第9课 数列 2023年新高考数学一轮复习强化小练（2019人教版）（含解析）

数列

2023年新高考数学一轮复习强化小练

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题（共32分）

1.（本题8分）（2022.云南民族大学附属中学模拟预测（理））已知等差数列｛4｝的前〃

项和为S“，若易必<0,52022>0,则当S,,最小时，〃的值为（）

A.1010B.1011C.1012D.2021

2.（本题8分）（2022・湖南•一模）在流行病学中，基本传染数凡是指在没有外力介

入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数.凡一般由疾病

的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定.对于

而且死亡率较高的传染病，一般要隔离感染者，以控制传染源，切断传播途

径.假设某种传染病的基本传染数R。=3,平均感染周期为7天（初始感染者传染R。

个人为第一轮传染，经过一个周期后这R。个人每人再传染R。个人为第二轮传染……）

那么感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要的天数为（参考数据：

3‘=729,45=1024）（）

A.35B.42C.49D.56

3.（本题8分）（2022•四川♦射洪中学模拟预测（文））数列｛4｝满足

4=1+2+3+・.・+〃,贝ij数歹的前〃项和为（）

n-〃

A.---B.----

72+1〃+2

C.二D.2

72+1〃+2

4.（本题8分）（2021•内蒙古♦赤峰二中模拟预测（理））在公比夕为整数的等比数列

｛初｝中,S〃是数列｛〃〃｝的前〃项和.若。/“=32,。2+〃3=12,则下列说法中，正确的是

（）

①数列｛血｝是等比数列;

②。3=4;

③数列｛S"+2｝是等比数列；

④数列｛lOg2M｝是等差数列

A.①②③B.②③④C.®@®D.①②④

二、填空题（共24分）

5.（本题8分）（2022•内蒙古赤峰•模拟预测（理））已知数列｛%｝满足且

2〃4田=（〃+1）4（"eN"），则汽%=.

k=l

6.体题8分）（2022•河南洛阳•一模（文））已知数列｛%｝的前"项和为5“，且

5„=则数列｛q｝的通项公式““=.

7.（本题8分）（2021•甘肃・嘉峪关市第一中学模拟预测（理））设5.是等差数列｛%｝的

前〃项和，若6=2,$5=12,贝ij4=.

三、双空题（共8分）

8.（本题8分）（2022•湖北•一模）2022年北京冬奥会开幕式中，当《雪花》这个节目

开始后，一片巨大的“雪花”呈现在舞台中央，十分壮观.理论上，一片雪花的周长可以

无限长，围成雪花的曲线称作“雪花曲线”，又称“科赫曲线”，是瑞典数学家科赫在

1904年研究的一种分形曲线.如图是“雪花曲线”的一种形成过程：从一个正三角形开

始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去

掉底边，重复进行这一过程

①②③④

若第1个图中的三角形的周长为1,则第〃个图形的周长为；若第1个图

中的三角形的面积为1,则第〃个图形的面积为.

四、解答题（共36分）

9.（本题18分）（2022•黑龙江齐齐哈尔•一模（文））设数列｛叫的前八项和为5“，满

足S）=24-2・

（1）求数列｛《,｝的通项公式%；

（2）记b„=J410g24—3,求数列,J,,，的前〃项和小

10.（本题18分）（2022.全国.模拟预测）数列｛q｝的前〃项和为S,,,4=4,

（1）求数列｛为｝的通项公式；

⑵记数列b„=（«+l）a„,求数列出｝的前«项和T„.

参考答案:

1.B

【分析】根据等差数列前〃项和的图象特征，由已知条件先确定抛物线的开口方向和零点

范围，根据零点范围确定对称轴范围，进而结合二次函数的单调性和对称性得到答案.

【详解】由于等差数列的前〃项和S“=4/+B〃的形式，图象是由经过坐标原点的抛物线

上的横坐标为正整数的所有点构成，由S.<0,$2022>。可知抛物线的开口向上，且大于

零的零点在区间(2021,2022)之间，因此对称轴在区间(1010.5,1011)之间，离对称轴最近的

横坐标为整数的点的横坐标为«=1011,

5,取得最小值时”的值为1011.

故选：B

2.B

【分析】根据题意列出方程，利用等比数列的求和公式计算”轮传染后感染的总人数，得

到指数方程，求得近似解，然后可得需要的天数.

【详解】感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要〃轮传染，

则每轮新增感染人数为

经过"轮传染，总共感染人数为：1+0+堤+…+与"==^,

1一所

I_

；R°=3,.•.当感染人数增加到1000人时，——=1000,化简得3"=667,

1-3

由3$=2433=729,故得”6,又3平均感染周期为7天,

所以感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要6x7=42天，

故选：B

【点睛】等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于

熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前F

项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程.

3.D

【分析】利用等差数列的前〃项和公式得到勺，进而得到」一=4(一1-一二］,利用裂

项相消法求和.

答案第1页，共6页

n(\+n)

【详解】依题意得：〃+1，

.，=4=4fJ___Q

a,,%(〃+1)(〃+2)1/2+1n+2)'

4.C

【分析】由题中条件，计算基本量4,4,可得%=2",S“=2"+i-2,依据等差、等比数列

的定义，依次判断即可

【详解】由题意，｛〃"｝为等比数列，a1-04=32,“2+43=12

由等比数列的性质：

=4=32

[a2+q=12

/.a2-(12-a2)=32

—12a>+32=0

又公比4为整数,

%=4牝=4

%=8a4=8

4(i_g")=2,,+i-2

：.at=2,q=2,an=axq"~'=2",Sn=

i-q

数列｛m｝，弧=应=(历,叁=^^=6,且瓜=6*0,因此数列｛乩｝

为等比数列，故①正确；

“3=23=8,故②不正确;

答案第2页，共6页

q+2?n+l

数列｛5〃+2｝,S“+2=2"?守F=*=2,且£+2=4*。，因此数列｛S“+2｝为等比数

S“_1+22

列，故③正确；

数列｛log2a〃｝,log,an=n,log2a„-log,an_］=1,因此数列｛log?4,｝为等差数列，故④正

确；

故选：C

__2+H«T

5.2--,«eN+

【分析】由递推关系分析得到数列｛?1是首项为:，公比为;的等比数列，求得其通项公

式，然后得到数列｛%｝的通项公式，进而利用错位相减求和法求得结果.

【详解】V2na,^=(n+1)«„(neN"),=1x,

'7H+12n

又•.数列［2］是首项为:，公比为!的等比数列，

212I,nJ22

..4丁_1,.匕卜。丫

。e-1.11

〃£人22223T

1cs1cle11

2"£"2。23242"+"

两式相减得：

1cli1112(r)1।11

—S=—I—T-H—T-+…4------〃x—-=--------：-------nx—-=1--------nx——,

2222252"2,,+,112n+l2〃2H+,

2

.c_o212+n

〃2"2〃2〃

故答案为：2-竽,〃eN+

6.2"~'

【分析】当〃=1时求得4;当〃N2B寸，利用4“=S,-S,i可知数列｛4｝为等比数列，利用

等比数列通项公式可求得结果.

【详解】当〃=1时，6=2q-l,解得：q=l；

当“22时，a„=S„-S„_,=2«„-1-(2«„_,-1),/.an=2an_i,

答案第3页，共6页

则数列｛〃〃｝是以1为首项，2为公比的等比数列，.・.％=1X2〃T=2〃T.

故答案为：2〃，

7.3

【分析】根据等差数列的前〃项和公式，用表示S5,可求解d,结合4=4+5”,可

得解

【详解】由题意，根据等差数列的前〃项和公式

5x4

$5=54+〒d=12,又4=2

d—0.2

*.a®~q+5cl=2+1=3

故答案为：3

【分析】由图形之间的边长的关系，得到周长是等比数列，再按照等比数列通项公式可得

解；

由图形之间的面积关系及累加法，结合等比数列求和可得解.

【详解】记第〃个图形为与，三角形边长为凡，边数“，周长为4，面积为S,

4有白条边，边长处;6有4=4々条边，边长的=；4；6有&=4*条边，边长

%=配L

分析可知为=>,一，即a.=（，q;2=4%,即％=仇-4"T

当第1个图中的三角形的周长为1时，即4=1,4=3

所以4=a„b„=q）x3x-=（J

由图形可知是在2T每条边上生成一个小三角形，即S,,二,一+旬一义乎勾：

22

即S"-S“_|.21,5„_j-S„_2=-^-xan_1-bn_2,L,S2-S,=-^-xa2bt

答案第4页，共6页

2

利用累加法可得S,-S[=曰伍-bn_2+---+a^也）

数歹|J｛。"｝是以g为公比的等比数列，数列出｝是以4为公比的等比数列，故｛a：•｝是以

"为公比的等比数列，

当第1个图中的三角形的面积为1时，5,=1,即¥必=1,此时靖=竽，母=券,

[有4=3条边，

小L回一m

则也+〃2也

nn—\n—\n—1+…+Qz~也1=-------4------=-------5------

1--

9

所以S.-，=|x1-0，所以S"=|-|x（!）

故答案为：f-T'.

【点睛】关键点睛：本题考查数列的应用，解题的关键是通过找到图形之间的关系，得到

等比数列，求数列通项公式常用的方法：（1）由小与5“的关系求通项公式；（2）累加法;

（3）累乘法；（4）两边取到数，构造新数列法.

9.（1）«„=2»

⑵7；=；（向布-1）

【分析】（1）根据S”与。”的关系即可求出数列的通项公式

（2）包=房与，利用裂项相消法即可求出数列的和.

（1）

当〃=1时，q=5]=24—2,解得4=2,

当〃之2时，S〃=2册-2,S,i=2%-2,

即S,-S,T=an=2（4,-a“T）,即产=2,

Un-\

所以数列｛%｝是首项为2,公比为2的等比数列，所以。“=2”.

⑵

答案第5页，共6页

由(1)知〃=J41og2〃“-3=)4n-3,

-\—=/।/=：“4〃+1-,4〃-3),

2+%X/477-34-V4/2+14

所以工I=—(>/5—1)H—(5/9—y/5)4—(J13—>/9)4-••*4—Q4n.+1—Y4rl-3)

4444