控制系统的状态空间表达式

第一章控制系统的状态空间表达式1本章的主要内容状态变量及状态空间表达式状态变量及状态空间表达式的模拟结构图状态变量及状态空间表达式的建立状态矢量的线性变换从状态空间表达式求传递函数阵第一章控制系统的状态空间表达式2§1.1状态变量及状态空间表达式状态变量：完全表征系统运动状态的最小个数的一组变量。状态变量不是唯一的，相互独立的状态矢量：状态变量x1(t),x2(t),…,

xn(t)组成的矢量X状态空间：以状态变量x1(t),x2(t),…,

xn(t)为坐标构成的n维空间。第一章控制系统的状态空间表达式第一章控制系统的状态空间表达式3§1.1状态变量及状态空间表达式状态方程输出方程状态空间表达式一般形式

第一章控制系统的状态空间表达式状态矩阵输入〔控制〕矩阵输出矩阵直接转移矩阵4§1.1状态变量及状态空间表达式状态空间表达式的系统框图第一章控制系统的状态空间表达式5§1.2状态变量及状态空间表达式的模拟结构图

模拟结构图反映系统各状态变量之间的信息传递关系，有利于建立系统的状态空间表达式.绘制状态空间表达式框图的步骤：

1.积分器的数目等于状态变量的数目；

2.每个积分器的输出表示相应的状态变量；

3.根据状态方程和输出方程，画出相应的加法器和比例器；

4.用箭头将这些元件连接起来。第一章控制系统的状态空间表达式6例如一阶标量微分方程三阶微分方程第一章控制系统的状态空间表达式7§1.3状态变量及状态空间表达式的建立由系统框图建立，根据系统各个环节的实际连接，写出相应的状态空间表达式从系统的机理出发进行推导由描述系统的高阶微分方程或者传递函数演化第一章控制系统的状态空间表达式8从系统框图建立状态空间表达式步骤将系统的各个环节变换成相应的模拟结构图把每个积分器的输出选做一个状态变量积分器输入是状态变量的导数由模拟图直接写出状态方程和输出方程第一章控制系统的状态空间表达式9从系统框图建立状态空间表达式Step1:

变换成模拟结构图第一章控制系统的状态空间表达式例如10从系统框图建立状态空间表达式Step2&3:

选择状态变量及其导数第一章控制系统的状态空间表达式11从系统框图建立状态空间表达式Step4:

列出方程第一章控制系统的状态空间表达式状态方程输出方程12从系统框图建立状态空间表达式写成矢量形式第一章控制系统的状态空间表达式状态方程输出方程13从系统框图建立状态空间表达式第一章控制系统的状态空间表达式14从系统框图建立状态空间表达式第一章控制系统的状态空间表达式15从系统的机理出发建立例如：输入为电流源，输出为电容上的电压2个电容，2个电感。共4个储能元件，4个独立状态变量由基尔霍夫定律电流电压第一章控制系统的状态空间表达式16从系统的机理出发建立消去非独立变量i3和i4得采用第一章控制系统的状态空间表达式17从系统的机理出发建立状态空间表达式第一章控制系统的状态空间表达式18由传递函数建立状态空间表达式传递函数→状态空间表达式称作实现问题。只讨论最小实现通过例如总结出步骤第一章控制系统的状态空间表达式19传递函数分子为1时例1

对应的输入输出关系是

应用拉普拉斯反变换，对应的微分方程为第一章控制系统的状态空间表达式20传递函数分子为1时模拟图为定义每一个积分器的输出为新变量：第一章控制系统的状态空间表达式

a2a1a0---uy+21传递函数分子为1时对应的状态空间表达式特点：输入矩阵的最后一个元素是1，其它为零；输出矩阵的第一个元素为1，其它为零；状态矩阵的最后一行由传递函数分母多项式系数决定，从低次幂系数到高次幂系数排列，并加负号，直接转移矩阵为零。第一章控制系统的状态空间表达式22传递函数分子为1时

将此例子推广到一般情形对应的状态空间表达式是友矩阵特点是主对角线上方的元素为1，最后一行的元素可取任意值，其余元素均为零。第一章控制系统的状态空间表达式23传递函数分子不为1时例2方法一：对应的输入输出关系是

应用拉普拉斯反变换，对应的微分方程为第一章控制系统的状态空间表达式24传递函数分子不为1时

a2a1a0---uy+b0模拟结构图第一章控制系统的状态空间表达式25传递函数分子不为1时状态空间表达式第一章控制系统的状态空间表达式26传递函数分子不为1时方法二：系统输入和输出之间的关系

令那么有

经过拉氏反变换得第一章控制系统的状态空间表达式27传递函数分子不为1时

a2a1a0---uy1+b0y第一章控制系统的状态空间表达式28传递函数分子不为1时状态空间表达式第一章控制系统的状态空间表达式29传递函数分子不为1时例3因为n=m,上式可变换为

令那么有经过拉氏反变换得第一章控制系统的状态空间表达式30传递函数分子不为1时

a2a1a0---uy1+b0-a0b3y第一章控制系统的状态空间表达式b3b2-a2b3b1-a1b3+++系统的模拟结构图为+31传递函数分子不为1时系统的状态空间表达式为第一章控制系统的状态空间表达式32传递函数分子不为1时由此例子推广到一般的情形系统传递函数为：第一章控制系统的状态空间表达式33传递函数分子不为1时系统的状态空间表达式思考：与分子为1时表达式的异同第一章控制系统的状态空间表达式34由传递函数建立状态空间表达式总结：传递函数导出状态空间方程的步骤1.通过长除法将传递函数的分子多项式次数化成低于分母多项式次数；2.考虑分子多项式为1的特殊传递函数；3.扩展到分子不为1为多项式的传递函数，分解为两个环节的串联。处理的根本思想是：思路一：第一章控制系统的状态空间表达式35由传递函数建立状态空间表达式〔思路二〕U(s)Y(s)U(s)Y(s)Y1(s)状态空间表达式第一章控制系统的状态空间表达式36由传递函数建立状态空间表达式式中或记为第一章控制系统的状态空间表达式37状态空间表达式建立例题第一章控制系统的状态空间表达式38num=[0012]den=[1573][A,B,C,D]=tf2ss(num,den)[num,den]=ss2tf(A,B,C,D,iu)利用matlab进行系统模型间的互换39§1.5状态矢量的线性变换

---------坐标变换系统状态空间表达式的非唯一性

如果选取的系统状态变量不同，对应的状态空间表达式是不同的。实际上，状态矢量之间是一种线性变换关系。给定系统为：

我们总可以找到任意一个非奇异矩阵T将原状态矢量x作线性变换，得到另一状态矢量z，设变换关系为：即第一章控制系统的状态空间表达式40系统状态空间表达式的非唯一性得到新的状态空间表达式T为变换矩阵，由于T为任意非奇异阵，故状态空间表达式也是非唯一的。第一章控制系统的状态空间表达式将x=Tz代入状态空间表达式41例4

某系统的状态空间表达式为〔1〕取变换阵为，即那么变换后的矢量为第一章控制系统的状态空间表达式42在这个状态变量下，变换后的状态空间表达式第一章控制系统的状态空间表达式43〔2〕取变换阵为，即那么变换后的矢量为在这个状态变量下，变换后的状态空间表达式第一章控制系统的状态空间表达式44特征值的不变性及系统的不变量系统特征值：系统矩阵A的特征值，也就是方程：的根。nn方阵A有n个特征值，A为实数矩阵，特征值为实数，或者成共轭复数；如果A为是对称阵，那么其特征值都是实数。第一章控制系统的状态空间表达式45特征值的不变性及系统的不变量特征值的不变性与系统的不变量经过非奇异变换后，系统的特征值不变

系统的不变量：特征多项式的系数原因：特征值由特征多项式系数决定特征矢量：与线性代数概念相同第一章控制系统的状态空间表达式46状态空间表达式变换为约旦标准型问题是将变换为：根据系统矩阵A求其特征值，可以直接写出系统的约旦标准型矩阵J第一章控制系统的状态空间表达式约旦(Jordan)阵47约旦标准型矩阵JA的特征值无重根时第一章控制系统的状态空间表达式48约旦标准型矩阵JA的特征值有重根时(q个

1重根)49状态空间表达式变换为约旦标准型一般步骤：根据A计算特征值

i由特征值

i计算特征矢量Pi由Pi构造变换矩阵T由

i构造J由J和T构造约旦标准型第一章控制系统的状态空间表达式50Case1:A为任意形式〔一〕A的特征值无重根时设是A的个互异特征根，根据第一章控制系统的状态空间表达式求出A的特征矢量那么变换矩阵由A的特征矢量

构成，即51Case1:A为任意形式A的特征值无重根时例如第一章控制系统的状态空间表达式52设A的特征根有q个1重根，其余(n-q)个根为互异根，那么变换矩阵T的计算公式如下Case1:A为任意形式〔二〕A的特征值有重根时(q个

1重根)第一章控制系统的状态空间表达式其中是对应于〔n-q〕个单根的特征矢量。53Case1:A为任意形式对应于q个

1重根的矢量的求得，应根据下式计算：第一章控制系统的状态空间表达式P1仍为

1对应的特征矢量，其余则称为广义特征矢量。54Case2:A为标准型第一章控制系统的状态空间表达式55Case2:A为标准型A的特征值无重根时第一章控制系统的状态空间表达式T是一个范德蒙德(Vandermonde)矩阵56Case2:A为标准型A的特征值有重根时(以3个

1重根为例)第一章控制系统的状态空间表达式57例如Case2:A为标准型A的特征值有重根时(q个

1重根)第一章控制系统的状态空间表达式58系统的并联型实现系统传递函数：具有互异特征根的情况，传递函数可写成第一章控制系统的状态空间表达式59系统的并联型实现对应的模拟结构图为第一章控制系统的状态空间表达式60系统的并联型实现系统的状态空间表达式第一章控制系统的状态空间表达式61系统的并联型实现具有重根的情况：设A的特征根有q个1重根，其余〔n-q〕个根为互异根。传递函数可展开为第一章控制系统的状态空间表达式62系统的并联型实现相应的模拟结构图为第一章控制系统的状态空间表达式63系统的并联型实现状态空间表达式为第一章控制系统的状态空间表达式64§1.6从状态空间表达式求传递函数传递函数〔单输入单输出系统〕系统的状态空间表达式：

在零初始条件下，进行拉氏变换可得U-Y间的传递函数第一章控制系统的状态空间表达式65传递函数〔多输入多输出系统〕系统的状态空间表达式：

在零初始条件下，进行拉氏变换可得第一章控制系统的状态空间表达式66根据U和Y之间的传递函数为同一系统，尽管状态空间表达式可以作各种非奇异变换而不是唯一的，但是传递函数阵是不变的。第一章控制系统的状态空间表达式67传递函数的唯一性证明系统的状态空间表达式：系统的传递函数为对系统进行线性变换后，系统的状态空间表达式第一章控制系统的状态空间表达式68传递函数的唯一性证明对应的传递函数为第一章控制系统的状态空间表达式69子系统在各种连接时的传递函数实际的控制系统，往往由多个子系统组合而成，或并联，或串联，或形成反响连接。以两个系统为例，推导等效的传递函数阵。设系统1为：系统2为70系统1和系统2并联连接u1=u2,y=y1±y2系统的传递函数为71系统1和系统