2024届湖南省武冈二中数学高一下期末调研试题含解析

2024届湖南省武冈二中数学高一下期末调研试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．单位圆中，的圆心角所对的弧长为()A． B． C． D．2．已知圆，直线．设圆O上到直线l的距离等于2的点的个数为k，则（）A．1 B．2 C．3 D．43．的弧度数是（）A． B． C． D．4．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，若，则周长的最大值为（）A．9 B．10 C．11 D．125．已知数列的通项公式为，则72是这个数列的（）A．第7项 B．第8项 C．第9项 D．第10项6．已知变量，满足约束条件则取最大值为（）A． B． C．1 D．27．已知，成等差数列，成等比数列，则的最小值是A．0 B．1 C．2 D．48．已知点A（1，0），B（0，1），C（–2，–3），则△ABC的面积为A．3 B．2 C．1 D．9．函数的最小正周期为π，若其图象向左平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数f（x）的图象（）A．关于点对称 B．关于点对称C．关于直线对称 D．关于直线对称10．如图，在中，已知D是边延长线上一点，若，点E为线段的中点，，则（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．数列的前项和为，若对任意，都有，则数列的前项和为________12．在空间直角坐标系中，三棱锥的各顶点都在一个半径为的球面上，为球心，，，，，则球的体积与三棱锥的体积之比是_____.13．在上定义运算，则不等式的解集为_____．14．在等比数列中，，公比，若，则达到最大时n的值为____________．15．将一个圆锥截成圆台，已知截得的圆台的上、下底面面积之比是1:4，截去的小圆锥母线长为2，则截得的圆台的母线长为________.16．在等比数列中，，，则_____．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．如图1，在中，，，，分别是，，中点，，.现将沿折起，如图2所示，使二面角为，是的中点.（1）求证：面面；（2）求直线与平面所成的角的正弦值.18．已知数列满足，令（1）求证数列为等比数列，并求通项公式；（2）求数列的前n项和.19．已知集合，，求.20．已知函数，其图象的一个对称中心是，将的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象.（1）求函数的解析式；（2）若对任意，当时，都有，求实数的最大值；（3）若对任意实数在上与直线的交点个数不少于6个且不多于10个，求实数的取值范围.21．已知幂函数的图像过点.（1）求函数的解析式；（2）设函数在是单调函数，求实数的取值范围.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解题分析】

将转化为弧度，即可得出答案.【题目详解】，因此，单位圆中，的圆心角所对的弧长为.故选B.【题目点拨】本题考查角度与弧度的转化，同时也考查了弧长的计算，考查计算能力，属于基础题.2、B【解题分析】

找出圆O的圆心坐标与半径r，利用点到直线的距离公式求出圆心O到直线l的距离d，根据d与r的大小关系及r-d的值，即可作出判断．【题目详解】由圆的方程得到圆心O(0,0),半径，∵圆心O到直线l的距离,且r−d=−1<2，∴圆O上到直线l的距离等于2的点的个数为2，即k=2.故选：B.【题目点拨】本题考查直线与圆的位置关系，利用圆心到直线的距离公式求出圆心O到直线l的距离d，根据d与r的大小关系可判断直线与圆的位置，考查计算和几何应用能力，属于基础题.3、B【解题分析】

由角度与弧度的关系转化．【题目详解】-150．故选：B.【题目点拨】本题考查角度与弧度的互化，解题关键是掌握关系式：．4、D【解题分析】

利用正弦定理和三角函数关系式，求得的值，由角的范围求出角的的大小，再由条件和余弦定理列出方程，结合基本不等式，即可求解.【题目详解】由，根据正弦定理可得，因为，所以，所以，即，又由，所以，由余弦定理可得，又因为，当且仅当时等号成立，又由，所以，即，所以三角形的周长的最大值为.故选：D.【题目点拨】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和正弦函数的性质，以及基本不等式的应用综合应用，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.5、B【解题分析】

根据数列的通项公式，令，求得的值，即可得到答案.【题目详解】由题意，数列的通项公式为，令，即，解得或（不合题意），所以是数列的第8项，故选B.【题目点拨】本题主要考查了数列的通项公式的应用，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.6、C【解题分析】

由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【题目详解】由约束条件作出可行域如图，当，即点，化目标函数为，由图可知，当直线过时，直线在轴上的截距最小，有最大值为．故选：C．【题目点拨】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，属于中档题．7、D【解题分析】解：∵x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列根据等差数列和等比数列的性质可知：a+b=x+y，cd=xy，当且仅当x=y时取“=”，8、A【解题分析】

由两点式求得直线的方程，利用点到直线距离公式求得三角形的高，由两点间距离公式求得的长，从而根据三角形面积公式可得结果.【题目详解】∵点A（1，0），B（0，1），∴直线AB的方程为x+y–1=0，，又∵点C（–2，–3）到直线AB的距离为，∴△ABC的面积为S=．故选A．【题目点拨】本题主要考查两点间的距离公式，点到直线的距离公式、三角形面积公式以及直线方程的应用，意在考查综合运用所学知识解答问题的能力，属于中档题.9、C【解题分析】

利用最小正周期为π，求出的值，根据平移得出，然后利用对称性求解.【题目详解】因为函数的最小正周期为π，所以，图象向左平移个单位后得到，由得到的函数是奇函数可得，即.令得，，故A,B均不正确；令得，，时可得C正确.故选C.【题目点拨】本题主要考查三角函数的图像变换和性质.平移变换时注意平移方向和对解析式的影响，性质求解一般利用整体换元意识来处理.10、B【解题分析】

由，，，，代入化简即可得出．【题目详解】，带人可得，可得，故选B.【题目点拨】本题考查了向量共线定理、向量的三角形法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】

根据数列的递推公式，求得，再结合等差等比数列的前项和公式，即可求解，得到答案.【题目详解】由题意，数列满足，…①，…②由①-②，可得，即当时，，所以，则数列的前项和为.【题目点拨】本题主要考查了数列的递推关系式的应用，以及等差、等比数列的前项和的应用，其中解答中熟练应用熟练的递推公式得到数列的通项公式，再结合等差、等比数列的前项和公式的准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.12、【解题分析】

首先根据坐标求出三棱锥的体积，再计算出球的体积即可.【题目详解】有题知建立空间直角坐标系，如图所示由图知：平面，...故答案为：【题目点拨】本题主要考查三棱锥的外接球，根据题意建立空间直角坐标系为解题的关键，属于中档题.13、【解题分析】

根据定义运算，把化简得，求出其解集即可．【题目详解】因为，所以，即，得，解得：故答案为：．【题目点拨】本题考查新定义，以及解一元二次不等式，考查运算的能力，属于基础题．14、7【解题分析】

利用，得的值【题目详解】因为，，所以为7.故答案为：7【题目点拨】本题考查等比数列的项的性质及单调性，找到与1的分界是关键，是基础题15、2【解题分析】

由截得圆台上，下底面积之比可得上，下底面半径之比，再根据小圆锥的母线即可得圆台母线．【题目详解】设截得的圆台的母线长为.因为截得的圆台的上、下底面面积之比是1:4，所以截得的圆台的上、下底面半径之比是1:2.因为截去的小圆锥母线长为2，所以，解得.【题目点拨】本题考查求圆台的母线，属于基础题．16、1【解题分析】

由等比数列的性质可得，结合通项公式可得公比q,从而可得首项.【题目详解】根据题意，等比数列中，其公比为，，则，解可得，又由，则有，则，则；故答案为：1．【题目点拨】本题考查等比数列的通项公式以及等比数列性质（其中m+n=p+q）的应用，也可以利用等比数列的基本量来解决.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）见解析（2）【解题分析】

（1）证明面得到面面.（2）先判断为直线与平面所成的角，再计算其正弦值.【题目详解】（1）证明：法一：由已知得：且，，∴面.∵，∴面.∵面，∴，又∵，∴，∵，，∴面.面，∴.又∵且是中点，∴，∴，∴面.∵面，∴面面.法二：同法一得面.又∵，面，面，∴面.同理面，，面，面.∴面面.∴面，面，∴.又∵且是中点，∴，∴，∴面.∵面，∴面面.（2）由（1）知面，∴为直线在平面上的射影.∴为直线与平面所成的角，∵且，∴二面角的平面角是.∵，∴，∴.又∵面，∴.在中，.在中，.∴在中，.【题目点拨】本题考查了面面垂直，线面夹角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.18、（1）；（2）【解题分析】

（1）由变形可得，即，于是可得数列为等比数列，进而得到通项公式；（2）由（1）得，然后分为奇数、偶数两种情况，将转化为数列的求和问题解决．【题目详解】（1）∵，∴，∵，∴．又，∴数列是首项为8，公比为3的等比数列，∴．（2）当为正偶数时，．当为正奇数时，．∴．【题目点拨】（1）证明数列为等比数列时，在运用定义证明的同时还要说明数列中不存在等于零的项，这一点容易忽视．（2）数列求和时要根据数列通项公式的特点，选择合适的方法进行求解，求解时要注意确定数列的项数．19、【解题分析】

根据集合A，B的意义，求出集合A，B，再根据交集的运算求得结果即可．【题目详解】对于集合A，，对于集合B，当x<1时，故B＝；故A∩B＝故答案为【题目点拨】本题考查了交集的运算，准确计算集合A,B是关键，是基础题．20、（1）；（2）；（3）.【解题分析】

（1）根据正弦函数的对称性，可得函数的解析式，再由函数图象的平移变换法则，可得函数的解析式；（2）将不等式进行转化，得到函数在[0，t]上为增函数，结合函数的单调性进行求解即可；（3）求出的解析式，结合交点个数转化为周期关系进行求解即可．【题目详解】（1）因为函数，其图象的一个对称中心是，所以有，的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象.所以；（2）由，构造新函数为，由题意可知：任意，当时，都有，说明函数在上是单调递增函数，而的单调递增区间为：，而，所以单调递增区间为：，因此实数的最大值为：；（3），其最小正周期，而区间的长度为，直线的交点个数不少于6个且不多于10个,则，且，解得：.【题目点拨】本题考查了正弦型函数的对