高等代数北大版第章习题参考答案新编

第七章线性变换

1.?判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是：

1)?在线性空间V中，+其中aev是一固定的向量；

2)?在线性空间V中，Ag=a其中aev是一固定的向量；

2

3)?在「3中,A(x1,x2,x3)=(xj,x2+x3,x^)；

3

4)?^P41,AU1,X2,X3)=(2X1-x2,x2+x3,xt)

5)?在巴打中，./(x)=/(x+l),

6)A/(X)=/(X/其中“0ep是一固定的数；

7)?把复数域上看作复数域上的线性空间，44=孑

8)?在P"><”中，AX=BXC其中B,C€P"X"是两个固定的矩阵.

解1)当a=0时，是;当aw0时,不是。

2)当a=0时，是;当a工0时,不是。

3)不是.例如当a=(1,0,0),%=2时，&例(a)=(2,0,0),A(ka)=(4,0,0),

A(ka)nkA(a)„

4)是.因取a=0],々，％3)，，=(%，为，%)，有

A(«+/?)=A(%,+%,％2+%，£+，3)

=(24+2y,-x2-y2,x2+y2+x3+y3,xt+%)

=(2玉-%,工2+工，再)+(2%一力，为+为，，)

=Aa+Ap,

A(ka)=A(k%,kx2,kx3)

=kA(a),

故A是p3上的线性变换。

5)是•因任取/(x)eP[x],g(x)e/幻,并令

"(x)=/(x)+g(x)则

A(/(%)+g(X))=AM(X)=U(X+1)=f(X+1)+g(X+1)=Af(X)+A(g(x)),

再令v(x)=kf{x)则A(A/(x))=A(v(x))=v(x+1)=kf(x+1)=&A(/(%)),

故A为P[x]上的线性变换。

6)是.因任取f(x)eP[x],g(x)eP[x]则.

4(/(x)+g(x))=/(Xo)+g(/)=A(/(x))+4(g(x))，

4(V(x))=V(x。)="(/(%)).

7)不是，例如取a=l,k=L则A(ka)=-i,k(Aa)=i,A(ka)HkA(a)。

8)是，因任取二矩阵x,yeP"、"，则4(x+y)=B(x+y)c=Bxc+8yc=AX+Ay,

A(kX)=B(kX)=k(BXO=kAX,故A是P"X"上的线性变换。

2.在几何空间中,取直角坐标系oxy,以A表示将空间绕ox轴由oy向oz方向旋转90度的变换，以B表示绕oy

轴向ox方向旋转90度的变换，以C表示绕OZ轴由ox向oy方向旋转90度的变换，证明：

A4=B4=C4=E,AB^BA,A2B2=B2A2,并检验(AB)?=A2B②是否成立。

解任取一向量a=(x,y,z),则有

1)因为

Aa=(x,-z,y),42a=(x,-y,-z),A3a=(x,z,-y),A4a=(x,y,z),

8a=(z,y,-x),B2a=(-x,y,-z),B‘a=(-z,y,x),B4a=(x,y,z),

Ca=(-y,x,z),C2a=(-x,-y,z),C3a=(y,-x,z),C4a=(x,y,z),

所以A4=B4=C4=E。

2)因为AB(a)=A(z,y,-x)=(z,x,y),5A(a)=B(x,-z,y)=(y,-z,-x),

所以48W8A。

3)因为A2B2(a)=A2(-x,y,-z)=(-x,-y,z),B2A2(a)=B2(x,-y,-z)=(-x,-y,z),

所以4252=3242.

4)因为(Ab)2(a)=(AB)(AB(a))_=AB(z,x,y)=(y,z,x),A2B2(a)=(-x,-y,z),

所以(Ab)2^A2B2O

3.在P[x]中，A/(%)=f'(X),Bf(x)=xf{x),证明:A5-8A=E。

证任取f(x)eP[x],则有

(AB-BA)f(x)=ABf(x)-BA/(X)=A(xf(X))-B(f(%))=/(X)+矿(X)(%)=/(%)

所以48-84=E。

4.设A,8是线性变换，如果4B-BA=E,证明：AkB-BAk=kAk~'(k>l)»

证采用数学归纳法。当k=2时

A2B-BA2=(A2B-ABA)+(ABA-BA2)=A(AB-BA)+(AB-BA)A=AE+EA=2a,结论成立。

归纳假设左=加时结论成立，即4"8-8A"'=SA"I。则当％=«?+1时，有

Am+1B-BA，，，+l=(Am+lB-ABA)+(AmBA-BAm+l)=A(AB-BA)+(AB-BA)A=AE+mAA=(，〃+1)4.

即左=m+1时结论成立.故对一切k>1结论成立。

5.证明：可逆变换是双射。

证设4是可逆变换，它的逆变换为A-1。

若aHb,贝!1必有AaRAb,不然设Aa=Ab,两边左乘A"，有a=b,这与条件矛盾。

其次，对任一向量b,必有a使Aa=b,事实上，令ATb=a即可。因此,A是一个双射。

6.设司，£2,•••，£”是线性空间V的一组基，A是V上的线性变换。证明：A是可逆变换当且仅当

A£i,A£2,...,A£ll线性无关。

证因4(£],£2‘。一'£")=(4£।,4•”4£”)=(句，£?，•■”£“)A，

故A可逆的充要条件是矩阵A可逆，而矩阵A可逆的充耍条件是A£1,A£2,••.,4£“线性无关，故A可逆的

充要条件是Aa,A4,A£„线性无关.。

7.求下列线性变换在所指定基下的矩阵：

1)第1题4)中变换A在基£1=(1,0,0),£2=(0，1，0),£3=(0，°，1)下的矩阵；

2)[O；G，£21是平面上一直角坐标系,A是平面上的向量对第一和第三象限角的平分线的垂直投影乃是平面上

的向量对名的垂直投影，求在基?.J下的矩阵；

3)在空间P冈“中，设变换A为/(%)―/(x+l)—/(x),

试求A在基£j=x(x-1)…(X-i+1)L1=1,2,下的矩阵A；

z!

cua

4)六个函数£]=e'"cos/?%,4=e"'sin/?x,£3=Xecosbx,£4=Xe'sinbx,

1,],

£1=一%2e"cos/u,£|=-e"-sin/jx,的所有实数线性组合构成实数域上一个六维线性空间，求微分变换

'2'2

。在基£簿=1,2,...,6)下的矩阵；

’1or

5)己知p3中线性变换A在基7=(-1,1,1),%=(1,0,-1),%=(0，1，1)下的矩阵是110,求A在基

-121,

-=(1,0,0),£2=(0,1,0),%=(。，0，1)下的矩阵;

6)在I*?中，A定义如下：

.4.=(-5,0,3)

<A%=(0-1,6),

A%=(-5,7,9)

其中

7,=(-1,0,2)

<生=(0,1,1)，

、小=(3-1,0)

求在基句=(1,0,0),£2=(0,1,0),鼻=(0,0,1)下的矩阵;

7)同上，求A在〃i，%,名下的矩阵。

解1)A£]=(2,0,l)=2£|+£3，A£2=(-1,1,0)—£1+£2'A.£3=(O,1,O)=£2,

’2-10、

故在基勺，4，£3下的矩阵为011。

J0

1111

)蛆_4

,■-+-£2--

2)取£尸(1,0),£2=(0,I2222

r1n\

--

22

故A在基勺，4下的矩阵为A=1n

--

I227

00、

又因为B£[=0,B£2-£2,所以B在基£],4下的矩阵为B=另外，(AB)£2=A(B£2)

0

1

-

2

所以AB在基句，4下的矩阵为AB=1

-

2

xix-\)...[x-{n-2)\

3)因为£(,=1，G=X,£--

2(〃一1)!

所以A/=1-1=0,

A£|=(X+1)-X=4,

(x—l)x...[x—(n—3)]x(x-l)...[x-(n—2)]

(«-l)!(n-1)!

x(x-l)...[x-(n-3)]

=-------;———--------((x+l)-[x-(n-2)]}

'01

01

所以A在基£。，£|J-下的矩阵为A=......

...1

4）因为O£[=a£]-b£2，

Dg）=b£।-a£1,£6，

,,

D63=^I+a^3-b64,

£>%=£）+b£3+a£4,

D£产£3+2£5-b^6,

De6=6*4+b^5+a,

/Gb1000）

-ba000

00ahi0

所以D在给定基下的矩阵为D=0o

00-baQ1

0000ah

、0000-bay

10、

5）因为（7,%,%）=（£「£2，i-3）101,所以

u-1b

r-i1-1、

（三，4，%）=（小，%，小）01-1=（〃，%，小）x，

01，

故4在基J,4，£3下的矩阵为

-11010-11-P’-11-2、

1011001-1220

1-1-12101>、302，

f-\03、

6）因为（7,%,%）=（句，㈢，。3）01-1

,210

03\

所以A（〃l，%,〃3）=A（£],£2，£3）01-1

,2107

-50-5、

但已知4（小川2，〃3）=（句，£2,R）0-1-1

1369，

-33、

V7

62

77

-12

T7>

f-520-20)

777

-4-5-2

=(£i,£2，£3)----0

777

271824

1777;

r-i03]

-1

7)因为(£[,£2,%)=(〃，%，%）01-1

0；

<21

'-103、'-50-5、

-1

所以A（〃I，〃2，〃3）=（〃1，〃2，〃3）01-10-1-1

1210,<369,

‘235、

=(〃，%，〃3)-1°-1

C10>

h\(ah\fah\(ah\

8.在p2'2中定义线性变换A|（X）=

；X^9(X)=XLA(X)=X，求4”42，小在

a)yca；)2ycaJ\^caJ

基E11万]232],E?2下的矩阵。

解因AjE]j=aE]]+cE]2d]EI?=aE12+cE22,

AjE21=bEn+dE21^4]E22=bE2I+dE22,

7080、

0a0b

故A在基£"万],出，|出22下的矩阵为人产

c0a0

、0c0d,

又因A=aEj,+bE3?+dE,

7EH12EI7=CEHp

A9E21=aE21+bE22^42E22=cE21+dE22,

00、

00

故42在基E||,E12，E21出22下的矩阵为42=

2

又因A3E1।=aE11+abEI2+acE2|+bcE22,

2

A3E12=acE])+adE12+c-E2I+cdE22,

2

A3E21=abE,)+bE|2+adE21+bdE22,

2

A3E22=bcE]]+bdE12+cdE21+d~E22,

abbe、

b2bd

故A3在基£“出［2皿2］他22下的矩阵为4

adcd

cdhdd~

9.设三维线性空间V上的线性变换A在基J,4,邑下的矩阵为

a\\a\2a\2,

ai\a22a23

\a3\。32

1）求A在基鼻，£2，£］下的矩阵；

2）求A在基8，左邑，鼻下的矩阵，其中且;

3）求4在基£］+J道?，£?下的矩阵。

解1）因+a^+%38\，

AS3=a33e3232

A6*0=^32^3++<^|2^|f

A£^―+^21^2+，

“33

故A在基£3*2,J下的矩阵为为=%3&22

2)因A£[=%]£]+^-(^2)+。3m3'

a£

4k4)=&\i\+a22(k£2)+ka32£3,

A£3=%3£1+&^（饱）+。33%，

-k

孙%3

a2\423

故A在,抬2，邑下的矩阵为B?TT

“31%3,

3）因A（£]+£2）=（]+%2）（*1+23）+（。21+。22-Q|1—。12）+（。31+〃32）R'

aa£

A£2=a%（£1+^2）+（22-\2）1+^32^3，

ASy-^13（+£2）+（a23—〃[3）£2+々3353，

、

a”—al2a\2。13

故A基£]+£2，£2，£3下的矩阵为336?2]+——〃口a22-〃12。23-a\3

“31+。32。32。337

10.设A是线性空间,上的线性变换，如果A"ZH0,但A"‘£=0,求证:

£A£，…，Ak'£(k>0)线性无关。

k

证设有线性关系/卡+乙Ae+…+lkA-'e=0,

用A*T作用于上式，得

/1A-£=0（因A"£=0对一切n>k均成立）,

又因为A*T£W0,所以6=0,于是有

+I^A~£+•—H4A"‘£=（）,

再用A"2作用之，得/2A"I£=0.再由，可得4=0.同理，继续作用下去,便可得

24=o,

即证£,A£，…,A*T£(Z>0)线性无关。

11.在n维线性空间中，设有线性变换A与向量£使得A"T£X0,求证A在某组下的矩阵是

,0\

10

1

,­.0

10,

证由上题知,£,A£,A2£，…,A"%线性无关，故£^£,4?£，…,A"Z为线性空间V的一组基。又因为

A£=O-£+1，A£+O-A%+----bO-A"T£,

A(4£)=0・£+0・A£+l…+0-A"%,

Aan~'s)=0-£+0-A£+0-A2£+■■■+()-A'^'s,

故A在这组基下的矩阵为

9、

10

1。

1­.0

<1o,

12.设V是数域P上的维线性空间，证明：与V的全体线性变换可以交换的线性变换是数乘变换。

证因为在某组确定的基下，线性变换与n级方阵的对应是双射，而与一切n级方阵可交换的方阵必为数量矩阵

kE,从而与一切线性变换可交换的线性变换必为数乘变换K.

13.A是数域P上n维线性空间V的一个线性变换，证明：如果A在任意一组基下的矩阵都相同，那么是数乘

变换。

证设A在基£”£2,…,与下的矩阵为A=(%),只要证明A为数量矩阵即可。设X为任一非退化方阵，且

(7,%,%)=(£|,£21、£”)X，

则7,小也是V的一组基，且A在这组基下的矩阵是X-iAX,从而有AX=XA,这说明A与一切非

退化矩阵可交换。

若取

A、

则由AX]=X]A知%=0(iWj),即得

(a.,、

>

再取

010­••0、

001­••0

X]..................................■.…

0001

J00…0,

由AX2=X2A,可得

a

«I1=22

故A为数量矩阵，从而A为数乘变换。

14.设句，£2，%，%是四维线性空间V的一组基，已知线性变换4在这组基下的矩阵为

1021、

-1213

1255

2-21

1）求A在基彷=£|-22+q，〃2=3与一/一4，%=邑+%，〃4=2%下的矩阵;

2）求A的核与值域；

3）在A的核中选一组基，把它扩充为V的一组基，并求A在这组基下的矩阵；

4）在A的值域中选一组基，把它扩充为V的一组基，并求A在这组基下的矩阵。

解1）由题设，知

’1000、

-2300

(7，%，〃3，%)=(£|，£2，£3，%)„।।八

U—11U

、1一112,

故A在基下的矩阵为

-1

’1000、(1021V1000、

,-2300-1213-2300

B=X-'AX=

0-11012550-110

-vl1-112,

、1-112;12-21

2"32

—

—27

1010

-一T

3-4-3

=83

-4-04T0

33

0-1T6

-7-8

2)先求A-1(0).设JCAT(0),它在£|,£2，£3，%下的坐标为（/1，/2，％3，,4），且A£

在q,4,%，%下的坐标为（0,0,。,。,），则

因rank(A)=2,故由

%+2X3+4=0

-X1+2X2++314=。

3

可求得基础解系为X]=(―2,一耳,1,0)',X2=(―1,—2,0,1)'。

若令%=(£],£2，£3，£4)X]，。2=(与，£2，£3，£4*2,

则四，a?即为4一|(0)的一组基，所以

-|

A(0)=L(a,,<z2)o

再求A的值域AV。因为

A£[=£]—+邑+2%，

A=2^2+2q-2j，

A6*3=2J+£2+5邑+J，

A^4£3=2、+3^2+5%-2名,

rank(A)=2,故Aj'A4,Aqd%的秩也为2,且4分,AJ线性无关，故A句,A4可组成AV的基,

从而AV=L(A£],A4)。

4)由2)知,，&2是47(0)的一组基，且知£],£2，,，。2是V的一组基，又

r10-21)

3

01---2

(£],£z,a],a2)=(£\,£2,£3，24)2

0010

、0001?

故A在基J,下的矩阵为

-1

’10-211r1020-21、(5200、

_3_39

-210

01-2-1211-20

B=~22

001012550101200

(0001J12-21-2;001，、2-200>

4)由2)知AJ=£]—£)+邑+2q~+2邑—2j

易知4£],4£2，£3，£4是丫的一组基，且

000、

-120o

(A£”A£2，£39£4)二(£|，£[，*3,£4)]

21o

-201,

故A在基4£],A4,%，4下的矩阵为

1000、1021、000、

-1200-1213-1200

C=

121012551210

1-202-21-21-20

f5221、

93

12

22

0000

,0000>

15.给定P3的两组基

J=(l,0,D7=(1,2,-1)

邑=(21，0卜%=(2,2,-1),

〔鼻=(口，1)=(2,-1,-D

定义线性变换A:

A£i=(i=1,2,3),

1)写出由基司电，/到基〃1，〃2，〃3的过度矩阵;

2)写出在基£|,£2，鼻下的矩阵;

3)写出在基7,%，〃3下的矩阵。

解1)由(7，%，〃3)=(£|，£2，£3)X，引入p3的一组基=(1,0,0),e2=(O,l,O),e3=(0,0,1).则

12n

(£i,E2,£3)=(el,e2,e3)011=(e],e2,e3)A,

10

所以

22、

（"”〃2，〃3）=（6,62,63）22-1=(el,e2,e3)B=(el,e2,e3)A^'B,

、一1-1

故由基£|,£2，鼻到基7，%，小的过度矩阵为

3

-2

"121Y1(12222

3

X=A1B=011221

2

U01JT-15

、1

2J

2)因

(3

-2--

2

,3

A(£],£2，£3)=(7，〃2，〃3)=(£l，£2，£3)1-

故A在基£1,J,鼻下的矩阵为

4)因4(7,〃2，〃3)=A(£|,£2，£3)X=(/,〃2，〃3)X，

故A在基7,%,小下的矩阵仍为X.。

16.证明

儿..与4.

相似，其中（4也，…，匕）是12…,〃的一个排列。

4J

证设有线性变换A,使

（4

A（£],£2，•,,，£〃）二（百，£[，.■,，£n）4二（£],£?，，，，,£〃）D],

4

则4(气，气，…，气)=(气，气…•，气)2..=(4，气，…，气)口2,

、勿

于是D,与D2为同一线性变换A在两组不同基下的矩阵，故

'4(%

4,

丸2

与相似。

17.如果A可逆，证明AB与BA相似。

证因A可逆，故A-1存在，从而AT(AB)A=(A-|A)BA=BA,所以AB与BA相似。

AOVB,

18.如果A与B相似，C与D相似，证明：与相似。

[0BjloD)

X-1o1A0、0、

证由己知,可设B=X-1AX,D=YTCY,则

0Y-'70C,D,

(%-1o'

这里相似。

0「J1"端X：D,

19.求复数域上线性变换空间V的线性变换A的特征值与特征向量.已知A在一组基下的矩阵为:

q11

’56-3、

(34、f0a}11-1-1

1)A=2)A=3)A=4)A=-101

(52)OJ1-11-1

12-I

J-1-1

’00n(o21、'3

5)A=0106)A=—2037)A=-4-10

J0(Ju-30,,4-8-2)

解1)设A在给定基力，£2下的矩阵为A,且A的特征多项式为

A-3-4

\AE-A卜=万-5九-14=(几一7)(2+2),故A的特征值为7,-2。

-52-2

—4x—0(1、

先求属于特征值4=7的特征向量。解方程组4'2一，它的基础解系为，因此4的属于特

-5Xj+5X2=011,

征值7的全部特征向量为k3(kwo),其中自尸a+邑。

_5r-4r=0(4

2

再解方程组'，它的基础解系为,因此A的属于特征值-2的全部特征响向量为

-5x1-4X2=0-5

k4lk/O)，其中J?=4£「5£2。

A0

2）设A在给定基向，J下的矩阵为A,且当2=0时-，有A=0,所以—A|==矛，

02

Ox.+0x,=0fO^i

故A的特征值为4=/1,=0。解方程组《12，它的基础解系为，，因此A的属于特征值0

2Ox,+0x2=0©⑴

的两个线性无关特征向量为却=?，另=4，故A以V的任一非零向量为其特征向量。

,।A

当aWO时，—AI==2，。2=（彳+出）（2一山），故A的特征值为4=出，/2=.aio

aix[-ax2=0

当4=。，时,方程组\的基础解系为故A的属于特征值出的全部特征向量为

ax}+aix2=0

kJ](k#O),其中自[=-i£]+£2。

-aix1.-ax7-0(t\

当%=-出时，方程组1-的基础解系为故A的属于特征值-山的全部特征向量为

ax{-aix2-011,

k(^2(k^O),其中殳=。1+£2。

3）设A在给定基£|,J，£3,J下的矩阵为A，因为|花一A|=（/i-2）3（A+2）,故A的特征值为

4=丸2=23=2,九4=一2。

当/I=2时，相应特征方程组的基础解系为X，故A的属于特征值2的全部

特征向量为占£|+8$2+女3£3也1，左2，％3不全为零），其中J|=£|+£2，92=十1+%，^3=£\+£4-

-1

当a=一2时，特征方程组的基础解系为X=,故A的属于特征值-2的全部特征向量为

4—1

、一L

kJjkwO),其中以=£[_4-£3—24。

4）设A在给定基8，22，£3下的矩阵为因

A—5-63

|花-中12-123-4/l2+2A+4=(2-2)(2-l-V3)(/l-l+V3),

-1-22+1

故A的特征值为4=2,/12=1+^3>/l3=1-A/3o

-3xj-6X2+3X3=0(

当4=2时，方程组，$+2X2-x3=0的基础解系为-1,故4的属于特征值2的全部特征向量为

一玉一2%2+3X3=0

左4（kw0）,其中$=2£「£2。

(-4+1\/^)2-6/+3七=0'3、

当几=1+百时,方程组＜X]+(1+J5)%2—％3=°的基础解系为-1,故A的属于特征值

—玉-2X[+(2+^^>)X3—03-5

1+V3的全部特征向量为氏星（k/0），其中2=3[-4+（2-百）丛。

(—4——6尤2+3*3=0'3、

当4=1-J1时，方程组＜

%1+(1-V3)X2-x3=0的基础解系为-1,故A的属于特征值

-玉-2%2+(2—-03+5

1-73的全部特征向量为Z（k^O）,其中43=3£]-4+（2+6）£3。

5）设4在给定基名，&，4下的矩阵为A，因

A0-1

|AE-A|=0A-l0=(/1-1)2(2+1),

-102

故4的特征值为4=几，=L4=一1。

n2

用一心3=0

当4=22=1，方程组9'八的基础解系为0,故A的属于特征值1的全部特征向量

〔一吊+x=0

3L⑼

为结]+&$（匕，&2不全为零），其中a=1+£3/2=/。

—Xj-/=01、

当4,=-1时，方程组■-2x2=0的基础解系为o,故A的属于特征值-1的全部特征向量为

-x,-x3=0-b

於3（攵K0），其中女=£|一鼻。

6）设A在给定基与，J，£3下的矩阵为A,因

Z-2-1

|花一4=2A-3=2(A2+14)=2(2-V14z)(A+V14z),

132

故A的特征值为4=0,4,==—\/14/»

—2%2一七=03、

当4=0时-，方程组＜2玉-3%3=0的基础解系为-1，故A的属于特征值0的全部特征向量为

网+3X2=02,

k*(%w0),其中J1=3弓一q+2/。

’6+V14z、

-2+3V14z

当九2=