2022-2023学年湖北省孝感市高一下学期期中考试数学试题（解析版）

高级中学精品试卷PAGEPAGE1湖北省孝感市2022-2023学年高一下学期期中考试数学试题注意事项：1、答卷前，考生务必将自己的姓名、考号等填写在答题卡和试卷指定的位置上.2、回答选择题时，选出每题〖答案〗后，用2B铅笔把答题卡对应题目的〖答案〗标号涂黑.如需要改动，先用橡皮擦干净后，再选涂其他〖答案〗标号.回答非选择题时，将〖答案〗写在答题卡上，写在试卷上无效.一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题有且只有一个正确选项）1.已知复数满足，是虚数单位，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗,.故选：A.2.已知平面向量，，，若，，则为（）A.5 B. C.2 D.〖答案〗A〖解析〗由于，，所以，解得，所以，所以.故选：A3.如图，在中，，为CD的中点，设，，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由已知得.故选：D.4.“”是“”（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗B〖解析〗，所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B5.在中，，若边上的高等于，则的值为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗过作，为垂足，如图所示，由于，，所以，则，所以，在中，由正弦定理得，.故选：D6.若非零向量、满足，且，则与的夹角为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗∵，∴，∴，∴①，又∵，∴，∴②，②式代入①式，得，即，∴，∴，设与的夹角为，且，则，又∵，∴，即与的夹角为.故选：A.7.将函数的图象向左平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗象上各点的横坐标缩短到原来的2倍（纵坐标不变），得图象的〖解析〗式为，再把图象向右平移个单位得图象〖解析〗式为，故选：C．8.已知锐角的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若且外接圆半径为2，则的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗依题意，，由正弦定理得，，,，由于，所以，由于，所以，所以，所以是锐角，且，所以.,由于三角形是锐角三角形，所以，即，所以，所以，所以，所以的取值范围是.故选：C二、多选题（本题共4小题，每题5分，共20分.每小题有多于一个的正确选顶，全答对得5分，部分答对得2分，有错误选项的得0分）9.下列命题中错误的是（）A.B.若，满足，且与同向，则C.若，则D.若是等边三角形，则〖答案〗BC〖解析〗A选项，根据向量加法的几何意义可知，所以A选项正确.B选项，向量不能比较大小（向量的模可以比较大小），所以B选项错误.C选项，若且是零向量，则无法得到，所以C选项错误.D选项，根据向量夹角、等边三角形的知识可知，D选项正确.故选：BC10.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列各组条件中使得有两个解的是（）A.，， B.，，C.，， D.，，〖答案〗AB〖解析〗A选项，，，所以有两个解，A选项正确.B选项，为锐角，，，，所以有两个解，B选项正确.C选项，由余弦定理得，所以有唯一解.D选项，，，所以有唯一解.故选：AB11.函数（且）在一个周期内的图象如图所示，下列结论正确的是（）A. B.C.在上单调递增 D.，都有〖答案〗BD〖解析〗由图可知，，，，，由于，所以，所以，A选项错误.，B选项正确.由于，所以在上先减后增，所以C选项错误.，所以D选项正确.故选：BD12.点是所在平面内的一点，下列说法正确的有（）A.若则为的重心B.若，则点为的垂心C.在中，向量与满足，且，则为等边三角形D.若，，分别表示，的面积，则〖答案〗ACD〖解析〗对于A，如图，取边中点，连接边上的中线，则，又∵由，∴，∴，∴为的重心，故选项A正确；对于B，如图，取边中点，边中点，连接，，则，，∵，∴，∴，∴，，∴，，∴，分别是，边上的垂直平分线，∴，为外心，故选项B错误；对于C，作角的内角平分线与边交于点，∵为方向的单位向量，为方向的单位向量，∴（），∴（），∴，∴，∴，为等腰三角形，又∵，且，∴，∴为等边三角形，故选项C正确；对于D，设，，由得，则由选项A可知，为的重心，设的面积，∴，又∵，，∴，，，∴，∴，故选项D正确.故选：ACD.三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.______.〖答案〗2〖解析〗由于，所以，即，所以故〖答案〗为：14.若，，且，均为锐角，则______.〖答案〗〖解析〗，均为锐角,，又，，，，.故〖答案〗为：.15.在中，为边上靠近点的一个三等分点，为线段上一动点，且满足，则的最小值为______.〖答案〗〖解析〗依题意，，，由于三点共线，所以.所以，当且仅当时等号成立.故〖答案〗为：16.赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成）类比“赵爽弦图”，可构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，设，若，则的值为______.〖答案〗〖解析〗过作，交于，则，由于，所以，设，则，，设，则,则，由于，所以在三角形中，由余弦定理得，所以，，在三角形中，由正弦定理得：，，所以.，在三角形中，由正弦定理得：，，所以.所以.故〖答案〗为：四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知复数.（1）若复数为纯虚数，求实数的值；（2）若复数在复平面内对应点在第四象限，求实数的取值范围.解：（1），且复数为纯虚数，，解得；（2）复数在复平面内对应的点在第四象限，，解得.18.已知，，.（1）求的单调递增区间；（2）若，求的值域.解：（1），，令，解得，即的单调递增区间为；（2）当时，，，，即的值域为.19.如图，在平行四边形中，点、分别为线段、的中点.（1）若，求，的值；（2）若，，，求与夹角的余弦徝.解：（1）依题意，,，由于，所以，解得.（2）,，，，所以与夹角的余弦徝为.20.已知a、b、c分别为内角A、B、C的对边，且.（1）求；（2）若中线，求面积最大值.解：（1）依题意，，由正弦定理得，，，，由于，所以，即，由于，所以.（2）依题意，两边平方得，即，，当且仅当，即三角形是等边三角形时等号成立，所以面积的最大值为.21.如图，在中，，的角平分线交于点.（1）求的值；（2）若，，求的长.解：（1）依题意，的角平分线交于点，所以.（2）设到的距离为，由（1）得，所以，.依题意，由余弦定理得，整理得，所以.22.已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的伴随向量，同时称函数为向量的伴随函数.（1）设函数，试求的伴随向量；（2）记向量的伴随函数为，求当且时，的值；（3）当向量时，伴随函数为，函数，求在区间上最大值与最小值之差的取值范围.解：（1），所以.（2）依题意，由得，，所以，所以.（3）的函数〖解析〗式，所以区间的长度为，函数的周期为，若的对称轴在区间内，不妨设对称轴在内，最大值为1，当即时，函数在区间上的最大值与最小值之差取得最小值为；其它的对称轴在内时最大值与最小值之均大于，若的对称轴不在区间内，则在区间内单调，在两端点处取得最大值与最小值，则最大值与最小值之差为：，故函数在区间上的最大值与最小值之差的取值范围为.湖北省孝感市2022-2023学年高一下学期期中考试数学试题注意事项：1、答卷前，考生务必将自己的姓名、考号等填写在答题卡和试卷指定的位置上.2、回答选择题时，选出每题〖答案〗后，用2B铅笔把答题卡对应题目的〖答案〗标号涂黑.如需要改动，先用橡皮擦干净后，再选涂其他〖答案〗标号.回答非选择题时，将〖答案〗写在答题卡上，写在试卷上无效.一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题有且只有一个正确选项）1.已知复数满足，是虚数单位，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗,.故选：A.2.已知平面向量，，，若，，则为（）A.5 B. C.2 D.〖答案〗A〖解析〗由于，，所以，解得，所以，所以.故选：A3.如图，在中，，为CD的中点，设，，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由已知得.故选：D.4.“”是“”（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗B〖解析〗，所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B5.在中，，若边上的高等于，则的值为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗过作，为垂足，如图所示，由于，，所以，则，所以，在中，由正弦定理得，.故选：D6.若非零向量、满足，且，则与的夹角为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗∵，∴，∴，∴①，又∵，∴，∴②，②式代入①式，得，即，∴，∴，设与的夹角为，且，则，又∵，∴，即与的夹角为.故选：A.7.将函数的图象向左平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗象上各点的横坐标缩短到原来的2倍（纵坐标不变），得图象的〖解析〗式为，再把图象向右平移个单位得图象〖解析〗式为，故选：C．8.已知锐角的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若且外接圆半径为2，则的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗依题意，，由正弦定理得，，,，由于，所以，由于，所以，所以，所以是锐角，且，所以.,由于三角形是锐角三角形，所以，即，所以，所以，所以，所以的取值范围是.故选：C二、多选题（本题共4小题，每题5分，共20分.每小题有多于一个的正确选顶，全答对得5分，部分答对得2分，有错误选项的得0分）9.下列命题中错误的是（）A.B.若，满足，且与同向，则C.若，则D.若是等边三角形，则〖答案〗BC〖解析〗A选项，根据向量加法的几何意义可知，所以A选项正确.B选项，向量不能比较大小（向量的模可以比较大小），所以B选项错误.C选项，若且是零向量，则无法得到，所以C选项错误.D选项，根据向量夹角、等边三角形的知识可知，D选项正确.故选：BC10.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列各组条件中使得有两个解的是（）A.，， B.，，C.，， D.，，〖答案〗AB〖解析〗A选项，，，所以有两个解，A选项正确.B选项，为锐角，，，，所以有两个解，B选项正确.C选项，由余弦定理得，所以有唯一解.D选项，，，所以有唯一解.故选：AB11.函数（且）在一个周期内的图象如图所示，下列结论正确的是（）A. B.C.在上单调递增 D.，都有〖答案〗BD〖解析〗由图可知，，，，，由于，所以，所以，A选项错误.，B选项正确.由于，所以在上先减后增，所以C选项错误.，所以D选项正确.故选：BD12.点是所在平面内的一点，下列说法正确的有（）A.若则为的重心B.若，则点为的垂心C.在中，向量与满足，且，则为等边三角形D.若，，分别表示，的面积，则〖答案〗ACD〖解析〗对于A，如图，取边中点，连接边上的中线，则，又∵由，∴，∴，∴为的重心，故选项A正确；对于B，如图，取边中点，边中点，连接，，则，，∵，∴，∴，∴，，∴，，∴，分别是，边上的垂直平分线，∴，为外心，故选项B错误；对于C，作角的内角平分线与边交于点，∵为方向的单位向量，为方向的单位向量，∴（），∴（），∴，∴，∴，为等腰三角形，又∵，且，∴，∴为等边三角形，故选项C正确；对于D，设，，由得，则由选项A可知，为的重心，设的面积，∴，又∵，，∴，，，∴，∴，故选项D正确.故选：ACD.三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.______.〖答案〗2〖解析〗由于，所以，即，所以故〖答案〗为：14.若，，且，均为锐角，则______.〖答案〗〖解析〗，均为锐角,，又，，，，.故〖答案〗为：.15.在中，为边上靠近点的一个三等分点，为线段上一动点，且满足，则的最小值为______.〖答案〗〖解析〗依题意，，，由于三点共线，所以.所以，当且仅当时等号成立.故〖答案〗为：16.赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成）类比“赵爽弦图”，可构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，设，若，则的值为______.〖答案〗〖解析〗过作，交于，则，由于，所以，设，则，，设，则,则，由于，所以在三角形中，由余弦定理得，所以，，在三角形中，由正弦定理得：，，所以.，在三角形中，由正弦定理得：，，所以.所以.故〖答案〗为：四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知复数.（1）若复数为纯虚数，求实数的值；（2）若复数在复平面内对应点在第四象限，求实数的取值范围.解：（1），且复数为纯虚数，，解得；（2）复数在复平面内对应的点在第四象限，，解得.18.已知，，.（1）求的单调递增区间；（2）若，求的值域.解：（1），，令，解得，即的单调递增区间为；（2）