线性系统理论课件02-第二章状态空间描述-2.1系统的状态空间描述2.2系统的状态空间表达式的分类

第二章线性系统的状态空间描述本章主要讲述的内容：线性系统的基本概念；系统的状态空间描述及其分类；状态空间表达式的建立线性时不变系统的特征结构状态方程的约当规范形由状态空间描述导出传递函数阵线性系统在坐标变换下的特性组合系统的状态空间描述MatLab问题介绍2.1线性系统的基本概念一、SISO与MIMO系统设系统的输入--输出描述如下：系统u1upy1yq输入列向量输出列向量维；维。定义1-1当且仅当时，系统称为单变量系统（SISO）。否则称为多变量系统（MIMO）。

典型控制系统由被控对象、传感器、执行器和控制器组成。

被控过程具有若干输入端和输出端。

数学描述方法：

输入－输出描述（外部描述）:高阶微分方程、传递函数矩阵等。

状态空间描述（内部描述）：基于系统内部结构，是对系统的一种完整的描述。2.2

系统的状态空间描述

典型控制系统方框图执行器被控对象传感器控制器控制输入观测y控制u被控过程x反馈控制被控过程一、动态过程数学描述的两种基本类型一个系统用下图的一个方块来表征。系统输入：环境对系统的作用。系统输出：系统对环境的作用。统称为系统的外部变量内部变量：刻画系统在每个时刻所处状况的变量。x1,x2,…,xn，体现了系统的行为。数学描述、数学模型：反映系统变量间因果关系和变换关系。系统的外部描述：输入—输出描述，不完全的描述。不表征系统的内部结构和内部变量，只反映外部变量间的因果关系，即输出和输入间的因果关系。例：线性定常、单输入—单输出系统，外部描述为线性常系数微分方程其中：ai和bj

为实常数。i,j=0,1,2,…,n-1；假定初始条件为零，两边取拉氏变换。即为复频率域描述，即传递函数。系统的内部描述，状态空间描述，完全的描述。两个数学方程组成：状态方程：微分方程或差分方程。内部变量组和输入变量组间的因果关系。输出方程：代数方程。内部变量组、输入变量组和输出变量组间的转换关系。其矩阵形式如下：外部描述外部描述把系统的输出取为系统外部输入的直接响应，显然这种描述把系统当成一个“黑匣”，认为系统的内部结构和内部信息全然不知（或不去关心），系统描述直接反映了输出变量与输入变量间的动态因果关系。

内部描述内部描述是基于系统内部结构分析的一类数学模型，能够完全反映系统的所有动力学特性。

(1)状态状态是完全地描述动态系统运动状况的信息，系统在某一时刻的运动状况可以用该时刻系统运动的一组信息表征，定义系统运动信息的集合为状态。(2)状态变量

定义完全表征动态系统时间域运动行为的信息组中的元素为状态变量。状态变量组常用符号x1(t),x2(t),…,xn(t)表示，且它们相互独立（即变量的数目最小）。

二、状态的基本概念【例2-1】确定图2－1所示电路的状态变量。

图2－1RLC电路

由电路理论知道，要唯一地确定t时刻电路的运动行为，除了要知道输入电压u(t)外，还必须给出流过电感上的初始电流i(t0)和电容上的初始电压uC

(t0)

，或者说uC

(t)和i(t)这两个变量可用来完全地描述该电路的运动行为，且它们之间是独立的，故uC

(t)和i(t)是该电路的状态变量。

并非所有电路中的电容器电压和电感器电流都是独立变量假定电容器初始电压值均为0，有因此，只有一个变量是独立的，状态变量只能选其中一个，即用其中的任意一个变量作为状态变量便可以确定该电路的行为。实际上，三个串并联的电容可以等效为一个电容。(3)状态向量

设x1(t),x2(t),…,xn(t)是系统的一组状态变量，把这些状态变量看作向量x(t)的分量，则x(t)就称为状态向量，记为(4)状态空间

以x1(t),x2(t),…,xn(t)为坐标轴构成的一个n维欧氏空间，称为状态空间。

(5)状态方程

描述系统状态变量间或状态变量与系统输入变量间关系的一个一阶微分方程组(连续系统)或一阶差分方程组（离散系统），称为状态方程。【例2-2】建立图2－1所示RLC电路的状态方程。

取电容上的电压uC

(t)和电感中的电流i(t)作为状态变量，根据电路原理有将上式中状态变量的一阶导数放在方程左边，其余项移至方程右边，整理得一阶微分方程组为：上式即为图2-1所示电路的状态方程，并将其写成向量-矩阵形式，即

令，记式中,式（1-4）可简写为

状态方程和输出方程合起来构成对一个动态系统完整的描述，称为动态系统的状态空间表达式。

图2-1所示电路,若uC

(t)为输出,取x1=uC

(t)，x2=i(t)作为状态变量，则其状态空间表达式为：(6)状态空间表达式2.3系统的状态空间表达式的分类

系统的状态空间描述是其动力学特征的完整的表征。各类系统在结构上和特性上的质的差别，将表现为它们的状态空间描述在类型上的不同。线性系统和非线性系统向量方程和

的所有元都是变量x1，…，xn和u1，…，up的线性函数，则相应的系统为线性系统。向量方程和至少包括一个元是变量x1，…，xn和u1，…，up的非线性函数，则相应的系统为非线性系统。现实中的一切实际系统严格地说都属于非线性系统。若向量方程中的所有组成元都是变量和的线性函数，则称相应的系统为线性系统。而线性系统的状态空间描述可表示为如下形式：

式中，各个系数矩阵分别为

一、线性系统的状态空间描述其中x为n维的状态向量;u为p维的输入向量;y为q维的输出向量;A为n

n维的系统矩阵;B为n

p维的输入矩阵;C为q

n维的输出矩阵;D为qp维的直联矩阵(前馈矩阵，直接转移矩阵)。对前面引入的状态空间模型的意义，有如下讨论:状态方程描述的是系统动态特性,其决定系统状态变量的动态变化。输出方程描述的是输出与系统内部的状态变量的关系。系统矩阵A表示系统内部各状态变量之间的关联情况,它主要决定系统的动态特性。输入矩阵B又称为控制矩阵,它表示输入对状态变量变化的影响。输出矩阵C反映状态变量与输出间的作用关系。直联矩阵D则表示了输入对输出的直接影响，许多系统不存在这种直联关系，即直联矩阵D=0。二、线性时变系统和定常系统的状态空间描述

一个动态系统的状态向量、输入向量和输出向量自然是时间的函数，而矩阵的各个元素如果与时间有关，则称这种系统是线性时变系统。

矩阵的各个元素如果与时间无关，则称这种系统是线性定常系统

式中的各个系数矩阵为常数矩阵

为简便，线性定常系统的状态空间模型亦可简记为

(A,B,C,D)。几种简记符的意义:当系统的输出与输入无直接关系（即）时，称为惯性系统；相反，系统的输出与输入有直接关系（即）时，称为非惯性系统。大多数控制系统为惯性系统，所以，它们的动态方程为三、离散系统的状态空间描述

当系统的各个变量只在离散的时刻取值时，这种系统称为离散时间系统简称离散系统。其状态空间描述只反映离散时刻的变量组之间的因果关系和转换关系。是用来表示离散的时刻，那么离散系统状态空间描述的最一般形式为：

对于线性离散时间系统，则上述状态空间描述还可进一步化为如下形式：四、确定性系统和随机系统确定系统是指系统的特性和参数是按确定的规律变化的，其各个输入变量（包括控制和扰动）也是按确定的规律而变化的。不确定系统，系统的特性和参数的变化不能用确定的规律来描述，或者作用于系统的变化（包括控制和扰动）是随机变化，或者两者兼而有之。五、状态空间模型的结构图

线性系统的状态空间模型可以用结构图的方式表达出来,以形象说明系统输入、输出和状态之间的信息传递关系。不仅适用于多输入多输出系统，当然也适用于单输入单输出系统。系统结构图主要有三种基本元件:积分器,加法器,比例器,其表示符如图2-2所示。图2-2系统结构图中的三种基本元件例线性时变系统的结构图