祖暅原理与几何体的体积 高一下学期数学人教B版（2019）必修第四册_第1页
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11.1空间几何体11.1.6祖暅原理与几何体的体积新授课1.了解祖暅原理，将空间问题转化为平面问题；2.理解柱、锥、台、球的体积公式的推导方法；3.掌握柱、锥、台和球的体积公式，会用体积公式求简单几何体的体积.知识点1：祖暅原理问题1：同一摞书，当改变摆放书的形状时(如图所示)，这摞书的总体积是否会改变？由此能得到有关体积的什么结论？概念生成祖暅原理：幂势既同，则积不容异.水平截面面积高如图所示，夹在两个平行平面间的两个几何体，如果被平行于这两个平面的任意平面所截，两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积一定相等.知识点2：柱体、椎体、台体与圆的体积1.柱体的体积：棱柱与圆柱统称为柱体.柱体被平行于底面的平面所截时，得到的截面与底面全等，因此截面面积一定等于底面面积；由祖暅原理可知，等底面积、等高的两个柱体，体积相等；则柱体的体积计算公式为V柱体

=Sh（S为柱体的底面积，h为高）

问题2：如图所示的直三棱柱可以分成3个三棱锥，所得到的3个三棱锥的体积之间有什么关系？由此能得到三棱锥的体积计算公式吗？一般地，如果锥体的底面积为S，高为h，则锥体的体积计算公式为

例1：如图所示，在长方体ABCD

–A´B´C´D´

中，求棱锥D´–A´CD的体积与长方体的体积之比典例剖析ABCDA´B´C´D´3.台体的体积：棱台与圆台统称为台体.

台体可看成锥体截去一个小锥体得到，故台体的体积可以通过计算锥体的体积之差来得到.

设台体的上、下底面面积分别为S1，S2，且大、小椎体的高分别为H，h则有：

例2：已知四棱台上、下底面面积分别为S1，S2，而且高为h，求这个棱台的体积.B1ABCDD1A1C1O1OP

B1ABCDD1A1C1O1OP

一般地，如果台体的上、下底面面积分别为S1，S2，高为h，则台体的体积计算公式为：归纳总结问题3：如图所示是底面积和高都相等的两个几何体，右边是半球，左边是圆柱被挖去一个倒立的圆锥剩余的部分，用平行于半球与圆柱底面的平面去截这两个几何体，所得截面分别是什么形状？两个截面面积大小关系怎样？由此你能得到球的体积公式吗？4.球的体积：一般地，如果球的半径为R，那么球的体积计算公式为：

RO例2：如图，某铁制零件由一个正四棱柱和一个球组成，已知正四棱柱底面边长与球的直径均为1cm，正四棱柱的高为2cm，现有这种零件一盒共50kg，取铁的密度为7.8g/cm3，π≈3.14.（1）估计有多少个这样的零件；（2）如果要给这盒零件的每个零件表面涂上一种特殊的材料，则需要能涂多少平方厘米的材料.（球与接口处的面积不计，结果精确到1cm2）？

（2）如果要给这盒零件的每个零件表面涂上一种特殊的材料，则需要能涂多少平方厘米

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