安福中学高二上学期期中考试数学试题（理）

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2013.10。31一．选择题（每题5分，共50分）1．已知a，b,c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是()A．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2〈3B．若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2<3C．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2≥3D．若a2＋b2＋c2≥3，则a＋b＋c＝32．若PQ是圆x2＋y2＝9的弦，PQ的中点是M（1,2），则直线PQ的方程是（）A．x＋2y－3＝0B．x＋2y－5＝0C．2x－y＋4＝0D．2x－3．已知定点A（1,2）和直线l：x＋2y－5＝0,那么到定点A的距离和到定直线l距离相等的点的轨迹为(）A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．直线4．在平面直角坐标系中，若点(－2，t）在直线x－2y＋4＝0的上方，则t的取值范围是（）A．(－∞，1) B．（1，＋∞）C．（－1，＋∞） D．（0,1)5．直线l1：（m＋2)x＋(m2－3m）y＋4＝0，l2:2x＋4(m－3）y－1＝0，如果l1∥l2则m的值为（）A．－4B．0C．36．已知F是抛物线y2＝x的焦点,A，B是抛物线上的两点，｜AF|＋｜BF|＝3,则线段AB的中点M到y轴的距离为（)A．eq\f（3，4）B．1C．eq\f（5,4) D．eq\f（7,4)7．8．过双曲线的右焦点F作实轴所在直线的垂线，交双曲线于A，B两点，设双曲线的左顶点为M,若△MAB是直角三角形，则此双曲线的离心率e的值为(）A．eq\f(3，2）B．2C．eq\r（2）D．eq\r(3）9．直线y＝kx＋3与圆（x－2）2＋（y－3)2＝4相交于M，N两点,若|MN|≥2eq\r(3)，则k的取值范围是（)A．eq\b\lc\［\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f（3,4)，0))B．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r（3），3)，\f（\r（3）,3))）C．［－eq\r（3），eq\r（3)］D．eq\b\lc\［\rc\］（\a\vs4\al\co1（－\f(2，3），0）)10．已知F是抛物线y＝eq\f(1,4）x2的焦点，P是该抛物线上的动点，则线段PF中点的轨迹方程是()A．x2＝2y－1B．x2＝2y－eq\f（1，16）C．x2＝y－eq\f(1,2)D．x2＝2y－2二．填空题(每小题5分，共25分）11．直线kx－y＋2k＋2＝0（k∈R)经过定点M，则M的坐标为__________．12．已知双曲线eq\f（x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1（a〉0，b>0）的一条渐近线方程是y＝eq\r（3)x,它的一个焦点在抛物线y2＝24x的准线上，则双曲线的方程为__________．13．一条光线经过点P(2,3）射在直线x＋y＋1＝0上，反射后,经过点A（1,1），则光线的反射线所在的直线方程为________．14．命题p:“任意x∈R，使ax2＋4x＋a≥－2x2＋1”是真命题，则实数a的取值范围是________．15．如果圆（x－a)2＋（y－a)2＝4上总存在两个点到原点的距离为1，则实数a的取值范围是__________________．三．解答题（本大题共6小题，满分12+12+12+12+13+14=75分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．）16．（12分）根据下列条件求椭圆的标准方程:（1）经过两点A（0，2）和Beq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(1，2),\r(3)）)。（2）已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为eq\f（4，3)eq\r(5）和eq\f(2，3)eq\r（5)，过P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点;17．（12分）已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为eq\r(2），且过点（4，－eq\r(10））．点M(3，m）在双曲线上．（1)求双曲线方程；（2）求证：eq\o(MF1，\s\up12（→）)·eq\o（MF2，\s\up12（→））＝0；（3）求△F1MF2面积．18．(12分)已知椭圆C：eq\f(x2，16)＋eq\f(y2，9)＝1和点P（1，2），直线l经过点P并与椭圆C交于A、B两点,求当l的倾斜角变化时，弦中点的轨迹方程．19．（13分)已知,如图，⊙O:x2＋y2＝1和定点A（2,1），由⊙O外一点P（a，b）向⊙O引切线PQ，切点为Q,且满足|PQ｜＝|PA｜.(1）求实数a、b间满足的等量关系；（2）求线段PQ长的最小值；20．（12分）设A，B分别为双曲线eq\f（x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a〉0，b>0)的左,右顶点，双曲线的实轴长为4eq\r(3)，焦点到渐近线的距离为eq\r（3）。（1）求双曲线的方程；（2）已知直线y＝eq\f（\r(3),3)x－2与双曲线的右支交于M、N两点，且在双曲线的右支上存在点D，使eq\o（OM，\s\up12(→）)＋eq\o(ON，\s\up12（→）)＝teq\o（OD,\s\up12（→))，求t的值及点D的坐标．21．（14分）已知直线l：y＝x＋m，m∈R.（1）若以点M（2,0）为圆心的圆与直线l相切于点P，且点P在y轴上，求该圆的方程;(2）若直线l关于x轴对称的直线为l′，问直线l′与抛物线C:x2＝4y是否相切？若相切，求出此时的m值;若不相切,说明理由．高二期中考试数学答案（理科）1．已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是(）A．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3B．若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2<3C．若a＋b＋c≠3,则a2＋b2＋c2≥3D．若a2＋b2＋c2≥3，则a＋b＋c＝3解析：a＋b＋c＝3的否命题是a＋b＋c≠3，a2＋b2＋c2≥3的否定是a2＋b2＋c2〈3.答案：A2．若PQ是圆x2＋y2＝9的弦,PQ的中点是M（1，2),则直线PQ的方程是（)A．x＋2y－3＝0 B．x＋2y－5＝0C．2x－y＋4＝0 D．2x－y＝0解析:由圆的几何性质知kPQ·kOM＝－1，∵kOM＝2，∴kPQ＝－eq\f(1，2）,故直线PQ的方程为y－2＝－eq\f（1,2)（x－1），即x＋2y－5＝0。答案：B3.已知定点A(1，2)和直线l：x＋2y－5＝0，那么到定点A的距离和到定直线l距离相等的点的轨迹为 ()A．椭圆 B．双曲线C．抛物线 D．直线4。在平面直角坐标系中,若点（－2，t)在直线x－2y＋4＝0的上方，则t的取值范围是（）A．(－∞，1） B．（1，＋∞)C．(－1，＋∞） D．(0,1)5.直线l1：(m＋2）x＋（m2－3m)y＋4＝0,l2：2x＋4(m－3）y－1＝0,如果l1∥l2，则m的值A－4B0C3D－4或3。思路分析:分斜率存在、不存在两种情况讨论．解：（1）当l1，l2斜率都存在时，eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(m2－3m≠0,,4m－3≠0，)）所以m≠0且m≠3。由l1∥l2，得－eq\f(m＋2，m2－3m）＝－eq\f(2，4m－3），解得m＝－4.此时l1：x－14y－2＝0，l2：x－14y－eq\f(1，2）＝0，显然，l1与l2不重合，满足条件．（2)当l1，l2斜率不存在时，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2－3m＝0,，4m－3＝0，））解得m＝3.此时l1：x＝－eq\f（4,5），l2：x＝eq\f（1,2）,满足条件．综上所述，m＝－4或m＝3。6.已知F是抛物线y2＝x的焦点,A，B是抛物线上的两点，|AF｜＋｜BF｜＝3，则线段AB的中点M到y轴的距离为（）A。eq\f（3，4）B．1C。eq\f（5，4）D.eq\f(7,4）解析：利用抛物线定义A到准线距离｜AA′｜,B到准线距离|BB′|,且｜AA′｜＋|BB′｜＝3,AB中点M到y轴距离d＝eq\f（3，2）－eq\f（1,4)＝eq\f(5，4).答案：C7．不等式（x－2y＋1)（x＋y－3）≤0在坐标平面内表示的区域（用阴影部分表示）应是()8．（2012年东北四校高三模拟)过双曲线的右焦点F作实轴所在直线的垂线，交双曲线于A,B两点，设双曲线的左顶点为M，若△MAB是直角三角形,则此双曲线的离心率e的值为 ()A。eq\f（3,2） B．2C。eq\r(2) D。eq\r（3）解析：如图所示,△AMF为等腰直角三角形，｜AF|为|AB｜的一半，|AF｜＝eq\f(b2，a）.而｜MF｜＝a＋c,由题意可得,a＋c＝eq\f（b2，a)，即a2＋ac＝b2＝c2－a2，即c2－ac－2a2两边同时除以a2可得，e2－e－2＝0，解之得，e＝2.答案：B9．直线y＝kx＋3与圆（x－2)2＋（y－3）2＝4相交于M，N两点，若｜MN｜≥2eq\r（3），则k的取值范围是（)A。eq\b\lc\［\rc\］(\a\vs4\al\co1(－\f（3,4），0))B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1（－\f（\r(3),3),\f(\r(3）,3)））C．[－eq\r(3），eq\r(3)]D.eq\b\lc\[\rc\］（\a\vs4\al\co1(－\f(2,3),0)）解析：本小题主要考查直线与圆的位置关系、圆的方程与几何性质．如图,记题中圆的圆心为C(2,3）,作CD⊥MN于D，则|CD｜＝eq\f（|2k|,\r(1＋k2)），于是有|MN|＝2|MD｜＝2eq\r(｜CM|2－|CD｜2)＝2eq\r(4－\f(4k2，1＋k2）)≥2eq\r(3），即4－eq\f（4k2,1＋k2）≥3，解得－eq\f(\r(3），3)≤k≤eq\f(\r(3)，3)。答案：B10.已知F是抛物线y＝eq\f(1,4)x2的焦点,P是该抛物线上的动点，则线段PF中点的轨迹方程是 (）A．x2＝2y－1 B．x2＝2y－eq\f（1,16)C．x2＝y－eq\f(1,2） D．x2＝2y－2解析：把抛物线方程y＝eq\f（1,4）x2化成标准形式x2＝4y，可得焦点F（0，1），设P(x0，y0）,PF的中点M（x，y）．由中点坐标公式得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝\f（x0,2），,y＝\f(y0＋1，2）,)）∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝2x,，y0＝2y－1。)）又∵P(x0，y0)在抛物线y＝eq\f(1,4）x2上，∴2y－1＝eq\f(1，4)(2x）2,即x2＝2y－1.答案:A11.直线kx－y＋2k＋2＝0。（k∈R)经过定点M,则M的坐标为__________．12.已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2，b2）＝1（a〉0，b>0）的一条渐近线方程是y＝eq\r（3)x，它的一个焦点在抛物线y2＝24x的准线上，则双曲线的方程为__________． （）解析：∵双曲线eq\f(x2,a2）－eq\f(y2,b2）＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±eq\f（b，a）x，∴eq\f(b，a)＝eq\r(3)。①∵抛物线y2＝24x的准线方程为x＝－6，∴－c＝－6。②又c2＝a2＋b2.③由①②③得a＝3，b＝3eq\r（3)。∴a2＝9,b2＝27.∴双曲线方程为eq\f（x2，9)－eq\f（y2,27）＝1.13。一条光线经过点P(2,3)射在直线x＋y＋1＝0上,反射后，经过点A(1，1），则光线的反射线所在的直线方程分别为________．解析：（2）入射光线所在的直线和反射光线所在的直线关于直线x＋y＋1＝0对称，设点P关于直线x＋y＋1＝0的对称点的坐标为Q（x0，y0），因此PQ的中点在直线x＋y＋1＝0上，且PQ所在直线与直线x＋y＋1＝0垂直,所以eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（\f(y0－3,x0－2)×－1＝－1，，\f(x0＋2，2）＋\f（y0＋3,2）＋1＝0，))解得Q(－4，－3)，∵反射光线经过A、Q两点，∴反射光线所在直线的方程为4x－5y＋1＝0。答案：(2）4x－5y＋1＝014．命题p：“任意x∈R，使ax2＋4x＋a≥－2x2＋1"是真命题，则实数a的取值范围是________．15．(2011·苏锡常镇)如果圆(x－a）2＋（y－a)2＝4上总存在两个点到原点的距离为1，则实数a的取值范围是__________________．解析：∵（x－a)2＋(y－a）2＝4，∴圆心坐标为（a，a)，半径为2，圆心在直线y＝x上，只需考察圆心与原点之间的距离,先画个单位圆,由于圆(x－a）2＋(y－a）2＝4的半径为2，当a＝eq\f(\r（2）,2)时，单位圆与圆(x－a)2＋（y－a）2＝4内切，此时只有切点到原点的距离是1，当a＝eq\f(3\r(2），2）时，单位圆与圆（x－a)2＋(y－a)2＝4外切，此时也只有切点到原点的距离是1，而当eq\f(\r（2),2)〈a<eq\f（3\r（2），2）时,单位圆与圆(x－a）2＋(y－a）2＝4相交于两个点,且恰有这两个交点到原点的距离为1；同理，当－eq\f(3\r（2),2）〈a〈－eq\f(\r(2）,2)时，单位圆与圆(x－a)2＋(y－a）2＝4也相交于两个点，且恰有这两个交点到原点的距离为1，即当eq\f（\r（2）,2)<a〈eq\f（3\r(2），2)或－eq\f(3\r（2）,2)<a〈－eq\f（\r（2)，2）时，单位圆与圆（x－a）2＋(y－a）2＝4相交于两个点,在圆(x－a)2＋（y－a）2＝4上总存在这两个交点到原点的距离为1.答案：eq\f（\r(2）,2)〈a<eq\f(3\r(2),2）或－eq\f（3\r（2）,2)〈a<－eq\f（\r（2),2）三、解答题16．(12分)根据下列条件求椭圆的标准方程：(1)经过两点A（0，2)和Beq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（1，2),\r（3))）。(2）已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上,点P到两焦点的距离分别为eq\f(4,3)eq\r(5)和eq\f(2,3)eq\r(5），过P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点;解：(1)设经过两点A（0,2）,Beq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(1，2),\r（3）））的椭圆标准方程为mx2＋ny2＝1（m〉0,n〉0,m≠n)，代入A、B得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(4n＝1,\f（1，4）m＋3n＝1))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝1，n＝\f(1，4）))，∴所求椭圆方程为x2＋eq\f(y2，4)＝1。（2）设椭圆的标准方程是eq\f（x2，a2）＋eq\f(y2,b2）＝1或eq\f(y2,a2)＋eq\f（x2,b2)＝1，则由题意知2a＝｜PF1｜＋｜PF2｜＝2eq\r（5)，∴a＝eq\r（5).在方程eq\f（x2,a2)＋eq\f（y2,b2）＝1中令x＝±c得｜y|＝eq\f(b2,a）在方程eq\f（y2，a2)＋eq\f(x2,b2)＝1中令y＝±c得|x｜＝eq\f（b2,a）依题意并结合图形知eq\f（b2,a）＝eq\f(2,3）eq\r（5).∴b2＝eq\f(10,3）。即椭圆的标准方程为eq\f（x2，5）＋eq\f(3y2，10)＝1或eq\f（y2,5)＋eq\f（3x2,10)＝1.17．（12分)已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为eq\r（2），且过点(4，－eq\r(10）)．点M(3，m)在双曲线上．(1)求双曲线方程；(2)求证：eq\o(MF1,\s\up12（→））·eq\o（MF2，\s\up12（→)）＝0；(3)求△F1MF2面积．解：（1)∵e＝eq\r(2）,∴可设双曲线方程为x2－y2＝λ。∵过点（4，－eq\r（10）)，∴16－10＝λ，即λ＝6。∴双曲线方程为x2－y2＝6.(2)证明：法一：由（1）可知，双曲线中a＝b＝eq\r（6),∴c＝2eq\r(3）,∴F1（－2eq\r(3），0),F2（2eq\r（3），0)，∴kMF1＝eq\f(m,3＋2\r(3))，kMF2＝eq\f(m,3－2\r(3))，kMF1·kMF2＝eq\f（m2，9－12)＝－eq\f（m2,3)。∵点(3，m）在双曲线上，∴9－m2＝6，m2＝3，故kMF1·kMF2＝－1,∴MF1⊥MF2。∴eq\o（MF1，\s\up12（→))·eq\o（MF2,\s\up12(→))＝0。法二：∵eq\o（MF1,\s\up12（→））＝（－3－2eq\r（3)，－m),eq\o(MF2，\s\up12(→)）＝（2eq\r(3)－3，－m）,∴eq\o（MF1,\s\up12（→）)·eq\o（MF2，\s\up12（→)）＝（3＋2eq\r（3))×(3－2eq\r（3）)＋m2＝－3＋m2，∵M点在双曲线上，∴9－m2＝6,即m2－3＝0，∴eq\o(MF1，\s\up12(→)）·eq\o(MF2,\s\up12(→）)＝0.（3)△F1MF2的底|F1F2|＝4eq\r(3)，由(2）知m＝±eq\r（3).∴△F1MF2的高h＝｜m|＝eq\r（3),∴S△F1MF2＝6.18.(12分）已知椭圆C：eq\f（x2，16）＋eq\f（y2，9)＝1和点P(1,2），直线l经过点P并与椭圆C交于A、B两点，求当l的倾斜角变化时,弦中点的轨迹方程．解:设弦中点为M(x,y),交点为A（x1，y1)，B(x2，y2）．当M与P不重合时,A、B、M、P四点共线．∴(y2－y1）（x－1）＝(x2－x1)（y－2），①由eq\f(x\o\al(2,1)，16)＋eq\f（y\o\al(2,1）,9)＝1,eq\f(x\o\al(2,2）,16)＋eq\f（y\o\al(2，2）,9）＝1两式相减得eq\f（x1－x2x1＋x2,16)＋eq\f（y1－y2y1＋y2,9）＝0。又x1＋x2＝2x,y1＋y2＝2y,∴eq\f(2xx1－x2，16）＝－eq\f(2yy1－y2,9）,②由①②可得：9x2＋16y2－9x－32y＝0,③当点M与点P重合时，点M坐标为（1,2)适合方程③，∴弦中点的轨迹方程为：9x2＋16y2－9x－32y＝0.19．设A,B分别为双曲线eq\f(x2,a2）－eq\f（y2,b2）＝1(a>0,b〉0)的左，右顶点，双曲线的实轴长为4eq\r（3)，焦点到渐近线的距离为eq\r（3）。(1）求双曲线的方程；(2)已知直线y＝eq\f(\r(3）,3）x－2与双曲线的右支交于M、N两点，且在双曲线的右支上存在点D，使eq\o（OM,\s\up12(→))＋eq\o(ON，\s\up12（→）)＝teq\o（OD，\s\up12(→))，求t的值及点D的坐标．解：(1）由题意知a＝2eq\r(3)，∴一条渐近线为y＝eq\f（b，2\r（3）)x，即bx－2eq\r(3）y＝0，∴eq\f(｜bc｜，\r(b2＋12））＝eq\r（3），∴b2＝3，∴双曲线的方程为eq\f（x2，12)－eq\f（y2,3)＝1。（2）设M（x1,y1)，N（x2，y2），D（x0,y0)，则x1＋x2＝tx0，y1＋y2＝ty0，将直线方程代入双曲线方程得x2－16eq\r（3）x＋84＝0,则x1＋x2＝16eq\r(3），y1＋y2＝12，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（\f（x0，y0）＝\f(4\r(3），3),，\f(x\o\al(2，0),12）－\f(y\o\al(2，0),3）＝1,))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x0＝4\r（3)，,y0＝3，)）∴t＝4,点D的坐标为(4eq\r（3），3）．20。(13分）已知,如图，⊙O：x2＋y2＝1和定点A（2,1）,由⊙O外一点P（a，b)向⊙O引切线PQ，切点为Q，且满足|PQ|＝|PA｜。(1）求实数a、b间满足的等量关系；（2）求线段PQ长的最小值；(3)若以P为圆心所作的⊙P与⊙O有公共点,试求半径取最小值时⊙P的方程．解：（1）接接OP，∵Q为切点，PQ⊥OQ，由勾股定理有|PQ｜2＝｜OP|2－｜OQ|2。又由已知|PQ｜＝｜PA|，故｜PQ｜2＝|PA|2,即(a2＋b2）－12＝（a－2）2＋（b－1)2.化简得实数a、b间满足的等量关系为2a＋b(2)由2a＋b－3＝0，得b＝－2|PQ｜＝eq\r(a2＋b2－1)＝eq\r（a2＋－2a＋32－1)＝eq\r（5a2－12a＋8）＝eq\r(5\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(a－\f(6，5)))2＋\f（4，5）).故当a＝eq\f（6,5)时,|PQ|min＝eq\f（2,5）eq\r（5)，即线段PQ长的最小值为eq\f(2,5）eq\r（5).（3）设⊙P的半径为R，⊙P