第二章一元二次方程全章教案设计 单元检测

课题第二章一元二次方程

学科初中数学适用年级九年级

适用区域青岛校区课时时长(分钟)授课人刁老师

1.掌握用配方法、因式分解法以及公式法解一元二次方程.

教学目标

2.会根据具体问题中的数量关系列一元二次方程并求解.

教学重难点一元二次方程的应用

一、引入

二、知识串讲

知识点一：一元二次方程认识与求解

(-)一元二次方程的认识

定义：含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2次的整式方程是一元二次方程。一

2

般形式：ax+bx+c=0(a^0)o其中ax?称为二次项；bx称为一次项；c称常数项；a称为二次

项系数；b称为一次项系数。

【例1】一块四周镶有宽度相等的花边的地毯，如图所示，它的长为8m,宽为5m,如果地毯

中央长方形图案的面积为18m2,那么花边有多宽？如果设花边的宽为xm,那么地毯中央长方

形图案的长为m,宽为m,根据题意，可得方程_________IIt

成一般形式得____________________

【例2】关于x的方程依―1)六+2(k-1)x+2k+2=0,当kW时,

是一元二次方程。当1<=时，是一元一次方程。

【跟踪练习】

1、求五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和.列出方程并化简.

解：如果设五个连续整数中第一个数为x,那么后面四个数依次表示为一、一、―、

.根据题意，可得方程：.化成一般形式得

2、从前有一天，一个醉汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门框宽4尺，竖着比门

框高2尺，另一个醉汉教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个醉汉一试，不多不少刚好进去

了.你知道竹竿有多长吗？请根据这一问题列出方程.

3、当m=时，方程(mT)x！a+2mx+3=0是关于x的一元二次方程.

4、方程(2a-4)x?-2bx+a=0,在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方程为

一元一次方程？

(二)一元二次方程的求解

三种求解方法：配方法、公式法、因式分解法

【例1】解方程：X2+8X-9=0

分析：先把它变成(x+m)Jn(n20)的形式再用直接开平方法求解。

解：移项，得：x2+8x=9

配方，得：x，8x+42=9+42(两边同时加上一次项系数一半的平方)

即:(X+4)2=25

开平方，得：x+4=±5

即：x+4=5,或x+4=—5

所以:Xi=Lx2=—9

因此，解一元二次方程的基本思路是将方程转化为(x+m)Jn的形式，它的一边是一个完全平

方式，另一边是一个常数，当n20时，两边开平方便可求出它的根。

常数项配上一次项系数的一半的平方。

[例2]一条长64cm的铁丝被剪成两段，每段均折成正方形.若两个正方形的面积和等于160

cm2,求两个正方形的边长.

【跟踪练习】

1、用配方法解下列一元二次方程。

(1)3x2-l=2x(2)X2-5X+4=0(3)3*=5x—2(4)2f—7x+6=0

(5)x2—10x+25=7(6)x2+6x=l

2、多项式(一勿氏+9是一个完全平方式，则加的值为()

A.6B.-6C.+6D.+9

［例3］已知ax2+bx+c=0(a#0)且b''-4ac20,试推导它的两个根x1=—上一-——生£

-b-y/b2-4ac

x2=------------

分析：因为前面具体数字已做得很多,我们现在不妨把a、b、c也当成一个具体数字，根据

上面的解题步骤就可以一直推下去.

解：移项，得：ax2+bx=-c

二次项系数化为1,得X?+2X=-£

aa

配方，得：X+-X+(―)2=--+(―)

a2aa2a

即后人与普

•.•b'YaceO且4a”0

4a2

直接开平方，得：x+g=±史三逅

2a2a

目-h±\^b2-4ac

即nx=------------

2a

._-b+yjb2-4ac_-b-yjb1-4ac

由上可知，一元二次方程ax、bx+c=O(aWO)的根由方程的系数a、b、c而定，因此：

(1)解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax'+bx+cR,当b-4ac20时，将

a、b、c代入式子x=』土dac就得到方程的根.

2a

(2)这个式子叫做一元二次方程的求根公式.

(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法.

(4)由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根.

公式法的意义在于：对于任意的一元二次方程，只要将方程化为一般形式，然后确定a、

b、c的值，在b'YacNO的前提条件下，将a、b、c的值代入求根公式即可求出解.公式法一

般步骤：

(1)把方程化为一般形式，进而确定a、b,c的值.(注意符号)

(2)求出b"4ac的值.(先判别方程是否有根)

(3)在b'YaceO的前提下，把a、b、c的直代入求根公式，求出士也三呸的值，最

2a

后写出方程的根.

【例4】某数学兴趣小组对关于x的方程(m+1)xm：+2+(m-2)x-l=0提出了下列问题.(1)

若使方程为一元二次方程，m是否存在？若存在，求出m并解此方程.

(2)若使方程为一元二次方程m是否存在？若存在，请求出.

解：(1)存在.根据题意，得：m2+l=2

m-lm=±1

当m=l时，m+l=l+l=2W0

当m=T时，m+l=-l+l=0(不合题意，舍去)

二当m=l时，方程为2x-l-x=0

a=2,b=-l,c=-l

b-4ac=(-1)2-4X2X(-1)=1+8=9

_-(-l)+V9_1±3

~2^2—-丁

1

X]=,X2=--

因此，该方程是一元二次方程时，m=l,两根XL1,x2=-i.

2

(2)存在.根据题意，得：①n?+l=l,m2=0,m=0

因为当m=0时,(m+1)+(m-2)=2mT=T#0

所以m=0满足题意.

②当nr'+l=O,m不存在.

③当m+l=O,即m=T时，m-2=-3W0

所以m=T也满足题意.

当m=0时，一元一次方程是x-2x-l=0,

解得:x=-l

当m=T时，一元一次方程是-3xT=0

解得x=-L

3

因此，当m=0或T时，该方程是一元一次方程，并且当m=0时，其根为x=T；当m=-1

时，其一元一次方程的根为x=-L.

3

【跟踪练习】

1、用公式法解下列方程.

(1)2x-4x-l=0(2)4x-3x+l=0(3)(x-2)(3x-5)=0(4)5x+2=3x2

2、若关于x的一元二次方程(nrl)x2+x+m2+2m-3=0有一根为0,则m的值是

3、用公式法解关于x的方程：x2-2ax-b2+a2=0.

【例5】2x2+x=0

解析：上面方程中都没有常数项；左边可以因式分解：

2X2+X=X(2X+1)

因此，方程都可以写成:

x(2x+l)=0

因为两个因式乘积要等于0,至少其中一个因式要等于0,也就是

x=0或2x+l=0,

x)=0,X2=——・

2

我们可以发现，上述方程中，其解法都不是用开平方降次，而是先因式分解使方程化为两

个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0,从而实现降次，这种解法叫做

因式分解法.

总结：

1、因式分解条件：方程左边易于分解，右边等于0.

2、理论依据：若两个因式的乘积为0,那么至少有一个因式为0.

3、基本步骤：

(1)右边化为0;(右为零)

(2)左边化为因式乘积的形式；(左分解)

(3)至少有一个因式乘积为0,得到多个(一般为两个)一元一次方程；(分因式)

(4)得到一元一次方程的解即为原始方程的解。(各求解)

【例6】已知9a2-加=0,求代数式色-幺-4上生的值.

baah

分析：要求一忙的值，首先要对它进行化简，然后从已知条件入手，求出a与b的

baab

关系后代入，但也可以直接代入，因计算量比较大，易发生错误.

hjirs-—b~—ci~-b~2b

解：原式=--------------二——

aba

,.,9a2-4b2=0

(3a+2b)(3a-2b)=0

3a+2b=0或3a-2b=0,

22

a=--b或a=—b

33

当a=-24b时，原式=-2h号=3

33

3

2

当2=±13时，原式=-3.

3

分解因式方法：提公因式法、运用公式法、分组分解法，下面让我们学习另外一种方法：十字

相乘法。

【跟踪练习】

1、配方

(1)X2—3x+=(x—)2

(2)X2—5x+=(x-)'

2、用公式法解下列方程.

(1)2X2-4X-1=0(2)4x-3x+l=0(3)(x-2)(3x-5)=0(4)5x+2=3x2

3、解方程

(1)4X2=11X(2)(X-2)2=2X-4(3)5x2+15x=0(4)2x(x-l)=l-x

知识点二：根与系数的关系

(-)写出一元二次方程的一般式和求根公式

-b-yJb2-4ac

——般形式：ax2+bx+c=0(aWO)求根公式：XL"+"——x=

2a22a

(二)【推导】

hc

己知：如果一元二次方程ax*bx+c=O(aWO)的两个根由和X2,求证及的=-一，xl*x2=—,

aa

其中b2~4ac>0o

证明：由公式法可解得一元二次方程的根的表达式为：

-b+^Jb2-4ac-b-y/b2-4ac,,

Xi=------------,x=-------------,b2-4ac>0

2a22a

-h+y/b2-4ac-b-\b2-4-ac_-b+ylb2-4ac+(-b-\b2-4ac)

X|+X=~r-------------------------------------------

22a2a2a

-2b_b

2aa

-b+\Jb2-4ac-b-^b2-4ac_(-Z7)2-("2-4ac)2_b2~(b--4ac)

xl*x2=

~2a2a4/

4ac_c

4a2a

注意：能用这个定理(韦达定理)的前提条件是：bMac^O

【例1】已知方程5x?+kx-6=0的一个根是2,求它的另外一个根和k值。

解：设方程的两个根分别为七和X2,其中，x,=2o

.6

贝(J：Xi*X2=-g

3

代入A得：x2=--

又•:X1+X2=——

代入X1和&的值，即得：2+(-|)=-|

k=-7

答：方程的另外一个根为-|,k=-70

【例2】方程xJ(m+l)x+2mT=0,求m满足什么条件时,

(1)方程的两个根互为相反数？

(2)方程的两个根互为倒数？

(3)方程的一个根为零？

解:设方程的两个根分别为X1和X2,则

b~-4ac=(m+1)2-4*1*(2m-l)=m2-6m+5①

(1)：两根互为相反数

.b，入

••X]+x2=--=in^~1=0

a

「・m=-l

代入①式中，b-4ac=12>0

/.m=-l时，方程的两根互为相反数

(2).两根互为倒数

c=—=

・・Xi*X2=—2m11

a

.二m=l

代入①式中，b"-4ac=0

m=l时，方程的两根互为倒数

(3)方程的一个根为零

Xi*x=—=2m-l=0

2a

・・m—

2

代入①式中，b2-4ac=->0

4

m=L时，方程有一个根为零

2

【跟踪练习】

1、求解下列各式的两根之和和两根之积。

(1)X2-2X-15=0(2)x-6x+4=0(3)2x2+3x-5=0

(4)3X2-7X=0(5)2x=5

2、方程x2+3kx+2k-l=0的两根互为倒数，求k的值。

3、已知方程2x,+3x-l=0,求:(1)两个根的平方和;(2)倒数和。

4、设小和X2是方程2/+4x-3=0的两个根，求(xi+1)(X2+1)的值。

知识点三：一元二次方程的应用

(-)列一元二次方程的步骤：

1)审题；2)设未知数，包括直接设未知数和间接设未知数两种；

3)找等量关系列方程；4)解方程；5)判断解是否符合题意；

6)写出正确的解.

下面让我们来更加熟练应用一元二次方程。

(二)增长率类应用题

[例1](2011•日照中考)为落实国务院房地产调控政策，使“居者有其屋”，某市加快了廉

租房的建设力度，2010年市政府共投资2亿元人民币建设了廉租房8万平方米，预计到2012

年底三年共累计投资9.5亿元人民币建设廉租房，若在这两年内投资的增长率相同.

⑴求每年市政府投资的增长率；

(2)若这两年内的建设成本不变，求到2012年底共建设了多少万平方米廉租房.

【答案】(1)设每年市政府投资的增长率为X,

根据题意，得:2+2(l+x)+2(l+x)=9.5,

整理，得:x?+3x-l.75=0,解之，得xH.5,X2=-3.5(舍去),

答：每年市政府投资的增长率为50%

?

⑵到2012年底共建廉租房面积为9.54--=38(万平方米).

8

【规律方法】

1.增长率问题的关键是要找到增长的基础，增长的百分率，增长的次数等，其涉及的范围、

类型较为广泛，比如银行存款问题、连续几年(月)平均增长率问题等.

2.增长率问题：如果某个量原来的值是a,每次增长的百分率是x,则增长1次后的值是

a(l+x),增长2次后的值是a(l+x)2,……，增长n次后的值是a(1+x)”,这就是增长率公式.

同样如果某个量原来的值是a,每次降低的百分率是x,则n次降低后的值是a(l-x)",这就是

降低率公式.

【点拨】

1.传染问题：传染源数量为1,每个传染源都传染给x个人，经过一轮传染后共有：(1+x)人感

染，经过二轮传染后共有：l+x+x(l+x)=(l+x)2人感染，类似地传染源数量为a,每个传染源都

传染给x个人，经过一轮传染后共有：a(l+x)人感染，经过二轮传染后共有：a(l+xV人感染.

2.存款问题：本金为a元，年利率为b,则一年后本息和=2(1+9,两年后本息和=a(l+b))

(三)面积类应用题口

【例2】(2010•襄樊中考)如图是上海

世博园内的一个矩形花园，花园的长为

100米，宽为50米，在它的四角各建一

个同样大小的正方形观光休息亭，四周建有与观光休息亭等宽的观光大道，其余部分(图内阴

影部分)种植的是不同花草.已知种植花草部分的面积为3600米2,那么花园各角处的正方

形观光休息亭的边长为多少米？

【自主解答】设正方形观光休息亭的边长为x米.

依题意,有(100-2x)(50—2x)=3600.

整理，得X2—75X+350=0.解得小=5,X2=70.

Vx=70>50,不合题意，舍去，，x=5.

答：矩形花园各角处的正方形观光休息亭的边长为5米.

【规律方法】

面积类一元二次方程应用题基本图形有以下两类：

S3

图I图2

解决的方法是利用矩形的面积公式：长义宽，解决的技巧可以进行平移转化.如图2可以转化

为图3.

如图所示的矩形ABCD长为b,宽为a,阴影道路的宽为x,则4块空白部分面积的和可以转化为

(a-x)(b-x).

(四)降(提)价问题

【例3】(2010•铁岭中考)某旅游景点为了吸引游客，推出的团体票收费标准如下：如果团体

人数不超过25人，每张票价150元，如果超过25人，每增加1人，每张票价降低2元，但每

张票价不得低于100元，阳光旅行社共支付团体票价4800元，则阳光旅行社共购买多少张团

体票？

【答案】..T50X25=3750<4800,.•.购买的团体票超过25张.

设共购买了x张团体票.

由题意列方程得xX[150-2(x-25)]=4800,

整理得x2-100x+2400=0,解得出=60,X2=40.

当x=60时，不符合题意，舍去.

x=40时，符合题意，Ax=40.

答：共购买了40张团体票.

【规律方法】

解决降(提)价问题的关键是要理解相关的一些概念(如进价、售价、销售量、利润、利润率等)

及相互关系.题中数量关系较复杂时，使用列表分析法可以使题意更清晰、分析问题更有条理.

【跟踪练习】

1、(2011•滨州中考)某商品原售价289元，经过连续两次降价后售价为256元.设平均每次降

价的百分率为x,则下面所列方程中正确的是()

(A)289(1-x)4256(B)256(1-x)2=289

(C)289(l-2x)=256(D)256(l-2x)=289

2.（2011•山西中考）“十二五”时期，山西将建成中西部旅游强省，以旅游业为龙头的服务业

将成为推动山西经济发展的主要动力.2010年全省全年旅游总收入大约1000亿元，如果到

2012年全省全年旅游总收入要达到1440亿元，那么年平均增长率应为.

3、（2011•宿迁中考）如图，邻边不等的矩形花圃ABCD,它的一边AD利用已有的围墙，另外

三边所围的栅栏的长度是6m.若矩形的面积为4m2,则AB的长度是m（可利用的围墙长

度超过6m）.围墙

/〃〃/〃〃〃〃////〃〃/〃

AD

BC

4、（2010•济南中考）如图所示，某幼儿园有一道长为16米的墙，计划用32米长的围栏靠墙

围成一个面积为120平方米的矩形草坪ABCD.求该矩形草坪BC边的长。

草坪

B-----------------C

5、（2010•南京中考）某批发商以每件50元的价格购进800件T恤，第一个月以单价80元销

售，售出了200件；第二个月如果单价不变，预计仍可售出200件，批发商为增加销售量，决

定降价销售，根据市场调查，单价每降低1元，可多售出10件，但最低单价应高于购进的价

格；第二个月结束后,批发商将对剩余的T恤一次性清仓销售，清仓时单价为40元，设第二

个月单价降低x元.

⑴填表（不需化简）

时间第一个月第二个月清仓时

单价（元）8040

销售量（件）200

（2）如果批发商希望通过销售这批T恤获利9000元，那么第二个月的单价应是多少元

三、中考衔接

1、用公式法解方程4x?T2x=3,得到（）.

A.

22

C.x=二亟D.x=9

22

2,方程&x44Gx+671=0的根是().

A.XFVZ,Xz=GB.x,=6,X2=V2

C.X!=2A/2,x2=>/2D.XI=X2=->/6

3、(m'-n~)(m2-n2-2)-8=0,则m'-n，的值是().

A.4B.-2C.4或-2D.-4或2

4、关于x的方程(m-3)x2+nx+m=0,在什么条件下是一元二次方程？在什么条件下是一元

一次方程？

5、解方程(1)x2-10x+25=7(2)X2+6X=1(3)3y-6y=0(4)25y-16=0

(5)X2-12X-28=0(6)X-12X+35=0

6、已知(x+y)(x+y-l)=0,求x+y的值.

2

7、设Xi和X2是X-4x+l=0的两个根，贝IjXi+x2=,X1*X2=,

22222

XI+X2=（X|+x2）-=,xi-X2=（X|+x2）-=.

8、如果T是方程2x2-x+m=0的一个根，则另外一个根是,m=.

9、（2010•湘潭中考）我市某经济开发区去年总产值为100亿元，计划两年后总产值达到121

亿元，求平均年增长率.

10、（2010•绍兴中考）某公司投资新建了一商场，共有商铺30间.据预测，当每间的年租金定

为10万元时，可全部租出.每间的年租金每增加5000元，少租出商铺1间.该公司要为租出

的商铺每间每年交各种费用1万元，未租出的商铺每间每年交各种费用5000元.

（1）当每间商铺的年租金定为13万元时，能租出多少间？

⑵当每间商铺的年租金定为多少万元时，该公司的年收益（收益=租金-各种费用）为275万

元？

弘文教育初三第二章内部检测试题

（满分100分，考试时间120分钟）

一元二次方程全章测试卷

（全卷共五个大题，满分100分，考试时间120分钟）

题号一二三四五总分总分人

得分

一、选择题：（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、

C、D的四个答案中，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号填表在题后的括号中.

1.关于拙一元二次方程（/-1）%2+；1-2=（）是一元二次方程，则。满足（）

A.QW1B.QW-1C.QW±1D.为任意实数

2.已知一元二次方程已知一元二次方程a?+b%+c=O,若a+b+c=O,则该方程一定有一个根

为（）

A.0B.1C.-1D.2

3.用配方法解方程f-2x-5=O时，原方程应变形为（)

A.（x+l）-=6B.（%—-6

C.（X+2）2=9D.（x-2）2=9

4.若关于x的一元二次方程依2—2x-1=0有两个不相等的实数根，则左的取值范围是（）

A.k>-\Bo上>一1且左C.ok<\Do左<1且左。0

5.关于x的方程（。-6）/-8》+6=0有实数根，则整数。的最大值是（）

A.6B.7C.8D.9

6.方程尤2-9尤+18=0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为（）

A.12B.12或15C.15D.不能确定

7.下面是某同学在一次数学测验中解答的填空题，其中答对的是（）

A.若x?=4,则X=2B若3X?=6X,则X=2

C.炉+工一2=0的一个根是1,则k=2

D.若分式N*二2）的值为零，则x=2或x=0

x

8.在创建“国家园林县城”工作中，荣昌县通过切实加强园林绿化的组织管理、规划设计、景观保护、绿

化建设、公园建设、生态建设、市政建设等工作，城区的园林绿化得到了长足的发展。到2010年，该县绿

化覆盖率达到48.85%,人为了让荣昌的山更绿、水更清，计划2012年实现绿化覆盖率达到53%的目标，设

从2010年起我县绿化覆盖率的年平均增长率为X,则可列