高中数学《算法的概念》导学案

第IB章算法初步

DIYIZHANG1.1算法与程序框图

i.i.i算法的概念

卜课前自主预习

一、算法的概念

12世纪

指的是用阿拉伯数字进行四算术运算的过程

的算法

数学中

通常是指按照W一定规则解决某一类问题的也明确和幽有限的步骤

的算法

现代

通常可以编成防计算机程序,让计算机执行并解决问题

算法

二、算法的特征

i.有限性：一个算法的步骤序列是因有限的,它应在国有限步操作之后

停止.

2.确定性：算法中的每一步应该是园确定的,并且能有效地执行且得到典

确定的结果,而不应当是模棱两可的.

3.有序性：算法从初始步骤开始，分为若干个明确的步骤，前一步是后一

步的党前提,只有完成前一步，才能进行下一步，而且每一步都是正确无误的，

才能完成问题.

4.不唯一性：求解某一个问题的算法不一定只有四唯二的一个，也可以有

因不同的算法,这些算法有繁简、优劣之分.

5.普遍性：很多具体的问题，都可以设计合理的算法去解决.

三、算法与计算机

计算机解决任何问题都要依赖于型算法，只有将解决问题的过程分解为若

干个因明确的步骤，即巧算法，并用计算机能够接受的“四语言”准确地描

述出来，计算机才能够解决问题.

鼠］自诊小测

1.判一判(正确的打“J”，错误的打“义”)

(1)求解某类问题的算法是唯一的.()

(2)算法一定在有限步骤操作之后停止.()

(3)算法是一种通法，只要按部就班地做，总能得到结果.()

答案⑴义(2)7(3)7

2.做一做

(1)下列描述不能看作算法的是()

A.做米饭需要刷锅，淘米，添水，加热这些步骤

B.洗衣机的使用说明书

C.解方程羽+彳-1=0

D.利用公式5=兀以计算半径为4的圆的面积，就是计算兀X42

答案C

解析判断一个问题是否有算法，关键是看是否有解决某一类问题的程序或

步骤，这些程序或步骤必须是明确和有效的，而且能够在有限步骤之内完成.题

目中的A,B,D三项都符合要求，而C项没有提出解决问题的程序或步骤.

(2)完成解不等式2x+2<4x—1的算法：

第一步，移项，并合并同类项，得.

第二步，在不等式的两边同时除以x的系数，得.

3

答案一2x<—3x>2

解析由2x+2<4九一1,移项，合并同类项得一2%3,两边同除以一2得

3

(3)试设计一个算法，求表面积为16K的球的体积.

解解法一：算法步骤如下：

第一步，取5=16兀

第二步，计算(由于S=4nR2).

4

第三步，计算V=^TIR3.

第四步，输出运算结果.

解法二：算法步骤如下：

第一步，取5=16兀

第二步，计算v=

第三步，输出运算结果.

卜课堂互动探究

探究1算法的概念与特征

例1下列说法正确的是（）

A.算法就是某个问题的解题过程

B.算法执行后可以产生不同的结果

C.解决某一个具体问题算法不同，则结果不同

D.算法执行步骤的次数不可以很大，否则无法实施

［答案］B

［解析］选项B正确，例如：判断一个整数是否为偶数，结果为“是偶数”

和“不是偶数”两种；选项A,算法不能等同于解法；选项C,解决某一个具体

问题算法不同，但结果应相同；选项D,算法执行步骤的次数可以为很多次，但

不可以为无限次.

拓展提升

算法实际上是解决问题的一种程序性方法，它通常解决某一个或一类问题,

用算法解决问题，体现了从特殊到一般的数学思想.

【跟踪训练11下列说法中是算法的有（填序号）.

①从上海到拉萨旅游，先坐飞机，再坐客车；

②解一元一次不等式的步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项，系数化

为1;

③求以8（—1,一2）两点为端点的线段A3的中垂线.

答案①②

解析①说明了从上海到拉萨的行程安排.

②给出了解一元一次不等式这类问题的解法.

③没有给出求线段中垂线的方法及步骤.

探究2数值性问题的算法设计

例2写出解方程f—2x—3=0的一个算法.

［解］解法一：第一步，移项得f-2x=3.①

第二步，①式两边同时加1,

并配方得（X-1）2=4.②

第三步，②式两边开方，得x—1=±2.③

第四步，解③得无1=3,X2=-l.

解法二：第一步，计算方程的判别式并判断其符号，

显然』=（-2）2—4X（—3）=16>0.

第二步，将a=l,b=—2,c=-3代入求根公式幻,2=-4”,得尤1

=3,X2=—1.

［变式探究］将例2中的方程换为以2十"十,=0（疗0）时，求根的算法又如

何写？

解第一步，计算/="-4ac.

第二步，若/<0,则执行第三步，否则执行第四步.

第三步，输出方程无实根.

第四步，计算并输出方程根x5i嘴F.

拓展提升

与解方程有关问题的设计算法过程

设计算法时，经常遇到解方程（组）的算法问题，一般是按照数学上解方程（组）

的方法进行设计，但应注意全面考虑方程的情况，即先确定方程（组）是否有解，

有解时有几个（组）解，然后依求解步骤设计算法步骤.

2x+y=7,

【跟踪训练2】给出求解方程组，,的一个算法.

［4x+5y=ll

解解法一（代入消元法）：

第一步，由2x+y=7得y=7—2x.

第二步，将y=7-2x代入4x+5y=ll,得4x+5（7—2x）=11,解得x=4.

第三步，将x=4代入方程y=7—级，解得>=一1.

x=4

第四步，输出方程组的解为‘

ly=-i-

解法二（加减消元法）：

第一步，方程2x+y=7的两边都乘以5得，10x+5y=35.

第二步，将第一步所得的方程与方程4x+5y=ll作差，消去y得6x=24,

解得x=4.

第三步，将x=4代入方程2x+y=7,

解得y=—1.

jx=4

第四步，输出方程组的解为\

探究3非数值性问题的算法设计

例3一位商人有9枚银元，其中有1枚略轻的是假银元，你能用天平（无祛

码）将假银元找出来吗？

［解］解法一：算法如下.

第一步，任取2枚银元分别放在天平的两边，若天平左、右不平衡，则轻的

一枚就是假银元，若天平平衡，则进行第二步.

第二步，取下右边的银元放在一边，然后把剩下的7枚银元依次放在右边进

行称量，直到天平不平衡，偏轻的那一枚就是假银元.

解法二：算法如下.

第一步，把9枚银元平均分成3组，每组3枚.

第二步，先将其中两组放在天平的两边，若天平不平衡，则假银元就在轻的

那一组；否则假银元在未称量的那一组.

第三步，取出含假银元的那一组，从中任取2枚银元放在天平左、右两边称

量，若天平不平衡，则假银元在轻的那一边；若天平平衡，则未称量的那一枚是

假银元.

拓展提升

非数值性问题的算法设计过程

对于非数值性问题，应当首先建立过程模型，根据过程设计步骤，完成算法，

在设计算法时应简洁、清晰，要善于分析任何可能出现的情况以体现思维的严谨

性.

【跟踪训练3】“韩信点兵”问题：韩信是汉高祖手下的大将，他英勇善

战，谋略超群，为汉朝的建立立下了不朽功勋.据说他在一次点兵的时候，为保

住军事秘密，不让敌人知道自己部队的军事实力，采用下述点兵方法：①先令士

兵从1〜3报数，结果最后一个士兵报2；②又令士兵从1〜5报数，结果最后一

个士兵报3；③又令士兵从1〜7报数，结果最后一个士兵报4.这样韩信很快算

出自己部队里士兵的总数.请设计一个算法，求出士兵至少有多少人.

解第一步，首先确定最小的满足除以3余2的正整数：2.

第二步，依次加3就得到所有除以3余2的正整数：2,5,8,11,14,17,20,

第三步，在上列数中确定最小的满足除以5余3的正整数：8.

第四步，然后在自然数内，在8的基础上依次加上15的倍数，得到

8,23,38,53,….

第五步，在上列数中确定最小的满足除以7余4的正整数应为53.

1

f---------------------------------------1册a----------------------

1.算法概念的理解

(1)算法可以理解为按照一定规则解决某一类问题所构成的完整的解题步骤或看

成按要求设计好的有限的确切的计算序列，并且这样的步骤或序列能够解决一

类问题；

(2)通俗点说，算法就是计算机解题的过程.在这个过程中，无论是形成解题思

路还是编写程序，都是在实施某种算法，前者是推理实现的算法，后者是操作

实现的算法；

(3)算法一方面具有具体化、程序化、机械化的特点，同时又具有高度的抽象

性、概括性、精确性，所以算法在解决问题时更具有条理性、逻辑性等特

点.通常把算法过程称为“数学机械化”，其最大优点是可以让计算机来完

成.

2.算法的几种描述方式

算法的描述可以有不同的方式，主要有自然语言、程序框图、计算机程序语

言.

(1)自然语言描述算法的优点是通俗易懂，当算法中的操作步骤都是顺序执行时

比较容易理解；缺点是如果算法中包含判断或转向，并且操作步骤较多时，就

不那么直观和清晰了；

(2)程序框图描述算法就是指用规定的图形符号来描述算法，具有直观、结构清

晰、条理分明、通俗易懂、便于检查修改等优点；

(3)算法能被计算机接受并运行，主要靠计算机程序语言，因而也称为机器语

3.算法与数学问题的解法的区别与联系

算法是解决某一类问题所需要的程序和步骤的统称，也可理解为数学中

区别的“通法通解”；而解法是解决某一个具体问题的过程和步骤，是具体

解题过程

算法与解法是一般与特殊的关系，也是抽象与具体的关系，例如，教材

先从分析一个具体的二元一次方程组的求解过程(解法)出发，归纳出了

二元一次方程组的求解步骤，并且指出，这样的求解步骤也适合有限制

条件的二元一次方程组，这些步骤就构成了解二元一次方程组的算法

卜随堂达标自测

1.下列对算法的理解不正确的是（）

A.算法可以无止境地运行下去

B.算法的步骤是不可逆的

C.同一个问题可以有不同的算法

D.算法中的每一步都应当有效地执行，并得到确定的结果

答案A

解析A项中，由于算法具有有限性，因此不可能无止境地运行下去，不正

确；B项中，算法中的步骤是按照顺序一步步进行下去的，因此是不可逆的，正

确；C,D项符合算法的特征，正确.

2.使用配方法解方程V—4x+3=0的算法的正确步骤是（）

①配方得（X—2）2=1；②移项得f—4x=—3；③解得x=l或x=3；④开方

得x-2=±1.

A.①②③④B.②①④③

C.②③④①D.④③②①

答案B

解析使用配方法的步骤应按移项、配方、开方、得解的顺序进行.

3.给出下面一个算法：

第一步，给出三个数x,y,z.

第二步，计算M=x+y+z.

第三步，计算N=；M.

第四步，得出每次计算结果.

则上述算法是（）

A.求和B.求余数

C.求平均数D.先求和再求平均数

答案D

解析由算法过程知，M为三数之和，N为这三数的平均数.

4.已知一个算法如下：

第一步，令机=".

第二步，如果8＜相，则根=力.

第三步，如果则m=c.

第四步，输出〃?.

如果”=3,。=6,c=2,则执行这个算法的结果是.

答案2

解析这个算法是求a,b,c三个数中的最小值，故这个算法的结果是2.

5.已知某梯形的底边长CD=b,高为人写出一个求这个梯形面积

S的算法.

解算法如下：

第一步，输入梯形的底边长。和"，以及高瓦

第二步，计算。十。的值.

第三步，计算（a+与火"的值.

第四步，计算S=%过

的值.

第五步，输出结果S.

卜课后课时精练

A级：基础巩固练

一、选择题

1.如下算法：

第一步，输入x的值.

第二步，若x20,则^=乂

第三步，否则，y=x2.

第四步，输出y的值.

若输出的y值为9,则x的值是（

A.3B.-3

C.3或一3D.-3或9

答案D

解析根据题意可知，此为分段函数

x,尤20,

L2,x<0的算法,

当x20时，尤=9；

当尤V0时，x2=9,所以x=-3.

综上所述，x的值是一3或9.

2.下列关于算法的说法，正确的个数有（）

①求解某一类问题的算法是唯一的；②算法必须在有限步骤操作之后停止;

③算法的每一步操作必须是明确的，不能有歧义或模糊；④算法执行后一定产生

确定的结果.

A.1个B.2个

C.3个D.4个

答案C

解析由于算法具有可终止性、明确性和确定性，因而②③④正确，而解决

某类问题的算法不一定唯一.

3.对于算法：

第一步，输入不小于2的正整数〃.

第二步，判断〃是否等于2,若〃=2,则〃满足条件；若〃>2,则执行第

三步.

第三步，依次从2到(〃一1)检验能不能整除〃，若不能整除〃，则执行第四

步；若能整除〃，则结束算法.

第四步，输出〃.

满足条件的〃是()

A.质数B.奇数

C.偶数D.约数

答案A

解析本题首先要理解质数，只能被1和自身整除的大于1的整数叫质数.2

是最小的质数，这个算法通过对2到(〃一1)一一验证，看是否有其他约数，来判

断其是否为质数.

4.早上从起床到出门需要洗脸刷牙(5min)、刷水壶(2min)、烧水(8min)、

泡面(3min)、吃饭(10min)>听广播(8min)几个过程.从下列选项中选出最好的

一种算法()

A.第一步，洗脸刷牙.第二步，刷水壶.第三步，烧水.第四步，泡面.第

五步，吃饭.第六步，听广播

B.第一步，刷水壶.第二步，烧水同时洗脸刷牙.第三步，泡面.第四步，

吃饭.第五步，听广播

C.第一步，刷水壶.第二步，烧水同时洗脸刷牙.第三步，泡面.第四步，

吃饭同时听广播

D.第一步，吃饭同时听广播.第二步，泡面.第三步，烧水同时洗脸刷牙.第

四步，刷水壶

答案C

解析因为A项共用时间36min,B项共用时间31min,C项共用时间23

min,D项的算法步骤不符合常理，故选C.

5.一个算法步骤如下：

第一步，S取值0,i取值1.

第二步，若iW9,则执行第三步；否则，执行第六步.

第三步，计算S+i并将结果代替S

第四步，用i+2的值代替i.

第五步，转去执行第二步.

第六步，输出5.

运行以上算法，则输出的结果S等于（）

A.16B.25

C.36D.以上均不对

答案B

解析解本题关键是读懂算法，本题中的算法功能是求5=1+3+5+7+9

=25.

二、填空题

6.给出下列算法：

第一步，输入x的值.

第二步，当x>4时，计算y=x+2；否则y=2.

第三步，输出y.

当输入x=0时，输出y=.

答案2

（2,xW4,

解析此算法的功能是计算y=<I、彳故输入x=0时，输出值为2.

[x+2,x>4,

7.阅读下面的三段话，其中是解决问题的算法的是.

①求2X3X6的值，先计算2义3=6,再计算6X6=36,最终结果为36；

②求1+3+5+7+9的值，先计算1+3=4,再计算4+5=9,再计算9+7

=16,再计算16+9=25,最终结果为25；

③解一元一次方程余3x-l）=x+l的一般步骤是去分母、去括号、移项、合

并同类项、系数化为1.

答案①②③

解析本题考查算法的概念.①②③都是解决问题的步骤，故①②③中所叙

述的都是算法.

8.一个人带着三只狼和三只羚羊过河，只有一条船，该船可容纳一个人和

两只动物，没有人在的时候，如果狼的数量不少于羚羊的数量，狼就会吃羚羊.该

人将动物转移过河的算法如下.请在横线上填上适当的步骤：

第一步，人带两只狼过河，并自己返回.

第二步，人带一只狼过河，自己返回.

第三步，.

第四步，人带一只羚羊过河，