2023届上海市黄浦区高三二模数学试题（解析版）

高级中学精品试卷PAGEPAGE1上海市黄浦区2023届高三二模数学试题一、填空题1.设集合，则___________．〖答案〗〖解析〗根据交集含义得，故〖答案〗为：.2.函数的最小正周期为____________．〖答案〗〖解析〗直接根据余弦函数周期公式得，故〖答案〗为：.3.若函数的图像经过点与，则m的值为____________．〖答案〗81〖解析〗由题意函数的图像经过点与，则，则故，故〖答案〗为：814.设复数、在复平面内的对应点关于虚轴对称，（为虚数单位），则______.〖答案〗〖解析〗由题意得：所以5.以抛物线的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程为__________.〖答案〗〖解析〗抛物线的焦点，准线方程为：，∴以抛物线的焦点为圆心，并且与此抛物线的准线相切的圆的半径是2，∴圆方程为；，故〖答案〗为：.〖『点石成金』〗本题考查抛物线的性质及求圆的标准方程的方法，属于中档题.6.已知m是与4的等差中项，且，则的值为____________．〖答案〗40〖解析〗由题意得，解得，则二项式的通项为，令则有，故，故〖答案〗为：.7.已知函数是定义在上的奇函数，且当时，．若，则实数a的值为____________．〖答案〗〖解析〗函数是定义在上的奇函数，且当时，，而，于是，解得，所以实数a的值为.故〖答案〗为：.8.如图，某学具可看成将一个底面半径与高都为的圆柱挖去一个圆雉（此圆锥的顶点是圆柱的下底面圆心、底面是圆柱的上底面）所得到的几何体，则该学具的表面积为_________．〖答案〗〖解析〗因为圆柱的底面半径与高都为，所以挖去的圆雉的母线长为，半径为10，则圆锥的侧面积为，又圆柱的侧面积为，圆柱的一个底面积为,所以学具的表面积为.故〖答案〗为：9.若函数的图像可由函数的图像向右平移个单位所得到，且函数在区间上是严格减函数，则__________．〖答案〗〖解析〗由题意得，则，当时，，函数在区间上是严格减函数，故，即且，则，而，故，故〖答案〗为：10.若每经过一天某种物品的价格变为原来的1.02倍的概率为0.5，变为原来的0.98倍的概率也为0.5，则经过6天该物品的价格较原来价格增加的概率为____________．〖答案〗〖解析〗设物品原价格为1，因为，，，，故经过6天该物品的价格较原来价格增加的情况是6天中恰好是4天升高2天降低，5天升高1天降低和6天升高,则经过6天该物品的价格较原来价格增加的概率为.故〖答案〗为：.11.如图．在直角梯形中．，点P是腰上的动点，则的最小值为____________．〖答案〗4〖解析〗由在直角梯形中．，则，则以A为原点，为轴建立平面直角坐标系，设，设，则，故，所以，故，当且仅当即时取得等号，即的最小值为4，故〖答案〗为：412.已知实数a，b，c满足：与，则abc的取值范围为____________．〖答案〗〖解析〗由題意得，由得,得,所以,令，，当时，，此时在和上单调递增，当时，此时在单调递减，所以的极大值为，的极小值为，又因为，则的取值范围为.故〖答案〗为：.二、选择题13.若直线与直线垂直，则实数a的值为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗直线与直线垂直，则，解得，故选：B.14.从装有两个红球和两个白球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（）A.恰好有一个白球与都是红球 B.至多有一个白球与都是红球C.至多有一个白球与都是白球 D.至多有一个白球与至多一个红球〖答案〗A〖解析〗从装有两个红球和两个白球的口袋内任取两个球，

表示的事件分别为（红，白），（红，红），（白，白）三种情况，

故选项A中事件互斥不对立，A正确，

选项B：至多有一个白球表示的是（红，白），（红，红），与都是红球不互斥，故B错误，

选项C：由选项B的分析可知互斥且对立，故C错误，

选项D：至多有一个白球表示的是（红，白），（红，红），至多有一个红球表示的是（红，白），（白，白），所以两个事件不互斥，故D错误，故选：A．15.如图．与都是等腰直角三角形．其底边分别为BD与BC，点E、F分别为线段BD、AC的中点．设二面角的大小为，当在区间内变化时、下列结论正确的是（）A.存在某一值．使得B.存在某一值．使得C.存在某一值．使得D.存在某一值，使得〖答案〗D〖解析〗如图所示：在等腰三角形中，设，则，E为BD的中点，连接AE，CE，则，A.假设存在某一值．使得，又，，则平面，则，又，则，矛盾，故错误；B.假设存在某一值．使得，又，则平面，则，即，又，，则平面，则平面平面，矛盾，故错误；C.假设存在某一值．使得，又，则平面，则，在中，，F为AC的中点，因为为非等腰三角形，所以不成立，故错误；D.假设存在某一值，使得，又，则平面，则，又，则平面，因为，则平面平面，所以，故正确，故选：D.16.设数列的前n项的和为，若对任意的，都有，则称数列为“K数列”．关于命题：①存在等差数列，使得它是“K数列”；②若是首项为正数、公比为q的等比数列，则是为“K数列”的充要条件．下列判断正确的是（）A.①和②都为真命题 B.①为真命题，②为假命题C.①为假命题，②为真命题 D.①和②都为假命题〖答案〗C〖解析〗令等差数列的公差为，当时，，不符合题意，当时，，函数的图象是开口向上的抛物线，对称轴，存在，使得，取不小于的正整数，则有，即，不符合题意，综上得①为假命题；等比数列首项，因为数列为“K数列”，则有，即，，于是，依题意，任意的，，函数在单调递减，值域是，因此，所以是为“K数列”的充要条件，②是真命题，判断正确的是①为假命题，②为真命题.故选：C.三、解答题17.在中，．（1）求的值；（2）若，求的周长和面积．解：（1）在中，，又，则，则.（2），又，，则由正弦定理得，则的周长为的面积为．18.如图，多面体是由棱长为3的正方体沿平面截去一角所得到，在棱上取一点E，过点，C，E的平面交棱于点F．（1）求证：；（2）若，求点E到平面的距离以及与平面所成角的大小．（1）证明：∵，且，∴四边形为平行四边形，∴，又平面，平面，∴∥平面，又平面，平面平面，∴，又，则.（2）解：以为原点，分别以所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，设平面的法向量为，则，取，则点E到平面的距离为；设与平面所成角为，则，则与平面所成角为.19.将某工厂的工人按年龄分成两组：“35周岁及以上”、“35周岁以下”，从每组中随机抽取80人，将他们的绩效分数分成5组：，分别加以统计，得到下列频率分布直方图．该工厂规定绩效分数不少于80者为生产标兵．（1）请列出列联表，并判断能否有的把握认为是否为生产标兵与工人所在的年龄组有关：（2）若已知该工厂工人中生产标兵的占比为，试估计该厂35周岁以下的工人所占的百分比以及生产标兵中35周岁以下的工人所占的百分比．附：．0.1000.0500.0100.001k2.7063.8416.63510.828解：（1）观察频率分布直方图知，35周岁及以上组，绩效分数不少于80的频率为，因此35周岁及以上组，绩效分数不少于80的人数为，绩效分数少于80的人数为60，35周岁以下组，绩效分数不少于80的频率为，因此35周岁及以上组，绩效分数不少于80人数为，绩效分数少于80的人数为50，所以列联表为：生产标兵非生产标兵总计35周岁及以上组20608035周岁以下组305080总计50110160提出零假设：是否为生产标兵与工人所在的年龄组无关，确定显著性水平，的观测值，而，所以没有的把握认为是否为生产标兵与工人所在的年龄组有关.（2）令事件表示“在35周岁以下组”，表示“是生产标兵”，用样本估计总体知，，，，设，则由，得，解得，因此，所以估计该厂35周岁以下的工人所占的百分比，生产标兵中35周岁以下的工人所占的百分比分别为.20.已知双曲线的中心在坐标原点，左焦点与右焦点都在轴上，离心率为，过点的动直线与双曲线交于点、．设．（1）求双曲线的渐近线方程；（2）若点、都在双曲线的右支上，求的最大值以及取最大值时的正切值；（关于求的最值．某学习小组提出了如下的思路可供参考：①利用基本不等式求最值；②设为，建立相应数量关系并利用它求最值；③设直线l的斜率为k，建立相应数量关系并利用它求最值）.（3）若点在双曲线的左支上（点不是该双曲线的顶点，且，求证：是等腰三角形．且边的长等于双曲线的实轴长的2倍．解：（1）设双曲线方程为，焦距为，由，所以，所以双曲线的渐近线方程为.（2）由（1）可得，，所以双曲线的方程为，设，，因为点、都在双曲线的右支上，所以，所以，当且仅当时取等号，即，当时，所以，所以轴且，又双曲线的方程为，即，由，解得，可知，又，所以，.（3）设直线的方程为，将它代入，可得，设，，可得，，由，可得，故，又、同号，所以，即，所以，解得，此时直线的斜率的绝对值为，可知直线与双曲线的两支都相交，又，所以，则，它等于双曲线实轴长倍，此时，所以是等腰三角形.21.三个互不相同的函数与在区间D上恒有或恒有，则称为与在区间D上的“分割函数”．（1）设，试分别判断是否是与在区间上的“分割函数”，请说明理由；（2）求所有的二次函数，使得该函数是与在区间上的“分割函数”；（3）若，且存在实数k，b，使得为与在区间上的“分割函数”，求的最大值．解：（1）因为恒成立，且恒成立，所以当时，恒成立，故是与在上的“分割函数”.又因为，当与时，其值分别为与，所以与在上都不恒成立，故不是与在上的“分割函数”.（2）设是与在上的“分割函数”，则对一切实数恒成立,由,当时，它的值为，可知的图象在处的切线为直线，它也是的图象在处的切线，所以，可得所以对一切实数恒成立，即且对一切实数恒成立，可得且，即，又时与为相同函数，不合题意，故所求的函数为.（3）关于函数，令，可得，当与时,；当与时,.可知是函数极小值点，0是极大值点,该函数与的图象如图所示.由为与在区间,上的“分割函数”，故存在使得且直线与的图象相切，并且切点横坐标∪，此时切线方程为，即，设直线与的图象交于点，则由可得，所以，令，(仅当时，),所以严格减，故的最大值为,可知的最大值为，所以的最大值为.上海市黄浦区2023届高三二模数学试题一、填空题1.设集合，则___________．〖答案〗〖解析〗根据交集含义得，故〖答案〗为：.2.函数的最小正周期为____________．〖答案〗〖解析〗直接根据余弦函数周期公式得，故〖答案〗为：.3.若函数的图像经过点与，则m的值为____________．〖答案〗81〖解析〗由题意函数的图像经过点与，则，则故，故〖答案〗为：814.设复数、在复平面内的对应点关于虚轴对称，（为虚数单位），则______.〖答案〗〖解析〗由题意得：所以5.以抛物线的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程为__________.〖答案〗〖解析〗抛物线的焦点，准线方程为：，∴以抛物线的焦点为圆心，并且与此抛物线的准线相切的圆的半径是2，∴圆方程为；，故〖答案〗为：.〖『点石成金』〗本题考查抛物线的性质及求圆的标准方程的方法，属于中档题.6.已知m是与4的等差中项，且，则的值为____________．〖答案〗40〖解析〗由题意得，解得，则二项式的通项为，令则有，故，故〖答案〗为：.7.已知函数是定义在上的奇函数，且当时，．若，则实数a的值为____________．〖答案〗〖解析〗函数是定义在上的奇函数，且当时，，而，于是，解得，所以实数a的值为.故〖答案〗为：.8.如图，某学具可看成将一个底面半径与高都为的圆柱挖去一个圆雉（此圆锥的顶点是圆柱的下底面圆心、底面是圆柱的上底面）所得到的几何体，则该学具的表面积为_________．〖答案〗〖解析〗因为圆柱的底面半径与高都为，所以挖去的圆雉的母线长为，半径为10，则圆锥的侧面积为，又圆柱的侧面积为，圆柱的一个底面积为,所以学具的表面积为.故〖答案〗为：9.若函数的图像可由函数的图像向右平移个单位所得到，且函数在区间上是严格减函数，则__________．〖答案〗〖解析〗由题意得，则，当时，，函数在区间上是严格减函数，故，即且，则，而，故，故〖答案〗为：10.若每经过一天某种物品的价格变为原来的1.02倍的概率为0.5，变为原来的0.98倍的概率也为0.5，则经过6天该物品的价格较原来价格增加的概率为____________．〖答案〗〖解析〗设物品原价格为1，因为，，，，故经过6天该物品的价格较原来价格增加的情况是6天中恰好是4天升高2天降低，5天升高1天降低和6天升高,则经过6天该物品的价格较原来价格增加的概率为.故〖答案〗为：.11.如图．在直角梯形中．，点P是腰上的动点，则的最小值为____________．〖答案〗4〖解析〗由在直角梯形中．，则，则以A为原点，为轴建立平面直角坐标系，设，设，则，故，所以，故，当且仅当即时取得等号，即的最小值为4，故〖答案〗为：412.已知实数a，b，c满足：与，则abc的取值范围为____________．〖答案〗〖解析〗由題意得，由得,得,所以,令，，当时，，此时在和上单调递增，当时，此时在单调递减，所以的极大值为，的极小值为，又因为，则的取值范围为.故〖答案〗为：.二、选择题13.若直线与直线垂直，则实数a的值为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗直线与直线垂直，则，解得，故选：B.14.从装有两个红球和两个白球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（）A.恰好有一个白球与都是红球 B.至多有一个白球与都是红球C.至多有一个白球与都是白球 D.至多有一个白球与至多一个红球〖答案〗A〖解析〗从装有两个红球和两个白球的口袋内任取两个球，

表示的事件分别为（红，白），（红，红），（白，白）三种情况，

故选项A中事件互斥不对立，A正确，

选项B：至多有一个白球表示的是（红，白），（红，红），与都是红球不互斥，故B错误，

选项C：由选项B的分析可知互斥且对立，故C错误，

选项D：至多有一个白球表示的是（红，白），（红，红），至多有一个红球表示的是（红，白），（白，白），所以两个事件不互斥，故D错误，故选：A．15.如图．与都是等腰直角三角形．其底边分别为BD与BC，点E、F分别为线段BD、AC的中点．设二面角的大小为，当在区间内变化时、下列结论正确的是（）A.存在某一值．使得B.存在某一值．使得C.存在某一值．使得D.存在某一值，使得〖答案〗D〖解析〗如图所示：在等腰三角形中，设，则，E为BD的中点，连接AE，CE，则，A.假设存在某一值．使得，又，，则平面，则，又，则，矛盾，故错误；B.假设存在某一值．使得，又，则平面，则，即，又，，则平面，则平面平面，矛盾，故错误；C.假设存在某一值．使得，又，则平面，则，在中，，F为AC的中点，因为为非等腰三角形，所以不成立，故错误；D.假设存在某一值，使得，又，则平面，则，又，则平面，因为，则平面平面，所以，故正确，故选：D.16.设数列的前n项的和为，若对任意的，都有，则称数列为“K数列”．关于命题：①存在等差数列，使得它是“K数列”；②若是首项为正数、公比为q的等比数列，则是为“K数列”的充要条件．下列判断正确的是（）A.①和②都为真命题 B.①为真命题，②为假命题C.①为假命题，②为真命题 D.①和②都为假命题〖答案〗C〖解析〗令等差数列的公差为，当时，，不符合题意，当时，，函数的图象是开口向上的抛物线，对称轴，存在，使得，取不小于的正整数，则有，即，不符合题意，综上得①为假命题；等比数列首项，因为数列为“K数列”，则有，即，，于是，依题意，任意的，，函数在单调递减，值域是，因此，所以是为“K数列”的充要条件，②是真命题，判断正确的是①为假命题，②为真命题.故选：C.三、解答题17.在中，．（1）求的值；（2）若，求的周长和面积．解：（1）在中，，又，则，则.（2），又，，则由正弦定理得，则的周长为的面积为．18.如图，多面体是由棱长为3的正方体沿平面截去一角所得到，在棱上取一点E，过点，C，E的平面交棱于点F．（1）求证：；（2）若，求点E到平面的距离以及与平面所成角的大小．（1）证明：∵，且，∴四边形为平行四边形，∴，又平面，平面，∴∥平面，又平面，平面平面，∴，又，则.（2）解：以为原点，分别以所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，设平面的法向量为，则，取，则点E到平面的距离为；设与平面所成角为，则，则与平面所成角为.19.将某工厂的工人按年龄分成两组：“35周岁及以上”、“35周岁以下”，从每组中随机抽取80人，将他们的绩效分数分成5组：，分别加以统计，得到下列频率分布直方图．该工厂规定绩效分数不少于80者为生产标兵．（1）请列出列联表，并判断能否有的把握认为是否为生产标兵与工人所在的年龄组有关：（2）若已知该工厂工人中生产标兵的占比为，试估计该厂35周岁以下的工人所占的百分比以及生产标兵中35周岁以下的工人所占的百分比．附：．0.1000.0500.0100.001k2.7063.8416.63510.828解：（1）观察频率分布直方图知，35周岁及以上组，绩效分数不少于80的频率为，因此35周岁及以上组，绩效分数不少于80的人数为，绩效分数少于80的人数为60，35周岁以下组，绩效分数不少于80的频率为，因此35周岁及以上组，绩效分数不少于80人数为，绩效分数少于80的人数为50，所以列联表为：生产标兵非生产标兵总计35周岁及以上组20608035周岁以下组305080总计50110160提出零假设：是否为生产标兵与工人所在的年龄组无关，确定显著性水平，的观测值，而，所以没有的把握认为是否为生产标兵与工人所在的年龄组有关.（2）令事件表示“在35周岁以下组”，表示“是生产标兵”，用样本估计总体知，，，，设，则由，得，解得，因此，所以估计该厂35周岁以下的工人所占的百分比，生产标兵中35周岁以下的工人所占的百分比分别为.20.已知双曲线的中心在坐标原点，左焦点与右焦点都在轴上，离心率为，过点的动直线与双曲线交于点、．设．（1）求双曲线的渐近线方程；（2）若点、都在双曲线的右支上，求的最大值以及取最大值时的正切值；（关于求的最值．某学习小组