中考数学考点大串讲（北师大版）：专题04一次函数（考点清单）（原卷版）

专题04一次函数（考点清单）思维导图考点一函数【考试题型1】函数的概念【典例1】下列各曲线中，能表示y是x的函数的是（

）A．

B．

C．

D．

【专训1-1】（2023春·山东烟台·六年级统考期末）自变量与因变量的关系如图，当每增加时，增加．

【专训1-2】

（2023春·陕西咸阳·七年级校考期中）周末，乐乐坐公交车到兴庆公园，他出发后时到新华书店，逗留一段时间后继续坐公交车到公园．乐乐离家一段时间后，爸爸驾车沿相同的路线前往兴庆公园，如图是他们离家路程与乐乐离家时间的关系图．

(1)图中自变量是________，因变量是________；（填字母）(2)乐乐在新华书店逗留了________；乐乐出发________后爸爸驾车出发；(3)分别求出乐乐从新华书店到兴庆公园的平均速度以及爸爸驾车的平均速度；(4)求出乐乐从家到新华书店时，他离家路程与坐车时间之间的关系式．【考试题型2】函数的解析式【典例2】如图，这是圆柱形罐头图片，若罐头的底面半径为x分米，高为1分米，体积为y升，则y关于x的函数关系式为（

）

A． B． C． D．【专训2-1】（2022春·河北邯郸·八年级校考阶段练习）如图，长为32米，宽为20米的长方形地面上，修筑宽度均为x米的两条互相垂直的小路（图中阴影部分），其余部分作耕地，如果将两条小路铺上地砖，选用地砖的价格是60元/米．

（1）写出买地砖需要的钱数y（元）与x（米）的函数关系式为（不要求写自变量的取值范围）；（2）当时，地砖的费用为元．【专训2-2】（2023春·陕西咸阳·七年级校考期中）周末，乐乐坐公交车到兴庆公园，他出发后时到新华书店，逗留一段时间后继续坐公交车到公园．乐乐离家一段时间后，爸爸驾车沿相同的路线前往兴庆公园，如图是他们离家路程与乐乐离家时间的关系图．

(1)图中自变量是________，因变量是________；（填字母）(2)乐乐在新华书店逗留了________；乐乐出发________后爸爸驾车出发；(3)分别求出乐乐从新华书店到兴庆公园的平均速度以及爸爸驾车的平均速度；(4)求出乐乐从家到新华书店时，他离家路程与坐车时间之间的关系式．【考试题型3】求自变量的值【典例3】某种正方形合金板材的成本y（元）与它的面积成正比，设边长为x厘米．当时，，那么当时，这种正方形合金板材的成本是（

）A．36元 B．72元 C．108元 D．144元【专训3-1】（2023秋·全国·八年级专题练习）已知，那么的值为．【专训3-2】（2023春·山东泰安·六年级统考期末）如图，长方形中，，，点为边上一动点．连接，随着点的运动，四边形的面积也发生变化．

(1)写出四边形的面积与的长之间的关系式．(2)当从变化到时，的值发生了怎样的变化．(3)当四边形的面积为时，求的长．【考试题型4】函数图像认识【典例4】一列火车从甲站出发开往乙站，加速行驶一段时间后开始匀速行驶，过了一段时间，临近乙站时开始减速直至停下，下面能大致刻画火车的速度与时间之间关系的图象是（

）A．B．C． D．【专训4-1】（2023春·山东烟台·六年级统考期末）小明和小英一起去上学．小明觉得要迟到了，就跑步上学，一会跑累了，便走着到学校；小英开始走着，后来也跑了起来，直到在校门口赶上了小明，问：如图四幅图像中，第幅描述了小明的行为（填序号）．

【专训4-2】（2022秋·黑龙江大庆·七年级校考开学考试）某市自来水公司为鼓励单位节约用水，额定某单位每月计划内用水吨．计划内用水每吨收费元，超额部分按每吨元收费．(1)写出这个单位每月消费y(元)与用水量x(吨)之间的函数关系式；(2)若该单位1、2月份分别用水吨和吨，水费各为多少？【考试题型5】函数的三种表示方法【典例5】下表为一个图案中红色和白色瓷砖数量的关系．设r和w分别为红色和白色瓷砖的数量，下列函数表达式可以表示w与r之间的关系的是（）红色瓷砖数量（r）34567白色瓷砖数量（w）68101214A． B． C． D．【专训5-1】（2022秋·广东河源·八年级校考期中）设地面气温为20℃，如果每升高1km，气温下降6℃．如果高度用h（km）表示，气温用t（℃）表示，那么t随h的变化而变化的关系式为．【专训5-2】（2023春·西藏那曲·八年级统考期末）下图反映的过程是：扎西从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店去买笔，然后散步走回家，其中表示时间，表示扎西离家的距离，根据图象回答下列问题：(1)体育场离扎西家______千米；扎西从家去体育场用了______分；(2)体育场离文具店______千米，扎西在文具店停留了______分；(3)请计算：扎西从文具店回家的平均速度是多少？【考试题型6】动点问题的函数图像【典例6】如图，点和点同时从正方形的顶点出发，点沿着运动，点沿着运动，速度都为2cm/s，终点都是点．若，则的面积与运动时间之间的函数关系的图象大致是（

）

A．

B．

C． D．

【专训6-1】（2023春·山东淄博·六年级统考期末）如图，在直角梯形中，动点从点出发，沿匀速运动，设点运动的路程为，三角形的面积为，图象如图所示，则梯形的面积是．

【专训6-2】（2023·上海·八年级假期作业）在弹性限度范围内，弹簧挂上适当的重物后会按一定的规律伸长，已知一弹簧的长度与所挂物体的质量之间的关系如下表：所挂物体的质量0123456弹簧的长度1414.815.616.417.21818.8（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？（2）在弹性限度范围内写出与之间的关系式；（3）当所挂物体的质量为时（在弹性限度范围内），求弹簧的长度．（4）在弹性限度范围内，弹簧伸长后的最大长度为，求物体质量的取值范围？考点二一次函数与正比例函数【考试题型1】正比例函数的定义【典例1】下列函数中是正比例函数的是（

）A． B． C． D．【专训1-1】（2023秋·全国·八年级专题练习）若是关于x的正比例函数，则的值为．【专训1-2】（2023秋·四川成都·八年级校考开学考试）如图1，四边形是一个长方形，一动点在长方形边上运动，设点运动的路程为，的面积为，与的关系图象如图所示．动点从点出发，沿路线运动到点停止，已知点在边上运动时的速度为，在边上运动时的速度为，在边上运动时的速度为．

(1)根据图2可知，__________；(2)求出点由点运动到点的总时间；(3)当的值为时，求点的运动时间．【考试题型2】一次函数的定义【典例2】下列函数中，是一次函数的是（

）A． B． C． D．【专训2-1】（2023春·云南大理·八年级统考期末）若是一次函数，则m的值是．【专训2-2】（2023秋·安徽阜阳·八年级校考阶段练习）已知与成正比例，当时，．(1)求y与x之间的函数关系式；(2)当时，求y的值．【考试题型3】根据一次函数求参【典例3】函数是关于x的一次函数的条件为（

）A．且 B． C．且 D．【专训3-1】（2023春·湖南衡阳·八年级校考期中）若一次函数经过坐标原点，则．【专训3-2】（2022秋·八年级课时练习）学校阅览室有一种能坐4人的方桌，如果多于4人，就把方桌按图中的方式摆放，2张方桌摆放到一起能坐6人，请你结合这个规律，回答问题：(1)写出总人数y（人）与方桌数x（张）之间的函数解析式（不要求写自变量的取值范围），并判断y是不是x的一次函数；(2)若八年级（1）班有42人去阅览室看书，则需要多少张这样的方桌？【考试题型4】求一次函数自变量的值【典例4】在关系式中，当因变量时，自变量x的值为(

)A． B．－4 C．－12 D．12【专训4-1】（2022秋·安徽芜湖·八年级统考阶段练习）在平面直角坐标系中，直线过点，则的值为．【专训4-2】（2023秋·全国·八年级专题练习）已知函数，(1)当是何值时函数是一次函数．(2)当函数是一次函数时，写出此函数解析式．并计算当时的函数值．(3)点在此一次函数图象上，则的值为多少．【考试题型5】用一次函数解析式求值【典例5】对于一次函数（k，b为常数），下表中给出5组自变量及其对应的函数值，其中恰好有1个函数值计算有误，则这个错误的函数值是（）x0123yA． B． C． D．【专训5-1】（2022秋·八年级课时练习）已知：不论m为何值，点P（m，4m-5）都在直线l上，若Q（a，b）是直线l上的点，则4a-b值是．【专训5-2】（2023秋·陕西西安·八年级西北大学附中校考开学考试）如图，是一个“因变量随着自变量变化而变化”的示意图，下面表格中

输入x…﹣202…输出y…2m18…(1)直接写出：，，；(2)当输入x的值为时，求输出y的值；(3)当输出y的值为12时，求输入x的值．考点三一次函数的图像【考试题型1】正比例函数的图像与性质【典例1】关于正比例函数，下列结论不正确的是（

）A．图象经过原点 B．y随x的增大而减小C．点在函数的图象上 D．图象经过二、四象限【专训1-1】（2022秋·安徽合肥·八年级校考期中）若y与成正比例，当时，，则y与x之间的函数表达式为．【专训1-2】

（2023秋·全国·八年级专题练习）已知点A（8，0）及在第一象限的动点P（x，y），且x+y=10，设△OPA的面积为S．(1)求出S关于x的函数解析式，并求出x的取值范围；(2)当S=12时，求P的坐标．【考试题型2】根据一次函数解析式判断其象限【典例2】下列描述一次函数的图象及性质错误的是（）A．直线与x轴交点坐标是 B．y随x的增大而减小C．直线经过第一、二、四象限 D．当时，【专训2-1】（2022春·陕西汉中·八年级统考期末）已知直线经过第一、二、四象限，那么直线不经过第象限．【专训2-2】（2023·上海·八年级假期作业）已知与成正比例，并且时，．(1)写出与之间的函数关系式；(2)当时，求的值；(3)当时，求的值．【考试题型3】已知函数经过的象限求参数范围【典例3】若直线经过第一、二、三象限，则函数的大致图象是（

）A． B． C． D．【专训3-1】（2022秋·安徽合肥·八年级校联考阶段练习）一次函数的图象不经过第三象限，则m的取值范围是．【专训3-2】（2022秋·陕西西安·八年级校考期中）已知一次函数（a为常数）．(1)若这个函数的图象经过原点，求a的值；(2)若，直接写出这个函数图象经过的象限．【考试题型4】一次函数图像与坐标轴的交点问题【典例4】如图，点，，当直线与线段有交点时，的取值范围是（

）

A． B． C．或 D．【专训4-1】（2023春·福建福州·八年级校考期中）如图，一次函数与x轴，y轴分别交于A，B两点，则．

【专训4-2】（2023秋·安徽合肥·八年级合肥一六八中学校考阶段练习）已知一次函数(1)当k满足何条件时，它的图象经过原点？(2)当k满足何条件时，y随x的增大而减小？(3)当k满足何条件时，图象不经过第三象限？【考试题型5】一次函数的平移问题【典例5】将直线向上平移3个单位长度，得到的直线的解析式为（

）A． B． C． D．【专训5-1】（2022春·河北邯郸·八年级校考期末）一次函数向下平移个单位长度，得到新的一次函数表达式是；一次函数经过平移过程(填向上或向下平移几个单位长度)得到一个正比例函数．【专训5-2】（2023秋·辽宁沈阳·九年级沈阳市实验学校校考阶段练习）如图1，在平面直角坐标系中，直线：和直线：经过y轴上的同一点，与轴交于点，与轴交于点，点是直线上一点．点是直线上一点，若，与轴交于点．

(1)请直接写出三点坐标：__________，__________，__________；(2)若，求线段的长；(3)若，则点的坐标是__________．【考试题型6】一次函数的增减性求参【典例6】已知一次函数的图解经过点A，且随的增大而增大，则点A的坐标可以是（

）A． B． C． D．【专训6-1】（2023春·山东青岛·八年级校考开学考试）请写出一个符合下列要求的m的值：（1）当时，一次函数的值随x值的增大而减小；（2）当时，一次函数的图象与的图象平行；（3）当时，一次函数的图象与x轴的交点位于正半轴．【专训6-2】（2023春·广东广州·八年级统考期末）已知正比例函数．

(1)该直线向下平移个单位，平移后所得直线的解析式为________；(2)在图中画出平移后的直线．【考试题型7】比较一次函数大小【典例7】已知点，，都在直线上，则，，的大小关系为（

）A． B． C． D．【专训7-1】（2023秋·安徽合肥·八年级合肥一六八中学校考阶段练习）若点、都在直线上，则、大小关系是（选填：“”、“”、“”或“”）【专训7-2】（2023春·山东临沂·八年级统考期末）让我们一起用描点法探究的图像和性质，并解决相关问题：①列表：…………②描点③连线(1)在函数中，自变量的取值范围是______；(2)表格中，______，______；(3)如图，在平面直角坐标系中，画出函数的图像；

(4)观察图像，当______时，随的增大而减小；(5)若一次函数的图像与函数图像有两个交点，请直接写出的取值范围．【考试题型8】直线与坐标轴交点求方程的解【典例8】如图，直线与相交于点，则关于的方程的解是（

）

A． B． C． D．【专训8-1】（2023秋·广东惠州·九年级校考开学考试）一次函数中，与的部分对应值，如下表：那么，一元一次方程的解是．01202【专训8-2】（2022秋·安徽·八年级期末）某校数学兴趣小组根据学习函数的经验，对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下：自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值如下表：x…-4-3-2-101234…y…10a-2-10123…(1)表中a的值为___；(2)以每组对应值作为一个点的坐标，在平面直角坐标系中描出表中的所有点，并按照自变量从小到大的顺序连线，画出该函数的图象；(3)进一步探究函数图象，发现：函数图象与x轴有___个交点，因此方程的解是___．【考试题型9】利用图像法解一元一次方程【典例9】数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，直线与直线相交于点．根据图像可知，关于的方程的解是（）

A． B． C． D．【专训9-1】（2023春·青海西宁·八年级统考期末）如图，一次函数与的图象交于点A，则关于x的方程的解．【专训9-2】（2023秋·河南郑州·八年级校考期末）请根据学习“一次函数”时积累的经验和方法研究函数的图象和性质，并解决问题．(1)填空：①当时，______；②当时，______；③当时，______；(2)在平面直角坐标系中作出函数的图象；(3)观察函数图象，写出关于这个函数的两条结论；(4)进一步探究函数图象发现：①函数图象与x轴有______个交点，方程有______个解；②方程有______个解；③若关于x的方程无解，则a的取值范围是______．考点四一次函数的应用【考试题型1】方案问题【典例1】网红“脏脏包”是时下最流行的一款面包，“脏脏包”正如其名，它看起来脏脏的，吃完以后嘴巴和手上会因沾上巧克力而变“脏”，因而得名“脏脏包”．某面包店每天固定制作甲、乙两种款型的脏脏包共200个，且所有脏脏包当天全部售出，原料成本、销售单价及店员生产提成如表所示：甲（元/个）乙（元/个）原料成本128销售单价1812生产提成10.6设该店每天制作甲款型的脏脏包x（个），每天获得的总利润为y（元）．则y与x之间的函数关系式为（）A．y＝1.6x+680 B．y＝﹣1.6x+680C．y＝﹣1.6x﹣680 D．y＝﹣1.6x﹣6800【专训1-1】（2022春·八年级课前预习）怎样选取上网收费方式？如表给出A，B，C三种上宽带网的收费方式．收费方式月使用费/元包时上网时间/h超时费（元/min）A30250.05B50500.05C120不限时选取哪种方式能节省上网费？方式A中，超时费只有在上网时间超过25小时后才会产生．所以要分情况：当时，y1＝30；当x＞25时，y1＝30＋0.05×60（x－25）＝3x－45.得到函数：方式B的上网费y2关于上网时间x的函数解析式为：方式C的上网费y3关于上网时间x的函数解析式为：当x0时，y3＝120在同一坐标系中画出它们的图像：；当上网时时，选择方式A最省钱；当上网时间时，选择方式B最省钱；当上网时间时，选择方式C最省钱．【专训1-2】

（2023秋·安徽阜阳·八年级校考阶段练习）合肥某校有3名教师准备带领部分学生（不少于3人）参观野生动物园．经洽谈，野生动物园的门票价格为教师票每张36元，学生票半价，且有两种购票优惠方案．方案一：购买一张教师票赠送一张学生票；方案二，按全部师生门票总价的80%付款，只能选用其中一种方案购买．假如学生人数为x（人），师生门票总金额为y（元）．(1)分别写出两种优惠方案中y与x的函数表达式；(2)请通过计算回答，选择哪种购票方案师生门票总费用较少；(3)若选择最优惠的方案后，共付款288元，则学生有多少人？【考试题型2】利润问题【典例2】在某一阶段，某商品的销售量与销售价之间存在如下关系：设该商品的销售价为x元，售量为y件，估计当x＝137时，y的值可能为（

）销售价/元90100110120130140销售量/件908070605040A．63 B．59 C．53 D．43【专训2-1】（2023·北京·九年级专题练习）某校计划租用甲，乙，丙三种型号客车送师生去综合实践基地开展活动．每种型号客车的载客量及租金如下表所示：客车型号甲乙丙每辆客车载客量/人203040每辆客车的租金/元500600900其中租用甲型客车有优惠活动：租用三辆或三辆以上每辆客车的租金打8折．现有280名师生需要前往综合实践基地，要求每种型号的客车至少租1辆，且每辆车都坐满．（1）如果甲，乙，丙三种型号客车的租用数量分别是2，4，3，那么租车的总费用为元；（2）如果租车的总费用最低，那么甲，乙，丙三种型号客车的租用数量可以分别是．【专训2-2】（2023春·陕西榆林·九年级校考期中）陕西周至，被誉为“猕猴桃之乡”，世界上最大的猕猴桃种植基地．某水果经销商计划从种植专业户李大爷处购进甲，乙两种新品猕猴桃进行销售．已知李大爷处乙种猕猴桃的进价为8元/千克：李大爷对甲种猕猴桃的价格根据进货量给予优惠，设该经销商购进甲种猕猴桃x千克，购进甲种猕猴桃所需费用为y元，y与x之间的函数关系如图所示．

(1)求y与x之间的函数关系式；(2)若该经销商计划从李大爷处一次性购进甲，乙两种猕猴桃共200千克，且甲种猕猴桃不少于45千克，但又不超过80千克．如何分配甲，乙两种猕猴桃的购进量，才能使该经销商购进这两种猕猴桃付款总金额w（元）最少？【考试题型3】行程问题【典例3】已知A、两地相距，一辆货车从A地前往地，途中因装载货物停留一段时间，一辆轿车沿同一条公路从地前往A地，到达A地后（在A地停留时间不计）立即原路原速返回，如图是两车距地的距离与货车行驶时间之间的函数图象，下列叙述正确的是（

）

A．图中的值是B．轿车的速度是C．货车装载货