2024届湖北省武昌市数学高一第二学期期末调研试题含解析

2024届湖北省武昌市数学高一第二学期期末调研试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．下列命题中正确的是（）A．第一象限角必是锐角； B．相等的角终边必相同；C．终边相同的角相等； D．不相等的角其终边必不相同.2．过点且与原点距离最大的直线方程是（）A． B．C． D．3．把函数的图像上所有的点向左平行移动个单位长度，再把所得图像上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到的图像所表示的函数是（）A． B．C． D．4．己知弧长的弧所对的圆心角为弧度，则这条弧所在的圆的半径为（）A． B． C． D．5．已知等比数列中，若，且成等差数列，则（）A．2 B．2或32 C．2或-32 D．-16．在等差数列中，如果，则数列前9项的和为()A．297 B．144 C．99 D．667．已知函数，那么下列式子：①；②；③；④；其中恒成立的是（）A．①② B．②③ C．①②④ D．②③④8．已知函数在上是减函数，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．9．已知圆与直线切于点，则直线的方程为（）A． B． C． D．10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．直线过点且倾斜角为,直线过点且与垂直,则与的交点坐标为____12．已知,,,是球的球面上的四点，，，两两垂直，,且三棱锥的体积为，则球的表面积为______．13．已知函数，它的值域是__________.14．若，且，则=_______.15．若直线与直线平行，则实数a的值是________．16．若直线与曲线相交于A，B两点，O为坐标原点，当的面积取最大值时，实数m的取值____．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知.（1）求；（2）求向量与的夹角的余弦值.18．函数.（1）求函数的周期和递增区间；（2）若，求函数的值域.19．设两个非零向量与不共线，（1）若，，，求证：三点共线；（2）试确定实数，使和同向.20．记为等差数列的前项和，已知，．（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）求，并求的最小值．21．己知角的终边经过点．求的值；求的值．

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解题分析】

根据终边相同的角和象限角的定义，举反例或直接进行判断可得最后结果.【题目详解】是第一象限角，但不是锐角，故A错误；与终边相同，但他们不相等，故C错误；与不相等，但他们的终边相同，故D错误；因为角的始边在x轴的非负半轴上，则相等的角终边必相同，故B正确.故选：B【题目点拨】本题考查了终边相同的角和象限角的定义，利用定义举出反例进行判断是解决本题的关键.2、A【解题分析】

当直线与垂直时距离最大，进而可得直线的斜率，从而得到直线方程。【题目详解】原点坐标为，根据题意可知当直线与垂直时距离最大，由两点斜率公式可得：所以所求直线的斜率为：故所求直线的方程为：，化简可得：故答案选A【题目点拨】本题考查点到直线的距离公式，涉及直线的点斜式方程和一般方程，属于基础题。3、C【解题分析】

根据左右平移和周期变换原则变换即可得到结果.【题目详解】向左平移个单位得：将横坐标缩短为原来的得：本题正确选项：【题目点拨】本题考查三角函数的左右平移变换和周期变换的问题，属于基础题.4、D【解题分析】

利用弧长公式列出方程直接求解，即可得到答案．【题目详解】由题意，弧长的弧所对的圆心角为2弧度，则，解得，故选D．【题目点拨】本题主要考查了圆的半径的求法，考查弧长公式等基础知识，考查了推理能力与计算能力，是基础题．5、B【解题分析】

根据等差数列与等比数列的通项公式及性质，列出方程可得q的值，可得的值.【题目详解】解：设等比数列的公比为q（），成等差数列，，，，解得：，，，故选B.【题目点拨】本题主要考查等差数列和等比数列的定义及性质，熟悉其性质是解题的关键.6、C【解题分析】试题分析：，，∴a4=13,a6=9,S9==99考点：等差数列性质及前n项和点评：本题考查了等差数列性质及前n项和，掌握相关公式及性质是解题的关键．7、A【解题分析】

根据正弦函数的周期性及对称性，逐项判断，即可得到本题答案.【题目详解】由，得，所以的最小正周期为，即，故①正确；由，令，得的对称轴为，所以是的对称轴，不是的对称轴，故②正确，③不正确；由，令，得的对称中心为，所以不是的对称中心，故④不正确.故选：A【题目点拨】本题主要考查正弦函数的周期性以及对称性.8、C【解题分析】

根据复合函数单调性，结合对数型函数的定义域列不等式组，解不等式组求得的取值范围.【题目详解】由于的底数为，而函数在上是减函数，根据复合函数单调性同增异减可知，结合对数型函数的定义域得，解得.故选：C【题目点拨】本小题主要考查根据对数型复合函数单调性求参数的取值范围，属于基础题.9、A【解题分析】

利用点与圆心连线的直线与所求直线垂直，求出斜率，即可求过点与圆C相切的直线方程；【题目详解】圆可化为：，显然过点的直线不与圆相切，则点与圆心连线的直线斜率为，则所求直线斜率为，代入点斜式可得，整理得。故选A.【题目点拨】本题考查直线方程，考查直线与圆的位置关系，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．10、C【解题分析】

通过三视图可以判断这一个是半个圆柱与半个圆锥形成的组合体，利用圆柱和圆锥的体积公式可以求出这个组合体的体积.【题目详解】该几何体为半个圆柱与半个圆锥形成的组合体，故，故选C.【题目点拨】本题考查了利用三视图求组合体图形的体积，考查了运算能力和空间想象能力.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】

通过题意，求出两直线方程，联立方程即可得到交点坐标.【题目详解】根据题意可知，因此直线为：，由于直线与垂直，故，所以，所以直线为：，联立两直线方程，可得交点.【题目点拨】本题主要考查直线方程的相关计算，难度不大.12、【解题分析】

根据三棱锥的体积可求三棱锥的侧棱长，补体后可求三棱锥外接球的直径，从而可计算外接球的表面积．【题目详解】三棱锥的体积为，故，因为，，两两垂直，，故可把三棱锥补成正方体，该正方体的体对角线为三棱锥外接球的直径，又体对角线的长度为，故球的表面积为.填.【题目点拨】几何体的外接球、内切球问题，关键是球心位置的确定，必要时需把球的半径放置在可解的几何图形中．如果球心的位置不易确定，则可以把该几何体补成规则的几何体，便于球心位置和球的半径的确定．13、【解题分析】

由反余弦函数的值域可求出函数的值域.【题目详解】，，因此，函数的值域为.故答案为：.【题目点拨】本题考查反三角函数值域的求解，解题的关键就是依据反余弦函数的值域进行计算，考查计算能力，属于基础题.14、【解题分析】

由的值及，可得的值，计算可得的值.【题目详解】解：由，且，由，可得，故，故答案为：.【题目点拨】本题主要考查了同角三角函数的基本关系，熟练掌握其基本关系是解题的关键.15、0【解题分析】

解方程即得解.【题目详解】因为直线与直线平行，所以，所以或.当时，两直线重合，所以舍去.当时，两直线平行，满足题意.故答案为：【题目点拨】本题主要考查两直线平行的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.16、【解题分析】

点O到的距离，将的面积用表示出来，再利用均值不等式得到答案.【题目详解】曲线表示圆心在原点，半径为1的圆的上半圆，若直线与曲线相交于A，B两点，则直线的斜率，则点O到的距离，又，当且仅当，即时，取得最大值．所以，解得舍去)．故答案为．【题目点拨】本题考查了点到直线的距离，三角形面积，均值不等式，意在考查学生的计算能力.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）.【解题分析】

（1）根据题意求出，即可求解；（2）向量与的夹角的余弦值为：代入求值即可得解.【题目详解】（1）由题：，解得：（2）向量与的夹角的余弦值为：【题目点拨】此题考查平面向量数量积的运算，根据运算法则求解数量积和模长，求解向量夹角的余弦值.18、（1）周期为，单调递增区间为；（2）.【解题分析】

（1）利用二倍角降幂公式、两角差的正弦公式将函数的解析式化简为，然后利用周期公式可计算出函数的周期，解不等式即可得出函数的单调递增区间；（2）由计算出的取值范围，可得出的范围，进而可得出函数的值域.【题目详解】（1），所以，函数的周期为，由，解得，因此，函数的单调递增区间为；（2）当时，，则，，因此，函数在区间上的值域为.【题目点拨】本题考查正弦型三角函数周期、单调区间以及值域的求解，解题的关键就是利用三角恒等变换思想将解析式进行化简，考查运算求解能力，属于中等题.19、（1）证明见解析（2）【解题分析】

（1）根据向量的运算可得，再根据平面向量共线基本定理即可证明三点共线；（2）根据平面向量共线基本定理，可设，由向量相等条件可得关于和的方程组，解方程组并由的条件确定实数的值.【题目详解】（1）证明：因为，，，所以.所以共线，又因为它们有公共点，所以三点共线.（2）因为与同向，所以存在实数，使，即.所以.因为是不共线的两个非零向量，所以解得或又因为，所以.【题目点拨】本题考查了平面向量共线定理的应用，三点共线的向量证明方法应用，属于基础题.20、（1），（2），最小值为−1．【解题分析】

（Ⅰ）根据等差数列的求和公式，求得公差d，即可表示出的通项公式；（Ⅱ）根据等差数列的求和公式得Sn=n2-8n，根据二次函数的性质，可得Sn的最小值.【题目详解】（I）设的公差为d，由题意得．由得d=2．所以的通项公式为．（II）由（I）得．所以当n=4时，取得最小值，最小值为−1．【题目点拨】本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n项的和公式