人教版九年级数学上册（第二十二章 二次函数）22.1 二次函数的图象和性质（学习、上课课件）

22.1二次函数的图象和性质第二十二章二次函数第1课时二次函数逐点导讲练课堂小结作业提升学习目标课时讲解1课时流程2二次函数的定义建立二次函数模型表示变量间的关系知1－讲感悟新知知识点二次函数的定义1定义一般地，形如y=ax2+bx+c(

a，b，c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数.其中，

x是自变量，

a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项．感悟新知知1－讲详解二次函数的特殊形式：1.只含二次项，即：y=ax2(b=0，c=0)；2.不含一次项，即：y=ax2+c(b=0，c≠0)；3.不含常数项，即：y=ax2+bx(b

≠0，c=0).知1－讲感悟新知2.确定二次函数的“三要素”(1)含有自变量的代数式必须是整式；(2)化简后自变量的最高次数是2；(3)二次项系数不等于0

.知1－练感悟新知

例1知1－练感悟新知解题秘方：本题考查了二次函数的定义，y=ax2+bx+c(

a≠0)是二次函数，注意二次函数等号左右两边都是整式.知1－练感悟新知

答案：Ca是否为0未知.不是整式.知1－练感悟新知1-1.已知二次函数y=1－3x+5x2，则其二次项系数a，一次项系数b，常数项c

是()A.a=1，b=－3，c=5B.a=1，b=3，c=5C.a=5，b=3，c=1D.a=5，b=－3，c=1D感悟新知知2－讲知识点建立二次函数模型表示变量间的关系2建立二次函数模型的一般步骤

审清题意：找出问题中的已知量(常量)和未知量(变量)，把问题中的文字或图形语言转化成数学语言；2.找相等关系：分析常量和变量之间的关系，列出等式；知2－讲感悟新知特别提醒：建立二次函数模型与建立一元二次方程模型类似，不同的是需将它转化为用含一个未知数(自变量)的代数式表示另一个未知数(函数)的形式.感悟新知知2－讲3.列二次函数解析式：设出表示变量的字母，把相等关系用含字母的式子表示并把它整理成二次函数的一般形式.感悟新知知2－练某网店销售某款童装，每件售价60元，每星期可卖300件.为了促销，该网店决定降价销售.市场调查反映，每降价1元，每星期可多卖30件.已知该款童装每件的成本价为40元，设该款童装每件的售价为x

元，每星期的销售量为y

件.例2

知2－练感悟新知解题秘方：紧扣销售量和销售利润的基本关系式解答.感悟新知知2－练(1)求y与x之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围；解：y=300+30(

60－x)

=－30x+2100(

40≤x≤60)

.自变量x的实际意义：①售价大于或等于成本价；②式子中(60－x)大于或等于0.感悟新知知2－练(2)设每星期的销售利润为W

元，求W

与x之间的函数解析式；解：W=(

x－40)

(－30x+2100)

=－30x2+3300x－84000.感悟新知知2－练(3)若每星期的销售利润为6480元，则该款童装每件的售价为多少元？解：根据题意，得－30x2+3300x－84000=6480.解这个方程，得x1=58，x2=52.答：该款童装每件的售价为58元或52元.知2－练感悟新知方法点拨：在实际问题中建立二次函数模型时，关键要找出两个变量之间的数量关系，用类似建立一元二次方程模型的方法，借助方程思想求出二次函数的解析式.知2－练感悟新知2-1.如图，有长为24m的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度为10m)，围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃.设花圃的边AB为xm，面积为S

m2，则S

与x

的函数解析式为____________________________(写出x

的取值范围)

.二次函数二次函数定义解析式三要素自变量的取值范围y=ax2y=ax2+cy=ax2+bxy=ax2+bx+c22.1二次函数的图象和性质第二十二章二次函数第2课时二次函数y=ax2的图象和性质逐点导讲练课堂小结作业提升学习目标课时讲解1课时流程2二次函数y=ax2

的图象的画法二次函数y=ax2

的图象和性质知1－讲感悟新知知识点二次函数y=ax2

的图象的画法11.抛物线二次函数y=ax2+bx+c

的图象是一条曲线，这条曲线叫做抛物线y=ax2+bx+c.抛物线的顶点：抛物线是轴对称图形，抛物线与其对称轴的交点叫做抛物线的顶点，顶点是抛物线的最低点或最高点.感悟新知知1－讲特别提醒用描点法可以画出任意一个二次函数的图象.用描点法画出的图象只是二次函数图象的一部分，并且是近似的.在画二次函数图象时，画的线必须光滑，顶端不能画成尖的，一般来说，选点越多，图象越精确，但也要具体问题具体分析.感悟新知2.用描点法画函数y=ax2(

a≠0)的图象的一般步骤(1)

列表：自变量x

的取值应有一定的代表性，并且所对应的函数值不能太大也不能太小，以便于描点和全面反映图象情况.(2)

描点：点取得越多、越密集，画出的图象就越准确.知1－讲感悟新知(3)

连线：按自变量由小到大(或由大到小)的顺序，依次用光滑的曲线连接各点.知1－讲知1－练感悟新知例1

解题秘方：用描点法，按列表→描点→连线的顺序作图.解：列表：x…-4-3-2-101234……84.520.500.524.58……-8-4.5-2-0.50-0.5-2-4.5-8……42.2510.2500.2512.254…知1－练感悟新知知1－练感悟新知描点、连线，即得三个函数的图象，如图22.1-3所示.光滑曲线顺次连接.抛物线是向两方无限延伸的，画图时要画“出头”，左右两侧必须关于对称轴对称.知1－练感悟新知1-1.若二次函数y=ax2的图象经过点P(

4，3)，则该图象必过点()A.

(

4，－3)

B.

(

3，－4)C.

(－4，3)

D.

(－3，4)C知1－练感悟新知1-2.如图，函数y=－2x2的图象是()A.①   B.② C.③   D.④C感悟新知知2－讲知识点二次函数y=ax2

的图象和性质2二次函数y=ax2(a≠0)的图象和性质y=ax2a＞0a＜0图象开口方向向上向下顶点坐标(0，0)

感悟新知知2－讲对称轴y

轴(或直线x=0)增减性在对称轴的左侧，即x＜0时，y

随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即x

＞0时，y随x

的增大而增大在对称轴的左侧，即x＜0时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即x

＞0时，y

随x的增大而减小最值当x=0时，y

最小值

=0当x=0时，y

最大值

=0知2－讲感悟新知要点解读1.判断二次函数的增减性的技巧：从抛物线的对称轴分开，自左向右看，“上坡路”就是y随x的增大而增大，“下坡路”就是y随x的增大而减小.2.在二次函数y=ax2(a

≠0)

中，a的正负性决定抛物线的开口方向，|a|决定开口的大小．3.二次函数y=－ax2(a≠0)与y=ax2(a≠0)的图象关于x

轴对称.感悟新知知2－练例2

如图22.1-4，四个二次函数的图象分别对应①y=ax2；②y=bx2；③y=cx2；④y=dx2，且①与③、②与④分别关于x

轴对称.解题秘方：紧扣“a的符号”及“|a|的大小”，采用数形结合思想进行解答.感悟新知知2－讲(1)比较a，b，c，d

的大小；解：由抛物线的开口方向，知a>0，b>0，c<0，d<0.由抛物线的开口大小，知|a|>|b|，|c|>|d|，∴

a>b，c<d.∴a>b>d>c.开口越大，二次项系数的绝对值越小.感悟新知知2－讲(2)说明a

与c，

b

与d

的数量关系.解：∵①与③，②与④分别关于x轴对称，∴①与③，②与④的开口大小相同，方向相反.∴a+c=0，b+d=0.知2－练感悟新知2-1.若二次函数y=axa²－2的图象开口向下，则a

的值为()A.2   B.－2

C.4   D.－4B知2－练感悟新知

A感悟新知知2－讲例3[易错题]已知函数y=(m+2)

xm²+m-4是关于x

的二次函数.解题秘方：按对称轴的左、右两侧，分x

＞0和x

＜0两种情况讨论函数的增减性.

感悟新知知2－讲(1)求满足条件的m

的值.解：由题意得m2+m-4=2，

m+2≠0，解得m=2或m=－3.∴当m=2或m=－3时，函数为二次函数.感悟新知知2－讲(2)当m

为何值时，其图象有最低点？求出这个最低点，这时当x

为何值时，

y

随x

的增大而增大？解：若图象有最低点，则图象的开口向上，∴m+2>0，即m>－2.∴m=2.∵这个最低点为图象的顶点，∴最低点的坐标为(0，0)

.当x>0时，y

随x

的增大而增大.感悟新知知2－讲(3)当m

为何值时，函数有最大值？最大值是多少？这时当x为何值时，y

随x的增大而减小？解：若函数有最大值，则图象的开口向下，∴m+2<0，即m<－2.∴m=－3.∵函数的最大值为图象顶点的纵坐标，顶点坐标为(0，0)，∴当m=－3时，函数有最大值0.当x>0时，y

随x

的增大而减小.知2－练感悟新知3-1.

[易错题]已知二次函数y=

(2－a)

xa²－14，在其图象对称轴的左侧，y

随x

的增大而减小，则a的值为()A.4  

 B.±4 C.－4   D.0C知2－练感悟新知3-2.

[中考·常州]已知二次函数y=

(a

－1)

x2，当x

＞0时，y

随x

的增大而增大，则实数a的取值范围是()A.a

＞0   B.a

＞1C.a≠1   

D.a

＜1B知2－练感悟新知3-3.

[易错题]关于二次函数y=ax2

(a

≠0

)的说法：①x>0时，y

随x的增大而增大；②a越大，图象开口越小；③图象的对称轴是y

轴；④当a>0时，A

(

x1，y1

)，B

(x2，y2

)是图象上的两点，且满足x1<x2<0,则y1>y2>0．其中正确的是________

(填序号)

.③④二次函数y=ax2

的图象和性质最大(小)值y随x的增减性图象开口方向最高(低)点y=ax2性质22.1二次函数的图象和性质第二十二章二次函数第3课时二次函数y=a(

x－h)

2+k

的图象和性质学习目标课时讲解1二次函数y=ax2+k

的图象二次函数y=a(x－h)

2的图象二次函数y=a(x－h)

2+k的图象和性质二次函数y=ax2，y=ax2+k，y=a(

x－h)

2，y=a(x－h)

2+k之间的关系逐点导讲练课堂小结作业提升学习目标课时流程2知识点二次函数y=ax2+k

的图象知1－讲感悟新知1二次函数y=ax2+k

的图象与二次函数y=ax2

的图象的关系   它们的开口大小、方向相同，只是上、下位置不同，二次函数y=ax2+k

的图象可由二次函数y=ax2

的图象上下平移|k|个单位得到.知1－讲感悟新知特别解读平移规律：上加下减，纵变横不变.1.“上加下减”表示抛物线的位置上下平移规律，即：抛物线y=ax2+k是由抛物线y=ax2上下平移｜k｜个单位长度得到的，“上加”表示当k

为正数时，向上平移；“下减”表示当k为负数时，向下平移.2.“纵变横不变”表示坐标的平移规律，即：抛物线平移时其对应点的纵坐标改变而横坐标不变.知1－讲感悟新知2. 二次函数y=ax2+k的图象与性质a

，k的符号y=ax2+k(a>0)y=ax2+k(a<0)k>0k<0k>0k<0图象知1－讲感悟新知开口方向向上向下顶点坐标(0，k)对称轴y

轴知1－讲感悟新知3. 二次函数y=ax2+k

的图象的画法(1)描点法：即按列表→描点→连线的顺序作图；(2)平移法：将二次函数y=ax2的图象，向上(

k>0)或向下(

k<0)平移|k|个单位长度，即可得二次函数y=ax2+k的图象.知1－练感悟新知例1画出函数y=－x2

＋1与y=－x2

－1的图象，并根据图象回答下列问题.解题秘方：紧扣抛物线y=ax2+k

与抛物线y=ax2

间的关系及图象的平移规律解答.知1－练感悟新知(1)抛物线y＝－x2＋1经过怎样的平移才能得到抛物线y=－x2－1？解：列表如下：描点、连线，即得到这两个函数的图象，如图22.1-8所示.

知1－练x

…-3-2-10123…y=－x2+1…-8-3010-3-8…y=－x2-1…-10-5-2-1-2-5-10…感悟新知由图象可以看出，抛物线

y=－x2＋1向下平移2个单位得到抛物线y=－x2－1.知1－练感悟新知知1－练感悟新知(2)对于函数y＝

－x2＋1，其图象与x

轴的交点坐标是___________________

；对称轴是_________；顶点坐标是_________.(－1，0)，(1，0

)y

轴(0，1

)知1－练感悟新知1-1.把抛物线y=ax2+c向上平移4个单位长度，得到的抛物线的解析式为y=－2x2，则a，c

的值分别为()A. 2，4

 B. －2，－4C. －2，4    D. 2，－4B知1－练感悟新知1-2.二次函数y=－x2－2的图象大致是()D知1－练感悟新知1-3.二次函数y=(

a－2)·x2－3，当x<0时，y

随x

的增大而增大，则a的取值范围是()A.a>－2 B.a>2C.a<－2 D.a<2D感悟新知知识点二次函数y=a（x－h）2

的图象2知2－讲二次函数y=a(

x－h

)

2

的图象与二次函数

y=ax2

的图象的关系它们的开口大小、方向相同，只是左、右位置不同，二次函数y=a(

x－h

)

2

的图象可由二次函数y=ax2

的图象左右平移|h|个单位长度得到.

知2－讲感悟新知特别解读平移规律：左加右减，横变纵不变.1.“左加”表示当h﹤0时，函数y=a(x-h)2

可变形为y=a(x+|h|)2，其图象可以由函数y=ax2的图象向左平移|h|个单位长度得到；2.“右减”表示当h＞0时，函数y=a(x-h)2的图象可以由函数y=ax2

的图象向右平移h个单位长度得到；3.“横变纵不变”表示坐标的平移规律，即抛物线平移时对应点的横坐标改变而纵坐标不变.感悟新知知2－讲2. 二次函数y=a(

x－h

)

2的图象与性质函数y=a(x－h)2

(a＞0)y=a(x－h)2

(a＜0)图象开口方向向上向下感悟新知知2－讲顶点坐标(h，0

)对称轴直线x＝h感悟新知知2－练

例2

知2－练感悟新知答案：A解题秘方：由两个函数图象的位置与系数的关系判断.解：本题利用排除法.根据抛物线的顶点坐标为(

1，0

)，排除B，D选项；根据直线y=－x

－1与

y轴的交点坐标为(0，－1

)，排除C选项.知2－练感悟新知2-1.

抛物线y=－2x2

可由抛物线y=－2

(x

－3)

2

向______平移________个单位长度得到．左3知2－练感悟新知2-2.抛物线y=2(x－4)2的顶点坐标为______；对称轴是_________；当_______时，函数值y

有最____值，此值为_________.(4，0)直线x＝4x＝4小0感悟新知知识点3知3－讲 二次函数y=a(

x－h

)

2+k的图象与二次函数y=ax2

的图象的关系它们的开口大小、方向相同，只是位置不同；二次函数y=a(

x－h)

2+k的图象可由二次函数y=ax2

的图象平移得到.二次函数y=a（x－h）2+k的图象和性质感悟新知知3－讲2. 二次函数y=a(

x－h

)

2+k的图象与性质函数y=a(

x－h)

2+k(a>0)y=a(

x－h)

2+k(a<0)图象开口方向向上向下感悟新知知3－讲顶点位置当h>0，k>0时，顶点在第一象限；当h<0，k>0时，顶点在第二象限；当h<0，k<0时，顶点在第三象限；当h>0，k<0时，顶点在第四象限对称轴直线x=h感悟新知知3－讲增减性在对称轴的左侧，y

随x的增大而减小；

在对称轴的右侧，y

随x的增大而增大在对称轴的左侧，y

随x

的增大而增大；

在对称轴的右侧，y

随x

的增大而减小最值当x=h

时，y

最小值

=k

当x=h

时，y

最大值

=k知3－讲感悟新知特别解读1.从y=a(

x－h)

2+k

(a

≠0)中可以 直接得出抛物线的顶点坐标，所以通常把它称为二次函数的顶点式，顶点坐标是(h，k)

.2.将二次函数y=ax2的图象左右平移|h|个单位长度得到二次函数y=a(

x－h)

2的图象，再将二次函数y=a(

x－h)

2的图象上下平移|k|个单位长度得到二次函数y=a(

x－h)

2+k的图象.知3－练感悟新知对于抛物线y=－(x+1

)

2+3，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线x=1；③顶点坐标为(－1，3

)；④当x>1时，y

随x的增大而减小.其中正确结论的序号有_________

.例3知3－练感悟新知答案：①③④解题秘方：紧扣二次函数y=a

(x－h)

2+k的图象和性质逐一判断.解：∵a=－1<0，∴抛物线的开口向下，故①正确；对称轴为直线x=－1，故②错误；顶点坐标为(－1，3

)，故③正确；当x>1时，y

随x的增大而减小，故④正确.知3－练感悟新知3-1.对于抛物线

y=－(

x+2

)2+3，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线x=2； ③顶点坐标为(－2，3

)；④当x>2时，y

随x

的增大而减小；⑤函数的最小值为3.其中正确结论有________(填序号)

.①③④知3－练感悟新知3-2.若二次函数y=

(x－

m

)

2

－1，当x≤3时，y

随x的增大而减小，则m

的取值范围是__________.m≥3感悟新知知4－讲知识点二次函数y=ax2，y=ax2+k，y=a（x-h）2，y=a（x-h）2+k之间的关系41.位置关系感悟新知知4－讲2.图象和性质关系函数y=a(

x－h)

2+ky=a(

x－h)

2y=ax2+k

y=ax2相同点形状图象都是抛物线，形状相同，开口方向相同对称性图象都是轴对称图形

感悟新知知4－讲相同点增减性当a>0时，开口向上，在对称轴的左侧，y

随x

的增大而减小，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大；

当a<0时，开口向下，在对称轴的左侧，y

随x的增大而增大，在对称轴的右侧，y

随x

的增大而减小不同点顶点坐标(h，k)(h，0)(0，k)(0，0)对称轴直线x=hy

轴

知4－讲感悟新知特别解读1.抛物线y=ax2，y=ax2+k，y=a

(

x-h

)

2，y=a

(

x-h

)

2+k中a

的值相等，所以这四条抛物线的形状、开口方向完全一样，故它们之间可通过互相平移得到.2.抛物线的平移规律是“左加右减，上加下减”，不同的是，左右平移时，只针对常数h进行变化，而上下平移时，只针对常数k进行变化，可简记为左加右减自变量，上加下减常数项.感悟新知知4－练

例4

感悟新知知4－练(1)求出a，h，k

的值.

感悟新知知4－练

感悟新知知4－练(3)观察二次函数y=a(

x－h)

2+k的图象，当x____时，y随x

的增大而增大；当x_________时，函数有最   ______值，最________值是______.(4)观察二次函数y=a(

x－h)

2+k的图象，你能说出对于一切x

的值，y

的取值范围吗？<1=1大由图象知，对于一切x

的值，总有y≤2.大2知4－练感悟新知4-1.将抛物线y=(x－2)

2－4先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后的抛物线的顶点坐标为(

)A.

(

4，－3)

B.

(

0，－3)C.

(

3，－2)

D.

(－3，－2)A知4－练感悟新知4-2.

[中考·山西]抛物线的函数解析式为y=3(

x－2)

2+1，若将x轴向上平移2个单位长度，将y

轴向左平移3个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数解析式为(

)A.y=3(x+1)

2+3B.y=3(x－5)

2+3C.y=3(x

－5)

2－1D.y=3(x+1)

2

－

1C二次函数y=a（x-h）2+k的图象和性质y=a(x－h)

2y=a(x

－h

)

2+k

y=ax2+k上下左右平移左右平移y=ax2上下平移上下平移左右平移22.1二次函数的图象和性质第二十二章二次函数第4课时二次函数y=ax2+bx+c

的图象和性质逐点导讲练课堂小结作业提升学习目标课时讲解1课时流程2二次函数y=ax2+bx+c与二次函数y=a(x

－h

)

2+k之间的关系二次函数y=ax2+bx+c

的图象和性质用待定系数法求二次函数的解析式知1－讲感悟新知知识点1

二次函数y=ax2+bx+c

与二次函数y=a（x－h）2+k

之间的关系感悟新知知1－讲

感悟新知知1－讲2. 二次函数y=ax2+bx+c

的图象的画法方法一：描点法.(1)把二次函数y=ax2+bx+c

化成y=a(x

－h)

2+k

的形式；

(2)确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；

(3)在对称轴两侧，以顶点为中心，左右对称描点并用平滑的曲线顺次连接.感悟新知知1－讲方法二：平移法.(1)把二次函数y=ax2+bx+c

化成y=a(

x

－h)

2+k

的形式，其图象的顶点坐标为(

h，k)；

(2)作出二次函数y=ax2

的图象；(3)将二次函数y=ax2

的图象平移，使其顶点平移到(

h，k)

.感悟新知

知1－讲知1－练感悟新知对于抛物线y=x2－4x+3.(1)将抛物线的解析式化为顶点式.(2)在坐标系中利用五点法画出此抛物线.例1“五点”包括顶点，以及关于对称轴对称的两对点.知1－练感悟新知解：(1)∵y=x2－4x+3=

(x2

－4x+4

)

－4+3=(x－2

)

2

－1，∴顶点式为y=

(

x

－2

)

2

－1.解题秘方：先用配方法将一般式转化为顶点式，再进行解答.知1－练感悟新知(2)列表：函数图象如图22.1-17所示.x…01234…y…30－103…

知1－练感悟新知

D感悟新知知2－讲知识点2二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质函数y=ax2+bx+c((a，b，c

是常数，a≠0))a>0a<0图象开口方向向上向下感悟新知知2－讲对称轴顶点坐标增减性感悟新知知2－讲最值知2－讲感悟新知活学巧记曲线名叫抛物线，线轴交点是顶点，顶点纵标是最值.如果要画抛物线，描点平移两条路；提取配方定顶点，描点平移皆成图.列表描点后连线，五点大致定全图；若要平移也不难，先画基础抛物线，顶点移到新位置，开口大小都不变.感悟新知知2－练已知抛物线y=2x2－4x－6.例2

解题秘方：紧扣二次函数的图象与性质和系数之间的关系，关键是将一般式化为顶点式解决问题.知2－练感悟新知(1)直接写出抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标；解：∵y=2x2－4x－6=2

(

x

－1

)

2

－8，∴开口向上，对称轴为直线x=1，顶点坐标为(1，－8)

.知2－练感悟新知(2)求抛物线与x

轴、y

轴的交点坐标；解：令y=0，得2x2－4x－6=0，解得x1=－1，x2=3.∴抛物线与x

轴的交点坐标为(－1，0)，

(3，0)

.令x=0，得y=－6，∴抛物线与y

轴的交点坐标为(0，－6)

.知2－练感悟新知(3)当x

取何值时，

y随

x的增大而增大？解：当x≥1时，y

随x

的增大而增大.知2－练感悟新知2-1.已知二次函数y=x2

－4x+m

的最小值是－2，则m

的值为____