勾股定理单元测试卷(含答案)

勾股定理单元测试卷

一.选择题（共12小题）

1.如图，四边形A8CD的对角线AC与8。互相垂直，若A2=3,BC=4,CD=5,则AQ的

长为（）

2.ZVIBC中，/A,NB,/C的对边分别记为a,b,c,由下列条件不能判定△ABC为直

角三角形的是（）

A.NA+/8=NCB.NA：ZB：ZC=l：2：3

C.“2=/_/j2D.a：btc=3：4：6

3.三角形的三边长a,6,c满足2而=（a+b）2-c2,则此三角形是（）

A.钝角三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.等边三角形

4.如图，在△ABC中，ZC=90°,AC=2,点。在上，ZADC=2ZB,AD=娓,则BC

的长为（）

A.V3-1B.A/3+IC.V5-1D.75+1

5.如图所示，△ABC的顶点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上，8。，4（7于点。,

则BO的长为（）

A--|V5B.-|x/5C--|>/5D-

6.以下列各组线段为边长，能构成直角三角形的是（）

A.1,1,&B.3,4,5C.5,10,13D.2,3,4

7.如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/

时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（）

A.25海里B.30海里C.40海里D.50海里

北

（第7题）（第9题）（第10题）

8.ZVIBC中，边AB=15,AC=13,高40=12,则△ABC的周长是（）

A.42B.32C.42或32D.不能确定

9.如图，在RfA48C中，ZACB=90°,AB=y/l3,BC=2,则这个直角三角形的面积为（）

A.3B.6C.V13D.1V13

2

10.如图，有4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，若大正方形面积

是17,小正方形面积是5,直角三角形较长直角边为。，较短直角边为江则成的值是

()

A.4B.6C.8D.10

11.如图①所示，有一个由传感器A控制的灯，要装在门上方离地高4、5〃?的墙上，任何

东西只要移至该灯5〃?及5m以内时，灯就会自动发光.请问一个身高1、5根的学生要

走到离墙多远的地方灯刚好发光？（）

（第11题）（第12题）

12.如图表示的是一个十字路口，。是两条公路的交点，点A、B、C、。表示的是公路上

的四辆车，若OC=8c，〃，AC^17cm,AB=5cm,BD=T。辰n,贝ijC,。两辆车之间的距

离为（）

A.5mB.4mC.3/nD.2m

二.填空题（共5小题）

13.如图，在△ABC中，AB=AC=4,AO=BO,P是射线CO上的一个动点，NAOC=120。，

则当△办B为直角三角形时，AP的长为

C

O

B

P\B,BO____/

（第13题）（第14题）（第15题）

14.如图，一架10米长的梯子斜靠在墙上，刚好梯顶抵达8米高的路灯.当电工师傅沿梯

上去修路灯时，梯子下滑到了用处，下滑后，两次梯脚间的距离为2米，则梯顶离路

灯米.

15.如图，将一根长245?的筷子，置于底面直径为5c利，高为12cs的圆柱形茶杯中，设

筷子露在杯子外面的长为acm（茶杯装满水），则a的取值范围是.

16.如图，四边形ABC£>中，AD=3,C£>=4,ZABC=ZACB=ZADC=45°,则8。的长

为.

17.如果矩形的周长是14a”，相邻两边长之比为3：4,那么对角线长为,

三.解答题（共5小题）

18.一架梯子长25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，

（1）这个梯子的顶端距地面有多高？

（2）如果梯子的顶端下滑了4米到A，，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米?

19.在aABC中，CC是AB边上的高，AC=4,BC=3,DB=?

5

求：（1）求AO的长；（2）△ABC是直角三角形吗？为什么？

20.如图，AB=BC=CD=DE=L且BC_LAB,CDLAC,DE±AD,求线段AE的长.

B□

21.如图，在中，ZA=90°,边BC的垂直平分线QE交A8于点E,连接CE.

求证：BE2=AC2+AE2.

22.(1)如图(1),分别以三边为直径向外作三个正方形，其面积分别用a,S2,

$3表示，写出Si，S2,S3之间关系.(不必证明)

(2)如图(2),分别以RfZVIBC三边为边向外作三个半圆，其面积分别用S，S2,S3表示,

确定它们的关系证明；

(3)如图(3),分别以RraABC三边为边向外作正三角形，其面积分别用S，S2,S3表示,

确定它们的关系并证明.

(3)、

(1)⑵

参考答案

一.选择题（共12小题）

1.如图，四边形A8CD的对角线AC与8。互相垂直，若A2=3,BC=4,CD=5,则AQ的

长为（）

A.3料B.4C.2MD.4近

【解答】解：在Rt/\AOB中，A^AB2-BO2；

Rt/XDOC中可得：DO2=DC2-CO2；

：.可得A^AO^+D^AB1-BO^+DC2-CO2=18,

即可得47=而杀3点.

故选A.

2.△ABC中，NA,NB,NC的对边分别记为a,b,c,由下列条件不能判定△ABC为直

角三角形的是（）

A.NA+NB=NCB.NA：ZB：ZC=1：2：3

C._从D.a：b：c=3：4：6

【解答】解：A、ZA+ZB=ZC,又NA+/B+NC=180。，则NC=90。，是直角三角形；

B、NA：ZB：NC=1：2：3,又乙4+NB+NC=180。，则NC=90。，是直角三角形；

C、由〃2=02-〃，得a2+〃=c2,符合勾股定理的逆定理，是直角三角形；

£＞、32+42找2,不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形.

故选D.

3.三角形的三边长a,b,c满足2"=（a+Z?）2-c2,则此三角形是（）

A.钝角三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.等边三角形

【解答】解：•••原式可化为。2+/=02,

此三角形是直角三角形.

故选：C.

4.如图，在△ABC中，ZC=90°,AC=2,点D在BC上，ZADC=2ZB,AD=®则BC

的长为（）

A.V3-1B.V3+1C.V5-1D.V5+1

【解答】解：VZADC=2ZB,ZADC=ZB+ZBAD,

：.NB=NDAB,

；.DB=DA=5,

在中，

DC=VAD2-1=1，

.\BC=V5+1.

故选D.

5.如图所示，AABC的顶点4、B、C在边长为1的正方形网格的格点上，BOJ_AC于点

则BD的长为（）

A--|V5B.-|>/5c--|V5d--jVs

【解答】解：/XABC的面积=[xBCxAE=2,

2

由勾股定理得，AC=J^，=加，

贝必庭xB£）=2,

2

解得BD=9娓,

5

故选：A.

6.以下列各组线段为边长，能构成直角三角形的是（）

A.1,1,MB.3,4,5C.5,10,13D.2,3,4

【解答】解：A,12+1V（V3）2,不能构成直角三角形，故此选项错误;

B、32+42=52,能构成直角三角形，故此选项正确；

C、52+10V132,不能构成直角三角形，故此选项错误；

D、22+32^42,不能构成直角三角形，故此选项错误.

故选B.

7.如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/

时的速度同时从港口4出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（）

A.25海里B.30海里50海里

【解答】解：连接BC,

由题意得：AC=16x2=32（海里），48=12x2=24（海里）,

CB=VAC2+AB2=40（海里），

故选：C.

8.2XABC中，边AB=15,AC=13,高AO=12,则△ABC的周长是()

A.42B.32C.42或32D.不能确定

【解答】解：此题应分两种情况说明：

(1)当△ABC为锐角三角形时，在心△A3。中，

SD=7AB2-AD^VlS2-122"9'

在Rf/XACC中，

CD=A/AC2-AD^VlS2-122=5

，BC=5+9=14

.,.△ABC的周长为：15+13+14=42；

(2)当△4BC为钝角三角形时，

在RfAABD中，^=7AB2-ADN152-122=9'

在RfA4CD中，8=京2///132-12”

：.BC=9-5=4.

.♦.△ABC的周长为：15+13+4=32

...当AABC为锐角三角形时，△48C的周长为42；当AABC为钝角三角形时，△ABC的周

长为32.

综上所述，△ABC的周长是42或32.

故选：C.

A

【解答】解：

•.•在R48C中，NACB=90。，AB=V13>BC=2,

AC=7AB2-BC2=3'

.•.这个直角三角形的面积=LC・BC=3,

2

故选A.

10.如图，有4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，若大正方形面积

是17,小正方形面积是5,直角三角形较长直角边为m较短直角边为b,则ab的值是（）

A.4B.610

【解答】解：根据勾股定理可得。2+〃=17,

四个直角三角形的面积是：L〃x4=17-5=12,

2

即：ab=6,

故选：B.

11.如图①所示，有一个由传感器A控制的灯，要装在门上方离地高4、5机的墙上，任何

东西只要移至该灯5机及5,”以内时，灯就会自动发光.请问一个身高1、5〃?的学生要走到

离墙多远的地方灯刚好发光？（）

【解答】解：由题意可知.BE=CD=1、5m,AE=AB-BE=4、57、5=3m,BD=5m

由勾股定理得CE=｛啰_§发4"

故离门4米远的地方，灯刚好打开,

故选A.

12.如图表示的是一个十字路口，0是两条公路的交点，点A、B、C、。表示的是公路上

的四辆车，若0C=8c，〃，AC=llcm,AB=5cm,BD=\Oy[sm,则C,。两辆车之间的距离为

()

A.5mB.4m

【解答】解：在RTAAOC中，：OA2+OC2^AC2,

OA=7AC2-0C2=V172-82=15On),

，OB=0A+AB=20m,

在RTABOD中，B^OB^OD2,

OD=7BD2-OB^V(1(V5)2~202=103"),

/.CD=OD-OC=2mf

故选：D.

二.填空题（共5小题）

13.如图，在△ABC中，AB=AC=4fAO=BOfP是射线CO上的一个动点，N400120。,

则当为直角三角形时，AP的长为2或2y.

【解答】解：当NAP3=90。时，分两种情况讨论,

情况一：如图1,

\'AO=BOf

；.PO=BO,

・・・ZAOC=120°,

JNAOP=60。，

•••△AOP为等边三角形，

・・.NOAP=60。，

.\ZZPBA=30°,

：.AP=1AB=2；

2

情况二：如图2,9：AO=BO,ZAPB=90°,

APO=BO,

•・•NAOG120。，

・・・N3OP=60。，

：./\BOP为等边三角形，

：.ZOBP=60°t

亨2g

・AP=A8・s血60°=4x

当N84P=90。时，如图3,

ZAOC=120°,

JNAO尸二60。，

：.AP=OA-tanZAOP=2xy[j=2yf3.

故答案为：2或2«.

14.如图，一架10米长的梯子斜靠在墙上，刚好梯顶抵达8米高的路灯.当电工师傅沿梯

上去修路灯时，梯子下滑到了跟处，下滑后，两次梯脚间的距离为2米，则梯顶离路灯，

米.

【解答】解：在直角三角形AOB中，根据勾股定理，得:

OB=6m,

根据题意，得：。夕=6+2=8加.

又•••梯子的长度不变，

在狡△4。夕中，根据勾股定理，得：04=6〃?.

则AA'=8-6=2，*.

15.如图，将一根长24c,”的筷子，置于底面直径为5。孙高为12c机的圆柱形茶杯中，设

筷子露在杯子外面的长为4C"?（茶杯装满水），则a的取值范围是1112cm.

【解答】解：当筷子与杯底垂直时〃最大，人政大=24-12=12c/n.

当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时a最小，

如图所zK：此时，AB=JAC2+BC2=J]22+5813c,

故a=24-13=llcm.

所以。的取值范围是：112cm.

故答案是：11cm<a<12cm.

16.如图，四边形ABC。中，AD=3fCD=4,ZABC=ZACB=ZADC=45°,则8。的长为_

V34_.

【解答】解：作AD'=AD,连接CO,DD',如图:

,?ZBAC+ZCAD=ZDAD'+ZCAD,

即N8A3=/CA£>',

在△BA。与△C4。中，

'AB=CA

<ZBAD=ZCAD>

AD=AD'

：./\BAD^£\CAD'(SAS),

：.BD=CD'.

ZDAD'=90°

由勾股定理得”>[AD2+(AD，)=亚,

ZD'DA+ZADC=90°

由勾股定理得8=任2+3，）在疝,

：.BD=CD'=-/^,

故答案为：V34.

17.如果矩形的周长是145b相邻两边长之比为3：4,那么对角线长为5c/n.

【解答】解：设矩形的相邻两边的长度分别为3acm,4acm,

由题意3a+4a=l,a=l,

所以矩形的相邻两边分别为3cm,4cm,

所以对角线长=而晒2=5cm,

故答案为5.

三.解答题（共5小题）

18.一架梯子长25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，

（1）这个梯子的顶端距地面有多高？

（2）如果梯子的顶端下滑了4米到AT那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？

【解答】解：（1）由题意得：AC=25米，BC=7米,

AB=q252-72=24（米）,

答：这个梯子的顶端距地面有24米;

（2）由题意得：84=20米，

=2

BC725-202=15（米），

则：CC=15-7=8（米），

答：梯子的底端在水平方向滑动了8米.

19.在△ABC中，CQ是A8边上的高，AC=4,BC=3,DB=2

5

求：（1）求的长；

（2）4ABC是直角三角形吗？为什么？

【解答】解：（1）CDLAB,

：.NCQB=NCD4=90。，

在RfZ\BC£>中，8c=3,DB=2

5

根据勾股定理得：D=21

C7BC5

在/^△AC£>中，AC=4,CD=12,

5

根据勾股定理得：^7AC2-CD2"—;

5

（2）ZViBC为直角三角形，理由为：

"：AB=BD+AD=^+1^5,

55

：.AC2+BC2^AB2,

...△ABC为直角三角形.

20.如图，AB=BC=CD=DE=l,且BC_LAB,CD1AC,DELAD,求线段AE的长.

E

D

【解答】解：VBC1AB,CD上AC,AC±DE,

：.ZB=ZACD=ZADE=90°,

■:AB=BC=CD=DE=1,

・・在.Rt/\ACB111,AC=JAC2+BC心11+1=，^，

,,,在•△AC。'I',A£>=A/AC2+CD2=V（V2）2+l=^,

在.zMOE中，A£=VAD2+DE2=V（V3）2+l=2,

21.如图，在放ZVIBC中，NA=90。，边3c的垂直平分线OE交AB于点E,连接CE.求

证：BE2^AC2+AE2.

【解答】证明：：如图，边8c的垂直平分线。E交AB于点E,

CE=BE.

;在心△ABC中,NA=90°,

由勾股定理得到：CE2=AC2+AE2

:.BE2=AC2+AE2.

22.(1)如图(1),分别以放△ABC三边为直径向外作三个正方形，其面积分别用S,S2,

S3表示，写出S|,S2，S3之间关系.(不必证明)

(2)如图(2),分别以R/Z\A8C三边为边向外作三个半圆，其面积分别用S，Si，S3表示,

确定它们的关系证明；

(3)如图(3),分别以三边为边向外作正三角形，其面积分别用Si，S2,S3表示,

确定它们的关系并证明.

【解答】解：(1)52+S3-S1,

由三个四边形都是正方形则：

222

"：Si=AC,S2=BC,St=AB,

•.•三角形ABC是直角三角形，

:.AC2+BC2=AB2,

52+S3—5i.

222

(2)VS3=2L4C,S2=—BC,SI=—AB,

888

•.•三角形ABC是直角三角形，

：.AC2+BC2=AB2,

••52+53=51.

2

(3),:S2^J^BC,S3=^4C2,

44-4

•.•三角形ABC是直角三角形，

:.AC2+BC2-AB2,

.*.S2+S3=S1.

勾股定理单元测试题

一、选择题(共12小题，每题4分，共40分)

1.以下列各组数据为三角形三边，能构成直角三角形的是()

(A)4cm,8cm,7cm(B)2cm,2cm,2cm

(C)2cm,2cm,4cm(D)13cm，12cm，5cm

2.一个三角形的三边长分别为15cm,20cm,25cm,则这个三角形最长边上的高为()

(A)12cm(B)10cm(C)12、5cm(D)10>5cm

3.RtAABC的两边长分别为3和4,则第三边长的平方是()

(A)25(B)7(C)12(D)25或7

4.有长度为9cm,12cm,15cm,36cm,39cm的五根木棒，用其中的三根首尾连接可搭成

直角三角形的个数为()

(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个

5.将直角三角形的三边长扩大相同的倍数后，得到的三角形是()

(A)直角三角形(B)锐角三角形(C)钝角三角形(D)以上结论都不对

6.在△ABC中，AB=12cm,AC=9cm,BC=15cm,下列关系成立的是()

(A)ZB+ZC>ZA(B)ZB+ZC=ZA

(C)ZB+ZC<ZA(D)以上都不对

7.小刚准备测量河水的深度，他把一根竹竿插到离岸边1、5m远的水底，竹竿高出水面0、5m,

把竹竿的顶端拉向岸边，竿顶和岸边的水平刚好相齐，河水的深度为()

(A)2m(B)2、5cm(C)2、25m(D)3m

8.若一个三角形三边满足(a+加2-C?=2"。，则这个三角形是()

(A)直角三角形B)等腰直角三角形(C)等腰三角形(D)以上结论都不对

9.一架250cm的梯子斜靠在墙上，这时梯足与墙的终端距离为70cm,如果梯子顶端沿墙

下滑40cm,那么梯足将向外滑动()

(A)150cm(B)90cm(C)80cm(D)40cm

10.三角形三边长分别为2〃+1、2/+2〃、2n2+2n+l(〃为自然数)，则此三角形是

()

(A)直角三角形(B)等腰直角三角形(C)等腰三角形(D)以上结论都不对

二、填空题（共6小题，每题4分，共24分）

II.写四组勾股数组、，，，、

12.若一个直角三角形的三边为三个连续的偶数，则它的周长为.

13.有一个长为12cm,宽为4cm,高为3cm的长方形铁盒，在其内部要放一根笔直的铅笔,

则铅笔最长是cm

14.直角三角形有一条直角边为11,另外两条边长是自