1.2.1命题与量词课件-高一上学期数学人教B版

第一章集合与常用逻辑用语

1.2常用逻辑用语

1.2.1命题与量词基础知识情境与问题“命题”这个词在新闻报道中经常可以见到。例如：“从最直接的生态保护方式之一——植树造林，到多种更具创新性的环保活动的开展，如何建立起公众与自然沟通的桥梁，引发人们对于自然环境的关注和思考，成为时下的环保‘新命题’。”(2017年12月21日《中国青年报》)我们在数学中也经常接触到“命题”这两个字，你知道新闻报道中的“命题”与数学中的“命题”有什么区别吗?新闻报道中的“命题”往往是“命制的题目”的简写，常常指的是待研究的问题或需要完成的任务等。需要注意的是，一般来说，数学中的“命题”与新闻报道中的“命题”不一样。

尝试与发现下列命题中，____________是真命题，_________是假命题：(1)10²=100；(2)所有无理数都大于零；(3)平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行；(4)一次函数y=2x+1的图象经过点(0，1)；(5)设a，b，c

是任意实数，如果a>b，则ac>bc；(6)Z⫋Q(1)(3)(4)(6)(2)(5)为了方便叙述，命题可以用小写英文字母表示，如若记p：A⊆(A∪B)，则可知p是一个真命题.2.量词在数学中，有很多命题都是针对特定集合而言的，例如：

不难看出，命题(1)(3)(4)(7)陈述的是指定集合中的所有元素都具有特定性质，命题(2)(5)(6)陈述的是指定集合中的某些元素具有特定性质。一般地，“任意”“所有”“每一个”在陈述中表示所述事物的全体，称为全称量词，用符号“∀”表示。含有全称量词的命题，称为全称量词命题，因此，全称量词命题就是形如“对集合M中的所有元素x，r(x)”的命题，可简记为∀x∈M，

r(x).例如，“任意给定实数x，x²≥0”是一个全称量词命题，可简记为∀x∈R，x²≥0.“存在”“有”“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分，称为存在量词，用符号“∃”表示。含有存在量词的命题，称为存在量词命题。因此，存在量词命题就是形如“存在集合M中的元素x，s(x)”的命题，可简记为∃x∈M，

s(x).例如，“存在有理数x，使得3x－2=0”是一个存在量词命题，可简记为∃x∈Q，

3x－2=0如果记p(x)：x²

－1=0，q(x)：5x－1是整数，则通过指定x所在的集合和添加量词，就可以构成命题。例如:p1：∀x∈Z，p(x)；q1：∀x∈Z，q(x)；p2：∃x∈Z，p(x)；q2：∃x∈Z，q(x).尝试与发现(1)上述4个命题p1，q1，p2，q2中，真命题是___________；(2)总结出判断全称量词命题和存在量词命题真假的方法。q1，p2，q2事实上，要判定全称量词命题∀x∈M，r(x)是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x，验证r(x)成立；但要判定其是假命题，却只需举出集合M中的一个元素x0，使得r(x0)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”)。要判定存在量词命题∃x∈M，

s(x)是真命题，只要在限定集合M中找到一个元素x0，使得s(x0)成立即可(这就是通常所说的“举例说明”)；但要判定其是假命题，却需要说明集合M中每一个x，都使得s(x)不成立。典例精析判断下列命题的真假：

真假

真假值得注意的是，全称量词命题和存在量词命题，都可以包含多个变量，而且这样的情形前面我们已经接触过。例如，以前学过的平方差公式a2－b2=(a+b)(a－b)因为这个公式对所有实数a，b都成立，所以可以改写为全称量词命题∀a，b∈R，a2－b2

，(a+b)(a－b).又如，对于函数y=x+1来说，任意给定一个x值，都有唯一的y值与它对应。因此如果把y=x+1看成含有两个变量的方程，则这个方程有无数多个解，且任意给定一个x，都存在一个y使得等式成立，这可以改写为∀x∈R，∃y∈R，y=x+1.基础自测解析：①是真命题；②是疑问句不是命题；③是真命题；

④也是真命题；⑤不能判断真假，不是命题。故选B。B

2．下列命题中是存在量词命题的是(

)A．∀x∈R，x2≥0B．∃x∈R，x2<0C．平行四边形的对边不平行D．矩形的任一组对边都不相等解析：A，C，D是全称量词命题，B是存在量词命题。B

解析：A是全称量词命题但是假命题，B，D是存在量词命题，

C是全称量词命题且是真命题。C

4．将命题“x2＋y2≥2xy”改写为全称量词命题为_____________________________________.解析：“x2＋y2≥2xy”是指对任意x，y∈R，都有x2＋y2≥2xy成立，故命题“x2＋y2≥2xy”改写成全称量词命题为：对任意x，y∈R，都有x2＋y2≥2xy成立。对任意x，y∈R，都有x2＋y2≥2xy成立①②③⑤

典例剖析命题真假的判断判断下列语句是不是命题，如果是，说明其真假。(1)奇数不能被2整除；(2)实数的平方是正数；(3)当(a－1)2＋(b－1)2＝0时，a＝b＝1；(4)已知x，y为正整数，当y＝x＋1时，y＝3，x＝2.思路探究：数学中要判定一个命题为真命题，需要经过严格的数学证明；要判定一个命题为假命题，只需举出一个反例即可。解析：(1)(2)(3)(4)都是陈述句，且能判断真假，因此都是命题。(1)是真命题。因为奇数是不能被2整除的整数。(2)是假命题。反例：0的平方还是0，不是正数。(3)是真命题。由(a－1)2＋(b－1)2＝0可得a－1＝0且b－1＝0，所以a＝b＝1。(4)是假命题。反例：y＝4，x＝3也满足y＝x＋1。归纳提升：判断一个语句是不是命题的关键点：(1)“是陈述句”。(2)“可以判断真假”，这两个条件缺一不可。一般来说，疑问句、祈使句、感叹句均不是命题。对点训练判断下列命题的真假：(1)一个角的补角必大于这个角；(2)一个有理数必有两个平方根；(3)直径所对的圆周角是直角；(4)两条直线被第三条直线所截，同位角相等；(5)等式两边都加同一个数，结果仍是等式。解析：(1)是假命题，例如设这个角是90°，它的补角是90°，而90°＝90°。(2)是假命题，例如有理数－1没有平方根。(3)是真命题，这是关于圆周角的结论。(4)是假命题，两条平行直线被第三条直线所截，同位角才相等。(5)是真命题，这是等式的性质。全称量词命题与存在量词命题的辨析判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题。(1)梯形的对角线相等；(2)存在一个四边形有外接圆；(3)二次方程都存在实数根；(4)负数没有对数。思路探究：首先确定量词，然后判断命题的类型。解析：(1)命题完整的表述应为“所有梯形的对角线相等”，很显然为全称量词命题。(2)命题为存在量词命题。(3)命题完整的表述为“所有的二次方程都存在实数根”，故为全称量词命题。(4)命题完整的表述是“所有负数都没有对数”，故为全称量词命题。归纳提升：判断一个语句是全称量词命题，还是存在量词命题的思路对点训练判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题：(1)对任意的n∈Z，2n＋1是奇数；(2)有些三角形不是等腰三角形；(3)有的实数是无限不循环小数；(4)所有的正方形都是矩形。解析：(1)含有全称量词“任意”，故为全称量词命题。(2)含有存在量词“有些”，故为存在量词命题。(3)含有存在量词“有的”，故为存在量词命题。(4)含有全称量词“所有”，故为全称量词命题。典例剖析全称量词命题、存在量词命题的真假判断(1)判断下列全称量词命题的真假：①所有的整数都是有理数；②∀x∈R，x2＋1≥1；③对每一个无理数x，x2也是无理数；④末位是0的整数，可以被5整除．(2)判断下列存在量词命题的真假：①至少有一个整数，它既能被2整除，又能被5整除；②∃x∈Q，x2＝3；③∃x∈Z，x3<1；④存在正实数x，y，使x2＋y2＝0.思路探究：对于全称量词命题，判断为真，需要证明，判断为假，举出反例；对于存在量词命题，判断为真，举出特例，判断为假，需要证明。归纳提升：判断全称量词命题和存在量词命题真假的方法(1)要判断一个全称量词命题为真，必须给定集合中的每一个元素x，使命题p(x)为真；但要判断一个全称量词命题为假时，只要在给定的集合中找到一个元素x，使命题p(x)为假。(2)要判断一个存在量词命题为真，只要在给定的集合中找到一个元素x，使命题p(x)为真；要判断一个存在量词命题为假，必须对给定集合中的每一个元素x，使命题p(x)为假。对点训练B典例剖析给定集合A，若对于任意a，b∈A，有a＋b∈A，且a－b∈A，则称集合A为闭集合，给出如下三个结论：①集合A＝{－4，－2,0,2,4}为闭集合；②集合A＝{n|n＝3k，k∈Z}为闭集合；③若集合A1，A2为闭集合，则A1∪A2为闭集合．其中正确结论的序号是_____.②

错因探究：A1，A2为闭集，存在A1∪A2不是闭集，不满足闭集条件。解析：①中，－4＋(－2)＝－6∉A，所以①不正确；②中设n1，n2∈A，n1＝3k1，n2＝3k2，k1，k2∈Z，则n1＋n2∈A，n1－n2∈A，所以②正确；③令A1＝{n|n＝5k，k∈Z}，A2＝{n|n＝2k，k∈Z}，则A1，A2为闭集合，但A1∪A2不是闭集合，所以③不正确。误区警示：判断命题的真假，一定要全面分析命题中的相关条件与结论，做到心中有数，切忌主观臆断，丢三落四。典例剖析含有量词命题中参数范围的策略已知含量词的命题真假求参数的取值范围，实质上是对命题意义的考查。解决此类问题，一定要辨清参数，恰当选取主元，合理确定解题思路。解决此类问题的关键是根据含量词命题的真假转化为