长春市重点中学2024届高一数学第二学期期末经典试题含解析

长春市重点中学2024届高一数学第二学期期末经典试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．如果成等差数列，成等比数列，那么等于（）A． B． C． D．2．某实验中学共有职工150人，其中高级职称的职工15人，中级职称的职工45人，一般职员90人，现采用分层抽样抽取容量为30的样本，则抽取的高级职称、中级职称、一般职员的人数分别为A．5、10、15 B．3、9、18 C．3、10、17 D．5、9、163．在等差数列{an}中，已知a1=2A．50 B．52 C．54 D．564．已知在中，为线段上一点，且，若，则（）A． B． C． D．5．在等比数列中，，，则等于（）A．256 B．-256 C．128 D．-1286．我国古代著名的周髀算经中提到：凡八节二十四气，气损益九寸九分六分分之一；冬至晷长一丈三尺五寸，夏至晷长一尺六寸意思是：一年有二十四个节气，每相邻两个节气之间的日影长度差为分；且“冬至”时日影长度最大，为1350分；“夏至”时日影长度最小，为160分则“立春”时日影长度为A．分 B．分 C．分 D．分7．已知某7个数据的平均数为5，方差为4，现又加入一个新数据5，此时这8个数的方差为（）A． B．3 C． D．48．已知向量，且，则（）A． B． C． D．9．掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于（）A． B． C． D．10．若直线与直线关于点对称，则直线恒过点()A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知，，若，则______．12．点从点出发，沿单位圆顺时针方向运动弧长到达点，则点的坐标为__________.13．在中，两直角边和斜边分别为a，b，c，若则实数x的取值范围是________.14．不等式的解集为_________.15．给出下列语句：①若为正实数，，则；②若为正实数，，则；③若，则；④当时，的最小值为，其中结论正确的是___________．16．已知曲线与直线交于A，B两点，若直线OA，OB的倾斜角分别为、，则__________三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．为了评估A，B两家快递公司的服务质量，从两家公司的客户中各随机抽取100名客户作为样本，进行服务质量满意度调查，将A，B两公司的调查得分分别绘制成频率分布表和频率分布直方图．规定分以下为对该公司服务质量不满意．分组频数频率0.4合计（Ⅰ）求样本中对B公司的服务质量不满意的客户人数；（Ⅱ）现从样本对A，B两个公司服务质量不满意的客户中，随机抽取2名进行走访，求这两名客户都来自于B公司的概率；（Ⅲ）根据样本数据，试对两个公司的服务质量进行评价，并阐述理由．18．已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，的平分线所在直线方程为，求：（Ⅰ）顶点的坐标；（Ⅱ）直线的方程19．已知圆经过、、三点．（1）求圆的标准方程；（2）若过点的直线被圆截得的弦的长为，求直线的倾斜角．20．已知函数.（1）求函数在区间上的最大值；（2）在中，若，且，求的值.21．在平面直角坐标系中，O是坐标原点，向量若C是AB所在直线上一点，且，求C的坐标．若，当，求的值．

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、D【解题分析】

因为成等差数列,所以,因为成等比数列,所以,因此.故选D2、B【解题分析】试题分析：高级职称应抽取；中级职称应抽取；一般职员应抽取．考点：分层抽样点评：本题主要考查分层抽样的定义与步骤．分层抽样：当总体是由差异明显的几个部分组成的，可将总体按差异分成几个部分（层），再按各部分在总体中所占比例进行抽样．3、C【解题分析】

利用等差数列通项公式求得基本量d，根据等差数列性质可得a4【题目详解】设等差数列an公差为则a2+∴本题正确选项：C【题目点拨】本题考查等差数列基本量的求解问题，关键是能够根据等差数列通项公式构造方程求得公差，属于基础题.4、C【解题分析】

首先，由已知条件可知，再有，这样可用表示出．【题目详解】∵，∴，，∴，∴．故选C．【题目点拨】本题考查平面向量基本定理，解题时用向量加减法表示出，然后用基底表示即可．5、A【解题分析】

先设等比数列的公比为，根据题中条件求出，进而可求出结果.【题目详解】设等比数列的公比为，因为，，所以，因此.故选A【题目点拨】本题主要考查等比数列的基本量的计算，熟记通项公式即可，属于基础题型.6、B【解题分析】

首先“冬至”时日影长度最大，为1350分，“夏至”时日影长度最小，为160分，即可求出,进而求出立春”时日影长度为.【题目详解】解：一年有二十四个节气，每相邻两个节气之间的日影长度差为分，且“冬至”时日影长度最大，为1350分；“夏至”时日影长度最小，为160分．，解得，“立春”时日影长度为：分．故选B．【题目点拨】本题考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，利用等差数列的性质直接求解．7、C【解题分析】

由平均数公式求得原有7个数的和，可得新的8个数的平均数，由于新均值和原均值相等，因此由方差公式可得新方差．【题目详解】因为7个数据的平均数为5，方差为4，现又加入一个新数据5，此时这8个数的平均数为，方差为，由平均数和方差的计算公式可得，.故选：C.【题目点拨】本题考查均值与方差的概念，掌握均值与方差的计算公式是解题关键．8、A【解题分析】

直接利用向量平行的充要条件列方程求解即可.【题目详解】由可得到.故选A【题目点拨】利用向量的位置关系求参数是出题的热点，主要命题方式有两个：（1）两向量平行，利用解答；（2）两向量垂直，利用解答.9、B【解题分析】

试题分析：掷两颗均匀的骰子，共有36种基本事件，点数之和为5的事件有（1,4），（2,3），（3,2），（4,1）这四种，因此所求概率为，选B．考点：概率问题10、C【解题分析】

利用直线过定点可求所过的定点.【题目详解】直线过定点，它关于点的对称点为，因为关于点对称，故直线恒过点，故选C.【题目点拨】一般地，若直线和直线相交，那么动直线必过定点（该定点为的交点）.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】

首先令，分别把解出来，再利用整体换元的思想即可解决．【题目详解】令所以令，所以所以【题目点拨】本题主要考查了整体换元的思想以及对数之间的运算和公式法解一元二次方程．整体换元的思想是高中的一个重点，也是高考常考的内容需重点掌握．12、【解题分析】

由题意可得OQ恰好是角的终边，利用任意角的三角函数的定义，求得Q点的坐标．【题目详解】点P从点出发，沿单位圆顺时针方向运动弧长到达Q点，则OQ恰好是角的终边，故Q点的横坐标，纵坐标为，故答案为：【题目点拨】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于容易题．13、【解题分析】

计算得到，根据得到范围.【题目详解】两直角边和斜边分别为a，b，c，则，则，则，故.故答案为：.【题目点拨】本题考查了正弦定理和三角函数的综合应用，意在考查学生的综合应用能力.14、【解题分析】

利用两个数的商是正数等价于两个数同号；将已知的分式不等式转化为整式不等式，求出解集．【题目详解】同解于解得或故答案为：【题目点拨】本题考查解分式不等式，利用等价变形转化为整式不等式是解题的关键．15、①③.【解题分析】

利用作差法可判断出①正确；通过反例可排除②；根据不等式的性质可知③正确；根据的范围可求得的范围，根据对号函数图象可知④错误.【题目详解】①，为正实数，，即，可知①正确；②若，，，则，可知②错误；③若，可知，则，即，可知③正确；④当时，，由对号函数图象可知：，可知④错误.本题正确结果：①③【题目点拨】本题考查不等式性质的应用、作差法比较大小问题、利用对号函数求解最值的问题，属于常规题型.16、【解题分析】

曲线即圆曲线的上半部分，因为圆是单位圆，所以，，，，联立曲线与直线方程，消元后根据韦达定理与直线方程代入即可求解.【题目详解】由消去得，则，由三角函数的定义得故.【题目点拨】本题主要考查三角函数的定义，直线与圆的应用.此题关键在于曲线的识别与三角函数定义的应用.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（Ⅰ）3人；（Ⅱ）0.3；（Ⅲ）见解析【解题分析】

（Ⅰ）对B公司的服务质量不满意的频率为，即概率为0.03，易求解．（Ⅱ）共有5名客服不满意，将每种情况都列出来即可算出全来自于B公司的概率．（Ⅲ）可通过频率对比，服务质量得分的众数，服务质量得70分（或80分）以上的频率几个方面进行对比．【题目详解】（Ⅰ）样本中对B公司的服务质量不满意的频率为，所以样本中对B公司的服务质量不满意的客户有人．（Ⅱ）设“这两名客户都来自于B公司”为事件M．对A公司的服务质量不满意的客户有2人，分别记为，；对B公司的服务质量不满意的客户有3人，分别记为，，．现从这5名客户中随机抽取2名客户，不同的抽取的方法有，，，，，，，，，共10个；其中都来自于B公司的抽取方法有，，共3个，所以．所以这两名客户都来自于B公司的概率为．（Ⅲ）答案一：由样本数据可以估计客户对A公司的服务质量不满意的频率比对B公司服务质量不满意的频率小，由此推断A公司的服务质量比B公司的服务质量好．答案二：由样本数据可以估计A公司的服务质量得分的众数与B公司服务质量得分的众数相同，由此推断A公司的服务质量与B公司的服务质量相同．答案三：由样本数据可以估计A公司的服务质量得70分（或80分）以上的频率比B公司得70分（或80分）以上的频率小，由此推断A公司的服务质量比B公司的服务质量差．答案四：由样本数据可以估计A公司的服务质量得分的平均分比B公司服务质量得分的平均分低，由此推断A公司的服务质量比B公司的服务质量差．【题目点拨】此题考查概率，关键理解清楚频率分布表和频率分布直方图表示的含有，简单数据可通过列表法求概率或者可以组合数求解，属于较易题目．18、（Ⅰ）（Ⅱ）【解题分析】

（Ⅰ）设，可得中点坐标，代入直线可得；将点坐标代入直线得，可构造出方程组求得点坐标；（Ⅱ）设点关于的对称点为，根据点关于直线对称点的求解方法可求得，因为在直线上，根据两点坐标可求得直线方程.【题目详解】（Ⅰ）设，则中点坐标为：，即：又，解得：，（Ⅱ）设点关于的对称点为则，解得：边所在的直线方程为：，即：【题目点拨】本题考查直线方程、直线交点的求解；关键是能够熟练应用中点坐标公式和点关于直线对称点的求解方法，属于常考题型.19、（1）；（2）或.【解题分析】

（1）设出圆的一般方程，然后代入三个点的坐标，联立方程组可解得；（2）讨论直线的斜率是否存在，根据点到直线的距离和勾股定理列式可得直线的倾斜角．【题目详解】（1）设圆的一般方程为，将点、、的坐标代入圆的方程得，解得，所以，圆的一般方程为，标准方程为；（2）设圆心到直线的距离为，则.①当直线的斜率不存在时，即直线到圆心的距离为，满足题意，此时直线的倾斜角为；②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，则圆心到直线的距离为，解得，此时，直线的倾斜角为.综上所述，直线的倾斜角为或.【题目点拨】本题考查圆的方程的求解，同时也考查了利用直线截圆的弦长求直线的倾斜角，一般转化为求圆心到直线的距离，并结合点到直线的距离公式以及勾股定理列等式求解，考查计算能力，属中档题．20、（1）；（2）.【解题分析】

（1）先将函数化简整理，得到，根据，得到，根据正弦函数的性质，即可得出结果；（2）令，得到或，根据，，得出，，求出，根据正定理，即可得出结果.【题目详解】（1）因为，所以，因此；故函数在区间上的最大值；（2）因为，由（1），令，所以或，解得：或，因