新教材适用2023-2024学年高中数学第6章平面向量及其应用6.2平面向量的运算6.2.4向量的数量积第2课时向量的数量积二课件新人教A版必修第二册

第六章

平面向量及其应用6.2平面向量的运算6.2.4向量的数量积第2课时向量的数量积(二)必备知识•探新知关键能力•攻重难课堂检测•固双基素养目标•定方向素养目标•定方向1．掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式．2．会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明．通过引入平面向量数量积的运算律，体会数学抽象及数学运算素养的生成过程.必备知识•探新知

向量数量积的运算律

知识点

1对于向量a，b，c和实数λ，有(1)a·b＝_________(交换律)．(2)(λa)·b＝____________＝____________(结合律)．(3)(a＋b)·c＝_____________(分配律)．想一想：若a·b＝b·c，是否可以得出结论a＝c?提示：不可以．b·aλ(a·b)a·(λb)a·c＋b·c练一练：判断下列结论是否正确？(1)a·0＝0.(2)λ(a·b)＝λa·λb.(4)若a与b同向，则(a－b)2＝|a|2－2|a||b|＋|b|2.(5)向量的数量积运算满足(a·b)·c＝a·(b·c)．[答案]

(1)×

(2)×

(3)√

(4)√

(5)×平面向量数量积的运算性质

知识点

2类比多项式的乘法公式，写出下表中的平面向量数量积的运算性质.多项式乘法向量形式(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2(a＋b)2＝__________________(a－b)2＝a2－2ab＋b2(a－b)2＝a2－2a·b＋b2(a＋b)(a－b)＝a2－b2(a＋b)(a－b)＝__________(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2c·aa2＋2a·b＋b2a2－b2关键能力•攻重难

已知|a|＝4，|b|＝7，且向量a与b的夹角为120°，求(2a＋3b)·(3a－2b)．[解析]

(2a＋3b)·(3a－2b)＝6a2－4a·b＋9b·a－6b2＝6|a|2＋5a·b－6|b|2＝6×42＋5×4×7×cos120°－6×72＝－268.[归纳提升]

根据数量积的运算律，向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算．题|型|探|究题型一求数量积典例1对点练习❶－6题型二向量的模

(1)已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________.(2)若向量a，b满足：|a|＝1，(a＋b)⊥a，(2a＋b)⊥b，则|b|＝(

)典例2B

已知|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角为120°，求：(1)a·b；(2)a2－b2；(3)|a＋b|；(4)|a－b|.对点练习❷[解析]

(1)a·b＝|a||b|cos120°＝2×3×cos120°＝－3.(2)a2－b2＝|a|2－|b|2＝4－9＝－5.题型三向量的夹角和垂直问题

(1)已知向量a，b满足(a＋2b)·(a－b)＝－6，且|a|＝1，|b|＝2，则a与b的夹角为______；(2)已知|a|＝3，|b|＝2，向量a，b的夹角为60°，c＝3a＋5b，d＝ma－3b，求当m为何值时，c与d垂直？[分析]

(1)由向量的运算律结合向量的夹角公式求解．(2)根据两向量垂直的充要条件建立关于m的方程进行求解．典例3(2)由已知得a·b＝3×2×cos60°＝3.由c⊥d，得c·d＝0，即c·d＝(3a＋5b)·(ma－3b)＝3ma2＋(5m－9)a·b－15b2＝27m＋3(5m－9)－60＝42m－87＝0，3．当两向量垂直时，利用a·b＝0列方程(组)可求未知数．(1)求a·b的值；(2)若2a－b和ta＋b垂直，求实数t的值．对点练习❸(2)因为2a－b和ta＋b垂直，所以(2a－b)·(ta＋b)＝0，即2ta2＋(2－t)a·b－b2＝0，所以2t－(2－t)－4＝0，所以t＝2.易|错|警|示忽略向量共线的情形致错典例4当2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为π时，也有cosθ<0，但此时夹角不是钝角．设2te1＋7e2＝λ(e1＋te2)，λ<0，因为e1，e2不共线，

已知e1，e2是互相垂直的单位向量，a＝e1－3e2，b＝2e1＋λe2，且a与b的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是(

)对点练习❹C[解析]

因为a与b的夹角为锐角，所以cosθ>0且cosθ≠1，即a·b>0且a与b方向不同，课堂检测•固双基1．已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝(

)A．4 B．3C．2 D．0[解析]

a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2|a|2－a·b.∵|a|＝1，a·b＝－1，∴

原式＝2×12＋1＝3.故选B．B2．若非零向量a，b满足|a|＝|b|，(2a＋b)·b＝0，则a与b的夹角为(

)A．30° B．60°C．120° D．150°[解析]

(2a＋b)·