专题16 用锐角三角形函数解决问题(原卷版)（重点突围）-【学霸满分】2022-2023学年九年级数学下册重难点专题提优训练（苏科版）

专题16用锐角三角形函数解决问题考点一用锐角三角函数解直角三角形考点二用锐角三角函数解非直角三角形考点三利用锐角三角函数解决仰角俯角问题考点四利用锐角三角函数解决方位角问题考点五利用锐角三角函数解决坡度坡比问题考点六利用锐角三角函数测高问题考点七构造直角三角形求不规则图形的边长或面积考点一用锐角三角函数解直角三角形例题：（2022·江苏·苏州市胥江实验中学校九年级期中）（1）在中，，已知，，求，a，b；（2）如图，在中，，，D为AC上一点，，．求AD的长．【变式训练】1．（2022·江苏省锡山高级中学实验学校九年级期中）在中，，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，(1)，，求b、(2)，，求的周长．2．（2022·山东·聊城江北水城旅游度假区李海务街道办事处中学九年级阶段练习）如图，在直角中，，点是边的中点，．．(1)求AD和AB的长；(2)求sin∠BAD的值．考点二用锐角三角函数解非直角三角形例题：（2022·江苏淮安·九年级阶段练习）如图，在中，，，，求、的长．【变式训练】1．（2022·辽宁·大连市第三十四中学九年级阶段练习）中，，，，求边的长度．2．（2022·山东·测试·编辑教研五九年级阶段练习）在中，，，为锐角且．(1)求的面积；(2)求的值；(3)求的值．考点三利用锐角三角函数解决仰角俯角问题例题：（2021·陕西·渭南初级中学九年级期中）李威在A处看一棵大树的顶端D处的仰角是30°，向树的方向前进30米到B处看树顶D处的仰角是60°，李威的眼睛离地面高米，已知，E、F、G在一条直线上，求树高是多少？（结果保留根号）【变式训练】1．（2022·重庆市育才中学九年级阶段练习）如图所示，在大楼的正前方有一斜坡（坡角），在它们之间有一片水域，现要测量大楼的高度．小明在斜坡上的点D处利用热气球探测器测得楼顶点B处的仰角为；当热气球探测器竖直向上上升到点F处，测得楼顶点B处的仰角为；已知米，米，其中点在同一直线上．（参考数据：，）(1)求斜坡的高度（精确到十分位）；(2)求大楼的高度（精确到十分位）．2．（2022·安徽·合肥市五十中学新校二模）如图，坡的坡度为：，坡面长米，，现计划在斜坡中点处挖去部分坡体用阴影表示修建一个平行于水平线的平台和一条新的斜坡请将下面两小题的结果都精确到米，参考数据：．(1)若修建的斜坡的坡角即恰为，则此时平台的长为______米；(2)坡前有一建筑物，小明在点测得建筑物顶部的仰角为，在坡底点测得建筑物顶部的仰角为，点、、、、在同一平面内，点、、在同一条水平直线上，问建筑物高为多少米？考点四利用锐角三角函数解决方位角问题例题：（2022·湖南·长沙市北雅中学模拟预测）如图，某日我国某岛附近海域有两艘自西向东航行的海监船A、B船在A船的正东方向，且两船保持20海里的距离，某一时刻两海监船同时测得在A的东北方向，B的北偏东15°方向有一我国渔政执法船C，求此时船C与船B的距离是多少．（结果保留根号）【变式训练】1．（2022·上海·九年级专题练习）如图，在东西方向的海岸线l上有长为300米的码头AB，在码头的最西端A处测得轮船M在它的北偏东方向上；同一时刻，在A点正东方向距离100米的C处测得轮船M在北偏东方向上．（参考数据：，，，．）(1)求轮船M到海岸线l的距离；（结果精确到0.01米）(2)如果轮船M沿着南偏东的方向航行，那么该轮船能否行至码头AB靠岸？请说明理由．2．（2022·浙江宁波·一模）如图，某渔船沿正东方向以10海里／小时的速度航行，在A处测得岛C在北偏东方向，1小时后渔船航行到B处，测得岛C在北偏东方向，已知该岛周围9海里内有暗礁．参考数据：，，．(1)B处离岛C有多远？如果渔船继续向东航行，有无触礁危险？(2)如果渔船在B处改为向东偏南方向航行，有无触礁危险？考点五利用锐角三角函数解决坡度坡比问题例题：（2022·湖南·炎陵县教研室一模）如图，株洲市炎陵县某中学在实施“五项管理”中，将学校的“五项管理”做成宣传牌（CD），放置在教学楼A栋的顶部（如图所示）该中学数学活动小组在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为60°，沿芙蓉小学围墙边坡AB向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为45°．已知山坡AB的坡度为i=1：3，AB=2m，AE=8m．(1)求点B距水平面AE的高度BH．(2)求宣传牌CD的高度．（结果精确到0.1米．参考数据：≈1.414,≈1.732）【变式训练】1．（2022·上海·九年级专题练习）如图是一座人行天桥的引桥部分的示意图，上桥通道由两段互相平行并且与地面成37°角的楼梯AD、BE和一段水平平台DE构成．已知天桥高度BC=5.4米，引桥水平跨度AB=9米．(1)求水平平台DE的长度(2)若与地面垂直的平台立柱MN的高度为3米，求两段楼梯AD、CE的长度之比．（参考数据：取sin370.60，cos370.80，tan370.75）2．（2022·湖南·醴陵市教育局教育教学研究室模拟预测）风能作为一种清洁能源越来越受到世界各国的重视，我市结合自身地理优势架设风力发电机利用风能发电．王芳和李华假期去明月峰游玩，看见风电场的各个山头上布满了大大小小的风力发电机，好奇的想知道风力发电机塔架的高度．如图，王芳站在点测得点与塔底点的距离为，李华站在斜坡的坡顶处，已知斜坡的坡度，坡面长，李华在坡顶处测得轮毂点的仰角，请根据测量结果帮他们计算：(1)斜坡顶点B到CD所在直线的距离；(2)风力发电机塔架的高度．结果精确到，参考数据，，，，考点六利用锐角三角函数测高问题例题：（2022·全国·九年级课时练习）如图，－楼房AB后有一－假山CD，CD的坡度为，测得B与C的距离为24米，山坡坡面上E点处有一休息亭，与山脚C的距离米，小丽从楼房房顶A处测得E的俯角为45°．(1)求点E到水平地面的距离；(2)求楼房AB的高．【变式训练】1．（2022·河南·九年级专题练习）如图，小明家马路对面的商业楼外墙上有一个大型显示屏，小明在自己家楼顶处测得显示屏顶端的仰角为，后退10米到达处测得显示屏底端处的仰角为，已知商业楼的底端与小明家楼底端之间的距离为50米，求显示屏AB的高度．（结果精确到0.1米，参考数据：，，）2．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在河流的右岸边有一高楼，左岸边有一坡度的山坡，点与点在同一水平面上，与在同一平面内．某数学兴趣小组为了测量楼的高度，在坡底处测得楼顶的仰角为，然后沿坡面上行了米（即米）到达点处，此时在处测得楼顶的仰角为．（参考数据：，，）（1）求点到点的水平距离的长；（2）求楼的高度．考点七构造直角三角形求不规则图形的边长或面积例题：（2022·海南·九年级专题练习）一种可折叠的医疗器械放置在水平地面上，这种医疗器械的侧面结构如图实线所示，底座为，点、、在同一条直线上，测得，，，，其中一段支撑杆，另一段支撑杆，(1)求的距离；(2)求支撑杆上的到水平地面的距离是多少？（用四舍五入法对结果取整数，参考数据，，，）【变式训练】1．（2022·全国·九年级专题练习）如图，是放在水平桌面上的台灯的几何图，已知台灯底座高度为2cm，固定支点O到水平桌面的距离为7.5cm，当支架OA、AB拉直时所形成的线段与点M共线且与底座垂直，此时测得B到底座的距离为31.64cm（线段AB，AO，OM的和），经调试发现，当∠OAB=115°，∠AOM=160°时，台灯所投射的光线最适合写作业，测量得A到B的水平距离为10cm，求此时点B到桌面的距离．（参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，）2．（2022·上海·九年级专题练习）图1是一款平板电脑支架，由托板、支撑板和底座构成．工作时，可将平板电脑吸附在托板上，底座放置在桌面上，图2是其侧面结构示意图，已知托板AB长200mm，支撑板CB长80mm，当，时，求托板顶点A到底座CD所在平面的距离（结果精确到1mm）．（参考数据：，，，，）一、选择题1．（2022·山东·东平县青峰山实验学校九年级阶段练习）一个钢球沿坡角的斜坡向上滚动了5米，此时钢球距地面的高度是（单位：米）（）A． B． C． D．2．（2022·黑龙江·哈尔滨市风华中学校九年级期中）在中，，，，则的长是（

）A． B．3 C． D．3．（2022·山东淄博·九年级期中）如图，某景区的两个景点A、B处于同一水平地面上、一架无人机在空中沿方向水平飞行进行航拍作业，与在同一铅直平面内，当无人机飞行至处时、测得景点的俯角为，景点的俯角为，此时到地面的距离为米，则两景点A、B间的距离为多少米（结果保留根号）．（

）A．200米 B．300米 C．米 D．米二、填空题4．（2022·上海奉贤·九年级期中）在中，，，______．5．（2022·山东·巨野县教学研究中心九年级期中）我市牡丹机场现已成功运营，给出了某型号客机的机翼示意图其中，，则的长为_______．6．（2022·上海闵行·九年级期中）如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为，若它把物体从地面点处送到离地面米高的处，则物体从到所经过的路程为___________米．三、解答题7．（2022·重庆市合川中学九年级阶段练习）如图，一艘轮船位于灯塔P的南偏东方向，距离灯塔100海里的A处，此时船长接到台风预警信息，台风将在7小时后袭来．他计划沿正北方向航行，去往位于灯塔P的北偏东方向上的避风港B处．(1)问避风港B处距离灯塔P有多远？（结果精确到0.1海里）(2)如果轮船的航速是每小时20海里，问轮船能否在台风到来前赶到避风港B处？（参考数据：，）8．（2022·山东·龙口市培基学校九年级阶段练习）在数学实践活动课上，某兴趣小组测量操场上篮球筐距地面的高度如图所示，已知篮球筐的直径约为，某同学站在处，先仰望篮球筐直径的一端处，测得仰角为，再调整视线，测得篮球筐直径的另一端处的仰角为．若该同学的目高为，求篮球筐距地面的高度（结果精确到）．（参考数据：，，，）9．（2021·河南·南阳市油田教育教学研究室二模）已知：如图，斜坡AP的坡度为5：12，坡长AP为13米，在坡顶A处的同一水平面上有一颗大树BC，在斜坡底P处测得该树的树顶B的仰角为45°，在坡顶A处测得该树的树顶B的仰角为76°．求：(1)坡顶A到地面PQ的距离；(2)树BC的高度（结果精确到1米）．（参考数据：，，）10．（2022·重庆文德中学校二模）体温检测是疫情防控中的一项重要工作，某公司设计了一款红外线体温检测仪，该设备通过探测人体红外辐射的能量对进入测温区域的人员进行快速体温检测，无需人员停留和接触．如图所示，是水平地面，其中是测温区域，测温仪安装在竖直标杆上的点D处，若该测温仪能识别体温的最大张角为（即），能识别体温的最小张角为（即）(1)当设备安装高度米时，求出图中的长度；（结果保留根号）(2)为了达到良好的检测效果，该公司要求测温区的长不低于3米，请计算得出设备的最低安装高度是多少？（结果保留1位小数，参考数据：）11．（2022·重庆一中九年级阶段练习）今年暑假，妈妈带着明明去草原骑马，如图，妈妈位于游客中心A的正北方向的B处，其中，明明位于游客中心A的西北方向的C处，烈日当空，妈妈准备把包里的太阳帽给明明送去，于是，妈妈向正西方向匀速步行，同时明明骑马向南偏东60°方向缓慢前进，15分钟后，他们在游客中心A的北偏西37°方向的点D处相遇．(1)求妈妈步行的速度；(2)求明明从C处到D处的距离．（参考数据：，结果保留两位小数）12．（2022·浙江·宁波市海曙外国语学校九年级期中）图1是淘宝上常见的“懒人桌”，其主体由一张桌面以及两根长度相等的支架组成，支架可以通过旋转收拢或打开，图2是其打开示意图，经操作发现，当时，可稳定放置在水平地面上，经测量，，．(1)当其完全打开且置于水平地面上时，测得，求AB距离；(2)在（1）的基础上，若要在该桌上办公，已知眼睛与桌面的垂直距离以为佳，实际办公时，眼睛与桌面的垂直距离为，若保持身体不动，通过旋转支架以及抬高桌面，则A点应向内移动多少厘米，才能达到最佳距离？（参考数据，，）13．（2022·重庆南开中学九年级期中）如图，小开家所在居民楼，楼底C点的左侧30米处有一个山坡，坡角为，E点处有一个图书馆，山坡坡底到图书馆的距离为40米，在图书馆E点处测得小开家的窗户B点的仰角为，居民楼与山坡的剖面在同一平面内．(1)求的高度；（结果精确到个位，参考数据：≈1．73）(2)某天，小开到家后发现有资料落在图书馆，此时离图书馆闭馆仅剩5分钟，若小开在平地的速度为6m/s，上坡速度为4m/s，电梯速度为1．25m/s，等候电梯及上、下乘客所耽误时间共3分钟，请问小开能否在闭馆前赶到图书馆？14．（2022·山东潍坊·九年级期中）图1是停车场入口处的升降杆，当汽车刷牌照进入时，升降杆就会从水平位置升起．图2是其示意图，其中，，，，，现由于故障，不能完全升起，最大为．(1)求故障时A点最高可距离地面多少m（精确到0.1m）．(2)若一辆箱式小货车宽1.8m，高2.4m，请问这辆车能否在升降杆故障时进入停车场？（参考数据：，，）15．（2022·上海·九年级专题练习）激光电视的光源是激光，它运用反射成像原理，屏幕不通电无辐射，降低了对消费