新教材2024版高中数学第三章函数的概念与性质3.2函数的基本性质3.2.2奇偶性课件新人教A版必修第一册

第三章函数的概念与性质3.2函数的基本性质3.2.2奇偶性学习目标素养要求1．结合具体函数，了解函数奇偶性的含义和几何意义数学抽象2．掌握判断函数奇偶性的方法，了解奇偶性与函数图象对称性之间的关系直观想象3．会利用函数的奇偶性解决简单问题数学运算|自学导引|

函数的奇偶性奇偶性定义偶函数设函数f(x)的定义域为I，如果

x∈I，都有－x∈I，且____________，那么函数f(x)就叫做偶函数奇函数设函数f(x)的定义域为I，如果

x∈I，都有－x∈I，且______________，那么函数f(x)就叫做奇函数f(－x)＝f(x)

f(－x)＝－f(x)

【预习自测】判断下列命题是否正确．(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)对于函数y＝f(x)，若存在x，使f(－x)＝－f(x)，则函数y＝f(x)一定是奇函数． (

)(2)不存在既是奇函数，又是偶函数的函数． (

)(3)若函数的定义域关于原点对称，则这个函数不是奇函数，就是偶函数． (

)【答案】(1)×

(2)×

(3)×【解析】(1)反例：f(x)＝x2，存在x＝0，f(－0)＝－f(0)＝0，但函数f(x)＝x2不是奇函数．(2)存在f(x)＝0，x∈R既是奇函数，又是偶函数．(3)函数f(x)＝x2－2x，x∈R的定义域关于原点对称，但它既不是奇函数，又不是偶函数．偶函数、奇函数的图象特征1．偶函数的图象关于________对称．2．奇函数的图象关于________对称．y轴

原点

【预习自测】如图是偶函数f(x)在y轴右侧部分的图象，试画出函数f(x)在y轴左侧部分的图象．解：利用偶函数的图象关于y轴对称的特点，可作出函数y＝f(x)在y轴左侧部分的图象，如图所示．如果一个函数f(x)的定义域是(－1，1]，那么这个函数f(x)还具有奇偶性吗？【提示】由函数奇偶性定义，对于定义域内任一元素x，其相反数－x必须也在定义域内，才能进一步判断f(－x)与f(x)的关系．而本问题中，1∈(－1，1]，－1(－1，1]，f(－1)无定义，自然也谈不上是否与f(1)相等了．所以该函数既非奇函数，也非偶函数．|课堂互动|解：(1)因为函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，又因为f(－x)＝2－|－x|＝2－|x|＝f(x)，所以f(x)为偶函数．(2)因为函数f(x)的定义域为{－1，1}，关于原点对称，且f(x)＝0，又因为f(－x)＝－f(x)，f(－x)＝f(x)，所以f(x)既是奇函数又是偶函数．(3)因为函数f(x)的定义域为{x|x≠1}，不关于原点对称，所以f(x)是非奇非偶函数．(4)f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．当x＞0时，－x＜0，f(－x)＝1－(－x)＝1＋x＝f(x)；当x＜0时，－x＞0，f(－x)＝1＋(－x)＝1－x＝f(x)．综上可知，对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数．判断函数奇偶性的两种方法(1)定义法．(2)图象法．解：(1)函数的定义域为R．因为f(－x)＝(－x)3＋(－x)5＝－(x3＋x5)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．(2)f(x)的定义域是R．因为f(－x)＝|－x＋1|＋|－x－1|＝|x－1|＋|x＋1|＝f(x)，所以f(x)是偶函数．(3)函数f(x)的定义域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，不关于原点对称，所以f(x)是非奇非偶函数．题型2奇、偶函数的图象问题已知奇函数f(x)的定义域为[－5，5]，且在区间[0，5]上的图象如图所示．

(1)画出函数f(x)在区间[－5，0]上的图象；(2)写出使f(x)＜0的x的取值集合．解：(1)因为函数f(x)是奇函数，所以y＝f(x)在[－5，5]上的图象关于原点对称．由y＝f(x)在[0，5]上的图象，可知它在[－5，0]上的图象，如图所示．

(2)由图象知，使函数值f(x)＜0的x的取值集合为(－2，0)∪(2，5)．巧用奇偶性作函数图象的步骤(1)确定函数的奇偶性．(2)作出函数在[0，＋∞)(或(－∞，0])上对应的图象．(3)根据奇(偶)函数关于原点(y轴)对称得出在(－∞，0](或[0，＋∞))上对应的函数图象．2．已知偶函数f(x)的一部分图象如图，试画出该函数在y轴另一侧的图象，并比较f(2)，f(4)的大小．解：f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称，如图．由图象知，f(2)＜f(4)．题型3函数奇偶性的应用

(1)若函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1，2a]，则a＝________，b＝________；(2)已知函数f(x)＝ax2＋2x是奇函数，则实数a＝________．(3)已知函数f(x)(x∈R)是奇函数，且当x＞0时，f(x)＝2x－1，求函数f(x)的解析式．由函数的奇偶性求参数的注意点(1)函数奇偶性的定义既是判断函数的奇偶性的一种方法，也是在已知函数奇偶性时可以运用的一个性质，要注意函数奇偶性定义的正用和逆用．(2)利用常见函数如一次函数、反比例函数、二次函数具有奇偶性的条件也可求得参数．利用奇偶性求解析式的方法首先设出所求区间上的自变量，利用奇、偶函数的定义域关于原点对称的特点，把它转化到已知的区间上，代入已知的解析式，然后再次利用函数的奇偶性求解即可．3．(1)若函数f(x)＝(m－1)x2＋(m－2)x＋(m2－7m＋12)为偶函数，则m的值是 (

)A．1 B．2 C．3 D．4(2)已知f(x)是R上的偶函数，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝x2＋x－1，则x∈(－∞，0)时，f(x)＝________．【答案】(1)B

(2)x2－x－1

【解析】(1)由f(－x)＝f(x)，得m－2＝0，∴m＝2．(2)设x＜0，则－x＞0，∴f(－x)＝(－x)2＋(－x)－1，∴f(－x)＝x2－x－1．∵函数f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)＝x2－x－1，∴当x∈(－∞，0)时，f(x)＝x2－x－1．易错防范：对函数奇偶性定义实质理解不全面．对定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，f(－x)＝－f(x)的实质是函数的定义域关于原点对称．这是函数具备奇偶性的必要条件．防范措施是判断奇偶性，首先求定义域，并判断定义域的对称性．|素养达成|3．应用函数的奇偶性求值、参数或函数的解析式，要根据函数奇偶性的定义，f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)对函数值及函数解析式进行转换．1．(题型1)下列各函数在其定义域内，既为奇函数又为减函数的是 (

)A．y＝－|x| B．y＝x－1C．y＝－x2 D．y＝－x3【答案】D

【解析】由奇函数满足f(－x)＝－f(x)，可判断A，C错；由减函数的性质可知B错．故选D．2．(题型3)(2023年重庆渝中区模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(3)＝－2，且h(x)＝－x2＋f(3x)为奇函数，则f(－3)＝ (

)A．4 B．－2C．0 D．2【答案】A

【解析】因为h(x)＝－x2＋f(3x)是奇函数，所以h(－1)＋h(1)＝0，故－1＋f(－3)－1＋f(3)＝0，所以f(－3)＝4．故选A．3．(题型3)已知函数f(x)为R上的偶函数，且当x＜0时，f(x)＝x(x－1)，则当x＞0时，f(x)＝_______