

【正确答案】1、50；5；10；2、见详解

3、160

20-4（巩固）越野汽车轮胎的质量是根据其正常使用的时间来衡量的，使用时间越长，表明质量越好，且使

用时间大于或等于7千小时的为优质品，否则为普通品.某汽修店对A,8两种不同型号的汽车轮胎做试验,

各随机抽取相同数量的产品作为样本，得到试验结果的扇形统计图和频数分布直方图（每组包含左端点但不包

含右端点）如图所示，以上述试验结果中各组的频率作为相应的概率.

A型轮胎使用时间，的扇形统计图B型轮胎使用时间r的频数分布直方图

（单位：千小时）

1、现从大量的A,B两种型号的轮胎中各随机抽取1件产品，求其中至少有1件是优质品的概率；

2、汽修店对轮胎实行“三包”，根据多年销售经验可知，轮胎每件产品的利润y（单位：元）与其使用时间f（单

位：千小时）的关系如下表：

使用时间单位：千小时）t<55<t<6t>6

每件产品的利润y（单元：元）-200200400

若从平均利润角度考虑，该汽修店应选择哪种轮胎销售，请说明理由.

【正确答案】1、々至少।件优等品）=*

2、该汽修店应选择4型号轮胎销售，见解析

20-5（提升）近年来，在习近平总书记“既要金山银山，又要绿水青山”思想的指导下，我国持续的大面积雾霾

天气得到了较大改善.为了调查学生对雾霾天气知识的了解程度，某校在学生中做了一次抽样调查，调查结果

共分为四个等级：A.非常了解；B.比较了解；C.基本了解；D.不了解.根据调查统计结果，绘制了如图

所示的不完整的三种统计图表.

对雾霾天气了解程度的统计表

对雾霾天气了解程度百分比

A.非常了解5%

B.比较了解15%

C.基本了解45%

D.不了解n

请结合统计图表，回答下列问题：

（1）本次参与调查的学生共有人，〃=;

（2）请补全条形统计图；

（3）根据调查结果，学校准备开展关于雾霾的知识竞赛，某班要从“非常了解”程度的小明和小刚中选一人参加，

现设计了如下游戏来确定，具体规则是：把四个完全相同的乒乓球分别标上数字1,2,3,4,然后放到一个不

透明的袋中充分摇匀，一个人先从袋中随机摸出一个球，另一人再从剩下的三个球中随机摸出一个球，若摸出

的两个球上的数字和为奇数，则小明去，否则小刚去，请用画树状图或列表说明这个游戏规则是否公平.

【正确答案】（1）400,35%；（2）条形统计图见解析；（3）不公平.

20-6（提升）2021年12月9日“天宫课堂”第一课正式开讲，神舟十三号乘组航天员翟志刚、王亚平、叶光

富在中国空间站进行太空授课，神奇的太空实验堪称宇宙级精彩！某校为了培养学生对航天知识的学习兴趣,

组织全校800名学生进行了“航天知识竞赛”.教务处从中随机抽取了〃名学生的竞赛成绩（满分100分，每

名学生的成绩记为x分）分成四组，A组：60Vx<70；B组：70Mx<80；C组：80Vx<90；。组：90<x<100,

并得到如下不完整的频数分布表、频数直方图和扇形统计图.根据图中信息，解答下列问题：

分组频数

A：60Kx<70a

B：70<x<8024

C：80Vx<9032

D：90<x<100b

«<4

40

32

24

16

60708090100成绩（分）

1、。的值为.

2、扇形统计图中表示“C”的扇形圆心角的度数为

3、若规定学生竞赛成绩x280为优秀，请估算全校竞赛成绩达到优秀的学生人数.

4、竞赛结束后，九年级一班从本班获得优秀（》280）的甲、乙、丙、丁四名同学中随机抽取两名同学宣讲航

天知识.请用列表或画树状图的方法求恰好抽到甲、乙两名同学的概率.

【正确答案】1、82、144

3、全校竞赛成绩达到优秀的学生大约有480名；

4、恰好抽到甲、乙两名同学的概率为1

知识点证明四边形是平行四边形，圆周角定理，求弧长

21.如图，—BC内接于©。，交于点DF〃AB交

BC于点E,交。。于点尸，连接NF,CF.

（1）求证：AC=AF）

（2）若O。的半径为3,NC4尸=30°,求就的长（结果保留n）.

【正确答案】（1）见解析（2）于

【试题解析】【分析】（1）先证明四边形.48ED是平行四边形，得NB=N。，再证明乙1RC=ZJCF即可得到

结论；

（2）连接。4,OC根据等腰三角形的性质求出NdFC=75。，由圆周角定理可得44EC=150。，

最后由弧长公式可求出结论.

【小问1详解】•：.4D//BC,DF//AB,

二四边形ABED是平行四边形，

：.AB=ZD.

又4AFC=4B,NACF=/D,

：.ZAFC=ZACF,

・,A.C-A.F・4

【小问2详解】连接.40,C。.JVTA

由（1）得NWC=4C尸，///\

又...NC4尸=30。,I/\

.“ci文泮=75。,y

：.ZAOC=2Z.4FC=150°.\\//

.---AA,iz7150x^-x35/rJ，

【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，圆周角定理、等腰三角形的性质、弧长公式

等知识，熟练掌握相关知识是解答本题的关键.

〃精准训练〃

21-1（基础）妆口图，在△ABC中，已知AB=AC.

A

1、尺规作图：画△4BC的外接圆。。（保留作图痕迹，不写画法）.

2、连接OB,0C,若N4=45。，BC=6,求弧BC的长.

【正确答案】1、见详解2、逑万

21-2（基础）如图，AB为。。的直径，C为。。上一点，弦AE的延长线与过点C的切线互相垂直，垂足为D,

ZCAD=36°,连接8c.

A

1、求NB的度数；

2、若48=3,求EC的长.

377

【正确答案】1、54。2、y

2L3（巩固）|如图，在RtA/USC中，ZABC=90°,以A8为直径的。。交AC边于点。，E为3C中点，连接

DE.

（1）求证：短E与。。相切;

（2）F为AB的中点，连接OF，BF，若DF=l+6,BC=&B,求劣弧8。的长.

21-4（巩固）如图，四边形43co内接于。。，AC为直径，点E在AC的延长线上，8c的延长线交OE于

点尸，ZDCF=45°,EC=EF.

（1）求证：£>E是。。的切线；

(2)若£)E=2G，FE=2,求CO的长•

«<6

2L5（提升）如图，已知。。的直径AB=10,AC是。。的弦，过点C作。。的切线OE交AB的延长线于点

E,过点A作AO_LOE,垂足为。，与。。交于点E,设ND4C,NC必的度数分别是a,0,且0。＜。＜45。.

（1）用含&的代数式表示

（2）连结。尸交AC于点G,若AG=CG,求AC的长.

【正确答案】（1）尸=90。-2a；（2）胃

21-6（提升）如图，等边三角形ABC内接于半径长为2的。。，点P在圆弧AB上以2倍速度从8向A运动,

点Q在圆弧BC上以1倍速度从C向B运动，当点P,O,Q三点处于同一条直线时，停止运动.

1、求点。的运动总长度;

2、若M为弦P8的中点，求运动过程中CM的最大值.

2

【正确答案】1、-71

3

2、77+1.

【原卷22题】知识点分配问题（二元一次方程组的应用），用一元一次不等式解决实际问题，最大利润问题（一次

函数的实际应用）

22.在学校开展“劳动创造美好生活”主题系列活动中，八年级（1）班负责校园某球化角的设

计、种植与养护.同学们约定每人养护一盆绿植，计划购买球萝和吊兰两种球植共46盆，旦球

萝盆数不少于吊兰盆数的2倍.已知绿萝每盆9元，吊兰每盆6元.

（1）采购组计划将预算经费390元全部用于购买标萝和吊兰，问可购买绿萝和吊兰各多少盆？

（2）规划组认为有比390元更省钱的购买方案，请求出购买两种球植总费用的最小值.

【正确答案】（1）购买绿萝38盆，吊兰8盆（2）369元

【试题解析】f+r=46

【分析】（1）设购买绿萝K盆，购买吊兰丁盆，根据题意建立方程组;x9\.+6丁=390，解方程组即

可得到答案；

（2）设购买绿萝x盆，购买吊兰丁盆，总费用为二，得到关于二的一次函数二=-3y+414,再建

立关于J的不等式组，解出了的取值范围，从而求得二的最小值.

【小问1详解】设购买绿萝x盆，购买吊兰J盆

...计划购买绿萝和吊兰两种球植共46盆

/.x+y=46

•••采购组计划将预算经费390元全部用于购买绿萝和吊兰，绿萝每盆9元，吊兰每盆6元

/.9x+6v=390

1x+j=46

得方程组

(9x+6.r=390

（x=38

解方程组得、=£

'.'38>2X8,符合题意

二购买绿萝38盆，吊兰8盆；

【小问2详解】设购买绿萝'.盆，购买吊兰吊J‘盆，总费用为二

.,.x+y=46,二=9x+6y

.•.二=414-3y

•..总费用要低于过390元，球萝盆数不少于吊兰盆数的2倍

‘414-3），<390

,•x>2*v

414-3y<390

将x=46-］，代入不等式组得

46-y>2v

的最大值为15

-=-3J，+414为一次函数，随）值增大而减小

二），=15时，二最小

.,.x=46-y=31

二=9*+6），=369元

故购买两种绿植最少花费为369元.

【点睛】本题考查二元一次方程组、一次函数、不等式组的性质，解题的关键是数量掌握二元一

次方程组、一次函数、不等式组的相关知识.

〃精准训练〃

22-1（基础）|为进一步落实“双减”工作，某中学准备从商场一次性购买一批足球和篮球用于开展课后服务

训练，每个足球的价格都相同，每个篮球的价格也相同，已知篮球的单价比足球单价的2倍少30元，购买2个

足球和1个篮球共需花费210元.

1、足球和篮球的单价各是多少元？

2、根据学校实际情况，需一次性购买足球和篮球共200个,且要求购买足球的总费用不超过购买篮球的总费用，

那么学校最少要准备多少资金？

【正确答案】1、足球的单价是60元，则篮球的单价是90元；

<«8

2、14400元

22-2（基础）|某超市有A、8、C三种型号的甲种品牌饮水机和。、E两种型号的乙种品牌饮水机，某中学准

备从甲、乙两种品牌的饮水机中各选购一种型号的饮水机安装到教室

1、写出所有的选购方案，如果各种选购方案被选中的可能性相同，那么A型号饮水机被选中的概率是多少？

2、如果该学校计划用1万元人民币购买甲、乙两种品牌的饮水机共24台（价格如表格所示），其中甲种品牌饮

水机选为A型号的，请你算算该中学购买到A型号饮水机共多少台？

品牌甲乙

型号A8CDE

单价（元）600400250500200

【正确答案】1、（A。）、（AE）、（BD）、（BE）、（CO）、（CE）；1

2、能买到A型号饮水机13台

22-3（巩固）“中国海带之乡”霞浦县今年又迎来一个丰收年.厦门中学生助手海带养殖专业村为保障养殖户收

益，联系了村海带加工厂，收购养殖户每天收割的鲜海带.该加工厂主要以加工干海带和盐渍海带两种方式处

理每天收购的30吨鲜海带，工厂现有12名工人，每位工人在同一天中只能选择一种加工方式.若生产干海带，

每人每天可加工2吨鲜海带，每吨可获利250元；若加工盐渍海带，每人每天可加工0.6吨鲜海带，每吨可获利

600元；每天加工不完的鲜海带直接续给鲍鱼养殖场作饲料•.若安排所有的工人都加工干海带，则加工厂当天

可获利6300元.

1、求加工不完的鲜海带直接卖给鲍鱼养殖场作饲料，每吨可获利多少元；

2、根据市场销售情况，该加工厂决定生产干海带的人数不超过盐渍海带人数的2倍.问加工厂如何安排工人,

可使每天生产的利润最大？最大利润是多少元？

【正确答案】1、鲜海带直接卖给鲍鱼养殖场作饲料，每吨可获利50元

2、安排8人生产干海带，4人生产盐渍海带，可使得每天生产的利润最大，最大利润是6020元

22-4（巩固）为落实立德树人、五育并举的育人目标，某校决定表彰品学兼优和学科特长的同学，购买一批

奖杯和奖牌作为奖品，已知奖杯单价35元，奖牌单价28元.

1、若购买奖杯和奖牌的总数为40个，共花费1260元，求本次购买的奖杯、奖牌各多少个？

2、新学期学校计划采购上述两种奖品共180个，要求奖杯数量不少于奖牌数量的三分之一，问如何采购才能使

总费用最少，最少费用是多少？

【正确答案】1、购买奖杯20个，购买奖牌20个

2、采购45个奖杯，135个奖牌费用最少，最少费用是5355元

22-5（提升）某公司销售4型和8型两种电脑，其中4型电脑每台利润为400元，8型电脑每台利润为500

元.该公司计划一次性购进这两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购

进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元.

1、求y关于x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；

2、该商店购进A型、8型电脑各多少台，才能使销售总利润最大，最大利润是多少？

3、实际进货时，厂家对A型电脑出厂价下调a（0＜。＜200）元，若该公司保持这两种型号电脑的售价不变,

公司经理发现：无论该公司如何进货，这100台电脑的销售利润都不变，求a的值.

【正确答案】1、y=-100x+50000；与4x4100,且x为正整数；

2、购进A型电脑34台，B型电脑66台，才能使销售总利润最大，最大利润是46600元；

3、100

22-6（提升）|某医药器械厂接受了生产一批高质量医用口罩的任务，要求在8天之内（含8天）生产A型和B

型口罩共5万只，其中4型口罩不得少于1.8万只，若生产A型口罩每天能生产0.6万只，生产B型口罩每天能

生产0.8万只，工厂同一天只能生产同一种型号的口罩；已知生产一只A型口罩可获利0.5元，生产一只8型口

罩可获利0.3元.

1、若要在最短时间内完成任务，应该安排生产A型口罩万只和8型口罩万只，完成任务最短时

间是天.

2、在完成任务的前提下，如何安排A型口罩和8型口罩的生产天数，使获得的总利润最大，最大总利润是多

少？

【正确答案】1、1.8,3.2,7

2、安排7天生成A型口罩，1天生产8型口罩，产生的利润最大，最大利润为2.34万元.

【原卷23题】知识点根据正方形的性质与判定证明，画圆（尺规作图），切线的性质定理,求角的正切值

23.如图，助是矩形4B8的对角线.

（1）求作。使得3与BZ）相切（要求：尺规作图，不写作法，保留作图

痕迹

（2）在（1）的条件下，设8。与。/相切于点E,CFLBD,垂足为尸.若直

线C尸与0.4相切于点G,求tanZADB的值.

【正确答案】（1）作图见解析（2）或二1

【试题解析】【分析】（1）先过点/作8。的垂线，进而找出半径，即可作出图形；

（2）根据题意，作出图形，设乙必B=a,。/的半径为r,先判断出5E=DE,进而得出四边

形4EFG是正方形，然后在放A4BE中，根据勾股定理建立方程求解BE=?■tana,再判定

£\ABE=^CDF,根据8£=2）？=九311々，DE=DF+EF=?tana+r,在RtAHDE中，利用

tanZ.ADE=，得至“tan：c+tanO!-l=0,求解得到tan/4DB的值为是-.

DE2

【小问1详解】解：如图所示，OH即为所求作:

«<10

【小问2详解】解：根据题意，作出图形如下：

设。/的半径为r,

：AD与QA相切于点E,C尸与04相切于点G,

：.AE1BD,AG1CG,即ZX£F=4G尸=90°,

•：CF1BD,

：.ZEFG=9Q°,

二四边形REFG是矩形，

又AE=AG-r>

・・.四边形NE尸G是正方形，

/.EF=AE=r,

在和中，Z8J£+Z.18Z)=90°,Z.4D5+Z.18D=90°,

Z.ZBAE=NADB=a,

BE

在Rt^ABE中，tanABAE=--,

AE

BE=rtana,

...四边形488是矩形，

：..4BIICD,AB=CD,

：.乙ABE=乙CDF,又乙IES=Z.CFD=90°,

A^ABE^CDF,

BE=DF=rtana>

/.DE=DFEF=rtana+r,

JE

在RthADE中,tanZ.ADE-,即DEtana-AE>

/.(rtana+r)tana=r,即tan?a+tana-1=0,

tana>0,

.•.tana=44，即tan4nB的值为#-1

【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了尺规作图,切线的性质，全等三角形的判定和性质，正

方形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理,锐角三角函数，利用三角函数得出线段长建

立方程是解决问题的关键.

〃精准训练〃

23-1（基础）已知AC是YABC。的一条对角线.

1、求作矩形AEFD,使得E,尸两点都在直线BC上；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

2、在（1）的条件下，若/ACD=90。，AB=2,AD=4,求矩形AEFZ）的面积.

【正确答案】1、见解析2、473

23-2(基础)也口图，在^ABC中，CB=CA,

4B

1、求作四边形ABC。，使得ACLB。，CD//AB.（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

2、设80，AC相交于点0,若/AOC=90。，求sin/DBC的值.

【正确答案】1、见解析2、sin/QBC的值为g.

如图，已知在AA8C中，ZA=90°.

1、请用圆规和直尺作出。P,使圆心P在4c边上，且与AS,8c两边都相切（保留作图痕迹，不写作法和证

明）.

2、若AB=4,AC=3,试求（1）中。P的半径；

4

【正确答案】1、见解析2、§

如图，在闻?C中，ZB=40°,ZC=50°.

（1）通过观察尺规作图的痕迹，可以发现直线。尸是线段A8的,射线AE是ND4c的

（2）在（1）所作的图中，求一。1E的度数.

【正确答案】（1）垂直平分线，角平分线；（2）25°

如图，在RdABC中，NACB=90。，ZABC=30°,AC=3.

（1）以BC边上一点。为圆心作。。，使。。分别与AC、AB都相切（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写

作法）；

（2）求。。的面积.

A

7B

【正确答案】（1）图形见解析（2）3乃

如图，在AABC中，ZACB=90°,AC=3,BC=1,点D是斜边上一点，且AD=4BD.

⑴求tan/BCD的值；

（2）过点B的。O与边AC相切，切点为AC的中点E,。。与直线BC的另一个交点为F.

（i）求。。的半径；

（ii）连接AF,试探究AF与CD的位置关系，并说明理由.

«<12

A

（备用图）

313

【正确答案】⑴tan/BCD="⑵⑴至；gAF与CD的位置关系是AFKD,理由见解析.

【原卷24题】知识点三角形内角和定理的应用,全等三角形综合问题，等腰三角形的性质和判定，证明已知四边形

是菱形

24.已知,AB=AC,AB>BC.

（1）如图1,CB平分N/CD,求证：四边形4BDC是菱形；

（2）如图2,将（1）中的aCQE绕点。逆时针旋转（旋转角小于NA4C）,BC,OE的延长线相

交于点尸，用等式表示N4CE与NE尸C之间的数量关系，并证明；

（3）如图3,将（1）中的绕点C顺时针旋转（旋转角小于乙13C）,若&AD=UCD,

求乙5B的度数.

【正确答案】（1）见解析（2）ZJCE+ZE尸C=180。，见解析（3）30。

【试题解析】【分析】（1）先证明四边形一4出北是平行四边形，再根据eB=4C得出结论；（2）先证出

ZL4CF=ZCEF,再根据三角形内角和ZCEF+NECF+2EFC=180。，得到

ZACF+Z.ECF+Z.EFC=180°,等量代换即可得到结论,（3）在X。上取一点M,使得

CB,连接玩”，证得△.4M3CD8,得到乙MB^=NBZ>C,设48。=NBAD=a,

jDC=。，则NzLD8=a+尸，得到a+B的关系即可.

【小问1详解】4aBe•4DEC,

：,AC=DC,

\AB-AC,

：2ABC=4ACB，AB=DC,

丁匿平分N4CD,

ZACB^ZDCB,

：.ZABC=4)CB,

；.ABIICD,

・•・四边形是平行四边形,

又:月3=4C,

.二四边形4SDC是菱形j

【小问2详解】结论：Z^C£+Z£FC=180°.

证明：•:AABC@4DEC)

：.3C=QEC,

'：AB=AC,

：・/ABC=L4cB,

/.ZACB=ZZ)£C，

,/ZACB+^ACF=ADEC+乙CEF=180%

/.UCF=ZCEF，

*/ZC£F+NECF+Z£FC=180%

/./.ACF+ZECF+Z£FC=180%

/.ZL4C£+Z£FC=180°5

【小问3详解】在3上取一点使得4W=C凡连接用W,

'：AB=CD,UAD=&CD,

.,.△ABM叁ACDB,

：,BM=BD,4MBA=ABDC,

：.ZADB=ABMD>

*/ABMD=/BAD+AMBA,

/.乙IDB=乙8CD+£BDC,

设乙8c。=乙8且0=2,ZADC=；8,则乙〃)8=a+?，

\'CA=CD,

/.ZC4D=ZCDA=a+2/7,

.・.ABAC=ZCAD-5AD=2/3,

：.ZACB=1(180°-ZBJC)=90°-^,

/.4cz1=(90°-/?)+a,

,JZ.4CD+ZCW+4CDA=180°,

.•.(90°-4)+tz+2(a+2尸)=180°,

.♦.a+尸=30°,即NHD3=30。.

【点睛】本题考查了菱形的判定定理、全等三角形的判定和性质'三角形内角和定理等，灵活运

用知识，利用数形结合思想、，做出辅助线是解题的关键.

〃精准训练〃

24-1(基础)妆n图，在YA88中，点E,F分别在BC,AD±,AC与EF相交于点O,且AO=CO.

求证：四边形AECF是平行四边形.

【正确答案】见解析

24-2(基础)以口图，在平行四边形ABC。中，BE1AD,BFLCD,垂足分别为E,F,且AE=CF.

2、若。8=10,A8=13,求平行四边形A8C。的面积.

【正确答案】1、见解析2、120

«<14

24-3（巩固）|菱形ABC。的边长为6,ZD=60°,点E在边AO上运动.

1、如图1,当点E为AO的中点时一，求40：C。的值；

2、如图2,尸是A8上的动点，且满足BF+£>E=6,求证：ACE尸是等边三角形.

【正确答案】1、y

2、见解析

24-4（巩固）如图，在正方形MCQ中，E,尸为边A8上的两个三等分点，点A关于OE的对称点为W,A4,

的延长线交8c于点G.

（1）求证：DE//AF；

（2）求NGA'3的大小；

（3）求证：AC=248.

【正确答案】（1）见解析；（2）45°；（3）见解析

24-5（提升）已知正方形A8C。的边长为2五，户是对角线4C上的一个动点（点尸与A、C不重合）.连接

BP,将3尸绕点8顺时针旋转90。到6Q,连接QP,QP与BC交于点E,延长线与直线AD交于点F.

备用图

1、连接CQ,证明:CQ=AP.

CE

2、若*3”，求说的值;

3、设AP=x,CE=y,试写出y关于x的函数关系式，并求y的最大值.

3

【正确答案】1、证明见解析2、-

3、y=立X,y的最大值为尤

24-6（提升）已知：如图，在RtZ\ABC中，ZABC=90°,AB=BC,将△ABC绕点A逆时针旋一个角度a得

至ijRtAWE,连接BO,CE.

1、如图①，当0°<a<45。时，求证：XABDsXACE：

2、如图②，当a=45。时，点E在AB的延长线上，延长。8交CE于点F,求N。尸E的度数;

3、如图③，当45。<01<90。时，延长交CE于点F,求证：点尸是线段CE的中点.

【正确答案】1、证明见解析；2、45°；

3、证明见解析.

【原卷25题】知识点待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的判定与性质综合，面积问题（二次函数综合），相似

三角形问题（二次函数综合）

25.在平面直角坐标系xQy中，已知抛物线J=ai2+bx经过4（4,

0）,3（1,4）两点.尸是抛物线上一点，且在直线4B的上方.

（1）求抛物线的解析式，

（2）若面积是面积的2倍，求点尸的坐标；

（3）如图，QP交4B于点C,PD〃BO交AB于悬D.记△CDP,

△CPB>△CBO的面积分别为S],S：,S3.判断今+冷是否存在最

大值.若存在,求出最大值；若不存在，请说明理由.

【正确答案】(1)y=-J^+yX(2)存在,[2,—同

【试题解析】【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解,

416

（2）待定系数法求得直线45的解析式为.r=-§x+§,过点尸作Rl/lx轴，垂足为“，PM

交AB于点N.过点B作BELPM,垂足为E.可得S^PiB=5二长6+S“口=±PN,设

尸（皿-刎,+学可（1<加<4）,则N（见-,+学）.由尸以^-豹―竽切卜卜豹+学用

解方程求得，”的值，进而即可求解；

«<16

(3)由已知条件可得△OBSPOC,进而可得3+疑=罢+弟=骞，过点瓦尸分别作工

轴的垂线，垂足分别凡石，PE交WB于点。，过D作x的平行线，交PE于点G,可得

^DPG^^OBF,设尸〔风―4"+号WJ)(1<wj<4),2)(*—|,贝UGj也一kj,根

iaPDDG_.,BA:“用坦由邑_8尸。DGIf5?9

据而=而可得4"=»»f+4,根据豆+豆=而+而=2m=-爹|»-引+钎根据一

次函数的性质即可求的最大值.

【小问1详解】解：(1)将月(4,0),B(1,4)代入；1，=6-2+W，

,16。+46=0

得入，,

I〃+b=4

4

a=——

解得,?.

日竺

3

所以抛物线的解析式为"-#+号X.

【小问2详解】设直线的解析式为y=(木工0),

将N(4,0),B(1,4)代入y=H+r,

得「f4A+r+—f=0，

"士

解得,/•

10

t=一

3

416

所以直线45的解析式为｝，=-§》+了.

过点P作RUlx轴，垂足为M,RU交AB于点N.

过点8作BE1RW,垂足为E.

所以SJPAB=S=KB+S=RVI

=+N*BE+工PNxAM

22

=^PNx(BE+AM)

管N.

因为A(4,0),5(1,4),所以S」CUB=—x4x4=8.

因为△048的面积是AR4B面积的2倍，

所以2x“N=8,P.V=|.

设尸(风-1»?+学切)。<如<4),则N(见-豹+印.

48

-+-

所以PN十,田+竽时-(33

即"廿+学时呼=孝

3333

解得“1=2,%=3.

I161

所以点尸的坐标为；2,5；或(3,4).

【小问3详解】•­PD//BO

4OBgdPDC

,CD_PDPC

"JC=OB=OC

记△CDP,ACPB,△C3。的面积分别为£,S：>S?.则5=

士•、:z>cc/cOB

如图，过点反尸分别作X轴的垂线，垂足分别EE,PE交

于点。，过。作x的平行线，交PE于点G

•••5(14),

二产(1。

二OF=1

■：PD//OB,DG//OF

FDPG^OBF

.PDPGDG

'O5=5F=OF'

设尸(也寸/+学切

416

•••直线的解析式为J=--x+—.

33

4„,16416

设以明n+),则Gjm-—n-\----

~3T33

4216416

PG=—wH--加+―77——

3333

4

=—(w2-4w-w+4)

DG-m-n

；-4w—n+4)

m-

4

整理得4〃=加2-加+4

S

}2-CDPC2PD

可S^~TC~6C~~dB

=2吧

OF

=2(w-n)

(加2_加+4)

=2w--------------

=-—(m'—5m+4)

19

+—

28

,切=彳时，才+京取得最大值，最大值为看

【点睛i本题3查了二次函数综合，待定系数法求解析式，面