2021-2022学年云南省大理实验中学高一（上）期末数学试卷

第1页（共1页）2021-2022学年云南省大理实验中学高一（上）期末数学试卷一．单选题（此大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）已知集合A＝{x|x（x﹣2）＜0}，B＝{x|﹣1＜x＜1}，则A∩B＝（）A．{x|﹣1＜x＜2} B．{x|x＜﹣1或x＞2} C．{x|0＜x＜1} D．{x|x＜0或x＞1}2．（5分）设p：α＝，q：sinα＝，则p是q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．（5分）若sinα＞0，且tanα＜0，则角α的终边位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．（5分）下列函数中随x的增长而增长最快的是（）A．y＝8x B．y＝lnx C．y＝x100 D．y＝2x5．（5分）下列函数在区间（1，2）内存在零点的是（）A．f（x）＝x3 B．f（x）＝x+lnx C．f（x）＝x2﹣2 D．f（x）＝x2+lnx6．（5分）函数y＝在[﹣6，6]的图象大致为（）A． B． C． D．7．（5分）函数f（x）＝x+（x≠0）是（）A．奇函数，且在（0，2）上单调递增 B．奇函数，且在（0，2）上单调递减 C．偶函数，且在（0，2）上单调递增 D．偶函数，且在（0，2）上单调递减8．（5分）已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．b＜c＜a9．（5分）已知x＞0，y＞0，lg2x+lg8y＝lg2，则的最小值是（）A．4 B．2 C．2 D．210．（5分）如果函数f（x）的图象与函数g（x）＝ex的图象关于直线y＝x对称，则f（4x﹣x2）的单调递增区间为（）A．（0，+∞） B．（2，+∞） C．（0，2） D．（2，4）11．（5分）已知f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）﹣g（x）＝x3﹣2x2，则f（2）+g（2）＝（）A．16 B．﹣16 C．8 D．﹣812．（5分）已知△ABC的三边长分别为a、b、c，且满足b+c≤3a，则的取值范围是（）A．（1，+∞） B．（0，2） C．（1，3） D．（0，3）二．填空题（此大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）＝．14．（5分）sin600°+tan240°的值等于．15．（5分）函数f（x）＝2|x﹣1|在（﹣∞，a]上单调递减，则a的范围为．16．（5分）已知函数f（x）＝，若方程f（x）＝a（a∈R）有两个不同的实根x1，x2，且满足x1x2＜4，则实数a的取值范围为．三．解答题（本大题共6小题，第17小题10分，其余每题12分，共70分）17．（10分）已知半径为10的圆O中，弦AB的长为10．（1）求弦AB所对的圆心角α的大小；（2）求α所在的扇形的弧长l及弧所在的弓形的面积S．18．（12分）如图，在平面坐标系xOy中，第二象限角α的终边与单位圆交于点A，且点A的纵坐标为．（1）求tanα的值；（2）求sin2α+sinαcosα的值．19．（12分）已知m＞0，a＞0且a≠1，函数f（x）＝（m2﹣4m﹣4）ax是指数函数，且f（2）＝4．（Ⅰ）求m和a的值；（Ⅱ）求f（2x）﹣2f（x）﹣3＞0的解集．20．（12分）已知二次函数f（x）＝ax2+bx+c，f（0）＝1，f（1）＝0，且函数y＝f（x）（x∈R）的最小值为0．（1）求f（x）解析式；（2）若函数g（x）＝f（x）+2（1﹣m）x在[2，+∞）上的最小值为﹣7，求实数m的值．21．（12分）如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花园AMPN，要求B在AM上，D在AN上，且对角线MN过C点，已知|AB|＝3米，|AD|＝2米．（1）要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则AN的长应在什么范围内？（2）当AN的长度是多少时，矩形AMPN的面积最小？并求出最小面积．22．（12分）已知f（x）是定义在[﹣2，2]上的奇函数，且当x∈[﹣2，0）时，f（x）＝x2﹣x．（1）求函数f（x）在[﹣2，2]上的解析式；（2）若f（x）≥m2﹣2am﹣9对所有x∈[﹣2，2]，a∈[﹣1，1]恒成立，求实数m的取值范围．

2021-2022学年云南省大理实验中学高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一．单选题（此大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）已知集合A＝{x|x（x﹣2）＜0}，B＝{x|﹣1＜x＜1}，则A∩B＝（）A．{x|﹣1＜x＜2} B．{x|x＜﹣1或x＞2} C．{x|0＜x＜1} D．{x|x＜0或x＞1}【分析】求出A不等式的解集确定出A，找出A与B的交集即可．【解答】解：由题意可得A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|﹣1＜x＜1}，所以A∩B＝{x|0＜x＜1}．故选：C．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）设p：α＝，q：sinα＝，则p是q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【分析】由题意根据充分条件、必要条件的定义即可判断出结论．【解答】解：当α＝，可得sinα＝，充分性成立，由sinα＝，解得α＝+2kπ或α＝+2kπ，k∈Z，必要性不成立，则p是q的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题考查了三角函数求值、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．（5分）若sinα＞0，且tanα＜0，则角α的终边位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】由sinα＞0，则角α的终边位于一二象限或y轴的非负半轴上，由tanα＜0，则角α的终边位于二四象限，两者结合即可解决问题．【解答】解：∵sinα＞0，则角α的终边位于一二象限或y轴的非负半轴上，∵由tanα＜0，∴角α的终边位于二四象限，∴角α的终边位于第二象限．故选：B．【点评】本题考查三角函数值的符号规律，属于基础题，合理地将条件化简，从而将问题转化为已知三角函数值的符号问题．4．（5分）下列函数中随x的增长而增长最快的是（）A．y＝8x B．y＝lnx C．y＝x100 D．y＝2x【分析】结合幂函数，指数函数与对数函数的增长速度进行分析判断，即可得答案．【解答】解：由于y＝e8是指数函数，y＝lnx是对数函数，y＝x100是幂函数，y＝2x是指数函数，结合函数的性质可知，指数函数的增长速度最快，且8＞2，故增长速度最快的是y＝8x．故选：A．【点评】本题主要考查了函数的增长速度的判断，属于基础题．5．（5分）下列函数在区间（1，2）内存在零点的是（）A．f（x）＝x3 B．f（x）＝x+lnx C．f（x）＝x2﹣2 D．f（x）＝x2+lnx【分析】利用函数的单调性与零点的定义判断A、B、D，利用方程法求零点判断C，从而得解．【解答】解：对于A，f（x）＝x3在（1，2）单调递增，且f（1）＝1＞0，故f（x）＝x3在（1，2）内无零点，故A错误；对于B，f（x）＝x+lnx在（1，2）单调递增且f（1）＝1＞0，故f（x）＝x+lnx在（1，2）内无零点，故B错误；对于C，由f（x）＝x2﹣2＝0，解得，所以f（x）有零点，故C正确；对于D，f（x）＝x2+lnx在（1，2）单调递增，且f（1）＝1＞0，故f（x）＝x2+lnx在（1，2）内无零点，故D错误．故选：C．【点评】本题考查了函数的单调性，考查了函数的零点问题，属于基础题．6．（5分）函数y＝在[﹣6，6]的图象大致为（）A． B． C． D．【分析】由y＝的解析式知该函数为奇函数可排除C，然后计算x＝4时的函数值，根据其值即可排除A、D．【解答】解：由y＝f（x）＝在[﹣6，6]，知f（﹣x）＝﹣＝﹣f（x），函数是[﹣6，6]上的奇函数，因此排除C又f（4）＝＞7，因此排除A，D．故选：B．【点评】本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性以及特殊值是判断函数图象的常用方法，是基础题．7．（5分）函数f（x）＝x+（x≠0）是（）A．奇函数，且在（0，2）上单调递增 B．奇函数，且在（0，2）上单调递减 C．偶函数，且在（0，2）上单调递增 D．偶函数，且在（0，2）上单调递减【分析】先检验f（﹣x）与f（x）的关系，然后结合对勾函数的单调性即可求解．【解答】解：因为f（﹣x）＝﹣x+＝﹣（x+）＝﹣f（x），所以函数f（x）为奇函数，CD不正确；结合对勾函数的性质可知，f（x）＝x+在（0，2）上单调递减，故选：B．【点评】本题主要考查了函数奇偶性定义的应用及对勾函数单调性的判断，属于基础试题．8．（5分）已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．b＜c＜a【分析】利用对数函数和指数函数的性质，即可求解．【解答】解：∵，b＝20.2＞20＝1，0＜c＝0.20.3＜0.20＝1，∴a＜c＜b．故选：B．【点评】本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．9．（5分）已知x＞0，y＞0，lg2x+lg8y＝lg2，则的最小值是（）A．4 B．2 C．2 D．2【分析】由对数的运算性质，lg2x+lg8y＝lg2x+lg23y＝（x+3y）lg2，结合题意可得，x+3y＝1；【解答】解：lg2x+lg8y＝lg2x+lg23y＝（x+3y）lg2，又由lg2x+lg8y＝lg2，则x+3y＝1，进而由基本不等式的性质可得，＝（x+3y）（）＝2+≥4，当且仅当x＝y时等号成立，故选：A．【点评】本题考查基本不等式的性质与对数的运算，注意基本不等式常见的变形形式与运用，如本题中，1的代换．10．（5分）如果函数f（x）的图象与函数g（x）＝ex的图象关于直线y＝x对称，则f（4x﹣x2）的单调递增区间为（）A．（0，+∞） B．（2，+∞） C．（0，2） D．（2，4）【分析】由条件求得f（4x﹣x2）＝ln（4x﹣x2），令t＝4x﹣x2＞0，解得0＜x＜4．故f（4x﹣x2）的定义域为（0，4），本题即求函数f（4x﹣x2）在（0，4）上的增区间．再利用二次函数的性质可得结论．【解答】解：由题意可得函数f（x）与g（x）＝ex的互为反函数，故f（x）＝lnx，f（4x﹣x2）＝ln（4x﹣x2），令t＝4x﹣x2＞0，解得0＜x＜4．故f（4x﹣x2）的定义域为（0，4），本题即求函数f（4x﹣x2）在（0，4）上的增区间．再利用二次函数的性质可得函数f（4x﹣x2）在（0，4）上的增区间为（0，2），故选：C．【点评】本题主要考查复合函数的单调性，对数函数、二次函数的性质，函数与它的反函数图象间的关系，体现了转化的数学思想，属于中档题．11．（5分）已知f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）﹣g（x）＝x3﹣2x2，则f（2）+g（2）＝（）A．16 B．﹣16 C．8 D．﹣8【分析】直接利用奇、偶函数的性质列出方程，然后求解即可．【解答】解：∵f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）﹣g（x）＝x3﹣2x2，∴f（﹣2）﹣g（﹣2）＝（﹣2）3﹣2×（﹣2）2＝﹣16．即f（2）+g（2）＝f（﹣2）﹣g（﹣2）＝﹣16．故选：B．【点评】本题考查函数的奇函数的性质函数值的求法，考查计算能力．12．（5分）已知△ABC的三边长分别为a、b、c，且满足b+c≤3a，则的取值范围是（）A．（1，+∞） B．（0，2） C．（1，3） D．（0，3）【分析】利用三角形的边长关系，设x＝，y＝，结合已知条件列出x，y的约束条件，画出可行域，然后求解所求表达式的范围．【解答】解：令x＝，y＝，则由题意可知：a＜b+c≤3a，﹣a＜b﹣c＜a，得：，作出可行域如图：可得A（0，1），B（1，0），C（2，1），D（2，2）为顶点的四边形区域，有线性规划可知：0＜x＜2，0＜y＜2，则的取值范围是：（0，2）．故选：B．【点评】本题考查线性规划的应用，三角形的边角关系，考查计算能力．二．填空题（此大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）＝．【分析】根据对数运算法则进行运算即可．【解答】解：＝+1+lg（2×5）＝+1＝．故答案为：．【点评】本题考查导数运算性质，考查数学运算能力，属于基础题．14．（5分）sin600°+tan240°的值等于．【分析】由条件利用诱导公式化简可得所给式子的值，可得结果．【解答】解：sin600°+tan240°＝sin240°+tan60°＝﹣sin60°+＝﹣+＝，故答案为：．【点评】本题主要考查应用诱导公式化简三角函数式，要特别注意符号的选取，这是解题的易错点，属于基础题．15．（5分）函数f（x）＝2|x﹣1|在（﹣∞，a]上单调递减，则a的范围为{a|a≤1}．【分析】函数f（x）＝2|x﹣1|是由指数函数y＝2x变换得到的，根据函数图像变换知识和指数函数单调性可得f（x）＝2|x﹣1|的单调性，从而解出答案．【解答】解：因为，所以根据函数图像的平移变换和指数函数的性质可得f（x）在（1，+∞）单调递增，在（﹣∞，1]单调递减．因为函数f（x）＝2|x﹣1|在（﹣∞，a]上单调递减，所以a≤1．故答案为：{a|a≤1}．【点评】本题主要考查了函数单调性的应用，属于基础题．16．（5分）已知函数f（x）＝，若方程f（x）＝a（a∈R）有两个不同的实根x1，x2，且满足x1x2＜4，则实数a的取值范围为（4，5）．【分析】先作出分段函数的图象，然后根据图象可得a＞4，最后根据x1x2＜4，可求出x1的范围，从而可求出所求．【解答】解：作出函数f（x）＝的图象如图，若方程f（x）＝a（a∈R）有两个不同的实根x1，x2，则a＞4，不妨设x1＜x2，则，即，解得：1＜x1＜2，当x1＝1时，f（1）＝5，所以4＜a＜5．故答案为：（4，5）．【点评】本题主要考查函数零点与方程根的关系，以及分段函数的应用，同时考查了数形结合的数学思想和转化能力，属于中档题．三．解答题（本大题共6小题，第17小题10分，其余每题12分，共70分）17．（10分）已知半径为10的圆O中，弦AB的长为10．（1）求弦AB所对的圆心角α的大小；（2）求α所在的扇形的弧长l及弧所在的弓形的面积S．【分析】（1）通过三角形的形状判断圆心角的大小，即可求弦AB所对的圆心角α的大小；（2）直接利用弧长公式求出α所在的扇形的弧长l，利用扇形的面积减去三角形的面积，即可得到所在的弓形的面积S．【解答】解：（1）由⊙O的半径r＝10＝AB，知△AOB是等边三角形，∴α＝∠AOB＝60°＝．（2）由（1）可知α＝，r＝10，∴弧长l＝α•r＝×10＝，∴S扇形＝lr＝××10＝，而S△AOB＝•AB•＝×10×＝，∴S＝S扇形﹣S△AOB＝50．【点评】本题考查扇形弧长公式，以及扇形面积公式的求法，考查计算能力．18．（12分）如图，在平面坐标系xOy中，第二象限角α的终边与单位圆交于点A，且点A的纵坐标为．（1）求tanα的值；（2）求sin2α+sinαcosα的值．【分析】（1）根据三角函数的定义求出，再利用同角三角函数关系结合角的范围，求出tanα；（2）在第一问的基础上，代入求解即可．【解答】解：（1）由题知，因为sin2α+cos2α＝1，所以，又α为第二象限角，所以，可得；（2）．【点评】本题考查了任意角的三角函数的定义以及同角三角函数基本关系式在三角函数求值中的应用，属于基础题．19．（12分）已知m＞0，a＞0且a≠1，函数f（x）＝（m2﹣4m﹣4）ax是指数函数，且f（2）＝4．（Ⅰ）求m和a的值；（Ⅱ）求f（2x）﹣2f（x）﹣3＞0的解集．【分析】（I）结合指数函数的定义及已知f（2）＝4可建立关于m和a的方程，解方程可求；（II）结合已知不等式，可考虑换元法，结合二次不等式及指数函数性质可求．【解答】解：（Ⅰ）由题意得，m2﹣4m﹣4＝1，解得m＝5或m＝﹣1（不合题意，舍去），由f（2）＝a2＝4，a＞0且a≠1，∴a＝2；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，f（x）＝2x，∴f（2x）﹣2f（x）﹣3＞0即为22x﹣2×2x﹣3＞0，设2x＝t（t＞0），原不等式化为t2﹣2t﹣3＞0，整理得（t﹣3）（t+1）＞0，解得t＞3或t＜﹣1，∵t＞0，∴t＞3，∴2x＞3得，x＞log23，∴原不等式的解集为（log23，+∞）．【点评】本题主要考查了指数函数的定义及二次，指数不等式的求解，属于基础题．20．（12分）已知二次函数f（x）＝ax2+bx+c，f（0）＝1，f（1）＝0，且函数y＝f（x）（x∈R）的最小值为0．（1）求f（x）解析式；（2）若函数g（x）＝f（x）+2（1﹣m）x在[2，+∞）上的最小值为﹣7，求实数m的值．【分析】（1）由已知条件和二次函数的性质直接算出即可；（2）配方，找到对称轴，分m＜2和m≥2两种情况，结合函数的单调性讨论．【解答】解：（1）∵f（x）为二次函数，f（1）＝0且f（x）最小值为0，∴令f（x）＝a（x﹣1）2，又f（0）＝1，∴a＝1，即f（x）＝（x﹣1）2．（2）g（x）＝（x﹣1）2+2（1﹣m）x＝x2﹣2mx+1＝（x﹣m）2+1﹣m2，对称轴为x＝m，①当m＜2时，g（x）在[2，+∞）单调递增，所以g（x）min＝g（2）＝5﹣4m＝﹣7，解得m＝3与m＜2矛盾，故m≠3；②当m≥2时，g（x）在[2，m）单调递减，在[m，+∞）单调递增，所以，解得，又m≥2，所以，综上，．【点评】本题考查了二次函数解析式的求解以及二次函数的性质，考查了学生的运算求解能力，属于中档题．21．（12分）如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花园AMPN，要求B在AM上，D在AN上，且对角线MN过C点，已知|AB|＝3米，|AD|＝2米．（1）要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则AN的长应在什么范围内？（2）当AN的长度是多少时，矩形AMPN的面积最小？并求出最小面积．【分析】（1）由题意设出AN的长为x米，因为三角形DNC∽三角形ANM，则对应线段成比例可知AM，表示出矩形AMPN的面积令其大于32得到关于x的一元二次不等式，求出解集即可；（2）解法1：利用当且仅当a＝b时取等号的方法求出S的最大值即可；解法2：求出S′＝0时函数的驻点，讨论函数的增减性得出函数的最大值即可．【解答】解：（1）