高中数学第八章第1节《基本立体图形》提高训练题 (38)(含答案解析)

第八章第1节《基本立体图形》提高训练题（38）

一、单项选择题（本大题共13小题，共65.（）分）

1.体积为史至的三棱锥4-BCD中，BC=AC=BD=AD=3,CD=2V5.AB<2五,则该三棱

3

锥外接球的表面积为

A.207rB.C.D.

31212

2.在正方体ZBCD-AiBiGCi中，N为底面ABC。的中心，尸为线段为5上的动点（不包括两个端

点），M为线段AP的中点，则下列判断错误的是（）

A.CM>PN

B.CM与PN是异面直线

C.平面P4N平面80/Bi

D.过P,A,C三点的正方体的截面一定是等腰梯形

3.在正方体4BC0-&当的以中，N为底面A8C。的中心，尸为线段&么上的动点（不包括两个端

点），M为线段AP的中点，则下列判断错误的是（）

A.CM与PN是异面直线

B.CM>PN

C.平面PAN_L平面80。近1

D.过P,A,C三点的正方体的截面一定是等腰梯形

4.如图，正方体48。。一4181（:1。1中，E是棱441的中点，若三棱锥E-外接球的半径R等

于也，则正方体48。。-481Q么的梭长为（）.

4

5.对于棱长为1的正方体4BCC—&B1G01，有如下结论，其中错误的结论是（）

A.以正方体的顶点为顶点的几何体可以是每个面都为直角三角形的四面体

B.过点A作平面为8。的垂线，垂足为H,贝IJA,H,G三点共线

C.过正方体中心的截面图形不可能是正六边形

D.三棱锥4—8修。1与正方体的体积之比为1:3

6.如图，正方体4BC0—4iBiCiDi中，E是棱的中点，若三棱锥E-外接球的半径R等

于也，则正方体4BC。-&81Q么的棱长为

4

7.三棱锥S-力BC的所有顶点都在球。的表面上,S4，平面ABC,AB1BC,又S4=AB=BC=1,

则球。的表面积为（）.

A.—B.C.37rD.12兀

2-2TC

8.边长为1的正四面体的外接球的半径为R,其内切球的半径为广，则£=（）

K

B.日C.iD.i

9.在四棱锥P—4BCZ）中，PA=2,PB=PC=PD=y[7,AB=AD=巾，BC=CD=2,则四

棱锥P-ABCD的体积为

A.2V3B.V3C.V5D.3

10.已知三棱锥P-ABC每对异面的棱长度都相等，且△ABC的边长分别为VIL3,4,则三棱锥P-

48c外接球的体积为（）

A.6V27TB.9V27TC.18兀D.36兀

11.长方体4BC0-中的8个顶点都在同一球面上，AB=3,AD=4,AAr=5,则该球

的表面积为（）

A.200兀B,507rC.IOOTTD.25兀

12.在三棱锥P—ABC中，AB=2,AC1BC,若该三棱锥的体积为|,则其外接球表面积的最小值

为（）

”C647rc257r

A.57rRcV

,12•4

13.把平面图形"上的所有点在一个平面上的射影构成的图形M'叫作图

形M在这个平面上的射影.如图，在三棱锥A—BCD中，BDLCD,

AB1DB,AC1DC,AB=DB=5,CD=4,将围成三棱锥的四

个三角形的面积从小到大依次记为Si，S2,S3,S4,设面积为S2的三角形所在的平面为a,则面

积为S4的三角形在平面a上的射影的面积是（）

A.2V34B.yC.10D.30

二、多项选择题（本大题共2小题，共8.0分）

14.如图,正方体2BCD-力iBiGDi的棱长为I,点M64B1，N6BG，且AM=

BN牛立,则下列说法正确的是（）

A.AAt1MN；

B.A[Ci〃MN；

C.MN〃平面

D.MN与aCi是异面直线.

15.在正方体4BC。一为当的以中，M在/C上，N在8。上，且瓦e=3祝，同=3丽，则

AB

A.CN〃平面441cl

B.异面直线MN与4力所成角的正切值为迎

C.MN1平面&CD1

D.过A、的、M三点的平面截正方体所得的截面为等腰梯形

三、填空题（本大题共13小题，共65.0分）

16.有下列命题：①边长为1的正四面体的内切球半径为噂

②正方体的内切球、棱切球（正方体的每条棱都与球相切）、外接球的半径之比为1：V2：V3;

③棱长为1的正方体4BCQ-41当口。1的内切球被平面截得的截面面积为?④已知正方

体的棱长为1，每条棱所在直线与平面a所成的角都相等，则a截此正方体所得截面面积的最大

值为立

2

其中正确命题的序号是（请填所有正确命题的序号）；

17.三棱锥ABC。中，AB=AD=CB=CD=BD=66,AC=9,若4B,C,D在同一个球面上，

则该球的表面积为.

18.已知两个圆锥有公共底面，且两个圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，若圆锥底面面

积是这个球面面积的白，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为

lo

19.已知长方体ABCD-4B1GO1的底面ABC。是边长为1的正方形，

侧棱44=夜，过8Di作平面a分别交棱CG于点E,F,则四

边形BFQE面积的最小值为.

20.已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球。的球面上，PA=PB=PC,△ABC是边长为2的正三角

形，E为PA中点,BE=—PB，则球。的体积为.

2

21.已知等边△ABC的边长为4旧，MN分别是AB,AC的中点，将△4MN沿MN折起得到四棱锥

4-MNCB,点P为四棱锥4-MNCB的外接球球面上任意一点，当四棱锥4一MNC8的体积达

到最大时，P到平面MNCB的距离的最大值为_______.

22.某三棱锥的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积是______.

俯视图

23.如图，在边长为2的正方形4P1P2P3中，边P1P2,p2P3的中点分别为8,C,现将A4P1B,ABP2C,

ZCP34分别沿"，BC,CA折起使点A，P2,P3重合，重合后记为点P，得到三棱锥P—HBC.则

三棱锥P-4BC的外接球体积为________.

24.己知圆锥的母线长为5,侧面积为20乃，则此圆锥的体积为.

25.己知圆锥的侧面展开图是一个半径为2cm,圆心角为空的扇形，则此圆锥的高为_cm

26.已知圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，圆台的高为2V5CTH，母线与轴的夹角为30。,

则这个圆台的轴截面的面积等于cm3.

27.鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的禅卯结构，它的外观是如图所示

的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根等长的正四棱柱体分成三组，经90。样卯起

来.若正四棱柱的高为6,底面正方形的边长为1,现将该鲁班锁放进一个

球形容器内，则该球形容器的体积的最小值为(容器壁的厚度

忽略不计).

28.在长方体ABCD-41B1C1D1中，AB=BC=2,=1,则直线4cl与平

面ADD14所成角的余弦值等于

四、解答题(本大题共2小题，共24.0分)

29.如图，在四棱锥P—4BCD中，底面A8C。是平行四边形，PA=PC=W，PB=PD=V61

/.APB=Z.CPD=90。，设平面PABD平面PCO=L

(1)证明：1//AB；

(2)若平面P48，平面PCD,求四棱锥P-4BCD的体积.

30.如图，48是圆0的直径，点C是圆。上一点，PAJL平面A8C,E,F分别是PC、PB边上的中

点，点M是线段AB上任意一点，若4P=4C=BC=2.

(1)求证AE1BC.

(2)若三棱锥M-AEF的体积等于右求霁.

【答案与解析】

1.答案：B

解析：

本题考查三棱锥的体积，考查球的表面积，考查锥体的外接球问题，属于难题.

求出AB的长，确定出三棱锥，建立空间直角坐标系，求出半径即可.

解：考虑极限情况，在长方体中，如图所示（48分别为长方体棱上的中点），

BC=AC=BD=AD=3,CD=2遥,则ACBC三△C4D,

设。为CD中点，易得C。=。。=6，OB=OA=卜_（可=2,

则在Rt△04B中，AB=V22+22=2企，

而根据题干信息AB<2vL则点8在上图中的Q（不包含端点）上运动，

当运动到三棱锥4-BC。的体积为卓时，此时的三棱锥如图所示（。’8为三棱键的高）:

由几何关系可得△4CD的面积为SMCD•|0*=2花，

故匕-86=：x2岔x\B0'\=野，解得|8。，|=V3.

则在RtAOBO'中，B0=2,\B0'\=V3.则。。'=1,

而。4=2,则20'=1,则8为MN中点（M,N分别为对应长方体棱上的中点），

而在△4CC中，AD=AC,O为CD中点，sin^DAO=—，cos^DAO=

33

由二倍角公式可得sin4D4C=延，

9

设小ACD的外接圆半径为r,则利用正弦定理可得2r=

s\nz.DAO

解得r=p

而4D=AC,O为。。中点，所以△4CD的外接圆圆心一定在OA所在的直线上，

而r=：>04=2,故外接圆圆心在0A的延长线上，

设该三棱锥的外接球的球心为P,01为△4CD的外接圆圆心，则0通=；,

则POi1底面。1&4。，

而。14U底面01C4D,故P。］10遇，

而CD1AOr,

设三棱锥外接球的半径为上

故建立如图所示的空间直角坐标系（01为原点，为y轴，POi为z轴，CO的平行线为x轴）:

设p（0,0,z）则a（o,：,o）,s（0,；,V3）,

则|PB|=\PA\=R,

则用+（z-8）2=%z2=R,

解得z=-"（说明P在上图所示的z轴的负半轴上），

则催吟

故外接球的表面积S=4nR2=yTT.

故选B.

2.答案：B

解析：

本题考查共面，面面垂直，正方体的截面等问题，需根据各个知识点进行推理证明判断，难度较大.

由CN,PM交于点A得共面，可判断B,利用余弦定理把CM,PN都用4C,AP表示后可比较大小，证明

AN与平面BDDiBi后可得面面垂直，可判断C,作出过P,A,C三点的截面后可判断。.

解：连接PC,由正方体性质可得C,N,4共线，

而PA,AC在APAC所在的平面内，且点M在直线PA上，点N在直线AC上，

因此CM,PN均在平面PAC上，故8错误；

记4PAe=9,则PN2=AP2+AN2-2AP-ANcosd=AP2+-AC2-AP-ACcosd,

4

CM2=AC2+AM2-2AC-AMcosd=AC2+-AP2-AP-ACcosd,又AP<AC,

4

CM2-PN2=-(AC2-AP2)>0,CM2>PN2,即CM>PN,故A正确;

由于正方体中，AN1BD,BBrABCD,ANu平面4BCD,

则BB1J_4N,BBiCBD=B,BB］、8。在平面BBi。山内

可得AN1平面BBWi。，

力Nu平面PAN,从而可得平面P4N1平面BDDiBi，故C正确；

取Ci%中点K,连接KP,KC,&Ci，易知PK〃&Ci，

又正方体中，AXCX//AC,.-.PK//AC,PK,AC共面，PKC4就是过P,4,C三点的正方体的截面,

PKC4是等腰梯形.D正确.

故选B.

3.答案：A

解析：

本题考查共面，面面垂直，正方体的截面等问题，需根据各个知识点进行推理证明判断，难度较大.

由CMPM交于点A得共面，可判断A,利用余弦定理把CM,PN都用AC,4P表示后可比较大小，证明

AN与平面BDDiBi后可得面面垂直，可判断C,作出过P,A,C三点的截面后可判断D

解：连接PC,由正方体性质可得C,N,4共线，

而PA,AC在A/MC所在的平面内，且点M在直线PA上，点N在直线AC上，

因此CM,PN均在平面PAC上，故A错误；

记4PAe=9,则PN2=AP2+AN2-2AP-ANcosd=AP2+-AC2-AP■力Ceos。，

4

CM2=AC2+AM2-2AC-AMcosO=AC2+-AP2-AP-ACcosG,又4P<AC,

4

CM2-PN2=^AC2-AP2)>0,CM2>PN2,即CM>PN,故B正确;

由于正方体中，AN1BD,BBiJL平面ABC。，ANu平面ABCD,

则BB1J_4N,BBiCBD=B,BB>8。在平面内

可得ANL平面

力Nu平面PAN,从而可得平面P4N1平面故C正确；

在平面4&GD1中，过点尸作PK〃&G交GDi于K,连接KC，4Ci，

又正方体中，AiCJ/AC,

PK//AC,PK,4c共面，PKCA就是过P,A,C三点的正方体的截面,

易知41P=C1K,AA1=CC[=AP=CK,

所以PKCA是等腰梯形.D正确.

故选A.

4.答案：B

解析：

本题考查空间几何体的结构特征及线面垂直的判定，考查空间想象能力及计算能力，属于中档题.

根据几何体的结构特征，确定三棱锥E-8名。外接球的球心位置，然后运用勾股定理即可解题.

解：设当。中点为F,易证BDJ.BB1，后尸1平面881。.

所以三棱锥E-BaD外接球的球心在E尸上，

设正方体棱长为a,球心为。.则OX+FB2=0B2t

.•.(/?-^)2+(ya)2=/?2.

解得a=2.

故选员

解析：略

6.答案：B

解析：

本题考查空间几何体的结构特征及线面垂直的判定，考查空间想象能力及计算能力，属于中档题.

根据几何体的结构特征，确定三棱锥E-B/D外接球的球心位置，然后运用勾股定理即可解题.

解：设aD中点为尸，易证EFJ•平面B/D

所以三棱锥E-BBi。外接球的球心在EF上，

设正方体棱长为。，球心为0,

则。产+F域=OBl，

・•.（"亨）2+净）2=/?2.

解得a=2.

故选反

7.答案：C

解析：

本题考查三棱锥S-ABC的外接球的表面积，解题的关键是确定三棱锥S-ABC的外接球的球心与半

径，属于较易题.

根据题意，三棱锥S-ABC扩展为正方体，正方体的外接球的球心就是正方体体对角线的中点，求出

正方体的对角线的长度，即可求解球的半径，从而可求三棱锥S-48C的外接球的表面积.

解:三棱锥S-4BC的所有顶点都在球0的表面上,SA平面ABC,AB1BC,又SA=AB=BC=1,

三棱锥扩展为正方体的外接球，外接球的直径就是正方体的对角线的长度，

...球的半径R=2.xVl2+I2+I2=—.

22

球的表面积为：4nR2=4兀X(y)2=37r.

故选C.

8.答案：C

解析：

本题考查正四面体的外接球与内切球的关系，根据几何体的特征找出关系即可求解.

解：如图，

由正四面体的性质可知,外接球和内切球的球心都是。且在高线4。1上，其中0A为外接球的半径R,

。。1为内切球的半径r，

连接力。并延长交平面ABC于点G,则G是△ABC的中心，连结DO1并延长交BC于中点E,则A,

G,E三点共线，且鬻=：=詈，

CtUJCzi

连结GO】，GOJ/AD,则鬻=：=:,

故选C.

9.答案：D

解析：

本题主要考查棱锥及其结构特征，棱锥的体积，涉及解三角形以及线面垂直的判断，属于难题.

连接AC,相交于点O,连接PO,作出图像，先证得BO1平面PAL,进而得到=泗.

S^AC，再由几何分析得到P。=4。，设O4=x,OC=y,利用OB?=7--=4-y2,cos乙40P+

cos/POC=0联立即可解得x,y,再进行求解即可.

解：连接AC,8。相交于点0,连接尸0,如图，

由对称性易得，ACA.BD,。为8。的中点，

又PB=PD,。为8。的中点，P。JLBD,

又POCAC=0,P0U平面P4C,4CU平面P4C，.•.B。_L平面PAC,

•'・^P-ABCD~^B-PAC+^D-PAC=gBD-ShPAC,

由已知可得△ABD三△PBD,所以P0=4。，

设04=x,0C=y,

OB2=7-x2=4-y2,化简得必=/一3,

cosZ.AOP+COSZ.P0C="+*+'t=0,联立y2=%2—3求得工=2,y=1,

2x22xyJJ

即。4=2,0C=1,BD=20B=2后/=2V7-x2=273,

・•・AC—3,

••.在三角形PAC中cos"4C=瞽fj又"AC为三角形内角，•••""=，

NXNXJZ

•••SNAC=\PA-AC-sin/尸4c=当,

•••Vp-ABCD=沙.SgAC*x2gx手=3，

故选D

10.答案：B

解析：

本题考查棱锥的外接球的体积的计算，考查空间想象能力和转化能力，属中档题.

依题意将三棱锥可以补形成一个长方体，该长方体的各面上的对角线长分别为VH,3,4,设长方

体的长、宽、高分别为a,b,c,求出长方体的对角线长即得到球的直径，即可求体积.

解：由于三棱锥P-4BC每对异面的棱长度都相等，所以该三棱锥可以补形成一个长方体，且该长

方体的各面上的对角线长分别为"T,3,4,

设该长方体的长、宽、高分别为。，b,c,

且不妨设a?+炉=-^/Yf2=11，a2+c2=32=9,b2+c2=42=16.

所以a2+b2+c2=i8,

所以三棱锥的外接球的直径为Va2+岳+c2=3VL

三棱锥P—ABC外接球的体积为与x（吧产9伤r，

故选8.

11.答案：B

解析：

本题考查简单组合体及其结构特征、球的表面积和体积，属于基础题.

求出球半径，即可求出结果.

22

解：由已知，ACr=y/AB+AD+AAr=,9+16+25=5企，

所以长方体4BCC-4/165的外接球半径R=午=苧，

故外接球的表面积为4兀/?2=507r.

故选B.

12.答案：D

解析：

本题考查了棱锥的结构特征，棱锥与球的位置关系，属于中档题.

设4C=a,BC=b,棱锥的高为儿根据体积得出。，6与/?的关系，根据勾股定理得出外接球半径

R关于/?的表达式，利用对勾函数的性质求出R的最小值，代入球的表面积公式即可求解.

解：设4C=a,BC=b,棱锥的高为〃，

则a?+&2=22=4,|x^abh=|,

故a?+b2=4>2ab,ab<2,h=-^->2,

ab

当且仅当a=b时等号成立，

设三棱锥外接球半径R,

则鹿=仁）2+（九一幻2,

即&2=1+（无_R）2,R=警,

即R=2+3

2h2

设?=tftE[1,+8）,

则R=C+3

由于R=t4-尚在tE[1,+8）上单调递增，

故R出，

4

故外接球表面积的最小值为ATTRJEx伫丫=

故选。.

13.答案：A

解析：解：如图所示，面积为S4的三角形在平面a上的射影为AOAC,

面积为:xV25+9x4=2V34,

故选：A.

由题意，面积为S4的三角形在平面a上的射影为△OAC,即可得出结论.

本题考查射影的概念，考查三角形面积的计算，比较基础.

14.答案：AC

解析:

本题考查了正方体的结构特征，涉及直线与直线，直线与平面间的位置关系判定，考查了空间想象

能力，属于中档题.

分别过点N作&Bi，&G的垂线，垂足分别为Mi，M得到1平面4B1GD1，NN】J•平面

4B1GD1，且MM/NN/即可得到四边形为矩形，然后结合选项分析判断即可求解.

解：分别过点M,N作为B「BiG的垂线，垂足分别为Mi，N],

因为平面4&B1B1平面4道16。1，

且平面44避避n平面4$1的。1=A/i，

所以MM11平面48住1。1，

又MiMu平面

所以MMi1MM

同理可得NN1，平面4道传1。1，

所以MMJ/NM，

又AM=BN丰则BiM=GN

所以翳=盟=舞NNi_CiN__CM

BB[C]B

即MM[=整=B["i，NN1=贵=CM，

所以MM】=NM，

所以MM】」NN{

所以四边形MMiMN为矩形，

所以MN〃aN「

又A&_LM/i，

所以441，MN,故A正确；

由黑=BM黯=8必，

又为Mi=GM=I-B1N1，即81Ml与aM不一定相等，

所以41cl与%Ni不一定平行，即4C1与MN不一定平行，

故3错误；

因为MN〃MiN「且用iMu平面为B1C1D1，MNC平面48传1。1，

所以MN〃平面&&GD1，故C正确；

当M，N分别为4%，BG的中点时，满足&CJ/M1M，此时41c"/MN,故。错误.

故选AC.

15.答案：BC

解析：

本题考查了线面平行，异面直线所成角，线面垂直，空间向量加减运算，正方体中的截面问题，考

查了空间想象能力，属于中档题.

结合已知条件，对每个选项进行分析判断即可得到答案.

解：由题意，平面441G与平面441cle是同一个平面，而CN与平面441GC交于点C,则A错误；

1111

MN=1^C+CB+BN=-B^C-~BC+-JD=-+FC)-BC+-+BC)

="-鬲+硝-芯+家-而+硝=-1(AB+BC+CC7)=则MN〃AC「

于是NCMD就是异面直线MN与A。所成角，在直角三角形4的。中，CDL&AD,经计算得

tanzCjXD=V2.则8正确；

由于4G，平面BiCOi，又MN〃AC、,所以MN1平面B】CDi，则C正确；

延长AN交BC于点G,由△>!/”/〜AB/VG,得G为BC的中点，延长C】M交BC于点G「同理可得

GI为BC的中点，

所以G与Gi重合，取A/i的中点H,连接A4和即得截面AGG”,从而截面4GGH为菱形，

则力错误.

故选BC.

16.答案：①②③

解析：

本题考查多面体与球的位置关系，考查球的截面的性质和勾股定理的运用，考查等积法的运用，以

及转化思想和运算能力，属于中档题.

运用正四面体的性质和体积公式，结合等积法可得球的半径，可判断①；

由正方体与内切球、棱切球和外接球的关系，求得半径，可判断②；

求得正方体内切球半径，结合球的截面性质，以及勾股定理和等边三角形的性质，即可判断③.

解：①边长为1的正四面体的高为九=J1—（4）2=导

可得正四面体的体积为V=L直九=立，

3412

设内切球的半径为r,由等积法可得=（S为正四面体的全面积）

解得r=",故①正确；

②设边长为1的正方体的内切球、棱切球（正方体的每条棱都与球相切）、外接球的半径

分别为6，r2，r3，可得2rl=1,2r2=鱼，2r3=V3,

即有心：厂2：丁3=1：V2；V5,故②正确；

③棱长为1的正方体4BC0的内切球的半径为右

设内心为/,可得4/=万!=曰，/在截面的射影为等边三角形的中心0,

可得。/=Ja/2_&02=J|_（^xV2）2=*

由球的截面的性质可得截面圆的半径为JH=可得截面圆的面积为也故③正确；

④要求截面面积最大，则截面的位置为夹在两个面力/D1与GBD中间的,

且过棱的中点的正六边形，且边长为立，

2

2

所以其面积为S=6x?.g）=手，故④错误;

故答案为①②③.

17.答案：1567r

解析：

本题考查了棱锥外接球的表面积求解，属于中档题.

根据题意可知，。的射影位于AABC的外心。1上，外接球球心位于。。1上，根据题意，结合勾股定理

求外接球半径即可.

解：••,ZM=DB=DC,则。的射影位于△ABC的外心3上，且外接球球心位于DO】上，

由余弦定理可知cosZTlBC=1°叱=-=>sin乙4BC=丫^，

2X10888

9136

则4A8C外接圆半径r=逗x5=不，

8

则屿=J108-（副=急

22

设外接球半径为凡则（篇—R）+（券）=R2=R=的,

该球的表面积为S-ITTR21567r，

故答案为1567r.

18.答案：|

解析：解：不妨设球的半径为：4；球的表面积为：64兀，圆锥的底面积为：12兀，圆锥的底面半径

为:26；

由几何体的特征知球心到圆锥底面的距离，求的半径以及圆锥底面的半径三者可以构成一个直角三

角形

由此可以求得球心到圆锥底面的距离是142_（2旧）2=2,

所以圆锥体积较小者的高为：4-2=2,同理可得圆锥体积较大者的高为：4+2=6：

所以这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为：

故答案为：I

所成球的半径，求出球的面积，然后求出圆锥的底面积，求出圆锥的底面半径，即可求出体积较小

者的高与体积较大者的高的比值.

本题是基础题，考查旋转体的体积，球的内接圆锥的体积的计算，考查计算能力，空间想象能力，

常考题型.

19.答案:V2

解析:

本题考查棱柱的结构特征，属于中档题，

由题意，四边形EBFDi的面积S=2XSABEDJ在平面EBF。1中作EMJ.BQ,垂足为则S=2X

|xEMxBDr,BD】=2,只要求EM最短长即可，进而求解.

解：连接BDi，在平面EBP%中作EMJ.垂足为M,

由题意，四边形EBP5是平行四边形，

则四边形EBF5的面积S=2XSABE%，

则S=2xTxEMxBD]

易得BDi=2,

•••求四边形EBFDi的面积最小值，只要求EM最短长即可,

当E是441中点时最短，

此时EM=—,

2

四边形EBFD1的面积最小值Smin=2x：xEMx眄

=2x-x—x2=V2

22

故四边形BF%E面积的最小值为迎,

故答案为近.

20.答案：\ZSTT

解析：

本题主要考查的是几何体的外接球问题，属于基础题.

可先由条件结合勾股定理得到三棱锥三侧棱两两垂直，再用补形法求解即可.

解：设PA=PB=PC=2x,则PE==6x，

所以BE?=PE?+PJ?2,则APIBP,

又P4=PB=PC,△ABC是边长为2的正三角形，

所以PA,PB,PC两两垂直，

则三棱锥P-力BC的外接球即为以PA,PB,PC为棱的正方体的外接球，

又PA=VL正方体体对角线长为历，

所以球半径为争所以球。的体积为午x（日）=6，

故答案为\所开.

21.答案：V13+1

解析：

本题综合考查了折叠问题，与几何体的性质，转化为平面问题求解，考查面面垂直、线面垂直的判

定定理和性质定理的应用、平行关系的应用、点到面的距离的求解.立体几何问题中点到面的距离

常利用体积桥的方式将所求距离变成几何体的高，构造方程，通过解方程求得结果.

折叠为空间立体图形，得出四棱锥A-MNC8的外接球的球心，利用平面问题求解得出四棱锥4-

MNCB的外接球半径R,则R2=AF2+OF2=13,由此能求出四棱锥A-MNCB的体积最大时，P

到平面MNCB距离的最大值.

由题意得NMBC=g,取BC的中点E,

则E是等腰梯形MNCB外接圆圆心.尸是A/IMN外心，

作0E1平面MNCB,OF，平面AMN,

则。是四棱锥A-MNC8的外接球的球心，且。F=DE=3,AF=2.

设四棱锥4-MNCB的外接球半径R,则R2=AF2+OF2=13,

0E=DF=AD-AF=3-2=1,

.♦.当四棱锥A-MNCB的体积最大时，

P到平面MNCB距离的最大值为：

dmax=R+0E=V13+1.

故答案为：V13+1.

22.答案：—Ov—

解析：解：根据三视图知，

该几何体是侧面P4B，底面ABC的三棱锥，

如图所示；

结合图中数据知，该三棱锥外接球的球心。在上,

设。。=a,则（5百一a）2=a2+52,

解。=吗

3

・••外接球的半径为

R=P0=5百-|遮=竽，

・•・外接球的体积为

V_2（10勺3_400061

一3（3）・27・

故答案为：幽包.

27

根据三视图知，该几何体是侧面垂直于底面的三棱锥，

画出图形，结合图形求出该三棱锥外接球的半径，再求它的体积.

本题考查了三棱锥外接球的体积问题，是基础题.

23.答案：V6TT

解析：

本题考查三棱锥的结构特征和球的体积公式，属中档题.

根据PA,PB,PC两两垂直得到2R=g不代入体积公式计算得到答案.

解：易知PA,PB,PC两两垂直，PA=2,PB=PC=1,

将三棱锥P-ABC放入对应的长方体内得到2R=Vl2+l2+22.

任

..RD=一,

2

V=,R3—V67T.

故答案为泥兀.

24.答案：16TT

解析：解：设圆锥的底面半径为，，则5姆=叮*5=20兀，

r=4,

二圆锥的图九=V52—r2=3>

二圆锥的体积U=^nr2h=1x16兀x3=167r.

故答案为：16兀.

根据侧面积公式计算底面半径，再计算圆锥的高，代入体积公式计算体积.

本题考查了圆锥的侧面积和体积公式，属于基础题.

25.答案：巫

3

解析：

本题考查圆锥的几何特征，属于基础题.

由圆锥的侧面展开图可以算出圆锥的母线及底面圆的半径，再由勾股定理即可计算圆锥的高.

解：因为圆锥的侧面展开图是一个半径为2cvn,圆心角为三的扇形,

所以扇形的半径也就是圆锥的母线，为2cm.

可以求出扇形的弧长为2x二：；，也就是圆锥底面圆的周长，

因此，圆锥底面圆的半径为“:

3x27r3

所以圆锥的高为卜—(I1=¥(cm>

故填照

3

26.答案：8-\/3

解析：

本题考查了圆台的结构特征与应用问题，是基础题.

根据题意求出圆台的上、下底面半径，再计算轴截面的面积.

解：设圆台的下底面半径为上上底面半径为r；

由2TTR=3-2nr,得R=3r；

由圆台的高为h=2>J~3cm>

母线与轴的夹角为30。，如图所示；

则三=tan30°,即与=胆,

h2<33

解得丁=1,所以R=3r=3；

所以圆台的轴截面的面积为

S轴截面=»X(2+6)X2yf3=8/3(cm2).

故答案为8V1

27.答案：生@万

解析:

本题考查正棱柱的外接球的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,

考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是基础题.

由题意，该球形容器的半径的最小值为2R=11+4+36,即可求出该球形容器的体积的最小值.

解：由题意，该球形容器的半径的最小值为并在一起的两个长方体体对角线的一半，外接圆直径为

长宽高分别为1,2,6的长方体的体对角线，设外接圆半径为R,

即2R=71+4+36.

所以口=豆，

2

••・该球形容器体积的最小值为：irrX(^)3卫迎7T.

3276

故答案为：史@

6

28.答案：-

3

解析:

本题考查了直线与平面所成角余弦值的求法，关键是找到线面垂直，即可找出线面所成的角，属于

中档题.

利用线面角定义，找到线面角的平面角，结合三角函数求出线面角即可.

解：连接

因为ABCD-4/iGDi为长方体，

所以CCi，平面ADD14,

由线面角的定义可知，即为直线AC】与平面ADD14所成角的

因为AB=BC=2,AAr=1,

所以cos/CiAD1=噜=7华茎叩=—>

114cl