山东省青岛市平度第九中学2024届数学高一第二学期期末学业质量监测试题含解析

山东省青岛市平度第九中学2024届数学高一第二学期期末学业质量监测试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．若等差数列的前10项之和大于其前21项之和，则的值（）A．大于0 B．等于0 C．小于0 D．不能确定2．为了得到函数y=sin(2x-πA．向右平移π6个单位 B．向右平移πC．向左平移π6个单位 D．向左平移π3．设直线系．下列四个命题中不正确的是（）A．存在一个圆与所有直线相交B．存在一个圆与所有直线不相交C．存在一个圆与所有直线相切D．M中的直线所能围成的正三角形面积都相等4．已知函数，将的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标保持不变；再把所得图象向上平移个单位长度，得到函数的图象，若，则的值可能为（）A． B． C． D．5．设非零向量，满足，则（）A． B． C．// D．6．在中，角，，所对的边分别为，，，若，，,则的值为()A． B． C． D．7．函数y=sin2x的图象可能是A． B．C． D．8．半径为的半圆卷成一个圆锥，它的体积是（）A． B． C． D．9．各项不为零的等差数列中，，数列是等比数列，且，则（）A．4 B．8 C．16 D．6410．袋子中有大小、形状完全相同的四个小球，分别写有“和”、“谐”、“校”、“园”四个字，有放回地从中任意摸出一个小球，直到“和”、“谐”两个字都摸到就停止摸球，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止摸球的概率。利用电脑随机产生到之间取整数值的随机数，分别用，，，代表“和”、“谐”、“校”、“园”这四个字，以每三个随机数为一组，表示摸球三次的结果，经随机模拟产生了以下组随机数：由此可以估计，恰好第三次就停止摸球的概率为（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．在中，已知，，，则角__________．12．设等差数列的前项和为，若，，则的值为______.13．已知，则____________.14．已知向量满足，则与的夹角的余弦值为__________．15．某校女子篮球队7名运动员身高(单位：cm)分布的茎叶图如图，已知记录的平均身高为175cm，但记录中有一名运动员身高的末位数字不清晰，如果把其末位数字记为x，那么x的值为________.16．已知向量，，若，则__________．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知函数.（1）求的最小正周期；（2）求的单调增区间；（3）若，求的最大值与最小值.18．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其外接圆的面积为，且.（1）求边长c；（2）若的面积为，求的周长.19．某种笔记本的单价是5元，买个笔记本需要y元，试用函数的三种表示法表示函数.20．扇形AOB中心角为，所在圆半径为，它按如图(Ⅰ)(Ⅱ)两种方式有内接矩形CDEF．(1)矩形CDEF的顶点C、D在扇形的半径OB上，顶点E在圆弧AB上，顶点F在半径OA上，设；(2)点M是圆弧AB的中点，矩形CDEF的顶点D、E在圆弧AB上，且关于直线OM对称，顶点C、F分别在半径OB、OA上，设；试研究(1)(2)两种方式下矩形面积的最大值，并说明两种方式下哪一种矩形面积最大？21．设数列的前项和为，若且求若数列满足，求数列的前项和.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解题分析】

根据条件得到不等式，化简后可判断的情况.【题目详解】据题意：，则，所以，即，则：，故选C.【题目点拨】本题考查等差数列前项和的应用，难度较易.等差数列前项和之间的关系可以转化为与的关系.2、A【解题分析】

根据函数平移变换的方法，由2x→2x-π3即2x→2(x-π【题目详解】根据函数平移变换,由y=sin2x变换为只需将y=sin2x的图象向右平移π6【题目点拨】本题主要考查了三角函数图象的平移变换，解题关键是看自变量上的变化量，属于中档题.3、D【解题分析】

对于含变量的直线问题可采用赋特殊值法进行求解【题目详解】因为所以点到中每条直线的距离即为圆的全体切线组成的集合，所以存在圆心在，半径大于1的圆与中所有直线相交,A正确也存在圆心在，半径小于1的圆与中所有直线均不相交，B正确也存在圆心在半径等于1的圆与中所有直线相切，C正确故正确因为中的直线与以为圆心，半径为1的圆相切,所以中的直线所能围成的正三角形面积不都相等，如图

与

均为等边三角形而面积不等,故错误，答案选D.【题目点拨】本题从点到直线的距离关系出发，考查了圆的切线与圆的位置关系，解决此类题型应学会将条件进行有效转化.4、C【解题分析】

利用二倍角公式与辅助角公式将函数的解析式化简，然后利用图象变换规律得出函数的解析式为，可得函数的值域为，结合条件，可得出、均为函数的最大值，于是得出为函数最小正周期的整数倍，由此可得出正确选项.【题目详解】函数，将函数的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的倍，得的图象；再把所得图象向上平移个单位，得函数的图象，易知函数的值域为.若，则且，均为函数的最大值，由，解得；其中、是三角函数最高点的横坐标，的值为函数的最小正周期的整数倍，且．故选C．【题目点拨】本题考查三角函数图象变换，同时也考查了正弦型函数与周期相关的问题，解题的关键在于确定、均为函数的最大值，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.5、A【解题分析】

根据与的几何意义可以判断.【题目详解】由的几何意义知，以向量，为邻边的平行四边形为矩形，所以.故选：A.【题目点拨】本题考查向量的加减法的几何意义,同时，本题也可以两边平方，根据数量积的运算推出结论.6、B【解题分析】

先利用面积公式得到，再利用余弦定理得到【题目详解】余弦定理：故选B【题目点拨】本题考查了面积公式和余弦定理，意在考查学生的计算能力.7、D【解题分析】分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在上的符号，即可判断选择.详解：令，因为，所以为奇函数，排除选项A,B;因为时，，所以排除选项C，选D.点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复．8、A【解题分析】

根据圆锥的底面圆周长等于半圆弧长可计算出圆锥底面圆半径，由勾股定理可计算出圆锥的高，再利用锥体体积公式可计算出圆锥的体积.【题目详解】设圆锥的底面圆半径为，高为，则圆锥底面圆周长为，得，，所以，圆锥的体积为，故选：A.【题目点拨】本题考查圆锥体积的计算，解题的关键就是要计算出圆锥底面圆的半径和高，解题时要从已知条件列等式计算，并分析出一些几何等量关系，考查空间想象能力与计算能力，属于中等题.9、D【解题分析】

根据等差数列性质可求得，再利用等比数列性质求得结果.【题目详解】由等差数列性质可得：又各项不为零，即由等比数列性质可得：本题正确选项：【题目点拨】本题考查等差数列、等比数列性质的应用，属于基础题.10、B【解题分析】

随机模拟产生了18组随机数，其中第三次就停止摸球的随机数有4个，由此可以估计，恰好第三次就停止摸球的概率．【题目详解】随机模拟产生了以下18组随机数：343432341342234142243331112342241244431233214344142134其中第三次就停止摸球的随机数有：142，112，241，142，共4个，由此可以估计，恰好第三次就停止摸球的概率为p．故选：B．【题目点拨】本题考查概率的求法，考查列举法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】

先由正弦定理得到角A的大小，再由三角形内角和为得到结果.【题目详解】根据三角形正弦定理得到：，故得到或，因为故得到故答案为.【题目点拨】在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据.解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说,当条件中同时出现及、时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.12、－6【解题分析】

由题意可得，求解即可.【题目详解】因为等差数列的前项和为，，所以由等差数列的通项公式与求和公式可得解得.故答案为-6.【题目点拨】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了学生的计算能力，属于基础题.13、【解题分析】

由已知结合同角三角函数基本关系式可得，然后分子分母同时除以求解．【题目详解】，．故答案为：．【题目点拨】本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础的计算题．14、【解题分析】

由得，结合条件，即可求出，的值，代入求夹角公式，即可求解．【题目详解】由得与的夹角的余弦值为.【题目点拨】本题考查数量积的定义，公式的应用，求夹角公式的应用，计算量较大，属基础题．15、2【解题分析】

根据茎叶图的数据和平均数的计算公式，列出方程，即可求解，得到答案.【题目详解】由题意，可得，即，解得.【题目点拨】本题主要考查了茎叶图的认识和平均数的公式的应用，其中解答中根据茎叶图，准确的读取数据，再根据数据的平均数的计算公式，列出方程求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.16、1【解题分析】由,得.即.解得.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）[kπ﹣，kπ+]，k∈Z；（3）f（x）=2，f（x）=﹣1【解题分析】

（1）利用三角恒等变换，化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性，得出结论；（2）利用正弦函数的单调性，求出f（x）的单调增区间；（3）利用正弦函数的定义域和值域，求得当时，f（x）的最大值与最小值．【题目详解】（1）∵函数f（x）＝sin4x+2sinxcosx﹣cos4x＝（sin4x﹣cos4x）+sin2x＝﹣cos2x+sin2x＝2sin（2x﹣），∴f（x）的最小正周期为＝π．（2）令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，求得kπ﹣≤x≤kπ+，可得f（x）的单调增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．（3）若，则2x﹣∈，当2x﹣＝时，f（x）=2；当2x﹣=﹣时，f（x）=．【题目点拨】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性、单调性，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．18、（1）（2）【解题分析】

（1）计算得到，，利用正弦定理计算得到答案.（2）根据余弦定理得到，根据面积公式得到，得到答案.【题目详解】（1），.，.，，.（2）由余弦定理得：.，，，，.的周长为.【题目点拨】本题考查了正弦定理，余弦定理和面积公式，意在考查学生的计算能力.19、见解析.【解题分析】

根据定义域，分别利用解析法，列表法，图像法表示即可.【题目详解】解：这个函数的定义域是数集.用解析法可将函数表示为，.用列表法可将函数表示为笔记本数12345钱数510152025用图象法可将函数表示为：【题目点拨】本题考查函数的表示方法，注意函数的定义域，是基础题.20、方式一最大值【解题分析】

试题分析：(1)运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注意和差、倍角的相对性，要注意升幂、降幂的灵活运用；（2）重视三角函数的三变：三变指变角、变名、变式；变角：对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等，适当选择公式进行变形；（3）把形如化为，可进一步研究函数的周期、单调性、最值和对称性.试题解析：解（1）在中，设，则又当即时，（Ⅱ）令与的交点为，的交点