北京市东城区第五十中学2024届高一数学第二学期期末统考模拟试题含解析

北京市东城区第五十中学2024届高一数学第二学期期末统考模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知函数图象的一条对称轴是，则函数的最大值为（）A．5 B．3 C． D．2．某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成6组：[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为（）A．588 B．480 C．450 D．1203．已知数列满足，，，则的值为（）A．12 B．15 C．39 D．424．设集合，则A． B． C． D．5．数列，通项公式为，若此数列为递增数列，则的取值范围是A． B． C． D．6．两条平行直线与间的距离等于（）A． B．2 C． D．47．如果直线与平面不垂直，那么在平面内（）A．不存在与垂直的直线 B．存在一条与垂直的直线C．存在无数条与垂直的直线 D．任意一条都与垂直8．函数的对称中心是（）A． B． C． D．9．若向量，的夹角为60°，且||＝2，||＝3，则|2|＝（）A．2 B．14 C．2 D．810．已知a，b，c满足，那么下列选项一定正确的是（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l⊂α，m⊂β，下列四个命题正确的是________．①若l⊥β，则α⊥β；②若α⊥β，则l⊥m；③若l∥β，则α∥β；④若α∥β，则l∥m.12．已知向量，.若向量与垂直，则________.13．已知向量a=1,2，b=2,-2，c=14．已知数列的前项和满足，则______．15．若正实数满足，则的最小值为______．16．函数单调递减区间是．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知向量,的夹角为,且,.(1)求；(2)求.18．某学校为了了解高三文科学生第一学期数学的复习效果.从高三第一学期期末考试成绩中随机抽取50名文科考生的数学成绩，分成6组制成如图所示的频率分布直方图.（1）试利用此频率分布直方图求的值及这50名同学数学成绩的平均数的估计值；（2）该学校为制定下阶段的复习计划，从被抽取的成绩在的同学中选出3位作为代表进行座谈，若已知被抽取的成绩在的同学中男女比例为，求至少有一名女生参加座谈的概率.19．从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加.(1)设年内(本年度为第一年)总投入为万元，旅游业总收入为万元，写出的表达式；(2)至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？20．如图，四棱柱的底面是菱形，平面，，，，点为的中点．（1）求证：直线平面；（2）求证：平面；（3）求直线与平面所成的角的正切值．21．如图，在三棱锥A­BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.求证：(1)EF∥平面ABC；(2)AD⊥AC.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解题分析】

函数图象的一条对称轴是，可得，解得．可得函数，再利用辅助角公式、倍角公式、三角函数的有界性即可得出．【题目详解】函数图象的一条对称轴是，，解得．则函数当时取等号．函数的最大值为1．故选．【题目点拨】本题主要考查三角函数的性质应用以及利用二倍角公式和辅助角公式进行三角恒等变换．2、B【解题分析】试题分析：根据频率分布直方图，得；该模块测试成绩不少于60分的频率是1-（0.005+0.015）×10=0.8，∴对应的学生人数是600×0.8=480考点：频率分布直方图3、B【解题分析】

根据等差数列的定义可得数列为等差数列，求出通项公式即可．【题目详解】由题意得所以为等差数列，，，选择B【题目点拨】本题主要考查了判断是否为等差数列以及等差数列通项的求法，属于基础题．4、B【解题分析】,选B.【考点】集合的运算【名师点睛】集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图进行处理.5、B【解题分析】因为的对称轴为,因为此数列为递增数列,所以.6、C【解题分析】

先把直线方程中未知数的系数化为相同的，再利用两条平行直线间的距离公式，求得结果．【题目详解】解：两条平行直线与间，即两条平行直线与，故它们之间的距离为，故选：．【题目点拨】本题主要考查两条平行直线间的距离公式应用，注意未知数的系数必需相同，属于基础题．7、C【解题分析】

因为直线l与平面不垂直，必然会有一条直线与其垂直，而所有与该直线平行直线也与其垂直，因此选C8、C【解题分析】，设是奇函数，其图象关于原点对称，而函数的图象可由的图象向右平移一个单位，向下平移两个单位得到，所以函数的图象关于点对称，故选C.9、A【解题分析】

由已知可得||，根据数量积公式求解即可．【题目详解】||．故选A．【题目点拨】本题考查平面向量数量积的性质及运算，考查了利用数量积进行向量模的运算求解方法，属于基础题．10、D【解题分析】

c＜b＜a，且ac＜1，可得c＜1且a>1．利用不等式的基本性质即可得出．【题目详解】∵c＜b＜a，且ac＜1，∴c＜1且a>1，b与1的大小关系不定．∴满足bc＞ac，ac＜ab，故选D．【题目点拨】本题考查了不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、①【解题分析】

由线面的平行垂直的判定和性质一一检验即可得解.【题目详解】由平面与平面垂直的判定可知，①正确；②中，当α⊥β时，l，m可以垂直，也可以平行，也可以异面；③中，l∥β时，α，β可以相交；④中，α∥β时，l，m也可以异面．故答案为①.【题目点拨】本题主要考查了线面、面面的垂直和平行位置关系的判定和性质，属于基础题.12、7【解题分析】

由与垂直，则数量积为0，求出对应的坐标，计算即可.【题目详解】，，，又与垂直，故，解得，解得.故答案为：7.【题目点拨】本题考查通过向量数量积求参数的值.13、1【解题分析】

由两向量共线的坐标关系计算即可．【题目详解】由题可得2∵c//∴4λ-2=0故答案为1【题目点拨】本题主要考查向量的坐标运算，以及两向量共线的坐标关系，属于基础题．14、5【解题分析】

利用求得，进而求得的值.【题目详解】当时，，当时，，当时上式也满足，故的通项公式为，故.【题目点拨】本小题主要考查已知求，考查运算求解能力，属于基础题.15、【解题分析】

由得，将转化为，整理，利用基本不等式即可求解。【题目详解】因为，所以.所以当且仅当，即：时，等号成立。所以的最小值为.【题目点拨】本题主要考查了构造法及转化思想，考查基本不等式的应用及计算能力，属于基础题。16、【解题分析】

先求出函数的定义域，找出内外函数，根据同增异减即可求出.【题目详解】由，解得或，所以函数的定义域为.令，则函数在上单调递减，在上单调递增，又为增函数，则根据同增异减得，函数单调递减区间为.【题目点拨】复合函数法：复合函数的单调性规律是“同则增，异则减”，即与若具有相同的单调性，则为增函数，若具有不同的单调性，则必为减函数．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）1；（2）【解题分析】

（1）利用向量数量积的定义求解；（2）先求模长的平方，再进行开方可得.【题目详解】（1）•=||||cos60°=2×1×=1；（2）|+|2=（+）2=+2•+=4+2×1+1=7.所以|+|=.【题目点拨】本题主要考查平面向量数量积的定义及向量模长的求解，一般地，求解向量模长时，先把模长平方，化为数量积运算进行求解.18、（1）；平均数的估计值（2）【解题分析】

（1）根据各小矩形面积和为1可求得的值；由频率分布直方图，结合平均数的求法即可求解.（2）根据频率分布直方图先求得成绩在的同学人数，结合分层抽样可得男生4人，女生2人，设男生分别为；女生分别为，利用列举法可得抽取3人的所有情况，进而得至少有一名女生的情况，即可由古典概型概率公式求解.【题目详解】（1）由题，解得，由频率分布直方图，得这50名同学数学成绩的平均数的估计值为：（2）由频率分布直方图知，成绩在的同学有人，由比例可知男生4人，女生2人，记男生分别为；女生分别为，则从6名同学中选出3人的所有可能如下：共20种，其中不含女生的有4种，设至少有一名女生参加座谈为事件，则至少有一名女生参加座谈的概率.【题目点拨】本题考查了频率分布直方图的性质及平均数求法，分层抽样及各组人数的确定方法，列举法求古典概型的概率，属于基础题.19、(1)，；(2)至少经过5年，旅游业的总收入才能超过总投入.【解题分析】

(1)利用等比数列求和公式可求出n年内的旅游业总收入与n年内的总投入；（2）设至少经过年旅游业的总收入才能超过总投入，可得－＞0，结合（1）可得，解得，进而可得结果.【题目详解】(1)第1年投入为800万元，第2年投入为800×(1－)万元，…第n年投入为800×(1－)n－1万元，所以，n年内的总投入为=800+800×(1－)+…+800×(1－)n－1==4000×［1－()n］第1年旅游业收入为400万元，第2年旅游业收入为400×(1+)，…，第n年旅游业收入400×(1+)n－1万元.所以，n年内的旅游业总收入为=400+400×(1+)+…+400×(1+)n－1==1600×［()n－1］(2)设至少经过n年旅游业的总收入才能超过总投入，由此－＞0，即：1600×［()n－1］－4000×［1－()n］＞0，令x=()n，代入上式得：5x2－7x+2＞0.解此不等式，得x＜，或x＞1(舍去).即()n＜，由此得n≥5.∴至少经过5年，旅游业的总收入才能超过总投入.【题目点拨】本题主要考查阅读能力及建模能力、等比数列的求和公式，属于难题.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.20、（1）见解析；（2）见解析；（3）【解题分析】

（1）只需证明PO∥BD1，即可得BD1∥平面PAC；（2）只需证明AC⊥BD．DD1⊥AC．即可证明AC⊥平面BDD1B1（3）∠CPO就是直线CP与平面BDD1B1所成的角，在Rt△CPO中，tan∠CPO即可求解【题目详解】（1）设和交于点，连结，由于，分别是，的中点，故，∵平面，平面所以直线平面．（2）在四棱柱中，底面是菱形，则又平面，且平面，则，∵平面，平面，∴平面．（3）由（2）知平面．∴在平面内的射影为∴是与平面所成的角因为，所以为正三角形∴，在中，．∴与平面所成的角的正切值为．【题目点拨】本题考查了线面垂直、线面平行的判定定理、线面角，属于中档题．21、（1）见解析（2）见解析【解题分析】试题分析：（1）先由平面几何知识证明，再由线面平行判定定理得结论；（2）先由面面垂直性质定理得平面，则，再由AB⊥AD及线面垂直判定定理得AD⊥