江苏省2023年高考数学试题及答案

精选江苏省2023年高考数学试

题及答案（Word版）

江苏省2023年高考数学试题及答案［Word版〕

〔试卷总分值：160分，考试时间：120分钟〕

考前须知：

1.试卷总分值160分，另设附加题40分。理科

类考生加试附加题。

2.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等

填写在答题卡和试卷指定位置上。

3.答复选择题时，选出每题答案后，用铅笔把

答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮

擦干净后，再选涂其它答案标号。答复非选择题时,

将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

参考公式：

锥体的体积vj对其中S是锥体的底面积，"是锥体的

|=).

数学I

一、填空题：本大题共14小题，每题5分，共计70

分.请把答案填写在答题卡相应位置上.

1.集合A={0,l,2,8},B={-1,1,6,8),那么AB=.

2.假设复数二满足i.z=l+2i,其中i是虚数单位，那么z

的实部为.

2

3.5位裁判给某运发动打出的分数的茎叶图如下图，

那么这5位裁判打出的分数的平均数

为.

899

9011

(第3题)

4.一个算法的伪代码如下图，执行此算法，最后输

出的S的值为・

।-----------------------i

；/11;

:S-1

[While/<6

；/1/+2

；S—2S

；EndWhile

[PrintS

…谬z顿…一

5.函数AM师』的定义域为.

6.某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2

名学生去参加活动，那么恰好选中2名女生的概

率为,

7.函数y=sin(2x+9)(-/的图象关于直线Y对称，那么

，的值是.

8.在平面直角坐标系9中，假设双曲线f=l(a>O,b>0)

的右焦点小。)到一条渐近线的距离为?c,那么其

离心率的值是.

3

9.函数/(%)满足/(X+4)=/(%)(%eR),且在区间(-2,2］上,

TIX__

m=C°ST,那么小(⑸)的值为.

|x+孑-2<xV0,

、乙

10.如下图，正方体的棱长为2,以其所有面的中心

为顶点的多面体的体积为.

2

11.假设函数/(x)=2x3-ax+GR)4^"(0,H-co)内有且只有一个零

点，那么小)在山］上的最大值与最小值的和

为.

12.在平面直角坐标系g中，4为直线/：y=2x上在第一

象限内的点，驱。)，以48为直径的圆。与直线/

交于另一点〃假设"8=。，那么点4的横坐标

为・

13.在AA8C中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,ZABC=120°,

Z4BC的平分线交AC于点P,且即=1,那么4o+c的最

小值为-

14.集合A={x|x=2n-1,/zeN),B={x|x=2?,,nGN*)■将A8的所有元

4

素从小到大依次排列构成一个数列U},记S.为数

列{*的前〃项和，那么使得Bi%成立的"的最

小值为-

二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答•题•

卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证

明过程或演算步骤.

15.〔本小题总分值14分〕

在平行六面体ABCD_A4GR中，例=AB,AB,±B©・

求证：[I]AB//平面A、B[C；

C2〕平面▲BqA1平面

\BC.

16.〔本小题总分值14分〕

a,P为锐角，tana=g,

cos(a+/)=―与■

⑴求cos2a的值；

〔2〕求tan(a-(3)的值.

17.〔本小题总分值14分〕

某农场有一块农田，如下图，它的边界由圆0

的一段圆弧MPN〔，为此圆弧的中点〕和线段MN

构成.圆。的半径为40

米，点"到网的距离为产二

5.1/

(第17题)

50米.现规划在此农田上修建两个温室大棚，

大棚I内的地块形状为矩形ABCD,大棚II内的

地块形状为△CDP,要求A,B均在线段MN上，C,£）均在

圆弧上.设外与制所成的角为

〔1〕用。分别表示矩形AB8和△€»尸的面积，并确

定sin（9的取值范围；

〔2〕假设大棚I内种植甲种蔬菜，大棚II内种

植乙种蔬菜，且甲、乙两

种蔬菜的单位面积年产厂、

值之比为4：3,求当。为何

值时，能使甲、乙两种蔬.I。—方

菜的年总产值最大.:二

18.〔本小题总分值16分〕1口）

如图，在平面直角坐标系xO）中，椭圆C过点（图）,

焦点片（一百,0）,6（6,0）,圆。的直径为耳丹.

〔1〕求椭圆C及圆。的方程；

〔2〕设直线/与圆。相切于第一象限内的点P.

①假设直线/与椭圆C有且只有一个公共点,

求点夕的坐标；

②直线/与椭圆。交于A3两点.假设2他的面

积为半，求直线/的方程.

19.〔本小题总分值16分〕

6

记分别为函数f(x),g(x)的导函数.假设存在

yR,满足/(毛)=且(不)且广(*0)=8'(不),那么称X。为函数/(X)

与蚣)的一个“S点".

〔1庇明：函数〃x)=x与g(x)=f+2A2不存在"S点"；

〔2〕假设函数与g(x),存在“S点〃，求

实数名的值；

〔3〕函数f(x)=-x2+aJg(x)=—■对任意心。，判断是

X

否存在〃>。，使函数/(x)与g(x)在区间(0,+<»)内存在S

点"，并说明理由.

20.〔本小题总分值16分〕

设④是首项为打公差为，的等差数列，也｝是首

项为人公比为。的等比数列.

⑴设%=0,/?!=l,g=2,假设Ian-b„|<4对n=1,2,3,4均成,

求，的取值范围；

〔2〕假设ax=b]>0,mee(1,^2],证明：存在deR,使

得|%-々区么对"=2,3,,m+\均成立，并求d的取值范围

〔用4,九9表示〕.

数学II(附加题)

21.【选做题】此题包括A、B、C、D四小题，请选定

•••

其中两小题，并在相应的答题区域内作答.假设

多做，那么按作答的前两小题评分.解答时应写

7

出文字说明、证明过程或演算步骤.

A.［选修4-1：几何证明选厂、

讲］（本小题总分值10分）（

如图，圆。的半径为2,AB｛。、

为圆。的直径/为48延长（用ZI—A）

线上一点，过。作圆。的切

线，切点为G假设g2鸟求力的长.

B.［选修4-2：矩阵与变换］（本小题总分值10分）

矩阵:.

〔1〕求A的逆矩阵一

〔2〕假设点P在矩阵A对应的变换作用下得到

点P（3,l）,求点，的坐标.

c.［选修4-4：坐标系与参数方程］（本小题总分值

10分）

在极坐标系中，直线/的方程为psin（-O-6*）=2,曲线

。的方程为片公斓，求直线/被曲线。截得的弦

长.

D.［选修4一5：不等式选讲］（本小题总分值10分）

假设Ry,z为实数，且户2y+2z=6,求v+y+z2的

最小值.

8

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20

分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字

说明、证明过程或演算步骤.

22.〔本小题总分值10分〕

如图，在正三棱柱4既48G

中，AB=M=2,点尺。分别

为仍的中点.

C1）求异面直线仍与4G

所成角的余弦值；

B

〔2〕求直线CG与平面（第22题）

所成角的正弦值.

23.（本小题总分值10分）

设,对1,2,■■■,"的一个排列池u

如果当5＜匕时，有』，那么称（中,）是排列咕，，的

一个逆序，排列眄，的所有逆序的总个数称为其

逆序数.例如：对1,2,3的一个排列231,只

有两个逆序（2,1）,（3,1）,那么排列231的逆

9

序数为2.记仪)为1,2,■■■,〃的所有排

列中逆序数为攵的全部排列的个数.

⑴求&2)1(2)的值；

〔2〕求£0)(〃*5)的表达式(用〃表示).

参考答案

一、填空题：此题考查根底知识、根本运算和根本思

想方法.每题5分，共计70分.

10

1.11,8}2.23.90

4.8

5.[2,+8]6.7.」

6

8.2

9.立..10.311.-3

23

12.3

13.914.27

二、解答题

15.本小题主要考查直线与直线、直线与平面以及平

面与平面的位置关系,考查空间想象能力和推理

论证能力.总分值14分.

证明：〔1〕在平行六面体ABCD-A^aa中，AB

"AB.

因为748cz平面48a48u平面ABC,

所以48〃平面48G

〔2〕在平行六面体ABCD-

ABB4为

平行四边形.

又因为〃"区所以四边形4能4为菱形,

因此4吕_L48

又因为4BJL8%3C//RG,

所以4BLBC

11

又因为48n小伉4昆平面ABC,8Cu平面ABC,

所以ABy-L平面AyBG,

因为的u平面ABRA,

所以平面ABByAyl.平面ABC.

16.本小题主要考查同角三角函数关系、两角和〔差〕

及二倍角的三角函数，考查运算求解能力.总分

值14分.

sina

解：〔1〕因为tanaj,tana=--y-----所以sina=gcoso.

cosa

29

因为sin2a+cos2a=1,所以cos~a=—■

25，

因此，cos2a=2cos2■

〔2〕因为a/为锐角，所以a+/?e(0,7t)■

又因为cos(a+4)=一-y,所以sin(a+6)=W-cos2(a+(])=।

因此lan(a+/)=-2■

2tana24

因为tana=g,tan2a-

l-tan2cr7

2

因此,—a一…司设北工

H

17.本小题主要考查三角函数的应用、用导数求最值

等根底知识,考查直观想象和数学建模及运用数

学知识分析和解决实际问题的能力.总分值14

分.

解：〔1〕连结力并延长交触于H,那:

所以朋10.

（第17题）

12

过0作斑_L8C于£那么如〃硼所以NCOM6,

故应XOcosC,£Z?=4Osin3,

那么矩形ABCD的面积为2X40cos6

[40sin8+10]=800(4sin8cos6+cos6〕，

△物的面积为；X2X40cos6〔40-40sin6〕

=1600Ccos-sin8cos6〕.

过N悔GN1MN,分别交圆弧和宏的延长线于G

和(那么除谁10.

令NG游8°,那么sin8o=L8。£〔0,四〕.

46

当8£[仇，卜时，才能作出满足条件的矩形

ABCD、

所以sin8的取值范围是[卜1〕.

答：矩形ABCD的面积为800

(4sin6cos8+cos3〕平方米，△COP的面积

为

1600(cos0-sin3cos0),sin8的取值范围

是1〕.

〔2〕因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之

比为4：3,

设甲的单位面积的年产值为4用乙的单位面积

的年产值为3k〔〃>0〕，

那么年总产值为4/cX800C4sin6cos8+cos6〕

13

+3AX1600〔cos-sin6cos6〕

二80004Csin8cos8+cos3),8£[8o,]].

设”O'}=sin8cos8+cos6,8£[60,9,

那么八。)=cos28-sin?8-sin8=-(2sin2，+sin6-1)=-(2sin0-l)(sin6+1).

令八e)=o,得8=3

6

当〔d,*〕时，八。四所以，〔8〕为增

o

函数；

当eec，q时，m＜0所以fC8〕为减函

o219

数，

因此，当67时，f〔6〕取到最大值.

6

答：当时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产

6

值最大.

18.本小题主要考查直线方程、圆的方程、圆的几何

性质、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及

椭圆的位置关系等知识,考查分析问题能力和运

算求解能力.总分值16分.

解：〔1〕因为椭圆。的焦点为耳(一五0),6(6,0),

可设椭圆c的方程为5+卷=1(4＞人＞0)■又点点f在椭

圆c上，

所以*'q+方1一，解得

a2-b2=3,=L

因此，椭圆。的方程为。

4

14

因为圆0的直径为时,所以其方程为小八3.

〔2〕①设直线/与圆。相切于P(x(＞，为)(%＞0，%＞。)，那

么年+%2=3f

所以直线/的方程为y=』(x-Xo)+%，即尸.3

%%为

由消去V,得

y=一一-A：+—,

y0y0

22

(4x；+yn)x-24x(,x+36-4y；=0.1*]

因为直线/与椭圆c有且只有一个公共点，

2222

所以/=(-24x0)-4(4x0+V)(36-4y0)=48y0(v-2)=0・

因为所以/=3，%=1.

因此，点户的坐标为(友』)・

②因为三角形"8的面积为半，所以耕。尸二平,

从而付警.

4%,%),8(%,当)9

24x°±j48%2(为2-2)

由GJ得『2(4-2+%2)

222

所以AB=(x,-x2)+(y,-y2)

22

P.V,48y0(x0-2)

=(F.诋f

因为x；+%2=3,

所以AB」"：?点,即2_V-45x；+100=0,

解得「汨J20舍去〕，那么%:J,因此"的坐标为

15

嘤当■

综上，直线/的方程为y=-\f5x+3>/2■

19.本小题主要考查利用导数研究初等函数的性质,

考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以

及逻辑推理能力,总分值16分.

解：〔1〕函数ftx}=x,g〔x〕=q+2x~2,那么

fCx]=1,gf〔X〕=2A+2.

由,〔x〕二g〔x〕且rO〕=g'O]，得

[「广此方程组无解，

[1=2x+2

因此，”外与g〔x〕不存在“£，点.

〔2〕函数/(x)=ar2-1,g(x)=lnx,

r

那么/r(x)=2ax,g(x)=—x■

设即为”幻与g〔x〕的点，由”看〕

二gOo〕且2'〔M〕二g'〔X。〕，得

竭-1=Inx0

,即将：l=lnx0,[*]

汽1

2时）=—2ax^=1

%

16

得lnx0=-；,即那么"—

2MT2

当莺时…3满足方程组〔*〕，即%为“幻与

g〔x〕的/点.

因此,a的值为会

3

〔3〕对任意给0,设h(x)=x-3x2-ax+a■

因为〃(0)=a>0,〃⑴=l-3-a+a=-2vO,且力〔X〕的图象是

不间断的，

所以存在"91〕，使得…・令.

那么力0.

函数/(幻=一/+4,g(X)=—X,

那么r(x)=-2x,g，(x)=加'X(1).

由尸〔X〕二g〔X〕且/〔X〕二g'〔X〕，得

竺\-x2+a.、

x,即、叽-。)*,〔**〕

_加《-1)2Me'(x-l)

—Z.X---z--------Z.X=------;-

X记(1-％)X

此时，』满足方程组〔**〕,即/是函数“外与

g〔外在区间〔0,1〕内的一个“S点".

因此，对任意给0,存在接0,使函数》〔外与

g〔x〕在区间9+8］内存在"S点".

20.本小题主要考查等差和等比数列的定义、通项公

式、性质等根底知识，考查代数推理、转化与化

17

归及综合运用数学知识探究与解决问题的能

力,总分值16分.

解：〔1〕由条件知：a„=(n-[)d,hn=2"-'.

因为q-2区4对hi,2,3,4均成AZ.,

即|(n-l)d-2"-'|<1对方1,2,3,4均成立，

即1J,九43,3.2a5,7.3^9,得夫〃《・

因此，，的取值范围为它|].32

n

⑵由条件知：a.=bt+(n-r)d,bn=btq~'.

假设存在d,使得“.小〔后2,3,・・•，加d〕

成立，

BPI,怪仇(〃=2,3,，相+1),

即当〃=2,3,,〃2+1时，d满足白匚a4d4仁仄,

n-\n—\

因为”(1雨,那么“〜小

从而近小。，4^>0,对〃=2,3,"均成立.

n—\n—\

因此，取洗。时，\an-b„\<b｝对n=2,3,,m+\均成立.

下面讨论数列｛7｝的最大值和数列｛吟)的最小

n—1n-\

值[n=2,3,,m+l].

①当”〃<加时,金一*=时---犷+2/@-/)川+2

1nn-\n(n-l)n(/?-l)7

当\<q<^时，有qn<q,n<2,从而〃(q"+2>o・

因此，当2<n<m+\时，数列｛7｝单调递增，

故数列｛弋｝的最大值为

n-1m

18

②设f(x)=2\l-x),当x>0时，r(x)=(ln2-l—xln2)2'<0,

所以f(x)单调递减,从而f(x)"〔0〕二1.

当时，.^7(£^12<2^(1-1)=/(1)<1,

q=nnn

n-\

因此，当2<n<m+\时，数列｛吟n-\｝单调递减，

故数列咛n-i的最小m值为心

因此，，的取值范围为陛3m”tn].

19

数学II（附加题）参考答案

21.【选做题】

A.［选修4一1：几何证明选讲］

本小题主要考查圆与三角形等根底知识,考查推

理论证能力,总分值10分.

证明：连结00.因为期与圆。相切，所以OC

1PC.

又因为外=2岛OC=2,

所以OP^y/pc2+OC2—4.

又因为03=2,从而8为Rt△呼斜边的中点，

所以m2

B.［选修4—2：矩阵与变换］

本小题主要考查矩阵的运算、线性变换等根底知

识，考查运算求解能力.总分值10分.

解：〔1〕因为4=［：2］9det（A）=2x2-lx3=l*0,所以4可

逆，

从而

⑵设PCx,y）,那么R；『卜凡所以斗“旧3］,

1zy1y1—i

因此，点户的坐标为（3,-1）.

C.［选修4—4：坐标系与参数方程］

20

本小题主要考查曲线的极坐标方程等根底知识,

考查运算求解能力.总分值10分.

解：因为曲线C的极坐标方程为NCOS。，

所以曲线C的圆心为〔2,0〕，直径为4的圆.

因为直线/的极坐标方程为psin(--0)=2,

O

那么直线/过4〔4,0〕，倾斜角为”

所以4为直线/与圆C的一个交点.

设另一个交点为伍那么N/生3

连结出，因为"为直径，从而N。好力

(第21-C题)

所以A3=4cos-=2石.

6

因此，直线/被曲线c截得的弦长为坊.

D.［选修4-5：不等式选讲］

本小题主要考查柯西不等式等根底知识,考查推

理论证能力.总分值10分.

证明：由柯西不等式，得(x2+y2+z2)(l2+22+22)>(x+2y+2z)2.

因为x+2y+2z=6,4-y24-z2>4,

当且仅当A冷时，不等式取等号，此时

21

244

3337

所以V+y2+z2的最小值为4.

22.【必做题】本小题主要考查空间向量、异面直线

所成角和线面角等根底知识，考查运用空间向量

解决问题的能力,总分值10分.