金融数学课件

风险、风险厌恶与随机占优

资产定价理论的微观经济基础

经济理论通常假定：投资人是风险厌恶的风险有多种定义，不确定性

从定量模型化解释风险投资人面临风险的决策（第一节）Rothschild和Stiglitz提出随机占优（第二节）第二章第一节风险与风险偏好对风险的一般认识：经济系统中状态变量的事前不确定性对风险的厌恶引发投资人的投资组合的分散化问题以及对所需交换的资产的合理定价问题金融经济学框架的核心问题：如何分散风险如何确定风险的合理价格风险厌恶、风险中性与风险偏好的数学表述

伯努利（Bernoulli）效用函数（确定值）Von-Neumann-Morgenstern预期效用函数“预期”有“期望”之义，随机变量的数学期望例2.1。Page46风险厌恶的数学定义如果F(x)是二项分布，则，风险厌恶——伯努利效用函数为凹函数严格风险厌恶——严格不等式，u’>0，u’’<0定理2.1：对任意F，有风险厌恶——效用函数为严格凹函数证明需要使用Jensen不等式。同样：可以定义风险中性和风险偏好绝对风险厌恶与风险溢价

对风险厌恶程度有大有小，绝对风险厌恶，风险溢价ρ，对风险的补偿，数学定义如下Pratt(1964)定义绝对风险厌恶系数绝对风险厌恶系数越大，越厌恶风险，必需给予的溢价补偿也越大相对风险厌恶与风险溢价Pratt(1964)定义相对风险厌恶系数相对风险厌恶系数越大，所要求的单位方差的相对风险溢价补偿也越高风险溢价和风险厌恶对投资人决策影响的实例说明

例2.2。当前财富为W=a+(W－a)今后财富X＝W－a+a(1+r)=W+ar，优化问题关于a是凹函数，一阶导数＝0，（2.17）a＊是解，是W的函数，（2.17）中对W求导数，（2.18）。随W的变化，风险厌恶投资者的a的动态变化假设绝对风险厌恶系数不随W增加而增加对r＞0和r＜0，都可得到（2.20a）从（2.17）得（2.21）u是凹函数，得（2.21a）最后风险厌恶的投资人投资于风险资产的财富随着总财富的上升而增加

关于绝对风险厌恶系数不随W增加而增加经过推导可知，要求三阶导数为正数度量风险厌恶在于比较不同投资人对同一风险决策的态度。在资产定价理论中，一般假定存在一个典型性投资人。需要处理典型投资人对不同资产的风险与收益的判断，即资产风险的度量问题。第一章第二节随机占优怎样才能认为资产A比资产B更具风险？简化的风险比较：均值-方差效用用方差作为唯一标准不可行（期望可能越大）即使一种资产X预期收益等于另一资产Y，而X方差小于Y，风险厌恶者也不一定偏好于X

如下面的例子E(X)=E(Y)=2，Var(X)=4，Var(Y)=7如果选择风险厌恶效用函数均值—方差效用不完整性说明只考虑均值和方差，没有考虑更高阶中心矩。只有当包括三阶矩以上为0时，均值方差效用才与真实的预期效用一致。两端取期望（w是期望值，数值），利用资产风险度量的一般方法Rothschild—Stiglitz更一般的比较不同资产风险的分析框架比较资产收益的分布，而不比较不同投资人所依赖的不同的效用函数。一阶随机占优、二阶随机占优以及均值不变下的分布扩展MPS假设有两种资产A和B。A收益服从分布F（·），B服从G（·），且F（1）=G（1）=1，（方便起见，令收益均属于区间[0，1]）。一阶随机占优FSDFirst-orderStochasticDominanceFSD定义：对任意非减的函数u：R→R，定理2.1是FSD的等价条件。注意不等号方向FSd的图形表示1FB(z)FA(z)1F(z)0z二阶随机占优SSDSecond-orderStochasticDominanceSSD定义：F二阶占优于G，当且仅当且对某些X值的集合，不等号成立。符号可以证明，如果SSD成立，则，投资人更偏好A（或F），B（或G）更具风险SSD的三个等价条件SSD图形表示取正号取正号+z取负号FA(z)FB(z)z*1yF(z)0SSD其他特性SSD的3个等价表述“d”表示“依分布相等”引入“展形spread”的概念均值不变下的分布展形MPSmeanpreservingspreads——MSP讨论限定于两种资产相同的预期收益图形表示命题2-2命题2-3G是F的MPS，等价于F，SSD，GJensen’sinequality证明

u是凹函数证明过程：在均值点泰勒展开

连续时间金融初步连续时间金融理论是现代金融经济学的分支衍生品的定价(比如期权)正是建立在连续时间金融理论之上

第一节

连续时间金融数学基础

涉及到的数学：测度论、实变函数、随机过程、随机微分方程、马尔可夫链等等已经超过本教材的范围，详细内容，参阅下面经典著作：Protter(1992)Karatzas和Shreve(1988)Ikeda和Watanabe（1989）Chung和Williams（1990）Williams（1991）布朗运动与几何布朗运动

定义：称随机过程为标准布朗运动（BrownianMotion）或维纳过程（Wienerprocess），如果满足4个条件：（1）该运动起始于0点，即，B0=0；（2）该运动具有平稳性和独立增量性；（3）对任意的t＞0，Bt服从均值为0，方差为t的正态分布，即，Bt～N（0，t）。（4）该运动样本轨迹连续，即，不存在跳跃结论：随机变量Bt－Bs(t＞s)与随机变量Bt-s的分布相同，都服从均值为0，方差为t-s的正态分布分布的相等并不意味着样本路径的相等结论：布朗运动为高斯过程，并且，均值E(Bt)=0协方差E(BtBs)=min(s,t)性质6-1：布朗运动为0.5自相似性质6-2：布朗运动相对于自然过滤Ft=σ(Bs，t＞s)而言，为一个鞅几何布朗运动在Black—Scholes（1973）和Merton（1973）的论文中，都假定价格的波动（运动）服从几何布朗运动，即Taylor展开以双变量的Taylor展开为例。三阶略去。Ito引理第二节

不确定情形下的

连续时间资产组合决策以Merton（1969）的经典论文为例在Merton（1969）之前，有少量的文章分析多期下的资产组合问题，或者在分析经济问题的时候运用多期分析的框架例如，Tobin（1965）、Phelps（1962）和Samuelson（1969）从严格的意义上讲，Merton（1969）的文章是连续时间金融领域的奠基之作Merton连续时间金融模型

假设存在一个典型代表性的经济人W(t)表示该经济人在t时刻的总财富Xi(t)表示t时刻第i种资产的价格（i=1,2,…,m）C(t)表示t时刻的单位时间消费假定任一资产价格服从几何布朗运动某一时间段资产收益服从大漂移的布朗运动投资者面临的决策问题是：在给定的投资期限下（无限期的情形更简单），如何进行消费决策以及投资决策，使得投资期限内的总效用最大化在这个决策系统里，消费水平以及投资于m种资产的比例为控制变量求解Bellman方程时，必须清楚哪些是控制变量，哪些是状态变量为了求解优化问题，先进行必要计算，以便在求解优化问题的时候将注意力集中于数学背后的经济学简单思路财富变化的平均速率两种资产的简化情况投资者的问题：选择最优的S(t)和C(t)，使得效用函数最大化约束：预算方程（6.15），C(t)≥0，W(t)≥0，W(0)=W0＞0。效用函数u’＞0，u’’＜0T表示终结期。B(W(T),T)是一个设定的残值函数，在W(t)上是凹函数最优消费和投资策略给定约束条件和优化条件,偏微分方程系统可以通过Matlab用数值方法求出给定参数下的解对具有不变的相对风险厌恶系数类的效用函数最优消费为该时刻财富的线性函数投资与风险资产的最优权重与时间及财富都无关与风险资产的波动性、经济人偏好有关第三节Black-Scholes期权定价公式

Black和Scholes的期权定价模型，利用无套利定价模型，不依赖于投资者的风险态度无套利定价，是指如果金融市场上的期权是正确定价的，那么，投资者就不能通过买入或者卖空期权及其标的资产来建立投资组合得到超过无风险资产收益的确定的回报给出Black-Scholes模型的定义以及在此模型下的期权定价公式推导主要基于Black和Scholes(1973)Black-Scholes模型

Black和Scholes(1973)用几何布朗运动作为股票价格运动的随机过程。假设股票价格St过程服从线性随机微分方程（SDE）μ∈R为股票价格的期望收益率σ＞0为波动性系数S0＞0为股票的初始价格。假定它们都是常数Wt表示含σ-代数流的概率空间上的一维标准布朗运动利用Ito公式，得到股票价格波动过程

假定无风险资产按照无风险利率r计连续复利，则，无风险资产的价格过程为

Black-Scholes对金融市场的假设1．短期利率已知，且不随时间变化；2．股票价格服从连续时间的随机游走，其方差与股票价格的平方成比例。在任何有限时间区间的期末，股票价格服从对数正态分布，且股票收益的方差为常数；3．股票不支付红利，也没有其它支出；4．期权是“欧式的”；5．买卖股票和期权不存在交易费；6．能够以短期利率借入证券价格的任意比例的资金用以购买证券；7．卖空没有交易费。

自融资策略

交易策略是指概率空间上的一对循序可测的随机过程循序可测的概念参见严加安的《测度论》交易策略为自融资的是指财富过程满足某条件（略）在Black和Scholes(1973)中没有明显地提出自融资策略，但是已经使用了这个概念如果不限制投资者所使用的策略为自融资的，则，在无约束的Black-Scholes模型中也能够构造一个套利机会。具体可参见Musiela和Rutkowski（1997）

期权定价公式两种推导期权定价公式的办法第一，基于无风险收益能够用期权及其标的资产的连续调整的头寸来复制的事实——无风险组合方法第二，基于均衡的要求。也就是说，期权作为一种资产必须使得期望的收益率与其风险相对应——均衡推导无风险组合方法

Black-Scholes的均衡推导

第四节

连续时间金融的简单概括

一、分析投资者最优组合决策问题至少包括两种分析框架其一，假定资产价格服从一个扩散过程；其二，假定资产价格服从仿射跳扩散过程Longstaff（2001）利用连续时间方法分析存在事件风险下的投资者优化组合决策问题。价格假定服从一个扩散过程（AJD），也即扩散过程加上一个跳过程Duffie-Pan-Liu（2001）提出了一个更一般的存在AJD过程的理论分析框架二、对公司债券定价包括两类分析思路其一，对无违约风险的公司债券定价Turbull以及Jarrow在这方面做出了贡献其二，对存在违约风险、评级突然降低等风险的公司债券定价。需要相应引入跳过程来处理这些问题三、处理利率期限结构问题Cox-Ingersoll-Ross（1985），简称CIR模型。后来者包括Heath.D、Jarrow.R、Singleton.K等

四、利用连续方法处理公司财务相关问题问题包括公司的风险对冲策略问题、公司资本结构、公司复合证券的定价问题等等Leland（1994）是这方面的优秀论文五、各种期权定价问题从一定意义上讲，这可以被认为是连续时间金融的分析方法应用得最紧密的一个领域；同时，期权定价的经济思想有被广泛运用于其他衍生证券的定价问题。因此，这一领域一直是连续时间金融的活跃之地。

六、解析解不存在下的数学处理连续时间方法在一定程度上简化了对经济问题的分析；然而，在求解连续时间问题的时候，却出现了技术上的困难。如果没有特殊设定，难以得到分析解方法包括：有限差分近似法（Brennan-Schwartz（1076a，1976b，1976c））、数值积分法（Parkinson（1976）），以及Boyle（1976）提供的MonteCarlo模拟

七、连续时间金融的实证分析指出这一方向，目的在于表明连续时间方法在实证领域同样具有重要的地位

关于连续时间金融的著作，以供理论工作者参考阅读：Merton（1990）、Duffie（1992，1996），以及Edgar公司组织编写的一套经济学丛书，其中包括了“期权市场”卷、“公司债务”卷、“连续时间金融基础”卷，

数学预备知识

第一章第一节线性代数基础

普遍涉及到的和需要强调的概念正交矩阵，对称矩阵对角化，特征值二次型，正定矩阵欧氏空间：向量的内积（innerproduct）向量的长度,向量的距离distance

柯西布尼亚科夫斯基不等式向量的夹角，正交orthogonal

投影Project，最小二乘法leastsquare其他两个内积的定义两个随机变量X和Y的内积协方差：(X,Y)=cov(X,Y)相关系数：两个函数f(x)和g(x)的内积在此基础上同样有：距离、长度、正交、投影等几何空间中的概念矩阵和行列式的微分几个结论：X是向量，A是矩阵第一章第二节数学模型和模型的建立模型来源于原型，对原型的抽象数学模型需要量化和假设数学模型表现形式可以是数学公式，包括等式或不等式，也可以是图表数学模型的最佳结果是数学公式自然科学中数学公式较多，并且应用效果好社会科学中数学公式少，且效果差经济和金融学中有很多数学模型本教材后面几章介绍金融中的几个著名数学模型建立模型的步骤建模＝建立模型或模型建立，modeling建模准备：了解实际问题的背景模型假设：对问题进行简化建立数学模型：用数学方式（公式、图表）表现出实际问题，尽量简单化原则模型求解：求解出结果，优化求解较多模型分析：得到结论，做出预测模型检验和修正：与实际比较，模拟实际建模举例问题的背景：资金总量为M，可投资于n＋1种资产Si(i＝0，1，…，n)，0表示存银行Si

的平均收益率为ri

，风险损失率为qi

总体风险＝Si

中的最大风险投资Si

的交易费率为pi，低于ui

按ui计算同期银行存款为r0=5%，无交易费用和损失问题：如何总资金M如何投资，使得尽可能收益大，总体风险尽可能小对问题的分析两个目标：净收益大，风险损失小两个目标不可能同时满足限定其中一个目标的范围，另一个尽可能最优最优解是不唯一的用数学符号和公式表示模型xi表示购买的Si资金量，ci(xi)是交易费，投资于Si的净收益：Ri(xi)＝rixi－ci(xi)总净收益：R＝Σ投资于Si的风险损失：Qi(xi)＝qixi总风险损失：Q＝投资于Si所需资金：Fi(xi)=xi＋ci(xi)约束条件为总资金的限制M＝F＝Σ（xi＋ci(xi)）交易费用的数学表达式和图形几个优化模型两目标优化模型：属于多目标规划问题单目标优化模型：分三种情况确定风险不能超过k，求最大收益确定收益水平不能低于h，求最小损失假定相对偏好1>ρ>0，上面模型不容易求解。简化费用的表达式可以将模型简化问题，假设费用：ci(xi)＝pixi资金约束条件变成：F（x）＝Σ(1+pi)xi＝M前面的三个模型都可以变成线性规划问题，对此已经有成熟的方法解决。线性规划linearprogram第一章第三节极值和条件极值的求解多元函数的极值及其判断一阶偏导数为0（必要条件），二阶偏导数，海森矩阵Hessianmatrix的正定和负定正定——极小值，负定——极大值二次多项式的极值点如果是凹函数或凸函数，则一阶条件也是充分条件计算条件极值的拉格朗日乘子法约束条件：gi(x1,…,xn)=bi，i=1,2,…,mLagrangemultiplier将有约束条件问题转化成无约束条件极值。引入拉格朗日乘数，构造新的函数m+n个方程为一阶条件拉格朗日乘子法与线性规划的区别：约束条件中的等式和不等式应用实例求解收益相同风险最小的投资组合有n种资产，R是资产的期望收益率向量，W是资产的投资比例向量（需要求解），V是资产协方差矩阵，该问题是下面的优化问题该优化问题有解的充分必要条件是拉格朗日乘子函数的一阶导数等于0第一章第四节凹函数、凸函数和效用函数效用utility是主观感受，人为设定的满意程度效用函数utilityfunction是对满意程度的量化效用函数分为：序数效用、基数效用函数序数效用ordinalutility：效用之间只能排序基数效用cardinalutility：用具体数值表示效用的大小期望效用：有多种结果时用效用的数学期望E（u）＝Σ或积分两个效用的例子例一、商品配置问题。用确定数量资金购买商品，如何确定每种商品的数量x1效用函数是多元函数u(x1,x2,…,xn)例二、生活质量问题。收入和休息之间的协调效用函数是收入L和休息y的函数u(l,y)T是总时间，r表示每小时工资效用函数成为一元函数u(l,y)＝u(rx,T－x)偏好关系preferencerelation选择集经过处理可以成为凸子集其中任何两个元素可以比较“好坏”——关系“偏好关系”满足：自反性、完备性、传递性无差异关系和严格偏好关系字典序dictionaryorder确定状态下的效用函数具有偏好关系的效用函数u(.)u(x)≥u(y)当且仅当x≥y满足：保序、中值、有界性序数效用函数存在性定理，不确定状态下的效用函数假设投资有两种结果x和y，概率是p和1－p投资的结果是“彩票”，xp&(1-p)y根据各自具体情况定义偏好关系，需要满足10个条件不确定状态下，基数和序数效用函数存在定理将选择问题转换成数值大小的比较风险态度——效用函数应用凸、凹函数定义：分一元和多元函数风险态度：厌恶、偏好、中性彩票的例子。两种彩票A和BA：＋100；

B：随机变量x:＋500（概率＝p），or-100两种的期望所得应该相同，因此，p＝1/3有下面3种可能的决策：选择A——风险厌恶选择B——风险偏好随意选择AB——风险中性用效用函数u(x)分析3种态度有了效用函数u(x)后选择A得到的效用＝u(100)选择B得到的是期望效用E(u(x))＝u(500)/3＋2u(-100)/3比较E(u(x))和u(E(x))的大小，得到风险态度u(E(x))>E(u(x))：u是凹函数，风险厌恶u(E(x))<E(u(x))：u是凸函数，风险偏好u(E(x))=E(u(x))：风险中性风险态度的图形表示U(b)U(a)U(b)U(b)U(a)U(a)aaabbb效用函数例子绝对风险厌恶函数：A(x)=-u’’(x)/u’(x)相对风险厌恶函数：R(x)=xA(x)风险容忍函数：T(x)=1/A(x)二次效用函数：u(x)=ax－bx2幂效用函数：u(x)=－x－1双曲线绝对风险回避效用函数：负指数效用函数：u(x)=－e－ax

风险、风险厌恶与随机占优

资产定价理论的微观经济基础

经济理论通常假定：投资人是风险厌恶的风险有多种定义，不确定性

从定量模型化解释风险投资人面临风险的决策（第一节）Rothschild和Stiglitz提出随机占优（第二节）第二章第一节风险与风险偏好对风险的一般认识：经济系统中状态变量的事前不确定性对风险的厌恶引发投资人的投资组合的分散化问题以及对所需交换的资产的合理定价问题金融经济学框架的核心问题：如何分散风险如何确定风险的合理价格风险厌恶、风险中性与风险偏好的数学表述

伯努利（Bernoulli）效用函数（确定值）Von-Neumann-Morgenstern预期效用函数“预期”有“期望”之义，随机变量的数学期望例2.1。Page46风险厌恶的数学定义如果F(x)是二项分布，则，风险厌恶——伯努利效用函数为凹函数严格风险厌恶——严格不等式，u’>0，u’’<0定理2.1：对任意F，有风险厌恶——效用函数为严格凹函数证明需要使用Jensen不等式。同样：可以定义风险中性和风险偏好绝对风险厌恶与风险溢价

对风险厌恶程度有大有小，绝对风险厌恶，风险溢价ρ，对风险的补偿，数学定义如下Pratt(1964)定义绝对风险厌恶系数绝对风险厌恶系数越大，越厌恶风险，必需给予的溢价补偿也越大相对风险厌恶与风险溢价Pratt(1964)定义相对风险厌恶系数相对风险厌恶系数越大，所要求的单位方差的相对风险溢价补偿也越高风险溢价和风险厌恶对投资人决策影响的实例说明

例2.2。当前财富为W=a+(W－a)今后财富X＝W－a+a(1+r)=W+ar，优化问题关于a是凹函数，一阶导数＝0，（2.17）a＊是解，是W的函数，（2.17）中对W求导数，（2.18）。随W的变化，风险厌恶投资者的a的动态变化假设绝对风险厌恶系数不随W增加而增加对r＞0和r＜0，都可得到（2.20a）从（2.17）得（2.21）u是凹函数，得（2.21a）最后风险厌恶的投资人投资于风险资产的财富随着总财富的上升而增加

关于绝对风险厌恶系数不随W增加而增加经过推导可知，要求三阶导数为正数度量风险厌恶在于比较不同投资人对同一风险决策的态度。在资产定价理论中，一般假定存在一个典型性投资人。需要处理典型投资人对不同资产的风险与收益的判断，即资产风险的度量问题。第一章第二节随机占优怎样才能认为资产A比资产B更具风险？简化的风险比较：均值-方差效用用方差作为唯一标准不可行（期望可能越大）即使一种资产X预期收益等于另一资产Y，而X方差小于Y，风险厌恶者也不一定偏好于X

如下面的例子E(X)=E(Y)=2，Var(X)=4，Var(Y)=7如果选择风险厌恶效用函数均值—方差效用不完整性说明只考虑均值和方差，没有考虑更高阶中心矩。只有当包括三阶矩以上为0时，均值方差效用才与真实的预期效用一致。两端取期望（w是期望值，数值），利用资产风险度量的一般方法Rothschild—Stiglitz更一般的比较不同资产风险的分析框架比较资产收益的分布，而不比较不同投资人所依赖的不同的效用函数。一阶随机占优、二阶随机占优以及均值不变下的分布扩展MPS假设有两种资产A和B。A收益服从分布F（·），B服从G（·），且F（1）=G（1）=1，（方便起见，令收益均属于区间[0，1]）。一阶随机占优FSDFirst-orderStochasticDominanceFSD定义：对任意非减的函数u：R→R，定理2.1是FSD的等价条件。注意不等号方向FSd的图形表示1FB(z)FA(z)1F(z)0z二阶随机占优SSDSecond-orderStochasticDominanceSSD定义：F二阶占优于G，当且仅当且对某些X值的集合，不等号成立。符号可以证明，如果SSD成立，则，投资人更偏好A（或F），B（或G）更具风险SSD的三个等价条件SSD图形表示取正号取正号+z取负号FA(z)FB(z)z*1yF(z)0SSD其他特性SSD的3个等价表述“d”表示“依分布相等”引入“展形spread”的概念均值不变下的分布展形MPSmeanpreservingspreads——MSP讨论限定于两种资产相同的预期收益图形表示命题2-2命题2-3G是F的MPS，等价于F，SSD，GJensen’sinequality证明

u是凹函数证明过程：在均值点泰勒展开

因素模型

——套利定价理论APTCAPM断言，证券具有不同的预期回报率是因为有不同的β值，并进行了均衡定价

附录2中列举了CAPM的问题。市场组合难得到存在市场因素（市场组合）之外的因素，引起证券价格的共同波动罗斯(A.Ross)1976年提出了多因素定价模型——套利定价理论（APT）

CAPM可视为APT的一个特例。单一指数模型APT的假设大大少于CAPM假设第一节

因素模型和套利

FactorArbitrage风险都是由因素风险引起，只要避免了因素风险就避免了全部的风险APT假设证券回报率与未知数量的未知因素相联系分析每种证券对因素变动的敏感性每个证券对于该因素的变化是如何应对的套利行为必须是“没有风险”的

单因素模型单因素模型假设：证券市场中的各个证券之间的联动性仅仅是由单独一个因素对证券普遍产生影响例如，如果投资者认为证券的收益率仅仅受到工业产值的预期增长率G的影响从历史数据出发，通过回归分析可以建立证券收益率与G之间的线性关系

从书上的数据计算，a=4%，b=2单因素模型的一般表述单因素模型认为：只有一个因素F对证券收益率产生普遍的影响建立证券I的收益率在任意时期t的估计式

Ft为t期因素F的预期值；bi为证券i对因素F的敏感性；rit为证券i在第t期的实际收益率；εit为证券i在第t期的误差

单因素模型下期望方差计算

期望收益率方差或因素风险

证券间协方差

市场模型——特殊的单因素模型如果将市场组合m的收益率rm作为单因素模型中的F，就得到一个特殊的单因素模型M的收益率用市场价格指数收益率代替以市场指数收益率作为单因素的单因素模型称为市场模型，表达式为：

敏感性＝β系数单因素模型下风险的解

总风险分解成两部分因素风险类似系统风险非因素风险类似非系统风险

多因素模型假设证券收益率受K个共同因素F1，F2，…，FK的普遍影响用多元线性回归，建立如下的证券i的收益率与K个因素的关系式

多因素模型下证券或组合的

期望方差协方差计算

期望收益率方差或因素风险

证券间协方差套利和近似套利

“无套利”是APT的最基本假设如果每个投资者对各种证券的期望收益和敏感性均有相同的估计，那么在均衡状态下各种证券取得不同期望收益率的原因是什么4个问题：第一，一个实际市场是否已达到均衡状态第二，如果市场未达到均衡状态，投资者如何行动第三，投资者的行动会如何影响市场，最终使市场达到均衡第四，均衡状态下，证券的期望收益率由什么决定套利的定义套利是利用同一种实物资产或证券的不同价格来赚取无风险利润的行为套利最具代表性的是以较高的价格出售证券，同时以较低价格购进相同的证券现实中难以存在套利行为是现代有效市场的一个决定性要素套利所得到利润是无风险的，投资者一旦发现这种机会就会设法利用它们一些投资者要比其他人具有更多的资源和意愿去从事套利活动只有极少的积极投资者能够发现套利机会随着他们的买进和卖出，套利机会将消除近似套利的定义用因素模型说明“近似套利机会”如果不同的证券或组合对各个因素的敏感性相同，那么，除了非因素风险之外，不同的证券或组合应该提供相同的期望收益率如果两种证券组合所提供的收益率不同，便提供了“近似套利机会”卖出收益率低的，同时买进收益率高的证券或组合，就肯定可以获得正利益利用这些套利的机会后，原来的套利机会消失近似＝除了非因素风险之外如果组合完全分散化，非因素风险将“消失”套利组合为实现套利，需要买入一些证券，同时卖出一些证券，该过程就是构建套利组合构建套利组合需要满足的3个条件第一，不增加额外资金。套利组合中买入证券需要的资金来自卖出证券所的资金第二，套利不承担风险。因素模型中的风险是因素风险第三，套利提供正利润。新证券组合的收益率必须大于前组合的收益率套利组合条件公式表示对公式的说明可以用矩阵的方式表示x表示权重改变量，未知，需要求解满足公式的x都是套利组合解一般是不唯一的构建套利组合后的“处境”从一个旧证券组合变成了一个新的证券组合新的证券组合＝旧的证券组合＋套利组合套利组合期望收益率＞0新组合的敏感性=旧组合的敏感性新组合因素风险＝旧组合因素风险由于存在非因素风险新组合风险不一定等于旧组合的风险

套利定价方程

套利定价方程是判断是否存在套利机会的工具Ei（i＝1，…n）满足何种条件，解不存在，可以证明，当且仅当Ei是敏感性的线性函数,就是说不再存在套利机会方程中λ的含义根据无风险证券λ0＝rf构造特殊的证券组合δjδj对因素Fj的敏感性bj＝1，而对其他因素的敏感性bi＝0（i≠j）δj的期望收益率E（δj）＝rf＋λjλj＝E(δj)－

rf类似于标准正交基下的坐标套利定价模型的计算实例

例1。工业产值为单因素投资者拥有3种证券，每种证券的当前市值均为4000000元。总资金＝12000000元。3种证券预期回报率和敏感性如下表证券预期回报率(%)敏感性bi证券1证券2证券31521120.93.01.8期望和敏感性的改状态，是否可以引起存在套利？解“方程”x1＋x2＋x3＝00.9x1＋3.0x2＋1.8x3＝015x1＋21x2＋12x3＞0解不唯一。给x1赋予一个值，例如0.1,x2＝0.075，x3＝-0.175新旧组合的比较

旧组合套利组合新组合权数X1X2X3性质rbσ0.3330.3330.33316.000%1.90011.000%0.1000.075-0.175

0.975%0.000很小0.4330.4080.15816.975%1.900约11.000%第二节

多因素定价模型的推导

因素模型的5个假设条件假设1：市场是完全竞争、无摩擦、无限可分假设2：存在K个共同因素影响整个证券市场假设3：所有投资者对同种证券的收益具有的预期是一致的，因而，对资产收益的预期就是对因素荷载bik（k＝1,2,…,K）的预期。这里因素荷载bik表示证券i对因素Fk的敏感系数假设4：市场中存在充分多的资产。这个假设为下面的渐进套利的概念提供了基础。假设5：证券市场不存在渐近套利机会（asymptoticarbitrageopportunity）对假设2的说明

根据回归模型中的假设用“线性变换”的构造新的因素使得满足“标准正交”的条件

因子载荷—矩阵形式

B是敏感度系数矩阵，或因素载荷矩阵（factorloadingmatrix）思考：用矩阵形式表示，因素和误差的限制条件

渐近套利机会—对假设5的说明存在一个证券组合序列，满足三个条件与套利组合三个条件相对应

多因素模型下定价公式如果风险证券收益率由K因素模型给定，存在形如下式的线性定价公式定价公式的误差分析。n＝风险证券的数量定理5.1：如果风险证券收益由K因素模型给定，那么，存在的实数λ0，λ1，…，λK，使得对定价公式的说明证明过程给出了公式中系数λi的具体计算系数λi＝因素i的风险溢价总误差=每个证券的残差平方和证券的数量大的时候，总误差趋向于0将每个证券残差V，从大到小“排队”“小的”——定价准确对个别证券，其定价可能“不准确”可以用线性代数的方法推导定价公式定价公式中的因素风险溢价

没有经济含义

(λ1，…，λK)＝factorriskpremium类似多元统计分析中的因子定理5.2：对于任意无套利定价模型，可以构造出与原来K个因素不同的另外K个不相关因素，使得，这K个新因素中仅有一个具有正的因素风险溢价完全分散化

因素风险溢价向量在某些条件下，可以用证券组合解释完全分散化证券组合—fullydiversifiedportfolio定义：完全分散化证券组合是证券组合序列p(n)的极限过程。p(n)满足下面两个条件对定义的说明完全分散化证券组合的投资权重由极限方式产生每个资产的投资比例权重Wi趋于0“大多数”（有限个除外）资产，Wi(n)＝O(n-1)如何理解，投资于资产的权重是0？类似于概率论中的“密度”应该从“密度”的角度来理解完全分散化证券组合投资于每种资产的比例不能仅仅看到它都等于0完全分散化证券组合的

非因素风险等于0在完全分散化证券组合下，非因素风险是无穷小量序列的极限，即

反之不成立，有反例存在不是完全分散化证券组合，其非因素风险是0完全分散化下定价是精确的一般来说，定价公式有误差对于完全分散化证券组合，没有误差定理5.3：对于完全分散化证券组合p，其预期收益满足

在取极限状态下，误差趋向于0对定价公式中的λi解释

构造一个特殊完全分散化证券组合p，使bpk＝0(k＝1,2,…,K)

则

构造完全分散化证券组合p，使bpk＝1，

bpj＝0(j≠k)，只对第k因素敏感，则

利用这些特殊的完全分散化证券组合，可以解释λ单因素模型下的定价公式

假定市场组合m是完全分散化的

第三节

APT与CAPM的比较

APT与CAPM的公式的形式一样内在的经济含义不同CAPM是在市场均衡的条件得到的APT是在无套利条件得到的两者之间的关系是：均衡的市场里一定没有套利机会无套利机会并不意味着市场是均衡的

APT中敏感系数与

CAPM中β系数的关系

CAPM依赖于1个因素，维数＝1APT——多维模型3维空间中，确定一个点，需要3个独立条件如果只有一个，将不能精确地确定似乎多维模型比一维模型“更准确”APT比CAPM“好”下面以两因素模型为例，说明敏感系数与β系数的关系两因素模型下

公式的几何图形表示

以两个敏感性b为横纵坐标给定一个证券i的收益率，满足定价公式的点很多构成资产i的等值线，等高线等值线是一簇平行线，斜率相同截距不同，与期望值有关例如，无风险资产过原点，截距＝01.0

1.5

0.5

1.02.03.00无风险资产p’

pSMLbi2m市场组合bi1两因素模型下

β系数与敏感系数的关系

资产j对因素1和因素2的敏感系数＝市场组合对应的敏感系数的某一个倍数这个倍数就是β系数随着β系数的取法不同，在平面中构成直线以β系数为自变量的SML在平面中是直线直线斜率与两个敏感系数有关APT比CAPM的选择余地大

图中过原点的直线上的所有点（组合）它们的期望收益率都等于无风险利率除了原点O点外，均不是无风险资产组合（因为包含有风险资产）例如，对于期望收益率为20％的资产组合来说由CAPM决定，则，对应惟一点，p由APT决定，则，对应直线pp’上任意的点对某些投资者来说，虽然p和p’均值相等，也许更喜好资产组合p’，胜过p从这个意义上讲，APT比CAPM选择余地大多因素模型下

的敏感系数与β系数的关系

通过市场组合，计算单个资产的敏感系数资产j对应于每个因素的敏感系数＝市场组合所对应的敏感系数的一个倍数

第四节套利定价公式中

参数的估计和检验

两个问题第一，如何确定定价公式中的参数，这样才能具体地使用定价公式第二，定价公式的精确性和误差的大小的估计——检验定价公式的适用性在因素数目已知，因素的特征已知前提下估计和检验各种形式的精确的APT关系式

必要的假设条件对参数进行估计和检验，需要假设市场条件的假设存在无风险资产因素本身是可交易的资产的组合其他的情况附录3收益所构成的时间序列的行为的假设因素的收益是独立同分布的联合分布服从多元正态分布这个假设比较强，可以提出一些较弱的假设

对因素模型的假设

超额收益——excessreturn。减去无风险收益rfZt是资产的超额收益，N维向量（N种资产）ZKt

因素的超额收益，K维向量B是N×K矩阵，Σ是N×N矩阵，Ω是K×K矩阵a＝0：constrainedmodel；a≠0：unconstrainedmodel检验思路假设：资产或资产组合的超额收益Zt完全是由于因素的超额收益ZKt带来精确的APT定价——exactfactorpricing如果因素没有超额收益，则，资产或资产组合就应该没有超额收益即，（5.30）式中的a＝0向量用ML估计模型中的参数（5.30）是一个计量模型（线性回归模型）a、B和Σ是参数，需要进行估计最小二乘法（OLS）＝optimalleastsquare极大似然法（ML）＝maximumlikelihoodOLS与ML估计结果相同。教材中用ML“密度函数”相乘，得到，似然函数f取对数，得到，对数似然函数L使L最大的参数，就是估计的结果

非约束模型下的参数估计约束模型下的参数估计用似然比对模型进行检验

参数被估计后，进行显著性检验（5.30）中的a是否是0零假设H0：a=0用似然比检验该零假设LR＝LikelihoodRatio检验分为两个步骤第一，计算似然比第二，构造统计量进行统计检验计算似然比或对数似然比将约束模型和非约束模型下的参数估计，代入似然函数表达式，得到两个似然函数比＝相除构造统计量J进行统计检验渐进分布＝asymptoticdistributionT＝样本数，N＝资产数量，K＝因素数量检验的思路：在0假设成立的情况下，J统计量应该接近于0如果J统计量偏离0比较远，就应该否定0假设

其他检验方法说明上述0假设检验，是一个计量问题，或数理统计问题常用的方法有：1）完成回归后，对系数进行显著性检验2）瓦尔德检验W（Wald

test）3）拉格朗日乘数检验LM（Lagrange

Multiplier

test）4）似然比检验LR在大样本的意义下，后三种检验等价因为检验统计量都服从渐近χ2分布在实际中选择要从使用上的方便来考虑

第五节

因素模型的

因素数目和因素选择

确定因素的数目，是为了尽可能精确地定价数目多，对于精确性有好处数目多，可能导致统计检验显著性下降从实证分析的观点看，确定因素数目，要涉及到统计分析的方法（statistical

approach）从一个全面的资产收益集合来确定因素资产收益集合中元素的数目通常要多于被用来估计和检验的样本用收益的样本数据来构造表示因素的资产组合多元统计分析中因子分析法（factor

analysis）、主成分分析法（principal

components

analysis）可以用来确定因素的个数Connor和Korajczyk发现：因素的数目达到5个，资产收益对因素数目的增加就不敏感了Fama和French发现：因素数目从3个增加到5个，模型效果有提高当仅有股票时，3个因素是必要的如果包含债券资产，5个因素是必要的因素的具体选择需要考虑在估计预期回报率时必须包含的因素不同的研究人员可能给出不同的结果第一组，罗尔和罗斯。

1．工业产值增长率；

2．通货膨胀率（预期的和未预期的）；

3．长期和短期利率的差额；

4．低级和高级债券的差别。第二组，伯雷、鲍梅斯特和麦克·埃罗依。共5个前3个因素接近于上面的后3个因素社会总销售增长率标准·普尔500指数的收益率第三组由所罗门兄弟公司（Salomon

Brothers）

1.国民生产总值；

2.通货膨胀率（预期的和未预期的）；

3.利率；

4.石油价格变化率；

5.国防开支增长率。三组因素的共同特征第一，包括总体经济活动指标（工业产值、总销售和国民生产总值）第二，包括通货膨胀第三，包括利率因素（或差额或利率本身）证券价格被认为是未来红利的贴现，通过因素将这种直觉得以实现。未来红利将与总体经济活动有关，而贴现率与通货膨胀和利率有关

资本资产定价模型CAPM均值方差模型提出了的证券选择问题，解决了最优地持有有效证券组合，即在同等收益水平之下风险最小的证券组合

夏普等人在该模型基础上发展了经济含义任何证券组合收益率与某个共同因素的关系资产定价模型（CAPM）第一节传统标准CAPM的

定价公式推导

一般所说的CAPM就是传统的标准的在一定假设条件下成立不“传统的标准的”CAPM，是对假设条件的一些放宽本章主要介绍“传统的”CAPM的假设条件及其说明

根据“版本”不同，假设条件略有差异，但基本含义相同本教材列举了9条假设1．投资者仅依据投资收益率的均值和方差作决策，投资者永不满足2．投资者对预期回报率、标准差和证券之间的协方差具有相同的理解。3．单期（singleperiod）投资4．资产都无限可分，可以购买一个股份的任意比例的部分。市销的（Marketed），即，可以随意买入卖出5．对卖空没有约束6．存在无风险资产，可以以无风险利率贷出或借入任意数量的该种资产。利率对所有投资者相同7．忽略税收和交易成本，信息是免费并可立即得到8．没有通货膨胀和利率的变化9．单个投资者不能通过其买卖行为影响资产价格，即完全竞争假设条件的放宽问题这些假设条件是标准的CAPM的假设有一些明显与实际情况相违背本章后面将讨论这些假设的放宽问题用效用函数的方式等方式讨论更一般形式的最优证券组合选择的问题这些定价公式的“模样”基本相同市场有效性假设EMH（efficient

Market

hypothesis）假设2是以有效性假设EMH为前提EMH是指价格已经反映了所有可能得到的信息。基于某一信息集的交易是否赚取较高的收益，若不能，则说明价格反映了该信息集的所有信息3种形式：弱、半强、强有效弱有效（weakformefficiency）：信息集仅包含价格或收益的历史记录信息；现在的市场价格反映了有关该证券的所有历史记录中的信息半强有效（semi-strongformefficiency）：信息集包括所有公开的，投资者共知的所有信息；现在的市场价格不仅反映了该证券过去的信息，而且还反映了有关该证券的所有公布于众的信息强有效（strongformefficiency）：信息集包括任何市场参与者所掌握的一切信息；现在的市场不仅反映了有关该证券过去的信息和公布于众的信息，而且还反映任何交易者掌握的私人信息强有效表明，即使是内线人（insider）也无法垄断信息，研究者的成果与基金管理者对市场的评估均已反映到市场价格中一些学者用统计检验方法证明，对于半强有效，在一些规范成熟的证券市场中成立证券市场中许多异常现象（anormalphenomenon）说明，市场不符合强有效在实际证券市场中应用CAPM，还有很大障碍资本市场线CML

（capitalmarketline）

投资者的最优证券组合是风险资产组合e和无风险资产P0的线性组合所有的投资者面对同一个有效前沿进行最优组合选择，他们的差异体现在无差异曲线上如果有效前沿是“直的”射线，最优组合有“简单的”叙述——用点P0和e将最优组合线性表示用无风险资产和风险资产组合e的线性组合将最优证券组合表示；线性组合中的系数就是投资的权重投资者之间，无差异曲线的不同将导致选择的最优组合中，无风险P与有风险组合e的比例发生变化愿意“冒险”的投资者，风险资产组合e的比例大CMLe＝mE(r)0P0分离定理

separationtheorem如果把投资者持有的风险资产“挑出来”比较相对于总的资产，单个风险证券的权重不相同仅仅相对于风险资产来说，每种单个的风险资产在总的风险资产中占的比例，对于每个投资者来说是相同的，而且与组合e点“同结构”投资者投资于风险资产的“相对权重”与投资者个人的“风险喜好”程度无关两者是分离的——分离定理市场组合Marketportfolio

——切点e投资者通过持有e，间接地体现持有风险资产，而不直接考虑单独风险资产持有情况定义：证券组合P被称为市场组合，当且仅当该证券组合P投资于每个风险资产j的权重正好等于WmjWmj表示风险资产j的市值与风险资产的总值的比例用m表示市场组合切点e就是市场组合（书上有证明过程）两个结论引理4.1：如果投资者的效用函数u（·）是严格递增和凹函数的时候，投资者一定不会持有期望收益率＜rf的证券组合定理4.1：

如果风险厌恶的投资者都具有严格递增的效用函数，那么当所有风险资产都是严格正的供给时，在CAPM假设下，市场证券组合的风险溢价，一定是严格正的从而，rf＜A/C一定成立CML的方程式CML表示有效证券组合p的收益与风险之间关系的函数每个投资者的最优组合选择均取自该直线表达式中用到了市场组合的收益风险假定市场组合的收益风险可以计算出来从图上可以简单推导出该方程资本资产定价模型—CAPM第三章结论：在市场均衡状态下，对任意证券或组合q，可以用（3.35）定价用市场组合m取代（3.35）中的前沿证券P得到CAPMq的β系数证券市场线

SML＝securitiesmarketline将CAPM看成一条直线，就是SML位于SML与CML对比：都是组合p的收益与风险之间关系的函数SML对任意的证券组合成立CML仅对前沿证券组合成立“横坐标”不同：标准差，β系数SML的含义处在SML上的投资组合点，处于均衡状态。如图中的m、Q点和O点高于或低于直线SML的点，表示投资组合不是处于均衡状态。如图中的

O’点和Ｑ’点市场组合m的β系数βmm＝1，表示其与整个市场的波动相同，即，其预期收益率等于市场平均预期收益率EmSML对证券组合价格有制约作用市场处于均衡状态时，SML可以决定单个证券或组合的预期收益率，也可以决定其价格高于SML的点（图中的O’点）表示价格偏低的证券。（可以买入，需求增加）其市价低于均衡状况下应有的价格预期收益率相对于其系统风险而言，必高于市场的平均预期收益率价格偏低，对该证券的需求就会“逐渐”增加，将使其价格上升随着价格的上升，预期收益率将下降，直到下降到均衡状态为止O’点下降到其SML所对应的O点低于SML的点（图中的Q’点）表示价格偏高的证券。（应该卖出，供给增加）其市价高于均衡状况下应有的价格预期收益率相对于其系统风险而言，必低于于市场的平均预期收益率价格偏高，对该证券的供给就会“逐渐”增加，将使其价格下降随着价格的下降，预期收益率将上升，直到上升到均衡状态为止Q’点上升到其SML所对应的Q点BAEO’mE(r)0βimEQ’EmO’OQ’Qβmm=1β系数含义β系数表示证券或组合的系统风险根据β系数将证券或组合分为两种SML上的B点在m点的左边，其β系数值小于1。表明证券B的变动幅度小于整个市场的变动，称为防卫性证券或证券组合（defensivesecurities）SML上的A点在m点的右边，其β系数值大于1。表明A的变动幅度大于整个市场的变动，称为攻击性证券或证券组合（Aggressivesecurities）CAPM的事后形式—“特征线”类似于计量经济中回归的表达式风险的分解由事后形式，忽略联动性，近似认为误差项不相关风险由系统和非系统两部分组成（等式右边两项）公式中X表示投资权重非系统风险趋向于0非系统风险是方差表达式中第二项引理4.2：如果每个证券的非系统风险有界，即则，在高度分散化的情况下，组合p的非系统风险趋向于0，即组合p高度分散化是一个极限的过程，应该从“密度”的观点看待。详细内容第五章因为能够被避免，所以称为可分散风险组合风险的近似公式βim作为证券i对组合p的风险做出的“贡献”的度量证券的系统风险体现在证券的β系数上βim作为对证券i的系统风险的度量把β系数看成对证券i的总风险的一个度量——β风险。β风险具有线性可加性是市场真正给予补偿或估值的风险单个证券对组合风险的贡献用风险和风险价格解释CAPM在CAPM的表达式中，风险溢价（补偿）———风险（横坐标）————风险价格（直线斜率）—单位风险溢价—————度量风险和风险价格的

另外两种方式

CAPM公式变形第二节CAPM应用和β系数估计

运用CAPM公式就需要了解3个数据1.β系数2.市场风险溢价3.无风险利率运用CAPM的难点就在于如何计算或估计这3个数据β系数的估计

没有理由认为证券或证券组合的β系数恒定不变真正的β系数的取值是未来的β系数只有当认为未来的情况不会有大的差别时，才将现在的β系数用于未来先看过去和现在如何，再看将来会发生什么变化对β系数的预测还有很多，这里是几种方法最基本1）用历史数据估计出的β值作为β系数的预测值；2）用历史的β值调整后得到的值作为β系数预测值3）用基础β系数作为β系数的预测值

事后β系数的估计所谓事后β系数，是从市场的实际表现，来估计过去到现在一段时期以来，实际表现的β值是多大，因而它属于一个实证而非预测的范畴由于用的是历史的数据，所以也称为历史的β方法假定αi，βi为常数。用资产i的收益率和市场价格指数收益（市场组合收益率替代物）的历史数据，建立线性回归模型，得到αi和βi的估计值α*i，β*i：rit＝αi+βirmt+εit

，t＝1，2，…，T具体估计过程分选取样本和估计两个步骤分段计算β系数

布鲁姆（Blume）历史调整β法布鲁姆1971年提出将样本期0—T分为两段，0—T1和T1—T估计第1段和第2段的β值βi1和βi2用横截面数据β12，…，βN2，对β11，β21，…，βN1；作最小二乘回归N＝在样本期都存在的股票个数将其作为证券i在下一个时期的β系数的预测值经验表明，比直接用βi2预测误差小查看Blume(1971)基础β方法

上市公司的基础因素（例如公司的规模、流动性等）影响股票风险。基础=fundamental选择市场变量或者反映公司基本特征的基础变量。如股利支付率（＝股利／每股盈利）、资本增长率（＝资本增长量／总资本）、流动性（流动资产／流动负债）、公司规模（总资产）和盈利变动性（市盈率的标准差）用基于历史的β值对基础变量的横截面数据（公司i的基础变量X1，…，Xk的平均值）进行回归估计X1，…，Xk，进而估计β值假定所有公司的β对基础变量的反应程度一样对未来β系数的预测

用历史的β系数作为预测，承认未来的风险等于过去的风险美林公司公布的β系数是修正的β系数，以5年中的旧数据为抽样单位国外一些机构定期公市股票β系数可采用某一机构公布的β系数，也可对机构公布的β系数平均预测未来β系数的最简单办法是用最近一段时间的事后β系数估计值作为未来某个时间段的β系数的预测值用移动取样计算事后估计比较合理如果认为时间上相邻的β系数之间存在线性关系，可以首先明了这种关系，然后利用这种关系预测未来的β系数1.计算每个分段时期的β系数2.利用回归分析等工具明确β系数之间的线性关系3.分析各个时间段计算出的β系数之间的相关性，建立线性关系

风险价格和无风险收益率估计短期国债收益率作为无风险收益率的估计股票是长期证券，计算股权资本成本，用长期国债收益率真正的市场组合M是理想化的，是不可观测的用股票价格指数作为M的替代物如果组合中含有债券，用股票指数和债券指数构造一个综合的指标作为M的替代物选择股票指数有“人为性”

市场风险溢价是变化的。如果要用CAPM估算股权收益成本，应该采用本期最新的预测值第四节有关市场组合的替代物是否“胜任”的问题用CAPM确定资产价格是否合理

资产j在投资期末的预期价格是随机变量资产j在投资期末的预期收益率资产j的均衡收益率是期初的市场价格为（已知的）市场组合的收益率资产j的期初均衡价格问题：投资期初的（现在的）市场价格是否合理可否利用该资产的定价偏高或偏低获得收益用α系数判断定价合理定价适当定价偏低定价偏高实际中寻找市价与均衡价格有差异的资产

选定过去某时刻到现在（现期）作为样本期用作线性回归，得到检验常数项是否与0有显著差异如果有差异，定价不合理发现不合理定价后

证券组合调整

发现了定价不当的资产j后，可以构造新的证券组合PN证券组合PN在坐标系中的点位于市场组合m点的左边

PN与无风险证券的再组合的前沿为超有效证券前沿（supperefficientportfoliofrontier）

PN的公式复杂Pagexx第三节关于市场组合的替代物的两个结论

市场组合的收益率是不可观测的只能观测替代物（MarketProxy）替代物而在什么情况下可以代表真正的市场组合m两个有用的结论

定理4.2：如果市场组合m的替代物具有单位β值，即，并且，单个证券j的收益率与替代物之间的线性回归的余项（误差项）与真正市场组合m不相关，那么，证券j真正的β系数是可以估计的，

定理4.3：如果选N个证券为样本，并且知道它们真正的贝塔值βm＝（β1m，β2m，…，βNm）T，那么可以由这N个样本证券构造出一个市场组合的替代物，使得这N个样本证券相对于替代物的β系数与相对于真正市场组合m的β系数一致

证明：构造组合的权重如下第四节

两组合分离性

两组合分离性的=twofundsseparation放宽CAPM模型中假设1的条件将“马可维茨拥护者”变为“风险厌恶型投资者”“风险厌恶的投资者”如何选择最优证券组合所有证券组合前沿上的组合可以用任意两个不相同的前沿证券组合的组合表示“空间的维数＝2”两组合分离性定义定义：称资产集具有两组合分离性，如果存在两个资产组合α1和α2，使得，对于任意证券组合ｑ可以找到实数λ（与ｑ有关），使得下面的不等式对所有凹函数u成立“二维空间”因为两个组合α1和α2的组合可以“优于”任何一个证券组合只需要考虑α1和α2就够了尽管不能确定具体是哪两个组合但是，数量是确定的＝2类似于线性空间的“维数”两组合分离可以理解为是“二维空间”

两组合分离的性质

CAPM中的假设1放宽后，在什么情况下，风险厌恶的投资者会偏好于前沿证券组合定理4.4：满足两组合分离中定义中的α1和α2一定是前沿证券组合定理4.5：如果资产集具有两组合分离性，那么，任何两个不相同的前沿证券都可作为定义中的两分离组合α1和α2

。特别地，可以任意取某个前沿证券p（≠mvp）和它的零协方差证券组合zc(p)。

两组合分离的等价条件

定理4.6：设p是某个给定的前沿证券组合，下面3种说法等价1）存在两组合分离性；2）对任意的组合q和所有的凹函数u3）对任意的组合q，

定理4.7：p是某个前沿证券组合，则，如果存在两组合分离现象，那么