高二理科数学圆锥曲线单元测试及答案

高二年单元考试试卷（圆锥曲线）

一、选择题（60分）

22

1.已知双曲线C：二-二=1（。>0）的一个焦点为（5,0）,则双曲线。的

cT16

渐近线方程为（）

A.4x±3y=12B.4x±A/41y=0

C.16x±9y=0D.4x±3y=0

2.平面直角坐标系中，已知。为坐标原点，点A、B的坐标分别

为（1,1）、（-3,3）.若动点P满足9=4砺+〃砺，其中4、且

九+〃=1,则点P的轨迹方程为

A.x-y-0B.x+y=0

C.x+2y-3=0D.（x+l）2+（y-2）2=5

3.抛物线y2=2px（p>0）上横坐标为6的点到焦点的距离是10,则

焦点到准线的距离是（）

A.4B,8C.16D.32

4.椭圆加？+>2=］的离心率是当，则它的长轴长是（）

A.1B.1或2C.2D.2或4

5.设经过点M（2,l）的等轴双曲线的焦点为耳,居，此双曲线上一点

N满足丽」丽，则鸟的面积为（）

A.V2B.V3C.2D.3

6.抛物线有如下光学性质：由焦点的光线经抛物线反射后平行于

抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物

线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线>2=4x的焦点为尸，一条

平行于X轴的光线从点M（3,l）射出，经过抛物线上的点A反射后，

再经抛物线上的另一点3射出，则直线的斜率为（）

A.--B.-C.+-D.

3339

7.已知点耳,工是椭圆Y+2y2=2的左、右焦点，点P是该椭圆上

的一个动点，那么|丽+用|的最小值是（）

A.2B.272C,0D.1

22

8.椭圆亍+%=1（a>b>0）上存在一点P满足NAPF=W,F为

椭圆的左焦点，A为椭圆的右顶点，则椭圆的离心率的范围是

（）

A.（0&B.（0用C,加口隹1）

9.把离心率6=尘土1■的曲线=力>0）称之为黄金双

2ab

曲线.若以原点为圆心，以虚半轴长为半径画圆。，则圆。与黄金

双曲线C（）

A.无交点B.有1个交点C.有2个交点D.有4个交

点

10.已知mnxo,则方程是m2x+n2y=1与mx+n2y=0在同一坐标系内的

图形可能是（）

ABC

D

11.设直线y=Z（x+l）与抛物线y2=4x相交于M、N两点，抛物线

试卷第2页，总6页

的焦点为F,若|前|=2两，则A的值为()

A.±侦B.±逑C.土逑D.±迈

3322

12.已知椭圆和双曲线有共同焦点1尸2尸是它们的一个交点，且

n]

=-aa

3,记椭圆和双曲线的离心率分别为％足2,则e1e2的最大值是

()

2m4,

A.3B.3C.2D.3

二、填空题(20分)

13.已知F是抛物线C：y2=8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴

于点N.若M为FN的中点，则|FN=.

14.抛物线X2=2py(p>0)的焦点为F,其准线与双曲线X2-y2=1相交于A,B

两点，若AABF为等边三角形，则P=

2222

xy日xv

—+—=l(a>b>0)-------=]

15.已知椭圆C：ab离心率为2,双曲线22的渐近线

与椭圆有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形面积为16,则

椭圆C的方程为________________

22

16.设椭圆。：三+七=l(a>b>0)的左右焦点为片,不，过居作x轴的

垂线与C相交于A,B两点，月8与y轴相交于。，若49，月8,则椭

圆。的离心率等于.

三、解答题

22

17(10分).设命题〃：方程」----匚=1表示双曲线；命题q：

2+Z3上+1

斜率为左的直线/过定点P(-2,l),且与抛物线y2=4x有两个不同的

公共点.若。入4是真命题，求攵的取值范围.

18（12分）.（1）已知椭圆的离心率为4,短轴一个端点到右焦点

的距离为4,求椭圆的标准方程。

（2）已知双曲线过点（4,6）,且渐近线方程为＞=±gx,求该双曲线

的标准方程。

22

19（12分）.已知双曲线C与=1的离心率为百，点（g,

a~0一

0）是双曲线的一个顶点。

⑴求双曲线的方程；

⑵经过双曲线右焦点F2作倾斜角为30°的直线/,直线/与双曲线

交于不同的A,B两点，求AB的长。

试卷第4页，总6页

20(12分).过抛物线C:d=20；(p>O)的焦点厂作直线/与抛物线。

交于A8两点，当点A的纵坐标为1时，|AF|=2.

(1)求抛物线。的方程；

(2)若直线/的斜率为2,问抛物线。上是否存在一点M,使得

MA±MB,并说明理由.

21(12分).已知椭圆。过点两个焦点为(-1,0),(1,0).

(1)求椭圆。的方程；

(2)是椭圆。上的两个动点，①如果直线AE的斜率与A尸的

斜率之和为2,证明：直线EF恒过定点.

a

22(12分).已知椭圆C的离心率为半，点A,B,尸分别为椭

圆的右顶点、上顶点和右焦点，且5^4"=】—

(1)求椭圆。的方程；

(2)已知直线/：y=Ax+〃z被圆。：f+,2=4所截得的弦长为

2g,若直线/与椭圆。交于M,N两点，求AMON面积的最大值.

试卷第6页，总6页

参考答案

1.D

【解析】由题得c=5,则储=/—16=9,即a=3,所以双曲线的渐近线方

程为y=±±x,即4x±3y=0,故选D

2.C

【解析】设P（x,y），则x=4—3〃,y=丸+3〃=/1=叱吆■—二

26

因止匕虫+^^=1=*+2），一3=0,选C.

26

3.B

【解析】.一横坐标为6的点到焦点的距离是10,・•・该点到准线的距离

为10,

p

X=一一

抛物线的准线方程为2,

P

6+-=10=>p=8

2

故选B.

4.D

【解析】把椭圆如2+V=1方程转化为：

分两种情况：①时椭圆的离心率正

m2

则：个_=3解得：m二，进一步得长轴长为4

144

m

②Li时

m

答案第1页，总13页

椭圆的离心率内,则：长轴长为2

故选：D

点睛：在椭圆和双曲线中，焦点位置不确定时，勿忘分类讨论.

5.D

【解析】设等轴双曲线方程为尤272=4，因为过点M(2,l),所以

X=2?—1=3.1iNf；|-|N瑞卜2道,忆入1=2屈

22

从而|叫|+|NF21+2|N制|'鸟|=12=|1巴|2-21^11^1=12

=>24—2加用"周=12n|N"|NF2=6nS=；NF、|9|=3,选D.

6.A

【解析】令v=l,代入V=4x,,即A(L1),由抛物线的光学性

44

质可知，直线AB经过焦点F(1,O),所以直线A3的斜率为2=

1-13

4

故选A

【答案】A

【解析】椭圆f+2y2=2,即为:+丁=1,贝"椭圆的。=四,6=1,则由

OP为斗鸟的中线，即有而=g(西+%),则|所+所|=2|叫，可设

尸(％>),则］+y2=i,即有叫="2+与=++1―/「^］,当

%=0时，取得最小值1,则|两+盟］的最小值为2,故选A.

8.C

【解析】设P(x,y),则由ZAPF=|得

(x+c,y)・(x-a,y)=0n(%+c)(x-Q)+y2=0,因为

答案第2页，总13页

=+二=1,所以x=a或x--~7^—e（-a,a\n2e2+e-l>0

a'b'c~

•;0<e<1g<e<1,选C.

点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立

一个关于a,b,c的方程或不等式，再根据a,b,c的关系消掉。得到a,c的

关系式，而建立关于a,b,c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线

的几何性质、点的坐标的范围等.

9.D

【解析】由题意知县Lf,所以⑶、⑶:i=d业1-1=或上!,

2aya）\a）42

因为2=行+1〉],所以2>i,所以〃>a,所以圆0与黄金双曲线C

\a）2a

的左右两支各有2个交点，即圆0与黄金双曲线C由4个交点，故选

D.

10.A

2_m

2丫—X22

【解析】方程mx+ny=0即n,表示抛物线，方程mx+ny=l（mnw0）表

示椭圆或双曲线，当m和n同号时，抛物线开口向左，方程

mx2+ny2=i（mnx0）表示椭圆，无符合条件的选项，当m和n异号时，抛物

2m

y=­x22

线n开口向右，方程mx+ny=1表示双曲线，故选A.

11.B

【解析】设NH，%），因为|叫=2|两，所以由抛物线定义

得XI-1=2工2，3=2%>>1y>i=4X],y；=4X2/.X,=4X2,

答案第3页，总13页

如图，设椭圆的长半轴长为'I,双曲线的半实轴长为,2,则根据椭圆

及双曲线的定义：

|PF1|+|PF2|=2aJPF1|-|PF2|=2a2

APF=a+aPF=aa

|lli2l2li-2

n

下同=2(:,公产2=-

设之

则，在小「^2中根据余弦定理可得到

222"

4c=(a1+a2)+(ai-a2)-2(31+-a2)cos-

2o2.2

••・化简得:aj3a2=4C

13

—+—=4

22

该式可变成：6162

132

.+.4>^12j3

s

2e2eeo

e】212exe23

故选A

点睛：本题综合性较强，难度较大，运用基本知识点结合本题椭圆和

双曲线的定义给出a2与Pl、PF?的数量关系，然后再利用余弦定理求

出与c的数量关系，最后利用基本不等式求得范围。

答案第4页，总13页

13•【解析】如图所示，不妨设点”位于第一象限，设抛物线的准线

与X轴交于点F',作MB_LI与点B,NA_LI与点A,由抛物线的解析式可得准

AN+FF'

BM=-----------=3

线方程为x=-2,则AN=2,FF，=4,在直角梯形ANFF，中，中位线2,

由抛物线的定义有：MF=MB=3,结合题意，有MN=MF=3,故

FN|=|FM|+|NM|=3+3=6

点睛:抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物

线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转

化.如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那

么用抛物线定义就能解决问题.因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦

问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样

就可以使问题简单化.

14.2,

,p、P

F(o,一)y=-一

【解析】由抛物线可知焦点2,准线2,由于^ABF为等边三角形，

v'p2+4P1-4+4

B(--------,—)「p=J3(-----------),p=2J3

设AB与y轴交于M,FM=P,22,FM=j3MB,即2，填

2辰

【点睛】

对于圆锥曲线要先定位，再定量，本题的抛物线焦点是在y轴正半径。

答案第5页，总13页

所以求出抛物线的焦点坐标与准线方程，再把准线方程与双曲线组方

程组算出B点坐，再由等边三角形，可解的P,

22

xy

—十——=1

15.205

22

xy

——--=1

【解析】由题意，双曲线22的渐近线方程为y=±x

...以这四个交点为顶点的四边形的面积为16,故边长为4,•••(2，2)

x?y244

C:—+—=l(a>b>0)

在椭圆a2b2上，a2b2

Jia2-b23

e=—,----=-

2222

2a24a=4b/.a=20,b=5

22

xy_

---+———1

..椭圆方程为：2。5

22

xy_

---+———1

故答案为：205

16.—

3

【解析】

试题分析：连接AF,,「OD〃AB,。为FE的中点，「.D为BF,的中点,

又/.|Af^|=|AB|./.|AFj=2|A^|.i^|AF2|=n,|AFj=2n,

e_c_旧用_旧n_V3

|F闾=Gn,e--

a|AF,|+|AF2|

答案第6页，总13页

【方法点晴】本题考查的是椭圆的几何性质（离心率问题），属于中

档题.本题的切入点就在原点。上，利用平行关系，推出D点也是中点，

从而思路豁然开朗.解析几何的中心思想就是数形结合，善于抓图像

的性质，是解好解析几何题的关键所在，特别是小题.离心率问题是

重点题型，主要思路就是想方设法去建立a、c的等或者不等的关系即

可.

（Y，O）UQ2）

17.32

【解析】试题分析：（1）命题p中式子要表示双曲线，只需

（2+乃邰+1）＞0,对于命题q：直线与抛线有两上不同的公共点，即设

,左

＜

直线丫=京+2左+1与抛物线方程组方程组，只需也=16-16可2止+1）＞0,

解出两个不等式（组）中k的范围，再求出交集。

上＞

试题解析：命题百真，则（2+块3无+1）＞0,解得无＜-2或3,

命题，为真，由题意，设直线，的方程为了7=氏。+2）,即了=奴+2无+1,

y=H+1

联立方程组［j=4x,整理得城-"+4（2北+1）=0,

答案第7页，总13页

要使得直线与抛物线有两个公共点，需满足也=16-16H2北+1)>0,

k<-2或上>——

-1<k且出H0

若「八1是真命题，则

所以上的取值范围为32

—+—=1

18.(1)169

【解析】试题分析：(1)由已知，先确定a，。的值，进而求出b?,可

得椭圆的标准方程

(2)由已知可得双曲线焦点在x轴上且c=6,将点A(6,-5)代入双曲线方

程，可求出a=16,b=20,即得双曲线的标准方程

试题解析：

(1)由椭圆的离心率为4,短轴一个端点到右焦点的距离为4,得

22

x_+y__1

a=4,c=J7,b=3,即169

(2)试题分析：由双曲线渐近线方程可知双曲线方程可设为

^1x2-y2=A,代入点(4,向)得；l=l,所以双曲线方程为2?-丁=1

考点：双曲线方程及性质

19.(1)工-汇=1(2)

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【解析】试题分析：(1)由椭圆过点(G,0)得a,再由离心率求c,

最后根据勾股数求b;(2)先根据点斜式写出直线/方程，再与双曲线

联立方程组，消y得关于x的一元二次方程，结合韦达定理，利用弦

长公式求40的长

22

试题解析：(1)因为双曲线c：[-5=1的离心率为G，点(G，

ab~

22

0)是双曲线的一^个顶点，所以a==3,力=C,即——=1(2)经

36

过双曲线右焦点石作倾斜角为30°的直线/：y=#(x-3)与双曲线

联立方程组消y得5%2+6%-27=0,「.%=5,%2=-3,由弦长公式解得

|4回=，71上一到=今叵

点睛：有关圆锥曲线弦长问题的求解方法

涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系，设而不求法计算弦

长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；

涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解.涉及中点弦

问题往往利用点差法

20.(1)C:x2=4y;(2)存在点用(-6,9),“(6,9).

【解析】【试题分析】(1)运用抛物线的定义建立方程5+1=2求出

p=2；(2)借助题设条件建立方程(％+.)(与+/)+16=0,再

运用根与系数的关系得至U方程焉+4京。+12=(),通过对判别式的研究发

现有解，即所设的点存在：

解：(1)由抛物线的定义可得~|+1=2=>〃=2,故抛物线方程为V=4y；

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(2)假设存在满足题设条件的点M(x0,%),则设直线A比丁=依+1代入

3=4y可得％2-4心-4=0,设4(%,乂),3(孙%)，则为+/=4左，七％=-4。因

为MA=^-x0,yi-y0'),MB=(x2-x(),y2-y0'),则由AM_LA/B可得：

(%-%0)(工2-%)+(凶-％)(%-%)=。，即

(%1-%0)(%2-%0)1+5(%+%)(々+/)=0,也即(％+/)(毛+/)+16=0,所

以x；+45+12=0,由于判另4式八=16炉—48=16(4—3)>0,此时

x0=-2,x0=-6,则存在点”(-2,1),加(-6,9),即存在点M(%%)满足题

设。

v-22

21.(1)y+^-=l；(2)证明见解析.

【解析】试题分析：

⑴由题意得到a,b的值即可确定椭圆方程；

(2)设出直线方程，联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理分类讨论即

可证得题中的结论.

试题解析：

22

(1)由题意可得：a2=4,b2=3,则椭圆。的方程为三+汇=1

43

(2)设"%,%)*(9,%)，直线EF方程为y=Ax+。,

x2y2.

{TT-，得：(3+4-产+8助X+4〃-12=0

y=kx+b

4b2-12

由韦达定理：…「心,

中2=3+4公

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3333

%一万

kxi+b--kx2+b--

由题意可知——2.+——^=2,即------2.+-----------2.=2

%1―1%2-]%]一]/一]

:卜+人一|丘2+匕-5卜-1）=2（々-1乂王-1）

艮口（2左一2）X[X,+[b—左+]）（X]+x,）+1—2b=0

4/—128kb）

（2k-2）+（一+/+1—2。=0

3+4/3+4pJ

（2Z—2）（4/72-12）+1b—々+g）（—8Z:b）+（l—2b）（3+4左2）=0

—8b2-24k+27-4kb-6b+4k2=0

8b2+24k-27+4kb+6b-4k2=0

8左2+（4左+6）Z?—（4左2—24左+27）=0

8左24（4左+6）上一（2次-9）（2左一3）=0

[4Z?—（2女一9）][2b+（2k—3）]=0

b=—~—^b=-k+—

242

当〃=4_2时，直线EF方程y=Ax+K_2=Z（x+L]-2恒过定点（一J,-2

242412J4124

当〃=一女+』时，直线EF方程丁="一女+3=女（工一1）+3恒过定点［1,32］与

222V2j2

A点重合，

不合题意舍去，

综上所述，直线E77恒过定点.

点睛：⑴解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消

去M或D建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设

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条件建立有关参变量的等量关系.

⑵涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0

或不存在等特殊情形.

2/y

22.(1)—+/=1(2)当f=3,即人=±在时，面积取到最大

42

值1.

【解析】试题分析：利用离心率可以得出a,c的关系，化为的关系，

再利用AABE的面积列出a,b,c的方程，借助4=〃十^解出“力，写出椭

圆方程，联立方程组，化为关于x的一元二次方程，利用设而