山东省青岛三中2024届数学高一下期末质量检测模拟试题含解析

山东省青岛三中2024届数学高一下期末质量检测模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．的内角的对边分别为成等比数列，且，则等于（）A． B． C． D．2．在区间上随机地取一个数.则的值介于0到之间的概率为（）.A． B． C． D．3．某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件。为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n=（）A．9 B．10 C．12 D．134．设等比数列的前项和为，若，，则（）A．63 B．62 C．61 D．605．已知锐角三角形的边长分别为1，3，，则的取值范围是（）A． B． C． D．6．已知△ABC的项点坐标为A（1，4），B（﹣2，0），C（3，0），则角B的内角平分线所在直线方程为（）A．x﹣y+2＝0 B．xy+2＝0 C．xy+2＝0 D．x﹣2y+2＝07．已知点是抛物线：的焦点，点为抛物线的对称轴与其准线的交点，过作抛物线的切线，切点为，若点恰好在以，为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．8．一个三角形的三边长成等比数列，公比为，则函数的值域为（）A．（，+∞） B．[，+∞） C．（，－1） D．[，－1）9．在中，角的对边分别是，若，则角的大小为（）A．或 B．或 C． D．10．已知、都是单位向量，则下列结论正确的是（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知点，，若向量，则向量______.12．若是方程的解，其中，则______.13．若，且，则=_______.14．已知腰长为的等腰直角△中，为斜边的中点，点为该平面内一动点，若，则的最小值________．15．在公比为q的正项等比数列{an}中，a3＝9，则当3a2+a4取得最小值时，＝_____．16．已知函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜)，y＝f(x)的部分图象如图所示，则f()＝________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知数列的前项和为，，.（1）证明：数列是等比数列，并求其通项公式；（2）令，若对恒成立，求的取值范围.18．如图，四棱锥中，底面，，，点在线段上，且.（1）求证：平面；（2）若，，，求四棱锥的体积；19．在中，角A,B,C，的对应边分别为，且.（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若的面积为，，D为AC的中点，求BD的长．20．如图所示，已知的斜边长，现以斜边横在直线为轴旋转一周，得到旋转体．（1）当时，求此旋转体的体积；（2）比较当，时，两个旋转体表面积的大小．21．已知函数．（1）若在区间上的最小值为，求的值；（2）若存在实数，使得在区间上单调且值域为，求的取值范围．

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解题分析】

成等比数列，可得，又，可得，利用余弦定理即可得出．【题目详解】解：成等比数列，，又，，则故选B．【题目点拨】本题考查了等比数列的性质、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．2、D【解题分析】

由，得.由函数的图像知，使的值介于0到之间的落在和之内.于是，所求概率为.故答案为D3、D【解题分析】试题分析：：∵甲、乙、丙三个车间生产的产品件数分别是120，80，60，∴甲、乙、丙三个车间生产的产品数量的比依次为6：4：3，丙车间生产产品所占的比例，因为样本中丙车间生产产品有3件，占总产品的，所以样本容量n=3÷=1．考点：分层抽样方法4、A【解题分析】

由等比数列的性质可得S2，S4-S2，S6-S4成等比数列，代入数据计算可得．【题目详解】因为，，成等比数列，即3，12，成等比数列，所以，解得.【题目点拨】本题考查等比数列的性质与前项和的计算，考查运算求解能力.5、B【解题分析】

根据大边对大角定理知边长为所对的角不是最大角，只需对其他两条边所对的利用余弦定理，即这两角的余弦值为正，可求出的取值范围．【题目详解】由题意知，边长为所对的角不是最大角，则边长为或所对的角为最大角，只需这两个角为锐角即可，则这两个角的余弦值为正数，于此得到，由于，解得，故选C．【题目点拨】本题考查余弦定理的应用，在考查三角形是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形，一般由最大角来决定，并利用余弦定理结合余弦值的符号来进行转化，其关系如下：为锐角；为直角；为钝角.6、D【解题分析】

由已知可得|AB|＝|BC|＝5，所以角B的内角平分线所在直线方程为AC的垂直平分线，继而可以求得结果．【题目详解】由已知可得|AB|＝|BC|＝5，所以角B的内角平分线所在直线方程为AC的垂直平分线，又线段AC中点坐标为（2，2），则角B的内角平分线所在直线方程为y﹣2，即x﹣2y+2＝1．故选：D．【点评】本题考查直线的位置关系，考查垂直的应用，由|AB|＝|BC|＝5转化为求直线的AC的垂直平分线是关键，属于中档题．7、C【解题分析】由题意，得，设过的抛物线的切线方程为，联立，，令，解得，即，不妨设，由双曲线的定义得，，则该双曲线的离心率为.故选C.8、D【解题分析】

由题意先设出三边为则由三边关系：两短边和大于第三边，分公比大于与公式在小于两类解出公比的取值范围，此两者的并集是函数的定义域，再由二次函数的性质求出它的值域，选出正确选项.【题目详解】解：设三边：则由三边关系：两短边和大于第三边，即

（1）当时，，即，解得；

（2）当时，为最大边，，即，解得，

综合（1）（2）得：，

又的对称轴是，故函数在上是减函数，在上是增函数，

由于时，与时，，

所以函数的值域为，故选：D.【题目点拨】本题考查等比数列的性质及二次函数的值域的求法，解答本题关键是熟练掌握等比数列的性质，能利用它建立不等式解出公比的取值范围得出函数的定义域，熟练掌握二次函数的性质也很重要，由此类题可以看出，扎实的双基，娴熟的基础知识与公式的记忆是解题的知识保障.9、B【解题分析】

通过给定条件直接利用正弦定理分析，注意讨论多解的情况.【题目详解】由正弦定理可得：，，∵，∴为锐角或钝角，∴或．故选B．【题目点拨】本题考查解三角形中正弦定理的应用，难度较易.出现多解时常借助“大边对大角，小边对小角”来进行取舍.10、B【解题分析】

由、都是单位向量，由向量的数量积和共线的定义可判断出正确选项.【题目详解】由、都是单位向量，所以.设、的夹角为.则，所以A，D不正确.当时，、同向或反向，所以C不正确.,所以B正确.故选：B【题目点拨】本题考查了单位向量的概念，属于概念考查题，应该掌握．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】

通过向量的加减运算即可得到答案.【题目详解】，.【题目点拨】本题主要考查向量的基本运算，难度很小.12、【解题分析】

把代入方程2cos（x+α）＝1，化简根据α∈（0，2π），确定函数值的范围，求出α即可．【题目详解】∵是方程2cos（x+α）＝1的解，∴2cos（+α）＝1，即cos（+α）＝．又α∈（0，2π），∴+α∈（，）．∴+α＝．∴α＝．故答案为【题目点拨】本题考查三角函数值的符号，三角函数的定义域，考查逻辑思维能力，属于基础题．13、【解题分析】

由的值及，可得的值，计算可得的值.【题目详解】解：由，且，由，可得，故，故答案为：.【题目点拨】本题主要考查了同角三角函数的基本关系，熟练掌握其基本关系是解题的关键.14、【解题分析】

如图建立平面直角坐标系，∴，当sin时，得到最小值为，故选．15、【解题分析】

利用等比数列的性质，结合基本不等式等号成立的条件，求得公比，由此求得的值.【题目详解】∵在公比为q的正项等比数列{an}中，a3＝9，根据等比数列的性质和基本不等式得，当且仅当，即，即q时，3a2+a4取得最小值，∴log3q＝log3．故答案为：【题目点拨】本小题主要考查等比数列的性质，考查基本不等式的运用，属于基础题.16、3【解题分析】

根据图象看出周期、特殊点的函数值，解出待定系数即可解得.【题目详解】由图可知：解得又因：所以又因：即所以又所以又因：所以即所以所以所以故得解.【题目点拨】本题考查由图象求正切函数的解析式，属于中档题。三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析，（2）【解题分析】

（1）当时，结合可求得；当且时，利用可整理得，可证得数列为等比数列；根据等比数列通项公式可求得结果；（2）根据等比数列求和公式求得，代入可得；分别在为奇数和为偶数两种情况下根据恒成立，采用分离变量的方法得到的范围，综合可得结果.【题目详解】（1）当时，，又当且时，数列是以为首项，为公比的等比数列（2）由（1）知：当为奇数时，，即：恒成立当为偶数时，，即：综上所述，若对恒成立，则【题目点拨】本题考查等比数列知识的综合应用，涉及到利用与关系证明数列为等比数列、等比数列通项公式和求和公式的应用、恒成立问题的求解；本题解题关键是能够进行合理分类，分别在两种情况下求解参数的范围，最终取交集得到结果.18、（1）证明见解析（2）【解题分析】

（1）根据底面证得，证得，由此证得平面.（2）利用锥体体积公式，计算出所求锥体体积.【题目详解】（1）证明：底面，平面，，，，，又，平面，平面，平面.（2），，，∴四边形是矩形，，，又，，，即，.【题目点拨】本小题主要考查线面垂直的证明，考查锥体体积计算，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于基础题.19、（I）；(II)【解题分析】

（I）由正弦定理得，展开结合两角和的正弦整理求解；（Ⅱ）由面积得，利用平方求解即可【题目详解】（I），由正弦定理得整理得，则，，.(II)，，两边平方得【题目点拨】本题考查正弦定理及两角和的正弦，三角形内角和定理，考查向量的数量积及模长，准确计算是关键，是中档题20、（1）；（2）见解析.【解题分析】

（1）根据旋转体的形状，可利用两个圆锥的体积和得到所求（2）分别计算两个圆锥的侧面积求和即可.【题目详解】沿斜边所在直线旋转一周即得到如图所示的旋转体．∵，，∴，，，∴．（2）当，其表面积；当，其表面积．通过计算知，，∴．【题目点拨】本题主要考查了旋转体的形成，圆锥的体积、面积求法，属于中档题.21、（1）；（2）.【解题分析】

（1）根据二次函数单调性讨论即可解决．（2）分两种情况讨论，分别讨论单调递增和