福建省龙岩2023届高三三模数学试题（解析版）

高三第三次模拟考试

数学试题

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.已知集合A={x[l<lnx<2},B4-8x+12W。},则AF=（）

A.1x|2<x<e?|B.{x|e<x<6}

C.{4,5}D.{3,4,5,6}

【答案】D

【解析】

【分析】根据对数函数的性质和一元二次不等式的解法，分别求得集合A,B,结合集合交集的概念及运算，

即可求解.

【详解】由l<lnx<2,可得e<x<e2,则A={x[e<x<e2},

又由炉―8x+12VO,解得2«xW6,因为xeN,所以3={2,3,4,5,6},

所以AcB={3,4,5,6}.

故选：D.

2.已知复数z满足（l—2i）z=|3+4i|,则复数z的虚部为（）

A.2B.-2iC.-2D.i

【答案】A

【解析】

【分析】利用复数的模公式及复数的除法法则，结合复数的定义即可求解.

【详解】由题意可知|3+下|=斤不=后=5，

由"2X3+4"，得2=言=（-荷+2尸+"

所以复数z的虚部为2.

故选：A.

3.在_ABC中，。为BC的中点，E为AC边上的点，且A£=3EC，则EZ）=（）

11

A.——AB+-ACB.-AB--AC

2423

1112-

C.-AB——ACD.——AB+-AC

2423

【答案】C

【解析】

【分析】根据平面向量的线性运算结合图形即可得解.

【详解】由E为4。边上的点，且AE=3EC，

得即33代82妒+冲**

故选：c

4.《九章算术》是世界数学发展史上的一颗璀璨明珠，书中《商功》有如下问题：今有委菽依垣，下周三

丈，高七尺，问积及为菽各几何？其意思为：现将大豆靠墙堆放成半圆锥形，底面半圆的弧长为3丈，高7

尺，问这堆大豆的体积是多少立方尺？应有大豆是多少斛？主人欲卖掉该堆菽，已知圆周率约为3,一丈等

于十尺，1斛约为2.5立方尺，1斛菽卖300钱，一两银子等于1000钱，则主人可得银子两

A.40B.42C.44D.45

【答案】B

【解析】

【分析】先由圆锥体积公式求出半个圆锥的体积，结合大豆的单价即可求出结果.

30

【详解】因为半圆锥的底面半圆弧长为30尺，所以可得底面圆的半径为r=—=10,又半圆锥的高为7

71

1,3

尺，所以半圆锥的体积为V=—口%=—xl00x7=350立方尺=14()斛,

66

所以主人可得银子140x0.3=42两.

故选B

【点睛】本题主要考查圆锥的体积公式，熟记公式即可，属于基础题型.

5.若从0,1,2,3,...9这10个整数中同时取3个不同的数，则其和为偶数的概率为()

【答案】D

【解析】

【分析】先求出基本事件总数，再求出满足条件的事件数，利用古典概型概率求解.

【详解】10不同的数取3个不同的数的情况为：C：o=12O,

其中3个之和为偶数的情况为：

①三个为偶数：C；=10,

②两奇数一偶数：CjC；=50,

601

共60种情况，所以所求概率为：------=—.

1202

故选：D.

6.已知函数/(》)=以^]5一5)+/0＞0)的最小正周期为T，整＜T＜乃，且y=/(x)的图像关于

点(芳,1)中心对称，若将y=/(力的图像向右平移机(加＞0)个单位长度后图像关于y轴对称，则实数〃?

的最小值为()

re3兀7兀\\兀

A.—B.—C.--D.---

10101010

【答案】B

【解析】

【分析】根据周期范围得出①范围，根据对称中心得出Z?的值，并结合。范围得出。的值，即可得出/(x)

的解析式，根据函数图像平移后的解析式变化得出/(%-〃?)，即可根据图像关于了轴对称，得出

571

=br(ZeZ),再根据册的范围得出实数加的最小值.

T2万24

【详解】T=「，⑦>0,且一<T<n,

3

2〃2.7V

..・一<—<式，即2<G<3,

3co

3乃

>=/（力的图像关于点,1中心对称,

2

3万7137r7T7C

=且COS——co--=0,即万0-1=2+%万(％£2),解得力；+*z),

24

2<69V3,

二取&=3,a>=—

2

5万

/./(x)=cos—X--+1,

24

557T］，上,y小

将y=/（X）的图像向右平移机（加>0）个单位长度后得到/（X-相）=cos1+1的图像,

/（工一〃?）的图像关于y轴对称,

..TC2氏727zY、

=k7r^kGZ)，解得加=----------(kGZ)，

105v7

m>0,

7t2〃3〃

••・，”的最小值，令k=—l,得%k一—历十丁一记

故选：B.

7.已知正六棱锥P-ABCDEF的各顶点都在球。的球面上，球心。在该正六棱锥的内部，若球。的体积

为36兀，则该正六棱锥体积的最大值为（）

A.27上B.16A/3c.ioGD.9百

【答案】B

【解析】

【分析】由球与正六棱锥的性质建立六棱锥体积与球心与底面中心距离的函数关系计算即可求得最值.

【详解】如图所示，设球半径为R,球心。到六棱锥底面中心O'的距离为〃，由题意易知正六棱锥顶点P与

O,。'共线,

由球的体积为36兀=3兀内，可得R=3,

3

则A0'—\lR2—/12=59-，匕-ABCOEF=§X(R+〃)XAO'2X6>

即％3CDEF=+(3+办(3+〃>(3j)=5(3+〃>(3+办(6-2%)

<6「(3+，)+(3+/)+(6-2〃)=、6百

-4[3」一.

当且仅当3+/?=6-2〃，即〃=1时，正六棱锥的体积取得最大值.

故选：B

8.已知aMLOSe/uLOTg.CuLOZL02,则a,b,c的大小关系是()

A.c<h<aB.c<a<bC.h<c<aD.a<c<b

【答案】C

【解析】

【分析】构造/(无)=I6*+00D,无w(0,y),二次求导后判断单调性从而得到”>c；构造

X

g(x)=ln(Y~0-01),Xe(0.01,+oo),二次求导后判断单调性从而得到。>人，进而得到答案.

x

ln(x+0.01)、皿——-——-ln(x+0.01)

【详解】构造/(%)=--------,XG(0,+oO),则y，(X)_X+0.01

2

x~

x

构造〃(x)=--------ln(x+0.01),

x+0.01

0.011-X

则〃'(x)<0,

(x+0.01)2x+0.01-(x+0.01)2

故”(工)在(0,+A)内单调递减，u(册—0.01)=五1_-=1——二>0.

Ve22lOOVe

故/'(尤)=华>0对任意xe(0,血—0.01)恒成立，则/(x)(0,、偈一0.01)单调递增,

X

因为(1.02+0.01)2=1.0609<e,所以1.02〈人—0.01,

故小。2)>加。1),即曙〉曙

EP1.011nl.03>1.02lnl.02,BPinl.O3101>lnl.O2102，即a=1。卅>皿02=c，

Y

日工用珈'正/、ln(x-0.01)--------ln(x-0.01)

同理构造g(x)=----------,xe(0.01,+8),则,x—o.oi,

Xg⑺=----------5---------

X

Y-0011-Y

构造V(x)=—―-ln(x-o.oi),则v'(x)=^^~~——T-----—而言<°，故可幻在

x-0.01(X-0.01)x-0.01(X-0.01)

(0.01,+8)内单调递减，V(e+0.01)=e+0'01-1=」一>0，

el(X)e

故g，(x)=华〉0对任意xe(0,e+0.01)恒成立，则g(x)在(0,e+0.01)单调递增，

厂

故g(1.03)>g(1.02),即即i.021nl.02>1.031nL01,

1.031.02

即In1.O2102>lnl.01103.BPc=1.02102>LOT8=),

则a,h,c的大小关系是b<c<a.

故选：c.

【点睛】思路点睛：构造函数是基本的解题思路，因此观察题目所给的数的结构特点，以及数与数之间的

内在联系，合理构造函数，利用导数判断单调性是解题的关键.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.已知相，"是两条不同的直线，a,4是两个不重合的平面，则下列结论正确的是()

A.若加_L”,〃//&,贝

B.若加la,"ip,al/，则/〃_L〃

C.若a_L/7,ac/?=根,〃1.租，则〃_L尸

D.若mua,〃ua,且机与〃不平行，〃?///7,〃//△则a//4

【答案】BD

【解析】

【分析】

结合空间线面位置关系及平行垂直的判定与性质定理对选项进行分别判断.

【详解】A：若mJ.〃,〃//0,则团与a平行或相交或/nua,A选项错误；

B：因为相J_a,a_L£,所以m//尸或加u£,又〃_L£,所以相J_"，B选项正确;

C：若。，民々门力=人〃_1九则〃与£相交或平行或〃匚£,C选项错误；

D：若一个平面内两条相交直线都平行与另一个平面，则这两个平面平行，D选项正确;

故选：BD.

11

10.已知函数/（x）=/2--"---+----21---|----,--则（）

A.7（x）为奇函数B.“X）在区间（0,2）上单调递减

2）的最大值为

C.“X）的极小值为FD.“X1+4

ee

【答案】CD

【解析】

【分析】利用函数奇偶性的定义可判断A选项；利用函数的单调性与导数的关系可判断B选项：分析函数

/（X）的单调性，利用极值的定义可判断C选项；利用极值与最值的关系可判断D选项.

【详解】解：由题意知，“X）的定义域为R,x）=J耳+强■产+产=〃力，

所以“X）为偶函数，A错;

当xe(0,2)时，/(x)=e，-2+er-2=卷卜+土

则e2x-l

r（x）=5所以，函数（）在（）上单调递增，错;

e*+2>0,/x0,2B

对于C选项,当X£[2,+8)时,f(x)=I9T..-,所以,/'(/)=----...-<0,

eeee

所以，函数/(x)在[2,+s)上单调递减.

又因为函数"X)为偶函数，所以，函数“X)的递增区间为(—,一2)、(0,2),递减区间为(一2,0)、(2,+8),

2

所以，函数/(X)的极小值为"0)=1,C对；

对于D选项，因为函数/(x)为偶函数，且函数/(x)的极大值为/⑵=/(—2)=1+二，

e

故函数/(X)最大值为1+4，D对.

e

故选：CD.

11.已知圆M：(x+l『+(y+l)2=4,直线/：x+y-2=0,P为直线/上的动点，过P点作圆M的切

线以，PB,切点为A,B,则下列说法正确的是()

A.当P(l,l)时，直线AB方程为x+y=0B.四边形MAPS面积的最小值为4

C.线段48的最小值为3gD.当NAPB〉三时，点P横坐标取值范围是(—1,3)

【答案】ABD

【解析】

【分析】当P(l,l)时，可求出点〃到直线AB距离，然后结合斜率可解得直线AB的方程，即可判断A,

2

对于B，SMAPB=2SAPM=2x^x\AM\x\PA\=2^|FM|-4,求出|尸网的最小值即可判断，对于C,可

分析出|加|最小时，|AB|最小，即可判断，对于D,当NAPB〉q时，可求出然后可求出点

P横坐标取值范围，即可判断.

【详解】圆M：(x+iy+(y+l)2=4的圆心半径为2,

对于A,当P(l,l)时，|PM|=2j1,1PAl=J口=2,所以是等腰直角三角形，

所以NAMP=45°,ZAMB=90°,

2x_x2x2

所以点M到直线AB距离为2sABM_2______^2,

AB2A/2一

因为右M=l，所以您8=-1，设AB的方程为丁=-x+机，

由点M到直线AB距离为0可得士?®=痣，解得加=0或m=-4(舍)

72

所以直线A5的方程为x+y=0,故A正确，

对于B,因为|M4|=|M@=2,PAA-AM>

所以|PA|=，

所以SM”8=2S.=2X；X|AMX|PA|=29心，

当1PM取最小值时，四边形MAPB面积最小，此时归用|=上戛二1=2后，

所以四边形MAPB面积的最小值为254=4,故B正确；

对于C,因为在AMAB中，|M4|=|MB|=2,所以当NAA出最小时，|Afi|最小，

当NAA出最小时，NAMP最小，|PA|=sin：x|AA/|最小，最小，

由前面知1PML”=20,此时％^=；归加卜|他|=4,所以此时|A用=2逝<3百，故C错误,

2]

对于D,当乙4PB〉工时，ZAPM>-,所以sin/APM=^7T>彳，

36|PM|2

所以|PM|<4,设产(%,2一％),所以J(x+iy+(3-x)2<4,解得一l<x<3,故D正确，

故选：ABD

12.定义在R上的函数/(x)与g(x)的导函数分别为/(x)和g'M,若g(x+1)-/(2—x)=2,

r(x)=g'(x-l),且g(x+2)为奇函数，则下列说法中一定正确的是()

A.g(2)=0B.函数/'(X)关于x=2对称

2023

C.函数/(X)是周期函数D.Zg(左)=0

k=\

【答案】ACD

【解析】

【分析】由g(x+2)为奇函数可得g(2)=0,由g(x+l)-/(2-x)=2取导数可得

g'(x+l)+/'(2—x)=0,结合条件可得/'(x+2)+尸(2-力=0,判断B,再由条件判断函数f(x),g(x)

2023

的周期，由此计算Zg(%)，判断C，D.

k=l

【详解】因为g(x+2)为奇函数，所以g(x+2)=—g(—x+2),

取x=0可得g(2)=0,A对，

因为g(x+l)―/(2-x)=2,所以g'(x+l)+/'(2_x)=0

所以g'(x)+r(3—x)=O,又/'(x)=g'(x-1)，即/(x+l)=g'(x)，

广(x+i)+r(3-x)=o,故r(x+2)+r(2_x)=o,

所以函数/'(x)的图象关于点(2,0)对称，B错，

因为1f(x)=g'(x-l),所以[/(x)—g(x—1)]'=0

所以/(x)—g(x—l)=c，。为常数，

因为g(x+l)―/(2-x)=2,所以g(3—x)―/(x)=2,

所以g(3—x)—g(尤-1)=2+c,取x=2可得c=—2,

所以g(x—l)=g(3—x),X,g(x+2)=-^(-x+2),即g(x+l)=-g(-x+3),

所以g(x+l)=—g(x—l),所以g(x)=-g(x-2),

所以g(x+4)=—g(x+2)=g(x),故函数g(x)为周期为4的函数，

因为g(x+2)=—g(x),所以g(3)=—g(l),g(4)=—g⑵=0,

所以g⑴+g(2)+g(3)+g(4)=0,

2023

所以Zg⑻=[g⑴+g(2)+g(3)+g(4)]+[g(5)+g(6)+g⑺+g(8)]+…

Jt=l

+[g(2017)+g(2018)+g(2019)+g(2020)]+g(2021)+g(2022)+g(2023),

所以Zg(%)=5O5xO+g(2021)+g(2022)+g(2023)=g⑴+g(2)+g(3)=—g(4)=0，

故Zg(%)的值为0，D正确:

因为g(3—x)_/(x)=2,即/(x)=g(3—x)—2

故函数/(x)也为周期为4的函数，C正确.

故选：ACD.

【点睛】本题的关键在于结合g(x+l)-/(2—x)=2,f'(x)=g'(x-l),且g(x+2)为奇函数三个条件,

得到函数/(x),g(x)的周期，利用对称性和周期性判断各个选项.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.在卜-弓(l+x『的展开式中，尤2/的系数为

【答案】150

【解析】

【分析】由二项展开式的通项刀+小C：对原式展开可得C"收2.c；./=(-，

再由fy2项的系数解得|：一：,代入求解即可.

【详解】两个二项式展开式的通项之积为

2.晨./=(O<A:<5,0<r<6,A：mrN,

r=4

则令《

k=2

故展开式中的系数为卜=[50.

故答案为：150.

14.已知直线4：y=0,5=瓜,圆C的圆心在第一象限，且与4，4都相切，则圆c的一个方程为

.(写出满足题意的任意一个即可)

【答案】(x-6『+(y-l)2=l(答案不唯一)

【解

【分析】根据直线与圆的位置关系结合条件可得圆的标准方程，进而即得.

【详解】由题意可得，4：y=0为X轴，=的倾斜角为60,

因为圆c的圆心在第一象限，且与4，都相切，

所以圆心所在直线的倾斜角为30，

所以圆心C在直线y=上，

-3

设圆C的圆心为则

由题意可知，圆C的半径为r=同，

所以圆C的方程为（无一百

故答案为：1一6丫+（y—l）2=1（答案不唯一）

2

15.如图，6，F,分别为椭圆二+>2=i的左、右焦点，A,C在椭圆上且关于原点对称（点A在第一象

4

49

限），延长c居交椭圆于点8,若M用+忸瑞卜五，则直线AC的方程为.

【答案】x-2百y=0

【解析】

【分析】根据椭圆的对称性得出四边形A4Cg为平行四边形，则A耳〃6心，设直线44的斜率为则

直线A耳的方程为y=Z（x+百），联立直线A耳与椭圆方程消去y得出

（4炉+1）/+86炉x+12炉一4=0,则x=一46公+2"2+1,同理％=4欣+2”上,即可

''A4公+1B4A2+1

根据弦长公式列式解出左2=J-,即可得出答案.

48

【详解】连接AK，CFt,

陷=凶，恒。=|明,

二四边形AFtCF2为平行四边形,

AFiBF2.

设直线AF,的斜率为k,

Q7^(-73,0),直线44的方程为y=&(x+G).

y=

联立方程，得‘2整理得(4产+l)x2+8G尸x+12公一4=0,

—+/=1

I4-

点4在第一象限，

_一8百％2+4,"2+1_+2]E+1MlfflHT®46k2+2“2+1

-2(4/+1)—一访一‘即里可得”—册一

•」A£|+忸用=J+A2kA+国+，1+公卜3_川=>/1+父(4+/)=[+])=患，得k=48,

,直线4c的方程为x—2&y=0.

xA=-\/3,则

16.若在平面直角坐标系xOy中，曲线/(幻=依+21nx(a>0)与x轴交于点A,且在点A处的切线与两

坐标轴围成的三角形的面积为2,则。的值为.

e

【答案】2e

【解析】

【分析】根据题意，结合零点存在性定理得点A的横坐标为%,%e(0,l)，。=-4詈，再求得切线方

2

程，计算面积得，的面积S=Xo-XolnXo=一，最后根据函数g(x)=x—xlnx,xw(0,l)的性质得答

e

案.

【详解】解：由题意知/'(x)=a+：>。，/(e-<,)=«(e-fl-2)<0,/⑴=a>0,

所以曲线y=/(x)与x轴有唯一交点A，记点A的横坐标为玉,，

所以，Aoe(O,l),«=1,

玉)

所以曲线y=/(x)在点A处的切线的方程为y=a+—(x-x())=a+—x-2-axQ.

\xo)kxoJ

设切线与y轴交于点8,则%,=-2—西)，易得为<0，

12

所以一。43的面积S=-x(2+<7x)=x-xlnx

20e00oo

设g(x)=x—xlnx,xe(O,l),则g'(x)=-Inx>0在xe(0,l)恒成立，

所以g(无)(0,1)上单调递增，

因为

故答案为：2e

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.

17.已知各项均为正数的等比数列｛凡｝,其前〃项和为S,,,满足2S,=。,+2-6,

(1)求数列｛4｝的通项公式；

(2)记耙为数列｛S,｝在区间(％4n+2)中最大的项，求数列｛2｝的前"项和我.

【答案】(1)%=3X2"T；

(2)7；,=3X2,,+2-12-3».

【解析】

【分析】(1)由题可得24=4一4，然后利用等比数列的基本量运算即得；

,n+1

（2）根据条件可得S“=3x2"—3=a„+1-3<an+],进而可得bm=Sm+13x2-3,然后利用分组求和

法即得.

【小问1详解】

设｛4｝的公比为0,则“()，又2S“=a,,+2-6,

当〃=1时，25]=〃3-6,当〃=2时，252=a4-6,

两式相减可得，2%=%一。3，所以2=^-4，

所以4二2或“=一1(舍去)，

所以2S]=4—6=4q—6,即弓=3,

所以等比数列｛4｝的通项公式为％=3X2“T；

【小问2详解】

由4=3x2”T,2S„=a,.-6，可得Sn=^(«,1+2-6)=1(3x2"”—6)=3x2"—3,

所以S“=a“+1—3<a"M，又a”>0,

所以S“Na“，当且仅当〃=1时等号成立，

所以册《鼠<Sm+1<alll+2<S,n+2,

所以2,=S“M=3X2'"M—3,

所以北=3(22+23+24+...+2.)-3以=3x^1——3n=3x2n+2-12-3n.

即7；=3X2"2-12-3〃.

18.设钝角△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且(片+力2一C2)R=〃〃，其中R是，ABC

外接圆的半径.

7K

(1)若8=」，求C的大小；

12

7T

(2)若Q)=2D4，NC8O=],证明：一ABC为等腰三角形.

【答案】(1)C=—

(2)证明见解析

【解析】

【分析】（1）应用正余弦边角关系及三角形内角性质得8=C+¥，即可求C的大小;

2

2乙,2

（2）由（1）及题设易知.ABC^ADB,则有c2=1〃2,应用余弦定理可得「a+33a,

3

lab2b

进而确定三角形形状.

【小问1详解】

因为,2）宠="2,由余弦定理得：2R"COSC="2,所以2HCOSC=。,

由正弦定理得：2RcosC=2Hsin3,所以cosC=sin8,

兀711Tl7C

又A,5,Ce（0,7i）,B+Cw—,所以B=C+—,又3=」，所以C=一.

221212

【小问2详解】

由题意得AD=2,CD=-b,

33

71

由（1）知：ZABC=ZC+-,所以ZABQ=NC,

2

ARAni

所以_A6C^ADB»则...-----,即A8?=AO・AC,即c?"—

ACAB3

2

（T-I------A在中

在4ABe中「a9-+b'-c923RtZSA5ccosC=%,

cosC=--------------=-----------2h

2ab2ab

所以与:吟,解得"部故cosC点考,

又Ce（0,7i）,故。=巴，A2c哈

6

所以_ABC为等腰三角形.

19.已知三棱台ABC中，A4,_L底面ABC,AB=AC=2,M==1>AB\-LACi-E、

尸分别是8C、的中点，。是棱4G上的点.

（1）求证：AB}±DE-

（2）若。是线段AG的中点，平面DE户与4月的交点记为M,求二面角C——£的余弦值.

【答案】（1）证明见解析

【解析】

【分析】（1）证明出EG,平面A4//,可得出Ag_LEG,证明出四边形AA,4G是正方形，可得出

ABt1AG,利用线面垂直的判定定理可得出Ag，平面AOEG,再利用线面垂直的性质可证得结论成

立；

（2）延长所与eg相交于点。，连接。。，则。Q4q=加，推导出点〃为△4G。的重心，然后

以点A为原点，AC所在的直线为X轴，A8所在的直线为y轴，A4所在的直线为Z轴建立空间直角坐标

系，利用空间向量法可求得二面角C-AW-E的余弦值.

【小问1详解】

证明：取线段A3的中点G，连接AG、EG,如图所示：

因为E、G分别为BC、45的中点，则EG//AC,

在三棱台ABC-A/G中，AG〃AC，所以，EG%©,且。eAC，

故E、G、A、。四点共面，

因为AB|J_AG,AG〃AC，则AB\-LAC,

又因为A4,_L底面ABC,AG.ACu平面A8C,所以A4,，AC,AG±A4,,

因为A3cA4=A,45、A4,u平面A448,所以AC,平面

因为EG//AC，所以EG，平面A4,48,

因为A4u平面例旦8,所以A4LEG,

因为A41=Ag=AG=1,AGHA\B\,

又因为A4,_LAG,所以四边形A&gG是正方形，所以Ag_LA|G,

又因为EGiAG=G,EG、46<=平面4。七6,所以平面4OEG,

因为DEu平面AQEG,所以Ag_LZ)E.

【小问2详解】

解：延长石尸与G片相交于点。，连接。。，则。。4片=加，

因为F、E分别为和8c的中点，BQHBE,则刍2=里=1,

BEBF

则B[Q=BE=gBC=BC，所以，名为GQ的中点，

22

又因为。为4G的中点，且44DQ=M,则M为AAGQ的重心，则

由Q)知ACJ.AB,所以AC、AB,两两垂直，

以点A为原点，AC所在的直线为x轴，A3所在的直线为了轴，A4所在的直线为z轴建立空间直角坐标

则8((),2,0)、C(2,0,0),E(l,l,())、LA(0,0,0),

所以，AC=(2,0,0),0,|,1LA£=(1,1,0).

马•AC=2。=0

设平面M4c的法向量勺=c）,则＜2，

马•AM=—/?+c=0

取力=-3,则勺=（0,—3,2）,

&•AE=x+y=0

LU

设平面4WE的法向量为4=（x,y,z）,则＜2，

n2•AM=—y+z=0

取y=-3,可得巧=（3,-3,2）,

由图可知，二面角C-AM-E为锐角，故二面角。一AM-£的余弦值为叵5.

22

20.一个不透明的盒子中有质地、大小相同的球5个，其中红球3个，黄球2个，每次不放回的随机从盒中

取一个球，当盒中只剩一种颜色时，停止取球.

（1）求盒子中恰剩2个红球的概率；

（2）停止取球时，记盒子中所剩球的个数为X,求X的分布列与数学期望.

【答案】（I）!

3

（2）分布列见解析，£（%）=-

【解析】

【分析】（1）由古典概型概率计算公式可得答案；

（2）求出X的所有可能取值及对应的概率可得答案.

【小问I详解】

恰剩2红球，第3次必是黄球，

LcAI

所以盒子中恰剩2个红球的概率6=.2?-2.=二；

【小问2详解】

X的所有可能取值为1,2,3,

P（x=i）=C。岑邑=3

A、5

丘2）*竽H

2

P（x=3）=A^=-1,

\'A；10

；.x的分布列为

X123

331

P

51010

3313

E（X）=lx-+2x—+3x—=-

V7510102

21.已知双曲线C：,—>2=i,点A是双曲线C的左顶点，点p坐标为（4,0）.

（1）过点P作。的两条渐近线的平行线分别交双曲线C于R,S两点.求直线RS的方程；

“2

（2）过点P作直线/与椭圆二+尸=1交于点。，£,直线AD，AE与双曲线。的另一个交点分别是点

4-

M,N.试问：直线MN是否过定点，若是,请求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由.

【答案】（I）x=-

2

（2）直线MN过定点（1,0）

【解析】

【分析】（1）根据题意求出与渐近线平行的直线方程，再求出与双曲线的交点坐标后求解即可；

（2）设直线A。，AE，的方程，因为直线AO,AE分别与椭圆和双曲线相交，故可以利用心”=心。，

kAN=kAE,建立方程，化简得出直线斜率与截距之间的关系，求出直线所过定点.

【小问1详解】

由题意，得双曲线C的渐近线方程为y=±；x,

过/＞与〉=^^平行的直线方程为＞=；（尤—4）,由＜y=«_4）,解得卡5_3

2，-4

x2-4y2=4

过p与y=—3X平行的直线方程为y=—；（%-4）,由<>=_2^-4\解得s

x2-4y2=4

【小问2详解】

直线MN过定点.

由已知，易知过P的直线斜率存在且不为0,直线A£＞,AE斜率存在且不为0,

设直线AO,AE的直线方程分别为》=4＞一2和》=/2丁一2,Z）（xD,yD）,E（x£,y£）.

x=ty-2/9X?4r.2/一8

由，『+}4丫2-4'得G+4）y-4行=0,解得%=中’则%=舌了

AI*-Ty—*-rI-T十号

4/,21一8

同理方=”之'则"D=

匕+4

-2彳-24例、_21_24包

又P,D,E三点共线，而PD=,PE=

彳+4，f；+4.g+4W+4

-2/；-24%-2g-24

故X=0,解得^2=12.

彳+4匕+4考+4彳+4

k—J_k%J

设N（孙％），则匕wKAD一，KAN

%+2x,+2’2

X.+2生匕=12,

4’2=

y

即（司+2）（w+2）=12y%=12（AXj+〃z）（仇+m）

化简整理，得（12七〃一2）（玉+9）+（12左2-I）%%+12〃?2-4=0（*）,

易知直线斜率存在，设直线肠V的方程丫=丘+帆，

由，22“，消去》整理，得(1-4公)d—8k71r-4机--4=0,

x-4y-4v'

...当1一442xo且△=64Z"+160—4—)(>+1)>0时，

8km-4m2-4

有％+々

1—4/1一4公

代入(*)化简，解得m2一根女一2公=(),

即(zn+k)(加一2左)=0,故m=—k或m=2k.

当初=2A时，y=kx+m=kx+2k,经过点(一2,0),不合题意,

当机=—左时，y=kx+m=kx-k,经过点(1,0),满足题意.

因此直线MN过定点(1,0).

(1)从特殊入手，求出定点(通常为特殊位置，如轴上的点)，再证明这个点与变量无关;

(2)直接通过题目中的几何关系进行推理、计算、化简，消去变量，从而得到定点.

22.已知函数〃x)=e""T-x.

(1)讨论函数/(%)的单调性；

(2)当团>0时，函数g(x)=/(x)-虹"+x恰有两个零点.

m

(i)求的取值范围；

,1

(ii)证明：g(%)>m,n-mw,

【答案】(1)答案见解析

(2)(i)(0,1)；(ii)证明见解析

【解析】

【分析】(1)求导，再分mwo和加>0,根据导数的符号