2024届江西省临川一中等高一数学第二学期期末监测试题含解析

2024届江西省临川一中等高一数学第二学期期末监测试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．若向量，，且，则＝()A． B．－ C． D．－2．若在是减函数，则的最大值是A． B． C． D．3．如图，为了测量山坡上灯塔的高度，某人从高为的楼的底部处和楼顶处分别测得仰角为，，若山坡高为，则灯塔高度是（）A． B． C． D．4．如图，正四棱柱中（底面是正方形，侧棱垂直于底面），，则异面直线与所成角的余弦值为（）A． B． C． D．5．已知与均为单位向量，它们的夹角为，那么等于（）A． B． C． D．46．甲、乙两队准备进行一场篮球赛，根据以往的经验甲队获胜的概率是，两队打平的概率是，则这次比赛乙队不输的概率是（）A．- B． C． D．7．若a、b、c>0且a(a＋b＋c)＋bc＝4－2，则2a＋b＋c的最小值为()A．－1 B．＋1C．2＋2 D．2－28．已知直线,与互相垂直,则的值是()A． B．或 C． D．或9．掷一枚均匀的硬币，如果连续抛掷2020次，那么抛掷第2019次时出现正面向上的概率是（）A． B． C． D．10．从一批产品中取出三件产品，设事件为“三件产品全不是次品”，事件为“三件产品全是次品”，事件为“三件产品不全是次品”，则下列结论正确的是（）A．事件与互斥 B．事件与互斥C．任何两个事件均互斥 D．任何两个事件均不互斥二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知，且是第一象限角，则的值为__________.12．设数列满足，，且，用表示不超过的最大整数，如，，则的值用表示为__________．13．已知函数，关于此函数的说法：①为周期函数；②有对称轴；③为的对称中心；④；正确的序号是_________.14．某学校高一年级举行选课培训活动，共有1024名学生、家长、老师参加，其中家长256人．学校按学生、家长、老师分层抽样，从中抽取64人，进行某问卷调查，则抽到的家长有___人15．已知数列的前n项和，则___________．16．若数列的首项，且（），则数列的通项公式是__________．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．如图，三棱柱中，侧面为菱形，的中点为，且平面．(1)证明：；(2)若，，，试画出二面角的平面角，并求它的余弦值．18．已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1，F2，离心率为12，过F1的直线l（1）求椭圆C的方程；（2）若直线y＝kx＋b与椭圆C分别交于A，B两点，且OA⊥OB，试问点O到直线AB的距离是否为定值，证明你的结论．19．已知数列满足，（）；（1）求、、；（2）猜想数列的通项公式；（3）用数学归纳法证明你的猜想；20．已知数列满足，令（1）求证数列为等比数列，并求通项公式；（2）求数列的前n项和.21．已知数列满足，．（1）证明：是等比数列；（2）求数列的前n项和．

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解题分析】

根据向量平行的坐标表示，列出等式，化简即可求出．【题目详解】因为，所以，即，解得，故选B．【题目点拨】本题主要考查向量平行的坐标表示以及同角三角函数基本关系的应用．2、A【解题分析】

分析：先确定三角函数单调减区间，再根据集合包含关系确定的最大值.详解：因为，所以由得因此，从而的最大值为，选A.点睛：函数的性质：(1).(2)周期(3)由求对称轴，(4)由求增区间；由求减区间.3、B【解题分析】

过点作于点，过点作于点，在中由正弦定理求得，在中求得，从而求得灯塔的高度．【题目详解】过点作于点，过点作于点，如图所示，在中，由正弦定理得，，即，，在中，，又山高为，则灯塔的高度是．故选．【题目点拨】本题考查了解三角形的应用和正弦定理，考查了转化思想，属中档题．4、A【解题分析】

试题分析：连结，异面直线所成角为，设,在中考点：异面直线所成角5、A【解题分析】本题主要考查的是向量的求模公式．由条件可知==，所以应选A．6、C【解题分析】

因为“甲队获胜”与“乙队不输”是对立事件，对立事件的概率之和为1，进而即可求出结果.【题目详解】由题意，“甲队获胜”与“乙队不输”是对立事件，因为甲队获胜的概率是，所以，这次比赛乙队不输的概率是.故选C【题目点拨】本题主要考查对立事件的概率问题，熟记对立事件的性质即可，属于常考题型.7、D【解题分析】由a(a＋b＋c)＋bc＝4－2，得(a＋c)·(a＋b)＝4－2.∵a、b、c>0.∴(a＋c)·(a＋b)≤(当且仅当a＋c＝b＋a，即b＝c时取“＝”)，∴2a＋b＋c≥2＝2(－1)＝2－2.故选：D点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误8、B【解题分析】

根据直线垂直公式得到答案.【题目详解】已知直线,与互相垂直或故答案选B【题目点拨】本题考查了直线垂直的关系，意在考查学生的计算能力.9、B【解题分析】

根据概率的性质直接得到答案.【题目详解】根据概率的性质知：每次正面向上的概率为.故选：.【题目点拨】本题考查了概率的性质，属于简单题.10、B【解题分析】

根据互斥事件的定义，逐个判断，即可得出正确选项．【题目详解】为三件产品全不是次品，指的是三件产品都是正品，为三件产品全是次品，为三件产品不全是次品，它包括一件次品，两件次品，三件全是正品三个事件由此知：与是互斥事件；与是包含关系，不是互斥事件；与是互斥事件，故选B．【题目点拨】本题主要考查互斥事件定义的应用．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、；【解题分析】

利用两角和的公式把题设展开后求得的值，进而利用的范围判断的范围，利用同角三角函数的基本关系求得的值，最后利用诱导公式和对原式进行化简，把的值和题设条件代入求解即可.【题目详解】，，即，，两边同时平方得到：，解得，是第一象限角，，得，，即为第一或第四象限，，.故答案为：.【题目点拨】本题考查了两角差的余弦公式、诱导公式以及同角三角函数的基本关系，需熟记三角函数中的公式，属于中档题.12、【解题分析】

由题设可得知该函数的最小正周期是，令，则由等差数列的定义可知数列是首项为，公差为的等差数列，即，由此可得，将以上个等式两边相加可得，即，所以，故，应填答案．点睛：解答本题的关键是借助题设中提供的数列递推关系式，先求出数列的通项公式，然后再运用列项相消法求出，最后借助题设中提供的新信息，求出使得问题获解．13、①②④【解题分析】

由三角函数的性质及，分别对各选项进行验证，即可得出结论.【题目详解】解：由函数，可得①，可得为周期函数，故①正确；②由，，故，是偶函数，故有对称轴正确，故②正确；③为偶数时，，为奇数时,故不为的对称中心，故③不正确；④由，可得正确，故④正确.故答案为：①②④.【题目点拨】本题主要考查三角函数的值域、周期性、对称性等相关知识，综合性大，属于中档题.14、16【解题分析】

利用分层抽样的性质，直接计算，即可求得，得到答案．【题目详解】由题意，可知共有1024名学生、家长、老师参加，其中家长256人，通过分层抽样从中抽取64人，进行某问卷调查，则抽到的家长人数为人．故答案为16【题目点拨】本题主要考查了分层抽样的应用，其中解答中熟记分层抽样的概念和性质，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．15、17【解题分析】

根据所给的通项公式，代入求得，并由代入求得.即可求得的值.【题目详解】数列的前n项和，则，而，，所以，则，故答案为：.【题目点拨】本题考查了数列前n项和通项公式的应用，递推法求数列的项，属于基础题.16、【解题分析】，得（）,两式相减得，即（），，得，经检验n=1不符合。所以，三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)见证明；(2)二面角图见解析；【解题分析】

（1）由菱形的性质得出，由平面，得出，再利用直线与平面垂直的判定定理证明平面，于是得出；（2）过点在平面内作，垂足为点，连接，可证出平面，于是找出二面角的平面角为，并计算出的三边边长，利用锐角三角函数计算出，即为所求答案．【题目详解】（1）连接，因为侧面为菱形，所以，且与相交于点．因为平面，平面，所以．又，所以平面因为平面，所以．（2）作，垂足为，连结，因为，，，所以平面，又平面，所以.所以是二面角的平面角.因为，所以为等边三角形，又，所以，所以.因为，所以.所以.在中，.【题目点拨】本题考查直线与直线垂直的证明，二面角的求解，在这些问题的处理中，主要找出一些垂直关系，二面角的求解一般有以下几种方法：①定义法；②三垂线法；③垂面法；④射影面积法；⑤空间向量法．在求解时，可以灵活利用这些方法去处理．18、（1）x2【解题分析】

(1)根据三角形周长为1，结合椭圆的定义可知，4a=8，利用e=ca=1-b2a2=12，即可求得a和b的值,求得椭圆方程；(2)分类讨论，当直线斜率斜存在时,联立y=kx+b【题目详解】（1）由题意知，4a=1，则a=2，由椭圆离心率e=ca=∴椭圆C的方程x2（2）由题意，当直线AB的斜率不存在，此时可设A（x3，x3），B（x3，-x3）．又A，B两点在椭圆C上，∴x0∴点O到直线AB的距离d=12当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+b．设A（x1，y1），B（x2，y2）联立方程y=kx+bx24+y23由已知△＞3，x1+x2=-8kb3+4k2，x1x由OA⊥OB，则x1x2+y1y2=3，即x1x2+（kx1+b）（kx2+b）=3，整理得：（k2+1）x1x2+kb（x1+x2）+b2=3，∴(k∴7b2=12（k2+1），满足△＞3．∴点O到直线AB的距离d=b综上可知：点O到直线AB的距离d=221【题目点拨】本题主要考查椭圆的定义及椭圆标准方程、圆锥曲线的定值问题以及点到直线的距离公式，属于难题.探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：①从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.19、（1），，；（2）；（3）证明见解析；【解题分析】

（1）根据数列的递推关系式，代入运算，即可求解、、；（2）由（1）可猜想得；（3）利用数学归纳法，即可证得猜想是正确的.【题目详解】（1）由题意，数列满足，（）；所以，，；（2）由（1）可猜想得；（3）①当时，，上式成立；②假设当时，成立，则当时，由①②可得，当时，成立，即数列的通项公式为.【题目点拨】本题主要考查了数列的递推关系式的应用，以及数学归纳法的证明，其中解答中根据数列的递推公式，准确计算，同时熟记数学归纳法的证明方法是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.20、（1）；（2）【解题分析】

（1）由变形可得，即，于是可得数列为等比数列，进而得到通项公式；（2）由（1）得，然后分为奇数、偶数两种情况，将转化为数列的求和问题解决．【题目详解】（1）∵，∴，∵，∴．又，∴数列是首项为8，公比为3的等比数列，∴．（2）当为正偶数时，．当为正奇数时，．∴．【题目点拨】（1）证明数列为等比数列时，在运用定义证明的同时还要说明数列中不存在等于零的项，这一点容易忽视．（2）数列求和时要根据数列通项公式的特点，选择合适的方法进行求解，求解时要注意确定数列的项数．21、（1）见解析；（2）．