2024届辽宁省鞍山市台安县高级中学数学高一下期末统考模拟试题含解析

2024届辽宁省鞍山市台安县高级中学数学高一下期末统考模拟试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．函数的部分图像如图所示，则A．B．C．D．2．正方体中，的中点为，的中点为，则异面直线与所成的角是()A． B． C． D．3．设直线与直线的交点为,则到直线的距离最大值为()A． B． C． D．4．在正六边形ABCDEF中，点P为CE上的任意一点，若，则（）A．2 B． C．3 D．不确定5．已知函数图象的一条对称轴是，则函数的最大值为（）A．5 B．3 C． D．6．数列中，，且，则数列前2019项和为（）A． B． C． D．7．某中学举行高一广播体操比赛，共10个队参赛，为了确定出场顺序，学校制作了10个出场序号签供大家抽签，高一（l）班先抽，则他们抽到的出场序号小于4的概率为（）A． B． C． D．8．在平面直角坐标系中，直线与x、y轴分别交于点、，记以点为圆心，半径为r的圆与三角形的边的交点个数为M.对于下列说法：①当时，若，则；②当时，若，则；③当时，M不可能等于3；④M的值可以为0，1，2，3，4，5.其中正确的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．49．若直线上存在点满足则实数的最大值为A． B． C． D．10．下列四组中的函数，表示同一个函数的是（）A．， B．,C．， D．，二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．在平面直角坐标系中，点到直线的距离为______.12．圆上的点到直线的距离的最小值是______.13．已知扇形的半径为6，圆心角为，则扇形的弧长为______.14．函数的最小正周期为_______.15．已知角的终边经过点，若，则______.16．在正四面体中，棱与所成角大小为________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知圆：和点，，，.(1)若点是圆上任意一点，求；(2)过圆上任意一点与点的直线，交圆于另一点,连接，，求证：.18．（1）证明：；（2）证明：对任何正整数n，存在多项式函数，使得对所有实数x均成立，其中均为整数，当n为奇数时，，当n为偶数时，；（3）利用（2）的结论判断是否为有理数？19．已知不等式的解集为或.（1）求实数a，b的值；（2）解不等式.20．随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长.设某地区城乡居民人民币储蓄存款（年底余额）如下表：年份

2010

2011

2012

2013

2014

时间代号

1

2

3

4

5

储蓄存款（千亿元）

5

6

7

8

10

（Ⅰ）求y关于t的回归方程（Ⅱ）用所求回归方程预测该地区2015年（）的人民币储蓄存款.附：回归方程中21．已知等差数列满足，的前项和为.（1）求及；（2）记，求

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、A【解题分析】试题分析：由题图知，，最小正周期，所以，所以.因为图象过点，所以，所以，所以，令，得，所以，故选A.【考点】三角函数的图像与性质【名师点睛】根据图像求解析式问题的一般方法是：先根据函数图像的最高点、最低点确定A，h的值，由函数的周期确定ω的值，再根据函数图像上的一个特殊点确定φ值．2、D【解题分析】

首先根据得到异面直线与所成的角就是直线与所成角，再根据即可求出答案.【题目详解】由图知：取的中点，连接.因为，所以异面直线与所成的角就是直线与所成角.因为，所以，.因为，所以，.所以异面直线与所成的角为.故选：D【题目点拨】本题主要考查异面直线所成角，平移找角为解题的关键，属于简单题.3、A【解题分析】

先求出的坐标，再求出直线所过的定点，则所求距离的最大值就是的长度.【题目详解】由可以得到，故，直线的方程可整理为：，故直线过定点，因为到直线的距离，当且仅当时等号成立，故，故选A.【题目点拨】一般地，若直线和直线相交，那么动直线（）必过定点（该定点为的交点）.4、C【解题分析】

延长交于点，延长交于点，可推出，，所以有，然后利用平面向量共线的推论即可求出【题目详解】如图，延长交于点，延长交于点设正六边形ABCDEF的边长为则在中有，，所以，所以有，同理可得因为所以因为三点共线，所以有，即故选：C【题目点拨】遇到三点共线时，要联想到平面向量共线的推论：三点共线，若，则.5、B【解题分析】

函数图象的一条对称轴是，可得，解得．可得函数，再利用辅助角公式、倍角公式、三角函数的有界性即可得出．【题目详解】函数图象的一条对称轴是，，解得．则函数当时取等号．函数的最大值为1．故选．【题目点拨】本题主要考查三角函数的性质应用以及利用二倍角公式和辅助角公式进行三角恒等变换．6、B【解题分析】

由，可得，化为：，利用“累加求和”方法可得，再利用裂项求和法即可得解．【题目详解】解：∵，∴，整理得：，∴，又∴，可得：．则数列前2019项和为：．故选B．【题目点拨】本题主要考查了数列递推关系、“累加求和”方法、裂项求和，考查了推理能力、转化能力与计算能力，属于中档题．7、D【解题分析】

古典概率公式得到答案.【题目详解】抽到的出场序号小于4的概率：故答案选D【题目点拨】本题考查了概率的计算，属于简单题.8、B【解题分析】

作出直线，可得，，，分别考虑圆心和半径的变化，结合图形，即可得到所求结论．【题目详解】作出直线，可得，，，①当时，若，当圆与直线相切，可得；当圆经过点，即，则或，故①错误；②当时，若，圆，当圆经过O时，，交点个数为2，时，交点个数为1，则，故②正确；③当时，圆，随着的变化可得交点个数为1，2，0，不可能等于3，故③正确；④的值可以为0，1，2，3，4，不可以为5，故④错误.故选：B.【题目点拨】本题考查命题的真假判断与应用，考查直线和圆的位置关系，考查分析能力和计算能力.9、B【解题分析】

首先画出可行域，然后结合交点坐标平移直线即可确定实数m的最大值.【题目详解】不等式组表示的平面区域如下图所示，由，得：，即C点坐标为（－1，－2），平移直线x＝m，移到C点或C点的左边时，直线上存在点在平面区域内，所以，m≤－1，即实数的最大值为－1.【题目点拨】本题主要考查线性规划及其应用，属于中等题.10、A【解题分析】

分别判断两个函数的定义域和对应法则是否相同即可．【题目详解】．的定义域为，，两个函数的定义域相同，对应法则相同，所以，表示同一个函数．．的定义域为，，两个函数的定义域相同，对应法则不相同，所以，不能表示同一个函数．．的定义域为，的定义域为，两个函数的定义域不相同，所以，不能表示同一个函数．．的定义域为，的定义域，两个函数的定义域不相同，对应法则相同，所以，不能表示同一个函数．故选．【题目点拨】本题主要考查判断两个函数是否为同一函数，判断的依据主要是判断两个函数的定义域和对应法则是否相同即可．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、2【解题分析】

利用点到直线的距离公式即可得到答案。【题目详解】由点到直线的距离公式可知点到直线的距离故答案为2【题目点拨】本题主要考查点到直线的距离，熟练掌握公式是解题的关键，属于基础题。12、【解题分析】

求圆心到直线的距离，用距离减去半径即可最小值.【题目详解】圆C的圆心为，半径为，圆心C到直线的距离为：，所以最小值为：故答案为：【题目点拨】本题考查圆上的点到直线的距离的最值，若圆心距为d，圆的半径为r且圆与直线相离，则圆上的点到直线距离的最大值为d+r，最小值为d-r.13、【解题分析】

先将角度化为弧度，再根据弧长公式求解.【题目详解】因为圆心角，所以弧长.故答案为：【题目点拨】本题考查了角度和弧度的互化以及弧长公式的应用问题，属于基础题．14、【解题分析】

将三角函数进行降次，然后通过辅助角公式化为一个名称，最后利用周期公式得到结果.【题目详解】，.【题目点拨】本题主要考查二倍角公式，及辅助角公式，周期的运算，难度不大.15、【解题分析】

利用三角函数的定义可求.【题目详解】由三角函数的定义可得，故.故答案为：.【题目点拨】本题考查三角函数的定义，注意根据正弦的定义构建关于的方程，本题属于基础题.16、【解题分析】

根据正四面体的结构特征，取中点，连，，利用线面垂直的判定证得平面，进而得到，即可得到答案.【题目详解】如图所示，取中点，连，，正四面体是四个全等正三角形围成的空间封闭图形，所有棱长都相等，所以，，且，所以平面，又由平面，所以，所以棱与所成角为.【题目点拨】本题主要考查了异面直线所成角的求解，以及直线与平面垂直的判定及应用，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)2(2)见证明【解题分析】

（1）设点的坐标为，得出，利用两点间的距离公式以及将关系式代入可求出的值；（2）对直线的斜率是否存在分类讨论。①直线的斜率不存在时，由点、的对称性证明结论；②直线的斜率不存在时，设直线的方程为，设点、，将直线的方程与圆的方程联立，列出韦达定理，通过计算直线和的斜率之和为零来证明结论成立。【题目详解】（1）证明：设，因为点是圆上任意一点，所以，所以，（2）①当直线的倾斜角为时，因为点、关于轴对称，所以.②当直线的倾斜角不等于时，设直线的斜率为，则直线的方程为.设、，则，.，，.【题目点拨】本题考查直线与圆的位置关系问题，考查两点间的距离公式、韦达定理在直线与圆的综合问题的处理，本题的关键在于将角的关系转化为斜率之间的关系来处理，另外，利用韦达定理求解直线与圆的综合问题时，其基本步骤如下：（1）设直线的方程以及直线与圆的两交点坐标、；（2）将直线方程与圆的方程联立，列出韦达定理；（3）将问题对象利用代数式或等式表示，并进行化简；（4）将韦达定理代入（3）中的代数式或等式进行化简计算。18、（1）见解析；（2）见解析；（3）不是【解题分析】

（1），利用两角和的正弦和二倍角公式，进行证明；（2）对分奇偶，即和两种情况，结合两角和的余弦公式，积化和差公式，利用数学归纳法进行证明；（3）根据（2）的结论，将表示出来，然后判断其每一项都为无理数，从而得到答案.【题目详解】（1）所以原式得证.（2）为奇数时，时，，其中，成立时，，其中，成立时，，其中，成立，则当时，所以得到因为均为整数，所以也均为整数，故原式成立；为偶数时，时，，其中，时，，其中，成立，时，，其中，成立，则当时，所以得到其中，因为均为整数，所以也均为整数，故原式成立；综上可得：对任何正整数，存在多项式函数，使得对所有实数均成立，其中，均为整数，当为奇数时，，当为偶数时，；（3）由（2）可得其中均为有理数，因为为无理数，所以均为无理数，故为无理数，所以不是有理数.【题目点拨】本题考查利三角函数的二倍角的余弦公式，积化和差公式，数学归纳法证明，属于难题.19、（1）；（2）答案不唯一，见解析【解题分析】

（1）题意说明是方程的解，代入可得，把代入可求得原不等式的解集，从而得值；（2）因式分解后讨论和6的大小可得不等式的解集.【题目详解】（1）依题意，得：，解得，所以，不等式为，解得，或，所以，所以，；（2）不等式为：，即，当时，解集为当时，解集为当时，解集为【题目点拨】本题考查解一元二次不等式，考查一元二次不等式的解集与一元二次方程根的关系，在解含参数的一元二次不等式时要注意分类讨论.20、（Ⅰ），（Ⅱ）千亿元.【解题分析】试题分析：（Ⅰ）列表分别计算出，的值，然后代入求得，再代入求出值，从而就可得到回归方程，（Ⅱ）将代入回归方程可预测该地区2015年的人民币储蓄存款．试题解析：（1）列表计算如下i

1

1

5

1

5

2

2

6

4

12

3

3

7

9

21

4

4

8

16

32

5

5

1