2023-2024学年高中数学人教A版2019选择性课后习题第一章1-1-2　空间向量的数量积运算

1.1.2空间向量的数量积运算A级必备知识基础练1.(多选题)下列各选项中,一定正确的有()A.a·a=|B.m(λa)·b=(mλ)a·b(m,λ∈R)C.a·(b+c)=(b+c)·aD.a2b=b2a2.已知e1,e2为单位向量,且e1⊥e2,若a=2e1+3e2,b=ke14e2,a⊥b,则实数k的值为()A.6 B.6 C.3 D.33.已知a=3p2q,b=p+q,p和q是相互垂直的单位向量,则a·b=()A.1 B.2 C.3 D.44.已知|a|=1,|b|=2,且ab与a垂直,则a与b的夹角为()A.30° B.45° C.135° D.60°5.设平面上有四个互异的点A,B,C,D,已知(DB+DC2DA)·(AB-AC)=0,则△ABCA.直角三角形 B.等腰三角形C.等腰直角三角形 D.等边三角形6.(多选题)如图,已知四边形ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,连接AC,BD,PB,PC,PD,则下列各组向量中,数量积为零的是()A.PCB.DAC.PDD.PA7.已知空间向量a,b,c中每两个的夹角都是π3,且|a|=4,|b|=6,|c|=2,则|a+b+c|=.8.在平行四边形ABCD中,AD=4,CD=3,∠D=60°,PA⊥平面ABCD,PA=6,求PC的长.B级关键能力提升练9.若空间向量a与b不共线,a·b≠0,且c=aa·aa·bb≠0,则向量a与c的夹角为A.0 B.π6 C.π3 D10.(多选题)如图所示,已知空间四边形每条边和对角线长都为a,点E,F,G分别是AB,AD,DC的中点,则下列向量的数量积等于a2的是()A.2BA·AC B.C.2FG·AC D.11.(多选题)设a,b,c是任意的非零空间向量,且两两不共线,则下列结论正确的有()A.(a·b)c(c·a)b=0B.|a||b|<|ab|C.(b·a)c(c·a)b不与c垂直D.(3a+2b)·(3a2b)=9|a|24|b|212.已知向量a,b,c两两夹角都是60°,且|a|=|b|=|c|=1,则|a2b+c|=.

13.如图,在正四面体ABCD中,棱长为a,M,N分别是棱AB,CD上的点,且MB=2AM,CN=12ND,求MN的长C级学科素养创新练14.如图所示,四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱,AB是一条侧棱,Pi(i=1,2,…,8)是上底面上其余的八个点,则AB·APi(i=1,2,…,8)A.8 B.4 C.2 D.11.1.2空间向量的数量积运算1.ABC∵a·a=|a|2,故a·a=|a|,A正确;m(λa)·b=(mλa)·b=mλa·b=(mλ)a·b,故B正确;a·(b+c)=a·b+a·c=b·a+c·a=(b+c)·a,故C正确;a2b=|a|2b,b2a=|b|2a,|a|2b与|b|2a不一定是相等向量,故D2.B由题意可得a·b=0,e1·e2=0,|e1|=|e2|=1,∴(2e1+3e2)·(ke14e2)=0,∴2k12=0,∴k=6.3.A由条件知p·q=0,p2=q2=1,所以a·b=(3p2q)·(p+q)=3p22q2+p·q=1.4.B∵ab与a垂直,∴(ab)·a=0,∴a·aa·b=|a|2|a||b|cos<a,b>=11×2×cos<a,b>=0,∴cos<a,b>=22∵0°≤<a,b>≤180°,∴<a,b>=45°.5.B因为DB+DC2DA=(DB-DA)+(DC所以(DB+DC2DA)·(AB-AC)=(AB+AC)·(所以|AB|=|AC|,因此△ABC是等腰三角形.6.BCD因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥CD,故PA·CD=0;因为AD⊥AB,AD⊥PA,且PA∩AB=A,所以AD⊥平面PAB,故AD⊥PB,则DA·PB=0;同理可得PD·AB=0;而PC与AD7.10∵|a|=4,|b|=6,|c|=2,且<a,b>=<a,c>=<b,c>=π3∴|a+b+c|2=(a+b+c)·(a+b+c)=|a|2+|b|2+|c|2+2a·b+2a·c+2b·c=|a|2+|b|2+|c|2+2|a||b|cos<a,b>+2|a||c|cos<a,c>+2|b||c|cos<b,c>=42+62+22+4×6+4×2+6×2=100,∴|a+b+c|=10.8.解因为PC=所以|PC|2=(PA+AD+DC)2=|PA|2+|AD|2+|DC|2+2PA·AD+2PA·DC+2AD·DC=62+42+32+2|AD||DC所以|PC|=7,即PC=7.9.D∵a·c=a·aa·aa·bb=a·aa·aa·ba·b=0,∴a⊥c10.BC2BA·AC=2a2cos120°=a2AD·BD=2DA·DB=2a2cos602FG·AC=2EF·CB=BD·CB=11.BD根据空间向量数量积的定义及性质,可知a·b和c·a是实数,而c与b不共线,故(a·b)c与(c·a)b一定不相等,故A错误;因为[(b·a)c(c·a)b]·c=(b·a)c2(c·a)(b·c),所以当a⊥b,且a⊥c或b⊥c时,[(b·a)c(c·a)b]·c=0,即(b·a)c(c·a)b与c垂直,故C错误;易知BD正确.故选BD.12.3因为|a2b+c|2=a2+4b2+c24a·b4b·c+2a·c=1+4+14×cos60°4×cos60°+2×cos60°=3,所以|a2b+c|=3.13.解∵MN=