天津市和平区名校2024届数学高一第二学期期末考试模拟试题含解析

天津市和平区名校2024届数学高一第二学期期末考试模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．sin480°等于（）A． B． C． D．2．已知点，，则与向量的方向相反的单位向量是（）A． B． C． D．3．已知直线倾斜角的范围是，则此直线的斜率的取值范围是（）A． B．C． D．4．如果数据的平均数为，方差为，则的平均数和方差分别为()A． B． C． D．5．在长方体中，,,则异面直线与所成角的余弦值为()A． B． C． D．6．角α的终边上有一点P（a，|a|），a∈R且a≠0，则sinα值为（）A． B． C．1 D．或7．已知数列满足，，则的值为（）A． B． C． D．8．直线l：的倾斜角为（）A． B． C． D．9．若，直线的倾斜角等于（）A． B． C． D．10．在中，是的中点，是上的一点，且，若，则实数（）A．2 B．3 C．4 D．5二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．等比数列中，若，，则______.12．已知等差数列中，，则_______13．已知，，若，则______14．已知函数，若，且，则__________．15．已知满足约束条件，则的最大值为__16．已知，，，的等比中项是1，且，，则的最小值是______.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知，.求和的值.18．已知二次函数满足以下要求：①函数的值域为；②对恒成立。求：（1）求函数的解析式；（2）设，求时的值域。19．在等比数列中，.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.20．已知数列的前项和为，满足，，数列满足，，且.（1）求数列的通项公式；（2）求证：数列是等差数列，求数列的通项公式；（3）若，数列的前项和为，对任意的，都有，求实数的取值范围.21．已知直线的方程为．（1）求直线所过定点的坐标；（2）当时，求点关于直线的对称点的坐标；（3）为使直线不过第四象限，求实数的取值范围．

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、D【解题分析】试题分析：因为，所以选D.考点：诱导公式，特殊角的三角函数值.2、A【解题分析】

根据单位向量的定义即可求解.【题目详解】,向量的方向相反的单位向量为，故选A.【题目点拨】本题主要考查了向量的坐标运算，向量的单位向量的概念，属于中档题.3、B【解题分析】

根据直线的斜率等于倾斜角的正切值求解即可.【题目详解】因为直线倾斜角的范围是,又直线的斜率,.故或.故.故选：B【题目点拨】本题主要考查了直线斜率与倾斜角的关系,属于基础题.4、D【解题分析】

根据平均数和方差的公式，可推导出，，，的平均数和方差．【题目详解】因为，所以，所以的平均数为；因为，所以，故选：D.【题目点拨】本题考查平均数与方差的公式计算，考查对概念的理解与应用，考查基本运算求解能力.5、C【解题分析】

连接，交于，取的中点，连接、，可以证明是异面直线与所成角，利用余弦定理可求其余弦值.【题目详解】连接，交于，取的中点，连接.由长方体可得四边形为矩形，所以为的中点，因为为的中点，所以，所以或其补角是异面直线与所成角.在直角三角形中，则，，所以.在直角三角形中，，在中，，故选C.【题目点拨】空间中的角的计算，可以建立空间直角坐标系把角的计算归结为向量的夹角的计算，也可以构建空间角，把角的计算归结平面图形中的角的计算.6、B【解题分析】

根据三角函数的定义，求出OP，即可求出的值．【题目详解】因为，所以，故选B．【题目点拨】本题主要考查三角函数的定义应用．7、B【解题分析】

由，得，然后根据递推公式逐项计算出、的值，即可得出的值.【题目详解】，，则，，，因此，，故选B.【题目点拨】本题考查数列中相关项的计算，解题的关键就是递推公式的应用，考查计算能力，属于基础题.8、C【解题分析】

由直线的斜率，又，再求解即可.【题目详解】解：由直线l：，则直线的斜率，又，所以，即直线l：的倾斜角为，故选：C.【题目点拨】本题考查了直线倾斜角的求法，属基础题.9、A【解题分析】

根据以及可求出直线的倾斜角.【题目详解】，，且直线的斜率为，因此，直线的倾斜角为.故选：A.【题目点拨】本题考查直线倾斜角的计算，要熟悉斜率与倾斜角之间的关系，还要根据倾斜角的取值范围来求解，考查计算能力，属于基础题.10、C【解题分析】

选择以作为基底表示，根据变形成，即可求解.【题目详解】在中，根据平行四边形法则，有，是的中点，，由题：，即，，，所以，所以解得：故选：C【题目点拨】此题考查平面向量的线性运算，根据平面向量基本定理处理系数关系.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】

设的首项为，公比为，根据，列出方程组，求出和即可得解.【题目详解】设的首项为，公比为，则：，解之得，所以：.故答案为：.【题目点拨】本题考查等比数列中某项的求法，解题关键是根据题意列出方程组，需要注意的是为了简化运算不用直接求解，解出即可，属于基础题.12、【解题分析】

设等差数列的公差为，用与表示等式，再用与表示代数式可得出答案。【题目详解】设等差数列的公差为，则，因此，，故答案为：。【题目点拨】本题考查等差数列中项的计算，解决等差数列有两种方法：基本性质法（与下标相关的性质）以及基本量法（用首项和公差来表示相应的量），一般利用基本量法来进行计算，此外，灵活利用与下标有关的基本性质进行求解，能简化计算，属于中等题。13、【解题分析】

根据向量垂直的坐标表示列出等式，求出，再利用二倍角公式、平方关系即可求出．【题目详解】由得，，解得，．【题目点拨】本题主要考查了向量垂直的坐标表示以及二倍角公式、平方关系的应用．14、2【解题分析】不妨设a＞1，

则令f（x）=|loga|x-1||=b＞0，

则loga|x-1|=b或loga|x-1|=-b；

故x1=-ab+1，x2=-a-b+1，x3=a-b+1，x4=ab+1，

故故答案为2点睛：本题考查了绝对值方程及对数运算的应用，同时考查了指数的运算，注意计算的准确性.15、【解题分析】

由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【题目详解】由约束条件作出可行域，如图所示，化目标函数为，由图可得，当直线过时，直线在轴上的截距最大，所以有最大值为．故答案为1．【题目点拨】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．16、4【解题分析】

，的等比中项是1，再用均值不等式得到答案.【题目详解】，的等比中项是1当时等号成立.故答案为4【题目点拨】本题考查了等比中项，均值不等式，意在考查学生的综合应用能力.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、，【解题分析】

把已知等式两边平方，利用同角三角函数基本关系化简，可得的值，同时由与的值可判断出，，计算出的值，可得的值.【题目详解】解：，两边同时平方可得：，又，，∴∴，∴【题目点拨】同时主要考查同角三角函数关系式的应用，相对不难，注意运算的准确性.18、(1)；(2)【解题分析】

（1）将写成顶点式，然后根据最小值和对称轴进行分析；（2）先将表示出来，然后利用换元法以及对勾函数的单调性求解值域.【题目详解】解：（1）∵又∵∴对称轴为∵值域为∴且∴,，则函数（2）∵∵∴令,则∴∵∴，则所求值域为【题目点拨】对于形如的函数，其单调增区间是：和，单调减区间是：和.19、（1）（2）【解题分析】

（1）利用条件求数列的首项与公比，确定所求.(2)将分组，，再利用等比数列前n项和公式求和【题目详解】解：（1）设等比数列的公比为，所以，由，所以，则；（2），所以数列的前项和,则数列的前项和.【题目点拨】本题考查等比数列的通项，分组求和法，考查计算能力，属于中档题.20、（1）；（2）证明见解析，；（3）或.【解题分析】

（1）运用数列的递推式以及数列的和与通项的关系可得，再由等比数列的定义、通项公式可得结果；（2）对等式两边除以，结合等差数列的定义和通项公式，可得所求；（3）求得，由数列的错位相减法求和，可得，化简,即，对任意的成立，运用数列的单调性可得最大值，解不等式可得所求范围．【题目详解】(1)，可得，即；时,,又，相减可得,即，则；(2)证明：，可得，可得是首项和公差均为1的等差数列，可得,即；(3)，前n项和为，，相减可得，可得，,即为，即,对任意的成立，由，可得为递减数列，即n=1时取得最大值1−2=−1，可得，即或.【题目点拨】“错位相减法”求数列的和是重点也是难点，利用“错位相减法”求数列的和应注意以下几点：①掌握运用“错位相减法”求数列的和的条件（一个等差数列与一个等比数列的积）；②相减时注意最后一项的符号；③求和时注意项数别出错；④最后结果一定不能忘记等式两边同时除以.21、（1）；（2）；（3）【解题分析】

（1）把直线化简为，所以直线过定点（1，1）；（2）