提优专题38 几何模型问题之主从联动瓜豆原理（解析版）

专题38几何模型问题之主从联动瓜豆原理（解析版）典例剖析+针对训练类型一点在直线上运动典例1（2022•利州区模拟）如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE＝1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为（）A．0.5 B．2.5 C．2 D．1思路引领：由题意分析可知，点F为主动点，G为从动点，所以以点E为旋转中心构造全等关系，得到点G的运动轨迹，之后通过垂线段最短构造直角三角形获得CG最小值．解：由题意可知，点F是主动点，点G是从动点，点F在线段上运动，点G也一定在线段轨迹上运动将△EFB绕点E旋转60°，使EF与EG重合，得到△EHG，连接BH，得到△EFB≌△EHG从而可知△EBH为等边三角形，点G在垂直于HE的直线HN上，延长HM交CD于点N．则△EFB≌△EHG，∴HE＝BE＝1，∠BEH＝60°，∠GHE＝∠FBE＝90°，∴△EBH为等边三角形．∵四边形ABCD是矩形，∴∠FBE＝90°，∴∠GHE＝∠FBE＝90°，∴点G在垂直于HE的直线HN上，作CM⊥HN，由垂线段最短可知，CM即为CG的最小值，作EP⊥CM，连接BH，EH，则四边形HEPM为矩形，∴MP＝HE＝1，∠HEP＝90°，∴∠PEC＝30°．∵EC＝BC﹣BE＝3，∴CP=12EC∴CM＝MP+CP＝1+3即CG的最小值为52方法二：以CE为边作等边三角形CEH，连接FH，则△CEG≌△EFH，∴CG＝FH，当FH⊥AB时，FH最小＝1+3故选：B．总结提升：本题考查了旋转的性质，线段极值问题，分清主动点和从动点，通过旋转构造全等，从而判断出点G的运动轨迹，是本题的关键，之后运用垂线段最短，构造图形计算，是极值问题中比较典型的类型．针对训练1．（2021秋•鼓楼区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，tan∠ACB＝23，点P在边AC上运动（可与点A，C重合），将线段BP绕点P逆时针旋转120°，得到线段DP，连接BD，CD，则CD长的最小值为．思路引领：以BC为边构建出和△BPD相似的三角形，通过将CD边转化为其他边来求值．解：如图所示，以BC为底边向上作等腰△BQC，使∠BQC＝120°，连接PQ．由题意可得△BQC和△BPD均为顶角为120°的等腰三角形，可得BQBC=BPBD=13∴∠QBC﹣∠QBD＝∠PBD﹣∠QBD，∴∠PBQ＝∠DBC，∴△PBQ∽△DBC，∴PQDC∴当PQ⊥AC时，有PQ最小，即此时CD最小，如图所示，设OP′⊥AC，延长AQ与BC交K，此时QP'为QP的最小值，可得AK⊥BC，∵△BQC中，∠BQC＝120°，BC＝6，∴BK＝3，∠QBK＝30°，∴QK=BK∵tan∠ACB=23=AKKC，∴AK=23∴AQ＝AK﹣QK=53，AC=∵∠AP'Q＝∠AKC＝90°，∠QAP'＝∠CAK，∴△AQP'∽△ACK，∴AQAC∴53∴QP'=5∴CD=3总结提升：本题考查的是瓜豆原理的知识点，重难点在于构造相似三角形的手拉手模型，属于难题．2．（2021秋•忠县期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在BC边上，BC＝5，CD＝2，点E是边AC所在直线上的一动点，连接DE，将DE绕点D顺时针方向旋转60°得到DF，连接BF，则BF的最小值为．思路引领：由“SAS”可证△DHE≌△DBF，可得EH＝BF，则当EH有最小值时，BF有最小值，由垂线段最短可得：当EH⊥AC时，EH有最小值，即可求解．解：如图，以BD为边作等边三角形DBH，连接EH，过点H作HN⊥BD于N，∵BC＝5，CD＝2，∴BD＝3，∵△DHB是等边三角形，HN⊥BD，∴DN＝BN=32，DB＝DH，∠HDB＝∴CN=7∵将DE绕点D顺时针方向旋转60°得到DF，∴DE＝DF，∠EDF＝60°，∴∠EDF＝∠HDB，∴∠EDH＝∠FDB，在△DHE和△DBF中，DE=DF∠EDH=∠FDB∴△DHE≌△DBF（SAS），∴EH＝BF，∴当EH有最小值时，BF有最小值，由垂线段最短可得：当EH⊥AC时，EH有最小值，此时，∵EH⊥AC，∠ACB＝90°，HN⊥DB，∴四边形CNHE是矩形，∴HE＝CN=7故答案为：72总结提升：本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．3．（2021秋•东台市期中）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝6，∠DAC＝60°，点F在线段AO上从点A至点O运动，连接DF，以DF为边作等边三角形DFE，点E和点A分别位于DF两侧，则点E运动的路程长是．思路引领：连接OE，利用SAS证明△ADF≌△ODE（SAS），得OE＝AF，∠DOE＝∠DAO，则点E在射线OE上运动，且OE＝AF，当点F在线段AO上从点A至点O运动时，故点E的运动路程是AO，利用勾股定理求出AO的长即可．解：连接OE，∵四边形ABCD是矩形，∴AO＝DO，∠DAB＝90°，∵∠DAC＝60°，∴△DAO是等边三角形，∴DA＝DO，∠ADO＝60°，∵△DFE是等边三角形，∴DE＝DF，∠EDF＝60°，∴∠ADF＝∠ODE，又AD＝DO，DF＝DE，∴△ADF≌△ODE（SAS），∴OE＝AF，∠DOE＝∠DAO，∴点E在射线OE上运动，且OE＝AF，当点F在线段AO上从点A至点O运动时，∴点E的运动路程是AO，在Rt△ADB中，设AD＝x，则BD＝2x，∴（2x）2﹣x2＝62，解得x＝23（负值舍去），∴AD＝AO＝23，即点E的运动路程为23，故答案为：23．总结提升：本题主要考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，确定点E的运动路径是解题的关键．类型二点在圆上运动典例2（2022•桐梓县模拟）【发现问题】爱好数学的小明在做作业时碰到这样的一道题目：如图①，点O为坐标原点，⊙O的半径为1，点A（2，0）．动点B在⊙O上，连接AB，作等边△ABC（A，B，C为顺时针顺序），求OC的最大值【解决问题】小明经过多次的尝试与探索，终于得到解题思路：在图①中，连接OB，以OB为边在OB的左侧作等边三角形BOE，连接AE．（1）请你找出图中与OC相等的线段，并说明理由；（2）线段OC的最大值为．【灵活运用】（3）如图②，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（5，0），点P为线段AB外一动点，且PA＝2，PM＝PB，∠BPM＝90°，求线段AM长的最大值及此时点P的坐标．【迁移拓展】（4）如图③，BC＝42，点D是以BC为直径的半圆上不同于B、C的一个动点，以BD为边作等边△ABD，请直接写出AC的最值．思路引领：（1）结论：OC＝AE．只要证明△CBO≌△ABE即可；（2）利用三角形的三边关系即可解决问题；（3）连接BM，将△APM绕着点P顺时针旋转90°得到△PBN，连接AN，得到△APN是等腰直角三角形，根据全等三角形的性质得到PN＝PA＝2，BN＝AM，根据当N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值，即可得到最大值为22+3；过P作PE⊥x轴于E（4）如图4中，以BC为边作等边三角形△BCM，由△ABC≌△DBM，推出AC＝MD，推出欲求AC的最大值，只要求出DM的最大值即可，由BC＝42=定值，∠BDC＝90°，推出点D在以BC为直径的⊙O上运动，由图象可知，当点D在BC上方，DM⊥BC时，DM解：（1）如图①中，结论：OC＝AE，理由：∵△ABC，△BOE都是等边三角形，∴BC＝BA，BO＝BE，∠CBA＝∠OBE＝60°，∴∠CBO＝∠ABE，∴△CBO≌△ABE，∴OC＝AE．（2）在△AOE中，AE≤OE+OA，∴当E、O、A共线，∴AE的最大值为3，∴OC的最大值为3．故答案为3．（3）如图1，连接BM，∵将△APM绕着点P顺时针旋转90°得到△PBN，连接AN，则△APN是等腰直角三角形，∴PN＝PA＝2，BN＝AM，∵A的坐标为（2，0），点B的坐标为（5，0），∴OA＝2，OB＝5，∴AB＝3，∴线段AM长的最大值＝线段BN长的最大值，∴当N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值（如图2中）最大值＝AB+AN，∵AN=2AP＝22∴最大值为22+3如图2，过P作PE⊥x轴于E，∵△APN是等腰直角三角形，∴PE＝AE=2∴OE＝BO﹣AB﹣AE＝5﹣3-2=2∴P（2-2，2（4）如图4中，以BC为边作等边三角形△BCM，∵∠ABD＝∠CBM＝60°，∴∠ABC＝∠DBM，∵AB＝DB，BC＝BM，∴△ABC≌△DBM，∴AC＝MD，∴欲求AC的最大值，只要求出DM的最大值即可，∵BC＝42=定值，∠BDC＝90∴点D在以BC为直径的半圆⊙O上运动，由图象可知，当点D在BC上方，DM⊥BC时，DM的值最大，最大值＝22+26∴AC的最大值为22+26综上所述，当点A在线段BD的右侧时，以BC为边作等边△BCM，∵∠ABD＝∠CBM＝60°，∴∠MBD＝∠CBA，且AB＝DB，BC＝BM，∴△ABC≌△DBM（SAS），∴AC＝MD，∴欲求AC的最小值，只要求出DM的最小值即可，∵BC＝62=定值，∠BDC＝90∴点D在以BC为直径的⊙O上运动，由图象可知，当点D在BC的上方，DM⊥BC时，DM的值最小，DM的最小值＝MO﹣OD=BM2-BO2-∴AC的最小值为26-22综上所述，AC的最大值为26+22，AC的最小值为26-2总结提升：本题考查四边形综合题、等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、圆等知识，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键，学会用转化的思想思考问题，掌握旋转法添加辅助线，属于中考压轴题．针对训练1．（2022秋•天宁区校级期中）已知⊙O的半径长7cm，P为线段OA的中点，若点P在⊙O上，则OA的长是cm．思路引领：根据点与圆的位置关系和中点定义进行解答即可．解：根据点和圆的位置关系，得OP＝7cm，再根据线段的中点的概念，得OA＝2OP＝14cm．故答案为：14．总结提升：本题考查了点与圆的位置关系，中点定义，熟知点和圆的位置关系与数量之间的等价关系是解决问题的关键．2．（2021秋•嘉兴期末）如图，⊙O的直径AB＝2，C为⊙O上动点，连结CB，将CB绕点C逆时针旋转90°得到CD，连结OD，则OD的最大值为．思路引领：通过证明△DBO∽△CBE，可得OD=2CE，当CE有最大值时，OD解：如图，以OB为边在AB的下方作等腰直角三角形OBE，连接CE，BD，∵将CB绕点C逆时针旋转90°得到CD，∴BC＝CD，∠DCB＝90°，∴∠DBC＝45°，BD=2BC∵△OBE是等腰直角三角形，∴OE＝BE，∠OBE＝45°，OB=2BE＝1∴BE＝OE=2∵∠DBC＝∠OBE，∴∠OBD＝∠CBE，又∵DBCB∴△DBO∽△CBE，∴ODCE∴OD=2CE∴当CE有最大值时，OD有最大值，当点C，点O，点E三点共线时，CE有最大值为1+2∴OD的最大值为2+1总结提升：本题考查了相似三角形的判定和性质，旋转的性质，等腰直角三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造相似三角形是解题的关键．3．（2021秋•秦淮区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝16，BC＝12，点P在以AB为直径的半圆上运动，由点B运动到点A，连接CP，点M是CP的中点，则点M经过的路径长为．思路引领：由AB是直径，得∠APB＝90°，取BC，AC的中点E和F，连接ME，MF，EF，由三角形中位线知ME⊥MF，即∠EMF＝90°，则点M在以EF为直径的半圆上，即可得出答案．解：∵∠ACB＝90°，AC＝16，BC＝12，∴AB=AC连接AP，BP，∵AB是直径，∴∠APB＝90°，即AP⊥BP，取BC，AC的中点E和F，连接ME，MF，EF，在△BPC中，∵M，E为PC、BC的中点，∴ME∥BP，ME=1在△APC中，∵点M、F为PC、AC的中点，∴MF∥AP，MF=1∴ME⊥MF，即∠EMF＝90°，∴点M在以EF为直径的半圆上，∴EF=12AB＝∴点M的运动路径长为12×2π×5=5故答案为：5π．总结提升：本题主要考查了圆周角定理，三角形中位线定理，利用定角对定弦确定点M的运动路径是解题的关键．4．（2018•江汉区模拟）如图，线段AB为⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AB＝4，BC＝2，点P是⊙O上一动点，连接CP，以CP为斜边在PC的上方作Rt△PCD，且使∠DCP＝60°，连接OD，则OD长的最大值为．思路引领：如图，作△COE，使得∠CEO＝90°，∠ECO＝60°，则CO＝2CE，OE＝23，∠OCP＝∠ECD，由△COP∽△CED，推出OPED=CPCD=2，即ED=12OP＝1（定长），由点E是定点，DE是定长，推出点解：如图，作△COE，使得∠CEO＝90°，∠ECO＝60°，则CO＝2CE，OE＝23，∠OCP＝∠ECD，∵∠CDP＝90°，∠DCP＝60°，∴CP＝2CD，∴COCE=∴△COP∽△CED，∴OPED=即ED=12OP＝∵点E是定点，DE是定长，∴点D在半径为1的⊙E上，∵OD≤OE+DE＝23+1∴OD的最大值为23+1故答案为23总结提升：本题考查相似三角形的判定和性质、两圆的位置关系、轨迹等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考压轴题．5．（2021秋•岳麓区校级月考）如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣5x+5与x轴，y轴分别交于A、C两点，抛物线y＝x2+bx+c经过A、C两点，与x轴的另一交点为B．（1）求抛物线解析式；（2）若点M为x轴下方抛物线上一动点，当点M运动到某一位置时，△ABM的面积等于△ABC面积的35，求此时点M（3）如图2，以B为圆心，2为半径的⊙B与x轴交于E、F两点（F在E右侧），若P点是⊙B上一动点，连接PA，以PA为腰作等腰Rt△PAD，使∠PAD＝90°（P、A、D三点为逆时针顺序），连接FD．求FD长度的取值范围．思路引领：（1）将点A（1，0），C（0，5）代入y＝x2+bx+c，即可求解；（2）设M（m，m2﹣6m+5），先求AB＝4，则S△ABC＝10，再由题意可得S△AMB＝6=12×4×（m2﹣6m+5），即可求M（2，﹣3）或M（4（3）将点B绕A点顺时针旋转90°到B'，连接AB'，PB，B'D，可证明△ADB'≌△APB'（SAS），则可得D在以B'为圆心，2为半径的圆上运动，又由B'（1，﹣4），F（7，0），则B'F＝213，所以DF的最大值为61+2，DF的最小值为61-2，即可求213-2≤DF≤2解：（1）令x＝0，则y＝5，∴C（0，5），令y＝0，则x＝1，∴A（1，0），将点A（1，0），C（0，5）代入y＝x2+bx+c，得1+b+c=0c=5∴b=-6c=5∴y＝x2﹣6x+5；（2）设M（m，m2﹣6m+5），令y＝0，则x2﹣6x+5＝0，解得x＝5或x＝1，∴B（5，0），∴AB＝4，∴S△ABC=12×4×5∵△ABM的面积等于△ABC面积的35∴S△AMB＝6=12×4×（m2﹣6解得m＝2或m＝4，∴M（2，﹣3）或M（4，﹣3）；（3）将点B绕A点顺时针旋转90°到B'，连接AB'，PB，B'D，∵∠B'AD+∠BAD＝90°，∠PAB+∠BAD＝90°，∴∠B'AD＝∠PAB，∵AB＝AB'，PA＝AD，∴△ADB'≌△APB'（SAS），∴BP＝B'D，∵PB＝2，∴B'D＝2，∴D在以B'为圆心，2为半径的圆上运动，∵B（5，0），A（1，0），∴B'（1，﹣4），∵BF＝2，∴F（7，0），∴B'F＝213，∴DF的最大值为213+2，DF的最小值为213-∴213-2≤DF≤213+总结提升：本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象及性质，灵活应用瓜豆原理是解题的关键．第二部分专题提优训练1．（2022•安徽一模）如图，正方形ABCD的边长为5，E为BC上一点，且BE＝2，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为（）A．2 B．2.5 C．3 D．3.5思路引领：由题意分析可知，点F为主动点，G为从动点，所以以点E为旋转中心构造全等关系，得到点G的运动轨迹，之后通过垂线段最短构造直角三角形获得CG最小值．解：由题意可知，点F是主动点，点G是从动点，点F在线段上运动，点G也一定在直线轨迹上运动，将△EFB绕点E旋转60°，使EF与EG重合，得到△EFB≌△EHG，∴BE＝EH，∠BEH＝60°，∠GHE＝90°，∴△EBH为等边三角形，点G在垂直于HE的直线HN上，作CM⊥HN，则CM即为CG的最小值，作EP⊥CM，可知四边形HEPM为矩形，∴∠PEC＝180°﹣∠PEH﹣∠BEH＝180°﹣90°﹣60°＝30°，∴PC=12则CM＝MP+CP＝HE+12EC＝2故选：D．总结提升：本题考查了旋转的性质，线段极值问题，分清主动点和从动点，通过旋转构造全等，从而判断出点G的运动轨迹，是本题的关键，之后运用垂线段最短，构造图形计算，是极值问题中比较典型的类型．2．（2021•泰安）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝53，点P在线段BC上运动（含B、C两点），连接AP，以点A为中心，将线段AP逆时针旋转60°到AQ，连接DQ，则线段DQ的最小值为（）A．52 B．52 C．533思路引领：如图，以AB为边向右作等边△ABF，作射线FQ交AD于点E，过点D作DH⊥QE于H．利用全等三角形的性质证明∠AFQ＝90°，推出∠AEF＝60°，推出点Q在射线FE上运动，求出DH，可得结论．解：如图，以AB为边向右作等边△ABF，作射线FQ交AD于点E，过点D作DH⊥QE于H．∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABP＝∠BAD＝90°，∵△ABF，△APQ都是等边三角形，∴∠BAF＝∠PAQ＝60°，BA＝FA，PA＝QA，∴∠BAP＝∠FAQ，在△BAP和△FAQ中，BA=FA∠BAP=∠FAQ∴△BAP≌△FAQ（SAS），∴∠ABP＝∠AFQ＝90°，∵∠FAE＝90°﹣60°＝30°，∴∠AEF＝90°﹣30°＝60°，∵AB＝AF＝5，AE＝AF÷cos30°=10∴点Q在射线FE上运动，∵AD＝BC＝53，∴DE＝AD﹣AE=5∵DH⊥EF，∠DEH＝∠AEF＝60°，∴DH＝DE•sin60°=5根据垂线段最短可知，当点Q与H重合时，DQ的值最小，最小值为52故选：A．总结提升：本题考查矩形的性质，旋转变换，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，本题的突破点是证明点Q的在射线FE上运动，属于中考选择题中的压轴题．3．（2022秋•惠山区校级月考）如图，A（﹣1，1），B（﹣1，4），C（﹣5，4），点P是△ABC边上一动点，连接OP，以OP为斜边在OP的右上方作等腰直角△OPQ，当点P在△ABC边且运动一周时，点Q的轨迹形成的封闭图形面积为（）A．2 B．3 C．4 D．6思路引领：根据△OPQ是等腰直角三角形，可知点Q的运动轨迹与点P的运动轨迹形状相同，且OP：OQ=2：1，得出面积比为2，求出△ABC解：∵△OPQ是等腰直角三角形，∴点Q的运动轨迹与点P的运动轨迹形状相同，∵OP：OQ=2：1∴点P的轨迹图形与点Q的轨迹图形相似比为2：1，∵A（﹣1，1），B（﹣1，4），C（﹣5，4），∴AB＝3，BC＝4，∴S△ABC=12∴点Q的轨迹形成的封闭图形面积为12×6=故选：B．总结提升：本题主要考查了等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，正确寻找点Q的运动轨迹是解题的关键．4．（2021秋•沭阳县校级期末）如图，线段AB＝2，点C为平面上一动点，且∠ACB＝90°，将线段AC的中点P绕点A顺时针旋转90°得到线段AQ，连接BQ，则线段BQ的最大值为．思路引领：证明△ADC∽△AEQ，求出QE=12，在Rt△ABE中求出BE解：如图，取AB的中点D，连接CD，过点A作AE⊥AB，使AE=12AD=12，连接∵∠ACB＝90°，D为AB的中点，∴CD=1∵∠QAC＝90°，∠EAB＝90°，∴∠QAE＝∠CAD，∵AQAC=1∴△ADC∽△AEQ，∴QECD∴QE=1∵∠EAB＝90°，∴EB=AE当点Q、E、B三点共线时，BQ最大为12故答案为：1+17总结提升：本题考查旋转变换，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．5．（2022•邗江区校级一模）如图，点A是第一象限内横坐标为2的一个定点，AN⊥x轴于点M，交直线y=-33x于点N，点P是线段ON上的一个动点，∠APB＝30°，BA⊥PA，点P在线段ON上运动时，A点不变，B点随之运动，当点P从点O运动到点N时，点B运动的路径长是思路引领：利用相似三角形△AB0Bn∽△AON，求出线段B0Bn的长度，证明线段B0Bn就是点B运动的路径即可．解：由题意得：OM＝2，点N在直线y=-33x上，AN⊥x轴于点则△OMN为顶角30°的直角三角形，ON=23×设动点P在O点（起点）时，点B的位置为B0，动点P在N点（终点）时，点B的位置为Bn，连接B0Bn，如图1所示：∵AO⊥AB0，AN⊥ABn，∴∠OAN＝∠B0ABn又∵AB0＝AO•tan30°，ABn＝AN•tan30°，∴AB0：AO＝ABn：AN＝tan30°，∴△AB0Bn∽△AON，且相似比为tan30°，∴B0Bn＝ON•tan30°=4现在来证明线段B0Bn就是点B运动的路径，当点P运动至ON上的任一点时，设其对应的点B为Bi，连接AP，ABi，B0Bi，如图2所示：∵AO⊥AB0，AP⊥ABi，∴∠OAP＝∠B0ABi，又∵AB0＝AO•tan30°，ABi＝AP•tan30°，∴AB0：AO＝ABi：AP，∴△AB0Bi∽△AOP，∴∠AB0Bi＝∠AOP．又∵△AB0Bn∽△AON，∴∠AB0Bn＝∠AOP，∴∠AB0Bi＝∠AB0Bn，∴点Bi在线段B0Bn上，即线段B0Bn就是点B运动的路径，综上所述，点B运动的路径是线段B0Bn，长度为43故答案为：43总结提升：本题考查了一次函数图象、直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质、轨迹等知识；确定点B的运动路径是解题的关键．6．（2020春•江阴市期中）如图，已知点A是第一象限内的一个定点，若点P是以O为圆心，2个单位长为半径的圆上的一个动点，连接AP，以AP为边向AP右侧作等边三角形APB．当点P在⊙O上运动一周时，点B运动的路径长是．思路引领：根据已知条件得到点B的运动轨迹也为圆，根据全等三角形的性质得到OP＝O'B＝2，即可求出路径长．解：如图，连接AO、OP，将AO绕点A逆时针旋转60°，得线段AO'，连接O'B、OO'，∵AO＝AO'，∠OAO'＝60°，∴△OAO'为正三角形，∵△APB为正三角形，∴∠PAB＝60°，PA＝BA，∴∠PAB﹣∠OAB＝∠OAO'﹣∠OAB，∴∠PAO＝∠BAO，在△APO与△ABO′中，AO=AO'∠PAO=∠BAO'∴△APO≌△ABO′，∴OP＝O'B＝2，∴⊙O'即为动点B运动的路径，∴当点P在⊙O上运动一周时，点B运动的路径长是4π，总结提升：此题考查了动点路径长，关键在于确定从动点的运动轨迹，考查了旋转、全等知识，“瓜豆原理”．7．（2019秋•鼓楼区期中）如图，⊙O的半径为2，O到定点A的距离为5，点B在⊙O上，点P是线段AB的中点，若B在⊙O上运动一周．（1）点P的运动路径是一个圆；（2）△ABC始终是一个等边三角形，直接写出PC长的取值范围．（1）思路引导要证点P运动的路径是一个圆，只要证点P到定点M的距离等于定长r，由图中的定点、定长可以发现M，r．思路引领：（1）连接OA、OB，取OA的中点H，连接HP，则HP是△ABO的中位线，得出HP=12OB＝1，即P点到H点的距离固定为（2）由等边三角形的性质和直角三角形的性质分别求出PC的最小值和最大值即可．（1）解：连接OA、OB，取OA的中点H，连接HP，如图1所示：则HP是△ABO的中位线，∴HP=12OB＝∴P点到H点的距离固定为1，∴B在⊙O上运动一周，点P运动的路径是以点H为圆心，半径为1的一个圆；（2）解：连接AO并延长AO交⊙O于点M、N，如图2所示：∵△ABC是等边三角形，点P是线段AB的中点，∴PC⊥AB，PA＝PB=12AB=∴PC=3PA=3当点B运动到点M位置时，点P运动到点P'位置，PC最短，∵AM＝OA﹣OM＝5﹣2＝3，∴AP'=12AM∴PC=3当点B运动到点N位置时，点P运动到点P''位置，PC最长，∵AN＝OA+ON＝5+2＝7，∴AP''=12AN∴PC=7∴PC长的取值范围是332≤总结提升：本题考查了轨迹、三角形中位线定理、等边三角形的性质、直角三角形的性质等知识；熟练掌握三角形中位线定理和等边三角形的性质是解题的关键．8．若AC＝4，以点C为圆心，2为半径作圆，点P为该圆上的动点，连接AP．（1）如图1，取点B，使△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，将点P绕点A顺时针旋转90°得到AP′．①点P'的轨迹是（填“线段”或者“圆”）；②CP′的最小值是；（2）如图2，以AP为边作等边△APQ（点A、P、Q按照顺时针方向排列），在点P运动过程中，求CQ的最大值．（3）如图3，将点A绕点P逆时针旋转90°，得到点M，连接PM，则CM的最小值为．思路引领：（1）①连接CP、BP'，证明△ABP'≌△ACP（SAS），得出BP'＝CP＝2，即点P'到点B的距离等于定长，即可得出答案；②由等腰直角三角形的性质得出BC=2AC＝42，当点P'在线段BC上时，得出CP'最小＝BC﹣BP'＝42-（2）以AC为边长作等边△ACD，连接DQ，证明△ADQ≌△ACP（SAS），得出DQ＝CP＝2，当C、D、Q三点共线时，CQ有最大值＝CD+DQ＝6；（3）M点的轨迹是一个圆O'，求出CO'和圆O'的半径，即可解决问题．解：（1）①连接CP、BP'，如图1所示：∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，∴AC＝AB，由旋转的性质得：AP＝AP'，∠PAP'＝90°，∴∠PAC＝∠P'AB，在△ABP'和△ACP中，AP'=AP∠P'AB=∠PAC∴△ABP'≌△ACP（SAS），∴BP'＝CP＝2，即点P'到点B的距离等于定长，∴点P'的轨迹是以B为圆心，2为半径的圆；故答案为：圆；②∵△ABC是等腰直角三角形，AC＝4，∴BC=2AC＝42当点P'在线段BC上时，CP'最小＝BC﹣BP'＝42-2故答案为：42-2（2）以AC为边长作等边△ACD，连接DQ、CP，如图2所示：∵△APQ和△ACD是等边三角形，∴AP＝AQ，AC＝AD＝CD＝4，∠PAQ＝∠CAD＝60°，∴∠DAQ＝∠CAP，在△ADQ和△ACP中，AD=AC∠DAQ=∠CAP∴△ADQ≌△ACP（SAS），∴DQ＝CP＝2，当C、D、Q三点共线时，CQ有最大值＝CD+DQ＝4+2＝6；（3）如图3所示：M点的轨迹是以MM'为直径的一个圆O'，则PM＝PA＝2，PM'＝PA＝4+2＝6，则CO'是梯形PMM'P'的中位线，∴CO'=12（2+6）＝连接MM'''，则∠MM'''M'＝90°，∴P'M'''＝PM＝2，MM'''＝PP'＝4，∴M'M'''＝6﹣2＝4＝MM'''，∴△MM'M'''是等腰直角三角形，∴MM'=MM'''＝42，∴O'M''＝22，∴CM＝CO'﹣O'M''＝4﹣22；故答案为：4﹣22．总结提升：本题是圆的综合题目，考查了轨迹、圆的定义、旋转的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、勾股定理以及最值问题；本题综合性强，熟练掌握旋转的性质，证明三角形全等是解题的关键．9．已知：如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥AC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连接AE．（1）求证：AE与⊙O相切；（2）连接BD，若ED：DO＝3：1，OA＝9，求AE的长；（3）若AB＝10，AC＝8，点F是⊙O任意一点，点M是弦AF的中点，当点F在⊙O上运动一周，则点M运动的路径长为．思路引领：（1）只要证明△OEC≌△OEA，得∠OAE＝∠OCE＝90°，即可证明．（2）设OD＝a，则DE＝3a，由△OAD∽△OEA，得OAOE=OD（3）如图2中，连接OM，取OA的中点O′，连接O′M，当点F在⊙O上运动一周，则点M运动的路径是以O′为圆心2为半径的圆，由此即可解决问题．（1）证明：如图1中，连接OC．∵OD⊥AC，∴AD＝DC，∴EA＝EC，在△OEC和△OEA中，OE=OEOC=OA∴△OEC≌△OEA，∴∠OAE＝∠OCE，∵EC是⊙O切线，∴EC⊥OC，∴∠OCE＝90°，∴∠OAE＝∠OCE＝90°，∴OA⊥AE，∴AE是⊙O的切线．（2）如图1中，设OD＝a，则DE＝3a，∵∠AOD＝∠AOE，∠ODA＝∠OAE，∴△OAD∽△OEA，∴OAOE∴4a2＝81，∵a＞0，∴a=9∴OE＝18，在Rt△AOE中，AE=OE2（3）如图2中，连接OM，取OA的中点O′，连接O′M．∵AM＝MF，∴OM⊥AF，∵AO′＝OO′，OA＝OB＝5，∴O′M=12OA＝定长∴当点F在⊙O上运动一周，则点M运动的路径是以O′为圆心52∴点M运动的路径长为2π•52=5故答案为5π．总结提升：本题考查圆综合题、垂径定理、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、轨迹等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，属于中考常考题型．10．（2021•遵义）点A是半径为23的⊙O上一动点，点B是⊙O外一定点，OB＝6．连接OA，AB．（1）【阅读感知】如图①，当△ABC是等边三角形时，连接OC，求OC的最大值；将下列解答过程补充完整．解：将线段OB绕点B顺时针旋转60°到O′B，连接OO′，CO′．由旋转的性质知：∠OBO′＝60°，BO′＝BO＝6，即△OBO′是等边三角形．∴OO′＝BO＝6又∵△ABC是等边三角形∴∠ABC＝60°，AB＝BC∴∠OBO′＝∠ABC＝60°∴∠OBA＝∠O′BC在△OBA和△O′BC中，OB=O'B∠OBA=∠O'BC∴△OBA≌△O′BC（SAS）∴OA＝O′C在△OO′C中，OC＜OO′+O′C当O，O′，C三点共线，且点C在OO′的延长线上时，OC＝OO′+O′C即OC≤OO′+O′C∴当O，O′，C三点共线，且点C在OO′的延长线上时，OC取最大值，最大值是6+23（2）【类比探究】如图②，当四边形ABCD是正方形时，连接OC，求OC的最小值；（3）【理解运用】如图③，当△ABC是以AB为腰，顶角为120°的等腰三角形时，连接OC，求OC的最小值，并直接写出此时△ABC的周长．思路引领：（1）第一个空根据前面提到的两个三角形以及后面的SAS知是判断这两个三角形全等；第二个空根据前面的取等条件OC＝OO'+O'C即知最大值；（2）类似地，如第（2）问解答中以OB为边作正方形，类似第（1）问做法依然证明两个三角形全等，再利用三角形两边之差小于第三边，三点共线时取等号得OC最小值；（3）类似地，如第（3）问解答中以OB为腰，点B为顶点作顶角120°的等腰三角形，类似第（1）问的做法依然证明两个三角形全等，再利用三角形两边之差小于第三边