甘肃省兰州市中考数学模拟试卷（含答案解析）

甘肃省兰州市中考数学模拟检测试卷

（含答案）

（时间120分钟满分：150分）

一.选择题（共15小题，满分60分，每小题4分）

1.（4分）若*=备=4=枭，贝1Jx等于（）

b+ca+ca+b

A.-1或2B.-1C.-1-D.不能确定

2.（4分）如图是用八块完全相同的小正方体搭成的几何体，从左面

看几何体得到的图形是（）

3.（4分）如图，在斜坡的顶部有一铁塔AB,B是CD的中点，CD是

水平的，在阳光的照射下，塔影DE留在坡面上.已知铁塔底座宽CD=12

m,塔影长DE=18m,小明和小华的身高都是1.6m,同一时刻，小明

站在点E处，影子在坡面上，小华站在平地上，影子也在平地上，两

人的影长分别为2m和1m,那么塔高AB为（）

A.24mB.22mC.20mD.18m

4.（4分）如图，ZXABC内接于。0,ZBAC=120°,AB=AC=4,BD为

。。的直径，则BD等于（）

A.4B.6C.8D.12

5.（4分）根据下表,确定方程ax2+bx+c=0的一个解的取值范围是（）

X22.232.242.25

ax2+bx+c-0.05-0.0。0.030.07

A.2<x<2.23B.2.23<x<2.24

C.2.24<x<2.25D.2.24VxW2.25

6.（4分）已知一元二次方程ax'+bx+c=0（aWO）中，下列说法：

①若a+b+c=O,则b2-4ac>0；

②若方程两根为和2,则2a+c=0；

③若方程ax2+c=O有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c=0必有两个

不相等的实根；

④若b=2a+c,则方程有两个不相等的实根.其中正确的有（）

A.①②③B.①②④C.②③④D.①②③④

7.（4分）下列说法不正确的是（）

A.频数与总数的比值叫做频率

B.频率与频数成正比

C.在频数分布直方图中，小长方形的面积是该组的频率

D.用样本来估计总体，样本越大对总体的估计就越精确

8.（4分）如图，矩形ABCD中，AB=4,BC=2,0为对角线AC的中点，

点P、Q分别从A和B两点同时出发，在边AB和BC上匀速运动，并

且同时到达终点B、C,连接PO、Q0并延长分别与CD、DA交于点M、

N.在整个运动过程中，图中阴影部分面积的大小变化情况是（）

A.一直增大B.一直减小C.先减小后增大D.先增大后减小

9.（4分）抛物线y=x?+4x+5是由抛物线y=x2+l经过某种平移得到,

则这个平•移可以表述为（）

A.向左平移1个单位B.向左平移2个单位

C.向右平移1个单位D.向右平移2个单位

10.（4分）某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一

张表示留念，全班共送1035张照片，如果全班有x名同学，根据题

意，列出方程为（）

A.x（x+1）=1035B.x（x-1）=1035X2

C.x(x-1)=1035D.2x(x+1)=1035

11.（4分）方程x?+3x-1=0的根可视为函数y=x+3的图象与函数修

X

的图象交点的横坐标，那么用此方法可推断出方程X2+2X-1=0的实

数根X。所在的范围是（）

A.-l<x«<0B.0<x0<lC.l<xo<2D.2<x0<3

12.（4分）如图，00的半径为1cm,正六边形ABCDEF内接于。0,

则图中阴影部分面积为（）。痛.（结果保留弘）

13.（4分）如图，一个斜边长为10cm的红色三角形纸片，一个斜边

长为6cm的蓝色三角形纸片，一张黄色的正方形纸片，拼成一个直角

三角形，则红、蓝两张纸片的面积之和是（）

14.（4分）如图，两个全等的长方形ABCD与CDEF,旋转长方形ABCD

能和长方形CDEF重合，则可以作为旋转中心的点有（）

A.1个B.2个C.3个D.无数个

15.（4分）如图，AABC为直角三角形，NC=90°,BC=2cm,ZA=30°,

四边形DEFG为矩形，DE=2acir,EF=6cm,且点C、B、E、F在同一条

直线上，点B与点E重合.RtAABC以每秒1cm的速度沿矩形DEFG

的边EF向右平移，当点C与点F重合时停止.设RtAABC与矩形DEFG

的重叠部分的面积为yen?,运动时间xs.能反映yem?与xs之间函数

关系的大致图象是（）

二.填空题（共5小题，满分20分，每小题4分）

16.（4分）如图所示，Rt4AOB中，ZA0B=90°,0A=4,0B=2,点B

在反比例函数y=2图象上，则图中过点A的双曲线解析式是.

X

17.（4分）如图，五边形ABCDE与五边形A'BzC'D'E'是位似图

形，且位似比为■!，若五边形ABCDE的面积为18cm之，周长为21cm,

那么五边形A'B'C'D'E'的面积为cm?,周长为cm.

18.（4分）抛物线y=-2X2+6X-1的顶点坐标为.

19.（4分）如图，平行四边形ABCD的对角线互相垂直，要使ABCD

成为正方形，还需添加的一个条件是（只需添加一个即可）

20.（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，ABCO的顶点A,B的坐

标分别是A（3,0）,B（0,2）,动点P在直线y/x上运动，以点P

为圆心，PB长为半径的。P随点P运动，当。P与四边形ABCO的边

三.解答题（共8小题，满分70分）

21.（10分）计算：（h+«）°+g-2sin600-（1）-2.

22.（6分）在数学课本上，同，学们已经探究过“经过已知直线外一

点作这条直线的垂线”的尺规作图过程:

已知：直线1和1外一点P.

求作：直线1的垂线，使它经过点P.

作法：如图：(1)在直线1上任取两点A、B；

(2)分别以点A、B为圆心，AP,BP长为半径画弧，两弧相交于点Q；

(3)作直线PQ.

参考以上材料作图的方法，解决以下问题：

(1)以上材料作图的依据是：J

(2)已知,直线1和1外一点P,

求作：OP,使它与直线1相切.(尺规作图，不写作法，保留作图痕

迹，并把作图痕迹用黑色签字笔描黑)

•P

23.(7分)正四面体各面分别标有数字1、2、3、4,正六面体各面

分别标有数字1、2、3、4、5、6,同时掷这两个正多面体，并将它

们朝下面上的数字相加.

(1)请用树状图或列表的方法表示可能出现的所有结果；

(2)求两个正多面体朝下面上的数字之和是3的倍数的概率.

4>0

24.(7分)如图，四边形ABCD是平行四边形，点A(b0),B(4,

1),C(4,3),反比例函数y=K的图象经过点D,点P是一次函数y=mx+3

X

-4m(mWO)的图象与该反比例函数图象的一个公共点；

(1)求反比例函数的解析式；

(2)通过计算说明一次函数y=mx+3-4m的图象一定过点C；

(3)对于一次函数y=mx+3-4m(mWO),当y随x的增大而增大时，

25.(8分)某太阳能热水器的横截面示意图如图所示，已知真空热

水管AB与支架CD所在直线相交于点0,且OB=OD,支架CD与水平线

AE垂直，ZBAC=ZCDE=30°,DE=80cm,AC=165cm.

(1)求支架CD的长；

(2)求真空热水管AB的长.(结果保留根号)

cE

26.(10分)已知：矩形ABCD中，AB=4,BC=3,点M、N分别在边AB、

CD±,直线MN交矩形对角线AC于点E,将aAME沿直线MN翻折,

点A落在点P处，且点P在射线CB上.

(1)如图1,当EP_LBC时,求CN的长;

(2)如图2,当EP_LAC时，求AM的长；

27.(10分)如图，已知点C是以AB为直径的。。上一点，CH1AB

于点H,过点B作。。的切线交直线AC于点D,点E为CH的中点，

连接AE并延长交BD于点F,直线CF交AB的延长线于G.

(1)求证：AE・FD=AF・EC；

(2)求证：FC=FB；

(3)若FB=FE=2,求。0的半径r的长.

28.(12分)在直角坐标平面内，直线y=*x+2分别与x轴、y轴交

于点A、C.抛物线y=-"+bx+c经过点A与点C,且与x轴的另一

个交点为点B.点D在该抛物线上，且位于直线AC的上方.

(1)求上述抛物线的表达式；

(2)联结BC、BD,且BD交AC于点E,如果AABE的•面积与4ABC

的面积之比为4：5,求NDBA的余切值；

(3)过点D作DFLAC,垂足为点F,联结CD.若4CFD与△AOC相

似，求点D的坐标.

答案

选择题（共15小题，满分60分，每小题4分）

1•【解答】解:*=3=工=工

b+ca+ca+b

_a+b+c_1

...当a+b+cWO时,x-2(a+b+c)一天；

当a+b+c=O时，x=-^=^=-l,

故选：A.

2.【解答】解：从左面看易得上面一层左边有1个正方形，下面一层

有2个正方形.

故选：A.

3•【解答】解：过D作DFLCD,交AE于点F,过F作FGLAB,垂足

为G.

由题意得：黑卷.（2分）

.*.DF=DEX1.64-2=14.4(m).（1分）

.*.GF=BD=yCD=6m.（1分）

■ry••AG_1.6

乂•（2分）

.\AG=1.6X6=9.6(m).（1分）

.\AB=14.4+9.6=24(m).（1分）

答：铁塔的高度为24m.

故选：A.

G

4.【解答】解:VZBAC=120°,AB=AC=4

.*.ZC=ZABC=30o

.,.ZD=30°

VBD是直径

AZBAD=90°

.,.BD=2AB=8.

故选：C.

5.【解答】解：,对于函数y=ax?+bx+c,

当x=2.23时yVO,

当x=2.24时y>0,

可见，x取2.23与2.24之间的某一值时，y=0,

则方程ax2+bx+c=0的一个解的取值范围是2.23<x<2.24.

故选：B.

6•【解答】解：①当x=l时，有若a+b+c=O,即方程有实数根了,

.,.△NO,故错误；

②把x=-1代入方程得到：a-b+c=O(1)

把x=2代入方程得到：4a+2b+c=0(2)

把(2)式减去(1)式X2得到：6a+3c=0,

即：2a+c=0,故正确；

③方程ax2+c=0有两个不相等的实数根，

则它的△=-4ac>0,

.*.bJ-4ac>0而方程ax2+bx+c=0^A=b?-4ac>0,

•••必有两个不相等的实数根.，故正确；

④若b=2a+c则△=b?-4ac=(2a+c)2-4ac=4a2+c2,

•:aWO,

/.4a2+c2>0故正确.

②③④都正确，故选C.

7.【解答］解：A、是频率的概念，正确；

B、是频率的性质，正确；

C、在频数分布直方图中，小长方形的面积是该组的频数，错误；

D、用样本来估计总体，样本越大对总体的估计就越精确，正确.

故选：C.

8.【解答】解：连接BD,则BD过点0,

•••0是AC的中点，

SAAOB=SABOC=SAAOD=SACOD31矩形ABCD,

开始时，如图1,S阴影=SziAOB+SzkCOD二/*S矩形ABCD,

点P到达AB的中点，点Q到达BC的中点时，如图2,

S阴影=矩形ABCD,

结束时，如图3,S阴影=SZiBOC+S"OD《S矩形ABCD,

...在这个运动过程中，图中的阴影部分面积大小变化情况是：先减小

后增大.

故选C.

图1

9.

【解答】解：原抛物线的顶点为（0,1）,新抛物线的顶点为（-2,

1）,

...是抛物线y=x2+l向左平移2个单位得至（J,

故选：B.

10.

【解答】解：•••全班有x名同学，

.•.每名同学要送出（x-1）张；

又\•是互送照片，

...总共送的张数应该是X（X-1）=1035.

故选：C.

11.

【解答】解：方程X2+2X-1=0的实数根可以看作函数y=x+2和y=工的

X

交I点.

函数大体图象如图所示：

A.由图可得，第三象限内图象交点的横坐标小于-2,故-lVx°V0

错误；

B.当x=l时，y,=1+2=3,y2=1=l,而3>1,根据函数的增减性可知，

第一象限内的交点的横坐标小于1,故0Vx°Vl正确；

C.当x=l时，山=1+2=3,丫2*=1,而3>1,根据函数的增减性可知，

第一象限内的交点的横坐标小于1,故lVx°V2错误；

D.当x=2时，y,=2+2=4,y2=^,而4>p根据函数的增减性可知,

第一象限内的交点的横坐标小于2,故2Vx°V3错误.

故选：B.

12.

【解答】解：如图，连接BO,CO,0A.

由题意得，△O，BC,Z^AOB都是等边三角形,

ZA0B=Z0BC=60°，

.,.0A/7BC,

/.AOBC的面积=ZiABC的面积,

.••图中阴影部分的面积等于扇形OBC的面积=吗立_=2.

13.

【解答】解：如图，1正方形的边DE〃CF,

ZB=ZAED,

VZADE=ZEFB=90°,

；・AADE^AEFB,

.DE=AE=10=_5

BF-BE-T-y，

.EF=5_

,•丽一W，

设BF=3a,则EF=5a,

BC=3a+5a=8a,

AC=8aX

JJ

在RtAABC中，AC2+BC2=AB2,

即(岑a)2+(8a)2=(10+6)2,

J

解得麝居,

红、蓝两张纸片的面积之和■义粤aX8a-(5a)

X122

-630a25a

2

-a

-835

18

><X

-8-5-

3X17

=30cm\

故选：D.

14.

【解答】解：根据长方形的性质，对角线互相平分且相等，

所以对角线的交点是长方形的对称中心；

故长方形ABFE的对称中心是其对角线的交点，即CD的中点;

进而可得：可以作为旋转中心的点只有CD的中点.

故选：A.

15.

【解答】解：已知NC=90°，BC=2cm,ZA=30°,

，AB=4,

由勾股定理得：AC=2«,

•.•四边形DEFG为矩形，ZC=90,

.•.DE=GF=2«,ZC=ZDEF=90°，

，AC〃DE,

此题有三种情况：(1)当0VxV2时，AB交DE于H,

VDE/7AC,

•EH=BE

•'AC-BCJ

pnEH_x'l

即时〒

解得：EH=Vsx,

所以y=y#V3x*x=

Vxy之间是二次函数,

所以所选答案C错误，答案D错误,

Va=^>0,开口向上；

(2)当2WxW6时，如图,

止匕时y=*X2X2后2«,

(3)当6VxW8时，如图，设4ABC的面积是s”AFNB的面积是

S2,

BF=x-6,与（1）类同，同法可求FN二遂X-6«,

Ay=si-S2,

=1X2X2V3-|X（X-6）X（V3X-6V3）,

=-零X?+6EX-16

：-专VO,

，开口向下，

所以答案A正确，答案B错误，

故选：A.

二.填空题（共5小题，满分20分，每小题4分）

16.

【解答】解：设点B的坐标是（m,n）,

因为点B在函数y='的图象上，则mn=2,

X

则BD=n,0D=m,则AC=2m,0C=2n,

设过点A的双曲线解析式是y=k,A点的坐标是（-2n,2m）,

X

把它代入得到：2m=告，

-2n

则k=-4mn=-J8,

则图中过点A的双曲线解析式是y=-

X

故答案为：y二—-.

X

17.

2

【解答】解：五边形A'B，C'"E'的面积=18X(-I)=8cm2；

五边形A，B，CD，E，的周长=21X普=14cm.

J

18.

【解答】解：•.•y=-2x2+6x-l

_/3x2,7

一2o(x-2)+y

•••顶点的坐标是(-|-»y)

故填空答案：(5，

19.

【解答】解：条件为NABC=90°或AC=BD,

理由是：•.•平行四边形ABCD的对角线互相垂直，

...四边形ABCD是菱形，

VZABC=90°或AC=BD,

...四边形ABCD是正方形，

故答案为：ZABC=90°或AC=BD.

20.

【解答】解：TC(-3,2),

.••直线OC的解析式为y=--1x,

•••直线OP的解析式为y=1x,

.,.OP±OC,

①当OP与BC相切时，•.•动点P在直线y/x上,

，P与0重合，此时圆心P至ijBC的距离为0B,

AP(0,0).

②如图1中，当。P与0C相切时，则0P=BP,△0PB是等腰三角形,

，作PELy轴于E,则EB=E0,易知P的纵坐标为1,可得P(£,1).

③如图2中，当。P与0A相切时，则点P到点B的距离与点P到x

解得x=3+&或3-a,

'：X=3+V5>0A,

...OP不会与0A相切,

...x=3+旄不合题意，

.,.p（3-®±|ZE）.

④如图3中，当。P与AB相切时，设线段AB与直线OP的交点为G,

V0P1AB,

...NBGP=NPBG=90°不成立，

•••此种情形，不存在P.

综上所述，满足条件的P的坐标为（0,0）或（•!■,1）或（3-辰,

O

9-3^5

故答案为：（0,0）或（卷1）或（3-娓,^

oZ

三.解答题（共8小题，满分70分）

21.

【解答】解：原式=l+2«-2X乎-4=遮-3.

22.

【解答】解：（1）以上材料作图的依据是：线段垂直平分线上的点到

线段两端点的距离相等，

故答案为：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；

⑵如图、//.

I

失

23.

【解答】解：(1)

开始

六面体人…/2341234

67S又78910

四面体123412341234

7^4545676739

(2)共有24种情况，和为：3的倍数的情况是8种，所以

81

Pn(和为3的倍数)囱

24.

【解答】解：(1)VB(4,1),C(4,3),

，BC〃y轴，BC=2,

又二•四边形ABCD是平行四边形，

.\AD=BC=2,AD〃y轴,而A(1,C)),

AD(1,2),

•••由反比例函数y=5的图象经过点D,可得k=lX2=2,

.••反比例函数的解析式为y=?；

(2),在一次函数y=mx+3-4m中，当x=4时，y=4m+3-4m=3,

.,.一次函数y=mx+3-4m的图象一*定过点C(4,3)；

(3)点P的横坐标的取值范围：|<x<4.

如图所示，过C(4,3)作y轴的垂线，交双曲线于E,作x轴的垂

线，交双曲线于F,

当y=3时，3=—,即x="|,

x3

点E的横坐标为得；

由点C的横坐标为4,可得F的横坐标为4；

二,一次函数y=mx+3-4m的图象一定过点C(4,3),且y随x的增大

而增大，

...直线y=mx+3-4m与双曲线的交点P落在EF之间的双曲线上，

点P的横坐标的取值范围是最VxV4.

0

25.

【解答】解：(1)■在Rt△解E中,ZCDE=30°,DE=80cm,

.,.CD=80Xcos30°=80X亨=40«(cm).

(2)在RtZiOAC中，ZBAC=30°,AC=165cm,

.,.0C=ACXtan30°=165义与55T(cm),

.,.OD=OC-CD=55V3-4073=15V3(cm),

.*.AB=AO-OB=AO-0D=55百X2-15存95T(cm).

26.

【解答】解：(1)•••△AME沿直线MN翻折，点A落在点P处,

AAME^APME.

ZAEM=ZPEM,AE=PE.

VABCD是矩形，

AABIBC.

VEP±BC,

，AB〃EP.

，ZAME=ZPEM.

，ZAEM=ZAME.

，AM=A，E,

VABCD是矩形，

.,.AB/7DC.

.AMAE

CN^CE'

•.CN=CE,

设CN=CE=x.

OABCD是矩形,AB=4,BC=3,

.*.AC=5.

.*.PE=AE=5-x.

VEP±BC,

即CN=^

(2)•.•△AME沿直线MN翻折，点A落在点P处,

，AAME^APME.

.*.AE=PE,AM=PM.

VEP±AC,

.EP4

•,cTtanZACB^3-

.AE4

CE^"

VAC=5,

.*.AE=-y,CE=-y-

二.PE考，

VEP±AC,

•*«PC=VPE2+EC2=y-♦

.*.PB=PC-BC=1,

在RtZiPMB中，VPM2=PB2+MB2,AM=PM.

.,.AM=(y)2+(4-AM)2.

，AM=嘿；

49

(3)•.•四边形ABCD是矩形，

AZABC=90°,

在Rt^ABC中，AB=4,BC=3,根据勾股定理得，AC=5,

由折叠知，AE=PE,

由三角形的三边关系得，PE+CE>PC,

AAOPC,

.\PC<5,

.,.点E是AC中点时，PC最小为0,当点E和点C重合时，PC最大为

AC=5,

.•.0WCPW5,

如图，当点C,N,E重合时,PC=BC+BP=5,

.\BP=2,

由折叠知，PM=AM,

在RtZXPBM中，PM=4-BM,根据勾股定理得，PM2-BM=BP2,

(4-BM)2-BM2=4,

在Rt/XBCM中，根据勾股定理得，MN=VBM2+BC2=-^-

当CP最大时MN=¥，

27.

【解答】(1)证明：〈BD是。。的切线,

AZDBA=90°,

VCH±AB,

.,.CH/7BD,

AAEC^AAFD,

.AE=CE

••正一市’

.\AE・FD=AF・EC.

(2)证明：连接OC,BC,

VCH/7BD,

，AAECsAAFD,△AHEsAABF,

CE==EH

AE,AE丽

DFAFAF

耨

CE--

DFAE

AF

VCE=EH（E为CH中点）,

.•.BF=DF,

•「AB为。。的直径，

ZACB=ZDCB=90°，

VBF=DF,

...CF=DF=BF(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半),

即CF=BF.

(3)解：连接OF,

VFE=FB=2,

.,.FC=FE=2,

.*.ZFEC=ZFCE,

VZFCE+ZG=ZFEC+ZFAB=90°,

...ZFAB=ZG,

.*.FA=FG,

.,.AB=BG,

VA0=0B,

AOF/7AC,

.GF_GO

••而一瓦一3，

.*.FG=3FC=6,

...由勾股定理得：BG=4圾，

OA=OB《A