线性代数考试题库及答案(九)

线性代数（经管类）综合试题三（课程代码4184）一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.当(D)成立时，阶行列式的值为零.A.行列式主对角线上的元素全为零B.行列式中有个元素等于零C.行列式至少有一个阶子式为零D.行列式所有阶子式全为零2.已知均为n阶矩阵，E为单位矩阵，且满足ABC=E，则下列结论必然成立的是(B).A.ACB=EB.BCA=EC.CBA=ED.BAC=E3.设A，B均为n阶可逆矩阵，则下列等式成立的是(D).A.(AB)-1=A-1B-1B.(A+B)-1=A-1+B-1C.(AB)T=ATBTD.4.下列矩阵不是初等矩阵的是(B).A.B.C.D.5.设是4维向量组，则(D).A.线性无关B.至少有两个向量成比例C.只有一个向量能由其余向量线性表示D.至少有两个向量可由其余向量线性表示6.设A为m×n矩阵，且m<n，则齐次线性方程组Ax=o必(C).A.无解B.只有唯一零解C.有非零解D.不能确定7.已知4元线性方程组Ax=b的系数矩阵A的秩为3，又是Ax=b的两个解,则Ax=b的通解是(D).A.B.C.D.8.如果矩阵A与B满足(D)，则矩阵A与B相似.A.有相同的行列式B.有相同的特征多项式C.有相同的秩D.有相同的特征值,且这些特征值各不相同9.设A是n阶实对称矩阵，则A是正定矩阵的充要条件是(D).A.|A|>0B.A的每一个元素都大于零C.D.A的正惯性指数为n10.设A，B为同阶方阵，且r(A)=r(B)，则(C).A.A与B相似B.A与B合同C.A与B等价D.|A|=|B|二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。11.行列式24.12.设A为三阶矩阵，|A|=-2，将矩阵A按列分块为，其中是A的第j列，,则|B|=6.13.已知矩阵方程AX=B，其中A=，B=，则X=.14.已知向量组的秩为2，则k=-2.15.向量的长度=.16.向量在基下的坐标为(3，-4，3).17.设是4元齐次线性方程组Ax=o的基础解系，则矩阵A的秩r(A)=1.18.设是三阶矩阵A的特征值，则a=1.19.若是正定二次型，则满足.20.设三阶矩阵A的特征值为1,2,3，矩阵B=A2+2A,则|B|=360.三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21.设三阶矩阵A=，E为三阶单位矩阵.求：(1)矩阵A-2E及|A-2E|；(2).解：(1)A-2E=|A-2E|=-1；(2).22.已知向量组求：(1)向量组的秩；(2)向量组的一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表示.解：(1)将所给向量按列构成矩阵A，然后实施初等行变换：.所以，向量组的秩；(2)向量组的一个极大无关组为：，且有.23.讨论a为何值时，线性方程组有解？当方程组有解时，求出方程组的通解.解：对方程组的增广矩阵实施初等行变换：.若方程组有解，则，从而a=1.当a=1时，原方程组的通解方程组为：，为自由未知量.令，得原方程组的一个特解：(0,1,0,0)T.导出组的同解方程组为：，为自由未知量.令分别取得导出组的基础解系：(0,1,1,0)T，(-4,1,0,1)T.所以，方程组的通解为：(0,1,0,0)T+c1(0,1,1,0)T+c2(-4,1,0,1)T，其中，c1，c2为任意常数.24.已知向量组，讨论该向量组的线性相关性.解：因为.当a=2或a=-6时，向量组相性相关；当a≠2且a≠-6时，向量组线性无关.25.已知矩阵A=，(1)求矩阵A的特征值与特征向量；(2)判断A可否与对角矩阵相似，若可以，求一可逆矩阵P及相应的对角形矩阵Λ.解：矩阵A的特征多项式为：，所以，A的特征值为：.对于，求齐次线性方程组的基础解系，，得基础解系：，从而矩阵A的对应于特征值的全部特征向量为：，(c≠0).对于，求齐次线性方程组的基础解系，，得基础解系：，从而矩阵A的对应于特征值的全部特征向量为：.因为三阶矩阵A只有两个线性无关的特征向量，所以，A不能相似于对角矩阵.26.设二次型(1)将二次型化为标准形；(2)求二次型的秩和正惯性指数.解：(1)利用配方法，将二次型化为标准形：.令，即，得二次型的标准形为：.(2)由上述标准形知