MEMS设计中的尺度效应

第2章

MEMS设计中的尺度效应尺度的根本概念刚体动力学中的尺度静电力中的尺度电磁力中的尺度电学尺度问题流体力学的尺度问题热传递的尺度问题1.尺度的根本概念尺度问题的根本意义本章介绍尺度的目的在于提供一些可供选择的尺度规律，使设计者意识到缩小机器和器件尺度所带来的物理后果；并使其明白，一些微型化在物理上是行不通的，或者在经济上是没有意义的。用于微系统的设计尺度规律第一种规律是严格依据物体的尺寸，如几何结构的尺度。这类物体的行为由物理定律所决定。第二种尺度规律涉及微系统的现象行为尺度，考虑到系统的尺寸和材料特性。微系统设计中常涉及的物理量：体积外表积体积与器件的质量和重量有关外表特性与流体力学中的压力和浮力有关,与对流热传导中固体热吸收和耗散有关在一个尺度减小的过程中，同等地减小一个物体的体积和外表积是不可能实现的。以下图是一个实心长方体的例子。a>b>c，体积V=abc，外表积S=2×(ac+bc+ab)。如果l代表一个固体的线性因次，那么体积V∝l3，外表积S∝l2，可得例题6-1计算当尺寸减小50％的情况下转动微镜所需扭矩的减小量。镜的安装和尺寸如图6-3所示。解：沿y-y轴转动微镜所需的扭矩与微镜的质量惯性矩Iyy有关，表达式为：式中M为镜的质量，c为镜的宽度由镜的质量M=ρV=ρ(bct)，ρ为镜子材料的质量密度，镜子的质量惯性矩当尺寸减小50％时，镜子的惯性质量矩为：通过上面的简单的计算可知：惯性质量矩减小了32倍，因此当尺寸减小50％时，转动镜子所要求的转矩也减小了32倍。2.刚体动力学中的尺度动力中的尺度Trimmer力尺度向量(1)动力中的尺度刚体从一位置运动到另一位置，运动的距离s∝l，此处l代表线性尺度。速度v=s/t，因此v∝(l)t-1，其中t为运动的时间。因此，根据质点运动学，可得其中,v0为初始速度

a为加速度令v0＝0，由式(6.3)可得加速度根据牛顿第二定律，动力F为(2)Trimmer力尺度向量Trimmer提出一个代表力尺度的矩阵〔通称为力尺度向量F〕，这个矩阵与描述系统运动尺度的加速度a、时间t和功率密度P/V0等参数有密切关系。力尺度向量定义为根据上式可得加速度a时间t功率密度P/V0

由W＝F×s、P＝W/t得功率密度可表示为

建立功率密度与力尺度矢量的关系为

由上列一系列的公式，可得出一系列的刚体动力学的尺度效应，如表所示。例题6-2当MEMS器件减小10倍时，计算加速度a，时间t和驱动能源的相应变化。

解：重量：W∝l3意味表6.1中的三阶。从表格中可得：1〕加速度没有减小(l0)2〕完成运动的时间减小(l)0.5=(10)0.5=3.163〕功率密度将减小(l)0.5=3.16。功耗的减小为P=3.16V0。由于器件的体积减小10倍，在尺寸缩小后功耗将减小P=3.16/10=0.3倍。3.静电力中的尺度静电势能的尺度规律静电力的尺度规律(1)研究静电势能的尺度规律如图6-4的平行板电势能为

ε0是介电常数

εr是相对介电常数

V是击穿电压根据Paschen效应，平行板的击穿电压V随两平板的间隙变化而变化。该效应如图6-5所示。从图6.5可知：当d<5μm时，随间隙增加电压V急剧下降当d>5μm时，V下降趋势明显减缓当d≈10μm时，电压的变化改变方向当d>10μm时，随间隙增加电压成线性增加当工作范围d>10μm时，可知所加的电压V∝d，ε0、εr∝l0。可把式〔2-7〕中静电势能的尺度表达为(2)研究静电力的尺度规律第二章介绍，在平行板排列的三个方向上可产生静电力。这些力的表达式如下：三个力的分量Fd，FW和FL∝(l2)，那么静电力在表6.1中的力尺度是2阶的。例题6-3如图6.6所示，如果平行板的长L和宽W都减小10倍，求一对平行板电极产生的静电力的减小。解：当平板电极没充电时保持间隙为d。因此，由静电力分量的表达式，可得出各自的静电力分量：法向力分量Fd∝l2沿宽度方向的力分量FW∝l2沿长度方向的力分量FL∝l2即，静电力在三个方向上减小(10)2=100倍4.电磁力的尺度本节主要介绍电磁力的尺度问题，解释为什么大局部的微马达和致动器都采用静电驱动，尽管在大多数宏观机器中主要采用电磁力驱动。原因：电磁力不象静电力那样容易按比例缩小微器件中没有足够的空间容纳一定的线圈来产生足够的驱动磁场电动势是驱动电子通过导体的力驱动电荷的能量可表示为对于磁通量为φ的磁场中的带电导体，N匝线圈产生的电动力为将上式带入驱动电荷能量表达式，且Q=it，可得当N=1时，由上式可得出电感L=φ/I对式积分，可得或产生的电磁力为或恒定电流流动情况，那么电磁力表示为由电磁力表达式和i∝l2，得电磁力的尺度为

F∝(l2)(l2)=l45.电学中的尺度电是MEMS和微系统的主要能源电主要应用在许多微系统的静电、压电、热阻加热驱动上电在微系统中的应用电动力泵机电转换电的尺度规律是一个很重要的设计问题从物理规律得出电的尺度规律：电阻：ρ、L和A分别是电阻、长度和导体的横截面积电阻功率损失：其中V是所加电压∝(l)0电场能：其中ε为电介质的介电系数∝(l)0

E是电场强度∝(l)-1

由电阻功率损失的表达式可知，由于材料的电阻引起的功率损失服从一阶定律，即P∝l1对一个带有电源的系统，可获得的电源与系统的体积直接有关，即Eav∝(l)3功率损失与可用能量的比率为式中说明了能量供给系统尺度减少时的缺点：电源尺度减小10倍会导致电阻率增加，从而引起100倍的功率损失。结论：从上面可知：尺寸(l)减小10倍将会导致电磁力减小104=10000倍。静电力的减小只是线性尺度减小的100倍。因此可得出结论，电磁力在尺度方面不利的减小是静电力的100倍6.流体力学尺度问题本节主要讲述：为什么毛细流动不能随意按比例缩小在微流动中什么可较好地替代毛细流动如图6-7中的粘度表示为μ为流体的动态粘度Rs=Vmax/h为剪切速率剪应力τ=Fs/AFs为剪力。通过平均速度和通道的截面积可得出体积流体流动速率：Q=AsVave其中As为流体的横截面积

Vave为流体的平均速度如图6.8所示，流过圆管的压降ΔP可用式(5.17)算出，即流体的体积流动速率Q可表示为根据式(6.23)，平均速度Vave等于压力梯度为可计算出长为L的毛细管截面的压降为因此,可得到毛细管内液体流动的尺度规律：由体积流动速率计算公式，可知体积流量Q∝a4由毛细管截面压降计算公式，可知单位长度的压降ΔP/L∝a-2其中，a为管的直径。例题6-4当圆管的半径减小10倍，应用尺度规律求解其体积流量和压降。并观察此例的结果。解：由Q∝a4〔a为管的直径〕得体积流量减小104＝10000倍由ΔP/L∝a-2得单位长度压降提高102＝100倍观察结果：显然，这对尺度减小的器件是很不利的。因此需要选择其它的原理对于毛细管流体流动的尺度，当管径在很小的微尺度时，包括毛细效应。由第五章可得，ΔP∝a－1，其中a为管的半径。因此，衡量微管中单位长度液体的压降为ΔP/L∝l－3将上式用于例题6-4得如下结果：当管的半径减小10倍时，单位长度的管压降将减小1000倍在微米和亚微米尺度下，可代替传统的容积驱动的新原理有压电、电渗、电湿润和电水力驱动压电驱动的原理是利用管壁产生的力代替传统的压差来驱动流体流动7.热传递中的尺度微系统的热传递常采用传导和对流的形式，本节将对这两种模式的热传递的尺度进行综述本节将给出两个范围的尺度规律：一个用于介观和微观一个用于亚微米热传导中的尺度热通量尺度在亚微米尺度内热导率的尺度介观和微观固体热传导效应的尺度热对流中的尺度介观和微观范围内对流热传递的尺度在亚微米范围内热对流的尺度(1)热传导中的尺度

热通量尺度

固体中的热传导符合傅立叶定律，对于一维x坐标方向的热传导，有其中：qx是沿x方向的热通量；k是固体热率T(x,y,z,t)为固体在直角坐标系下，时刻为t时的温度场。更一般的固体热导率的形式为由式可知，对于固体介观和微观的热传导，其尺度规律为从这个尺度规律中可看出，尺度的减小将导致固体中整个热流量的减小。固体在亚微米尺度下热导率k的数值可通过第五章的式(5.51)估计出，由此可导出亚微米尺度下热导率的尺度规律

固体在亚微米尺度内热流的尺度规律可通过合并上面两个式子得到在亚微米尺度内热导率的尺度在瞬态热传导分析中，傅立叶数的无量纲数决定时间增量。在数学上定义为介观和微观固体热传导效应的尺度其中α为材料的热扩散率t为热流通过特征长度L的时间由固体在亚微米尺度内热流的尺度规律可得固体热传导时间的尺度例题6-6、6-7固体的尺寸减小10倍时1〕求总热流的变化和所需的导热时间；2〕如果这个固体处于亚微米尺度，总热流和传热时间将发生什么变化？解：1〕根据固体在亚微米尺度内热流的尺度规律和热传导时间的尺度规律，当固体的尺寸减小10倍时，总热流的变化和所需的导热时间都减小(10)2=100倍2〕在亚微米尺度内，当固体的线性尺度减小10倍，总热流Q和热流时间都减小(10)2=100倍〔2〕热对流中的尺度介观和微观范围内对流热传递的尺度从图5.23可知，边界层出现在固体与液体的界面处。流体中热传递是以对流的方式，表达式为(5-40)由第五章可知，热传递系数主要与流体速度有关，与热流的尺度关系并不重要。根据上式，热流总量主要与横截面积A有关，而面积的阶次为l2。因此，可得出流体在介观和微观范围对流热传递的尺度为Q∝(l2)。其更普通的形式为在亚微米范围内热对流的尺度当气体通过亚微米尺